Eksamensoppgaver etter tema

Volumet er størst når både høyden og grunnflaten er så store som mulig. Toppen legger vi øverst på halvkulen, og hjørnene i grunnflaten på randen av snittflaten.

1. Finn den største høyden Det høyeste punktet på halvkulen er toppen, rett over sentrum. Legger vi toppen av pyramiden der, er høyden størst: \[ h = r \]

2. Uttrykk grunnflaten ved én side Et rektangel i snittflaten kan gjøres større til hjørnene ligger på randen. Da går diagonalene gjennom sentrum, så hver diagonal er en diameter, \( 2r\text{.} \) Med sidene \( x \) og \( y \) gir Pytagoras: \[ \begin{aligned} x^2 + y^2 &= (2r)^2 \\ y &= \sqrt{4r^2 - x^2} \end{aligned} \]

Vi setter \( y \) inn i grunnflaten, som når kravet brukes til å få én variabel i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ G(x) = \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \]

3. Deriver med produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Roten deriverer vi med kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{k}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{green}{k}}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Med kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{4r^2 - x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{-2x}} \) blir den deriverte av roten \( {\dfrac{\textcolor{green}{-2x}}{2\sqrt{4r^2 - x^2}} = \dfrac{-x}{\sqrt{4r^2 - x^2}}}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - x^2}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{-x}{\sqrt{4r^2 - x^2}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og setter på felles brøkstrek, får vi: \[ \begin{aligned} G'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \\ &\quad + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{-x}{\sqrt{4r^2 - x^2}}} \\ &= \dfrac{4r^2 - 2x^2}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \end{aligned} \]

4. Finn det største volumet \( {G'(x) = 0} \) når telleren er 0. Siden \( {x > 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 4r^2 - 2x^2 &= 0 \\ x &= \sqrt{2}\,r \end{aligned} \]Telleren er positiv når \( {x < \sqrt{2}\,r} \) og negativ når \( {x > \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så det er et toppunkt. Da er \( {y = \sqrt{4r^2 - 2r^2} = \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten er et kvadrat med \( {G = \sqrt{2}\,r \cdot \sqrt{2}\,r = 2r^2}\text{.} \)

Med \( {h = r} \) gir formelen fra oppgaven: \[ V = \dfrac{h \cdot G}{3} = \dfrac{r \cdot 2r^2}{3} = \dfrac{2r^3}{3} = \dfrac{2}{3}r^3 \]

1. Finn toppunktet i CAS Vi skriver inn grunnflaten \( G(x) \) fra ruten for hånd, løser \( {G'(x) = 0}\text{,} \) og regner ut grunnflaten og volumet med \( {h = r}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: G(x) := x*sqrt(4r^2 - x^2) Løs(G'(x) = 0, x) G(sqrt(2)*r) r*G(sqrt(2)*r)/3

Siden \( {x > 0}\text{,} \) er \( {x = \sqrt{2}\,r}\text{.} \) CAS skriver \( |r|\text{,} \) fordi den ikke vet at radien er positiv. Med \( {|r| = r} \) er \( {G = 2r^2} \) og \( {V = \dfrac{2}{3}r^3}\text{.} \)

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Faktoren \( \ln(3x) \) deriverer vi med kjerneregelen.

1. Skriv opp produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Kjerneregelen for \( \ln \) gir \( {\left(\ln(\textcolor{green}{3x})\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3x}} \cdot \textcolor{green}{3} = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln(3x)} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln(3x)} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x\ln(3x) + 4x \end{aligned} \]Vi kan bare ta \( \ln \) av positive tall, så funksjonen er definert for \( {x > 0}\text{.} \)

Vi ser at \( \ln x \) står både i andre potens og alene. Vi gir den et nytt navn, \( k\text{,} \) og får en andregradslikning.

1. Skriv om med en ny variabel Det står \( (\ln x)^2\text{,} \) ikke \( \ln(x^2)\text{,} \) så det er hele \( \ln x \) som er opphøyd i andre. Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, og flytter \( 6 \) over: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{k}^2 - \textcolor{darkorange}{k} &= 6 \\ \textcolor{darkorange}{k}^2 - \textcolor{darkorange}{k} - 6 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs med abc-formelen Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}k^2 + \textcolor{red}{b}k + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ k = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-1}) = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{1 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ k &= \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {k = 3} \) eller \( {k = -2}\text{.} \)

3. Finn x Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) og opphøyer \( e \) i begge sider. Fra definisjonen av logaritmen er \( \ln x \) tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( x\text{,} \) så: \[ e^{\ln x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{darkorange}{\ln x}} = e^3 \quad &\Rightarrow \quad x = e^3 \\ e^{\textcolor{darkorange}{\ln x}} = e^{-2} \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-2} \end{aligned} \]Begge er positive, så begge er løsninger.

Vi skriver potensen som en brøk med \( {e^{x - 1}} \) i nevneren. Så ser vi hva nevneren gjør når \( x \) går mot uendelig og mot minus uendelig.

1. Skriv potensen som en brøk En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Siden \( {-x + 1 = -(x - 1)}\text{,} \) får vi: \[ f(x) = e^{-(x - 1)} = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{e^{x - 1}}} \]

2. La x gå mot uendelig Når \( x \to \infty\text{,} \) går \( {x - 1} \) mot uendelig, og nevneren \( {\textcolor{blue}{e^{x - 1}}} \) vokser uten grense. Én delt på noe som vokser uten grense, går mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{\textcolor{blue}{e^{x - 1}}} = 0 \]

3. La x gå mot minus uendelig Når \( {x \to -\infty}\text{,} \) går \( {x - 1} \) mot minus uendelig. Da er nevneren \( {\textcolor{blue}{e^{x - 1}}} \) positiv og kommer nærmere og nærmere \( 0\text{.} \) Én delt på et slikt tall vokser uten grense, som i videoen Dele på null: \[ \dfrac{1}{\textcolor{blue}{e^{x - 1}}} \to \infty \quad \text{når } x \to -\infty \]Funksjonen nærmer seg ikke noe tall, så denne grenseverdien eksisterer ikke.

Vi finner verdimengden og punktet der \( f \) ikke er kontinuerlig. Så tar vi ut så lite som mulig av definisjonsmengden, uten å endre verdimengden.

1. Finn verdimengden Vi ser hvilke verdier hvert uttrykk gir. \( {\textcolor{red}{5 - x}} \) avtar fra nesten \( 3 \) ned til \( 0\text{,} \) men når aldri \( 3\text{,} \) fordi \( {x = 2} \) ikke er med i den delen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} \text{ på } [0, 2]\text{:} \quad & \textcolor{blue}{[0, 2]} \\ \textcolor{red}{5 - x} \text{ på } \langle 2, 5]\text{:} \quad & \textcolor{red}{[0, 3\rangle} \end{aligned} \]

Klammeparentesen betyr at endepunktet er med, og vinkelparentesen at det ikke er det, som i videoen Symboler. Til sammen er verdimengden: \[ V_f = \textcolor{blue}{[0, 2]} \cup \textcolor{red}{[0, 3\rangle} = [0, 3\rangle \]

2. Finn hvor f ikke er kontinuerlig Hver del er en rett linje, så \( f \) kan bare være diskontinuerlig der den skifter uttrykk, i \( {x = 2}\text{.} \) Der gir uttrykkene ulike verdier: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x}\text{:} \quad & f(2) = \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{5 - x}\text{:} \quad & 5 - 2 = \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]Grafen hopper fra \( 2 \) til \( 3\text{,} \) som i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Med \( {x = 2} \) i definisjonsmengden er \( f \) ikke kontinuerlig.

3. Ta ut punktet med spranget En funksjon er kontinuerlig når den er kontinuerlig i hvert punkt i definisjonsmengden: \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \quad \text{for alle } a \in D_f \]

Tar vi ut bare \( {x = 2}\text{,} \) følger \( f \) én rett linje rundt hvert punkt som er igjen, og er kontinuerlig der. Grafen har fortsatt et brudd i \( {x = 2}\text{,} \) men \( {x = 2} \) er ikke lenger med i definisjonsmengden, så der trenger ikke \( f \) å være kontinuerlig: \[ D_f = [0, 2\rangle \cup \langle 2, 5] \]

Verdien \( 2\text{,} \) som forsvant med \( {x = 2}\text{,} \) får vi fortsatt i \( {x = 3}\text{,} \) fordi \( {5 - 3 = 2}\text{.} \) Verdimengden er derfor uendret: \[ V_f = \textcolor{blue}{[0, 2\rangle} \cup \textcolor{red}{[0, 3\rangle} = [0, 3\rangle \]

Vi kan ikke beholde \( {x = 2}\text{.} \) Verdiene nær \( 3 \) får vi bare for \( x \) like til høyre for \( 2\text{,} \) så de punktene må være med, og da hopper grafen i \( {x = 2}\text{.} \) Mindre kan vi derfor ikke ta ut.