Eksamensoppgaver etter tema

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon som er 0 der grafene krysser, og den er størst midt mellom nullpunktene.

1. Finn nullpunktene til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = I(x) - K(x) \]

\( O \) er 0 der grafene til \( I \) og \( K \) krysser. For vare 1 er det i \( {x = \textcolor{blue}{60}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) og for vare 2 i \( {x = \textcolor{green}{20}} \) og \( {x = \textcolor{green}{80}}\text{.} \) Mellom nullpunktene er \( {I > K}\text{,} \) så der går bedriften med overskudd.

2. Skriv overskuddet på faktorisert form En andregradsfunksjon med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives som: \[ O(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Vi kaller konstanten \( a_1 \) for vare 1 og \( a_2 \) for vare 2, og finner dem med \( {O(0) = -K(0)}\text{,} \) fordi \( {I(0) = 0}\text{.} \) Figuren gir \( {K_1(0) = 6000} \) og \( {K_2(0) = 1600}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_1(0) &= a_1(-\textcolor{blue}{60})(-\textcolor{blue}{100}) = 6000a_1 \\ O_2(0) &= a_2(-\textcolor{green}{20})(-\textcolor{green}{80}) = 1600a_2 \end{aligned} \]Siden \( {6000a_1 = -6000} \) og \( {1600a_2 = -1600}\text{,} \) er \( {a_1 = a_2 = -1}\text{,} \) så \( {O_1(x) = -(x - 60)(x - 100)} \) og \( {O_2(x) = -(x - 20)(x - 80)}\text{.} \)

3. Finn det største overskuddet Grafen er en parabel som vender nedover, så toppunktet ligger midt mellom nullpunktene: \[ \begin{aligned} O_1(\textcolor{blue}{80}) &= -(80 - 60)(80 - 100) \\ &= -20 \cdot (-20) = 400 \\ O_2(\textcolor{green}{50}) &= -(50 - 20)(50 - 80) \\ &= -30 \cdot (-30) = 900 \end{aligned} \]Vare 2 gir altså størst overskudd, 900 kr.

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, så prisen er stigningstallet til inntektslinja.

1. Finn prisene Med prisen \( p \) per enhet er \( {I(x) = p \cdot x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, så \( {p = \dfrac{I(x)}{x}}\text{.} \) Vi bruker et punkt på hver linje der rutenettet er tydelig, \( (60, 12\,000) \) og \( (20, 2400)\text{:} \) \[ \begin{aligned} p_1 &= \dfrac{12\,000}{60} = \textcolor{blue}{200} \\ p_2 &= \dfrac{2400}{20} = \textcolor{green}{120} \end{aligned} \]Prisforskjellen er da: \[ \textcolor{blue}{200} - \textcolor{green}{120} = 80 \]

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K_2\text{.} \) Den er lavest når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K_2(x)}{x} = \dfrac{K_2(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K_2(x)) \) på grafen.

2. Finn den lavest mulige Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den stiplede linja \( {y = \textcolor{red}{100}x} \) går gjennom origo og er tangent i \( (\textcolor{blue}{40}, 4000)\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Vi skriver \( {K_2(x) = ax^2 + bx + c} \) og bruker at stigningstallet til en tangent er den deriverte. De to tangentene gir oss tre opplysninger, nok til å finne \( a\text{,} \) \( b \) og \( c\text{.} \)

1. Les av konstantleddet Tangenten \( {y = 20x + 1600} \) rører grafen i \( (0, K_2(0))\text{,} \) så \( {K_2(0) = 1600}\text{.} \) Det gir \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{1600}}\text{.} \)

2. Bruk stigningstallene til tangentene Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer: \[ K_2'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]

Stigningstallet til tangenten i \( {x = 0} \) er 20, og i \( {x = 40} \) er det 100: \[ \begin{aligned} K_2'(0) &= \textcolor{red}{b} = 20 \\ K_2'(40) &= 80\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{20} = 100 \\ 80\textcolor{blue}{a} &= 80 \\ \textcolor{blue}{a} &= 1 \end{aligned} \]Så \( {K_2(x) = x^2 + 20x + 1600}\text{.} \)

3. Finn inntektsfunksjonen \( I_2 \) går gjennom origo, og den krysser \( K_2 \) i \( {x = 20}\text{.} \) Der er \( {I_2(20) = K_2(20)}\text{:} \) \[ K_2(20) = 400 + 400 + 1600 = 2400 \]Stigningstallet til \( I_2 \) er derfor \( {\dfrac{2400}{20} = 120}\text{.} \)

Kontroll: Punktet \( (40, 4000) \) er tangeringspunktet på figuren, og modellen gir det samme: \[ \begin{aligned} K_2(40) &= 1600 + 800 + 1600 \\ &= 4000 \end{aligned} \]

Enhetskostnaden er kostnaden per enhet, altså stigningstallet til linja fra origo til punktet på grafen. Grensekostnaden er den deriverte, altså stigningstallet til tangenten.

1. Finn enhetskostnaden Enhetskostnaden ved 180 enheter er kostnaden delt på antallet: \[ \begin{aligned} \dfrac{K(180)}{180} &= \dfrac{14\,920 - 0}{180 - 0} \\ &= \dfrac{746}{9} \approx 82{,}89 \end{aligned} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (180, 14\,920)\text{.} \)

Den svarte stiplede linja \( {y = 82{,}89x} \) går gjennom origo og punktet, så enhetskostnaden er omtrent \( 82{,}89 \) kr per enhet, avrundet til hele øre.

Kontroll: \( {9 \cdot 83 = 747}\text{,} \) så \( \dfrac{746}{9} \) er litt under 83 kr, som figuren viser.

2. Finn grensekostnaden Grensekostnaden er den deriverte, \( K'(180)\text{.} \) Den er stigningstallet til tangenten i punktet, og tangenten er den blå stiplede linja \( {y = \textcolor{blue}{138}x - 9920}\text{:} \) \[ K'(180) = \textcolor{blue}{138} \]Den forteller at én enhet til koster omtrent 138 kr mer når det allerede produseres 180 enheter, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi bruker grensekostnaden \( {K'(180) = 138} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Der overskuddet er størst, er den deriverte av overskuddet null. Vi setter derfor \( {O'(180) = 0} \) og løser for \( p\text{.} \)

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= \textcolor{green}{p} \cdot x - K(x) \end{aligned} \]

Vi deriverer: \[ O'(x) = \textcolor{green}{p} - K'(x) \]

2. Sett den deriverte lik null I et toppunkt er den deriverte null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I a) fant vi \( {K'(180) = \textcolor{blue}{138}}\text{,} \) stigningstallet til den blå tangenten, så: \[ \begin{aligned} O'(180) = \textcolor{green}{p} - \textcolor{blue}{138} &= 0 \\ \textcolor{green}{p} &= 138 \end{aligned} \]

Grafen til \( K \) krummer oppover, så stigningstallet \( K'(x) \) øker. Da er \( {O'(x) = \textcolor{blue}{138} - K'(x)} \) positiv før \( {x = 180} \) og negativ etter: \[ \begin{aligned} x < 180&\text{:} \quad O'(x) > 0 \\ x > 180&\text{:} \quad O'(x) < 0 \end{aligned} \]Overskuddet er derfor størst ved 180 enheter.

Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi finner \( K(40) \) fra linja som går gjennom \( A\text{.} \)

1. Finn kostnaden ved 40 enheter På figuren ligger \( A \) på grafen til \( K \) med \( {x = 40}\text{.} \) Både den grønne linja \( f \) og den røde linja \( h \) går gjennom \( A\text{,} \) og de gir samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f(40)} &= 31 \cdot 40 + 2030 = 3270 \\ \textcolor{red}{h(40)} &= 81{,}75 \cdot 40 = 3270 \end{aligned} \]Kostnaden ved 40 enheter er altså \( {K(40) = 3270}\text{.} \)

2. Del på antall enheter Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} \]

Plugger vi inn \( {x = 40}\text{,} \) får vi: \[ E(40) = \dfrac{K(40)}{40} = \dfrac{3270}{40} = \textcolor{red}{81{,}75} \]Det er stigningstallet til den røde linja \( h\text{,} \) som går fra origo til \( A\text{.} \)

Grensekostnaden er den deriverte \( K'(40)\text{.} \) Den er stigningstallet til tangenten i \( A\text{,} \) og den tangenten er \( f\text{.} \)

1. Finn tangenten Grensekostnaden er den deriverte av kostnaden: \[ \text{grensekostnad} = K'(x) \]

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten der. I videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023 betyr \( {K'(500) = 200} \) at én enhet til koster omtrent 200 kr mer.

Den røde linja \( h \) går også gjennom \( A\text{,} \) men den krysser grafen der og er ikke en tangent. Det er den grønne linja \( f \) som tangerer grafen til \( K \) i \( {A = (40, 3270)}\text{.} \)

2. Les av stigningstallet \( {f(x) = \textcolor{green}{31}x + 2030} \) har stigningstallet \( \textcolor{green}{31}\text{,} \) så: \[ K'(40) = f'(40) = \textcolor{green}{31} \]Når bedriften produserer 40 enheter, koster én enhet til omtrent 31 kr.

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K\text{.} \) Den er minst når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden kan skrives: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{K(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K(x)) \) på grafen. I a) var det den røde linja \( h \) til \( A\text{.} \)

2. Finn den slakeste linja fra origo Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den blå linja \( {g(x) = \textcolor{blue}{60}x} \) går gjennom origo og tangerer grafen i \( {B = (100, 6000)}\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Den minste enhetskostnaden er da: \[ E(100) = \dfrac{K(100)}{100} = \dfrac{6000}{100} = \textcolor{blue}{60} \]

I \( B \) er grensekostnaden lik enhetskostnaden, fordi tangenten \( g \) går gjennom origo: \[ K'(100) = g'(100) = \textcolor{blue}{60} = E(100) \]

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, altså stigningstallet til tangenten. Vi tegner tangenten i \( {x = 40} \) og leser av stigningstallet.

1. Tegn tangenten Vi kaller kostnadsfunksjonen \( K\text{.} \) Grensekostnaden ved 40 enheter er \( K'(40)\text{,} \) stigningstallet til tangenten til grafen i \( {x = 40}\text{.} \) Den forteller omtrent hvor mye én enhet til koster, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Grafen går gjennom \( (40, 3000)\text{.} \) Der legger vi en linjal inntil grafen, slik at den bare så vidt rører den, og tegner den grønne tangenten:

2. Les av stigningstallet Stigningstallet til en linje gjennom \( (x_1, y_1) \) og \( (x_2, y_2) \) er: \[ a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Den grønne tangenten går gjennom \( (40, 3000) \) og omtrent gjennom \( (100, 7600)\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} K'(40) &\approx \dfrac{7600 - 3000}{100 - 40} \\ &= \dfrac{4600}{60} \approx \textcolor{green}{77} \end{aligned} \]Når det produseres 40 enheter, koster én enhet til altså omtrent 77 kr. Tangenten er tegnet for hånd, så en avlesning litt over eller under er like god.

Overskuddet er avstanden fra kostnadsgrafen opp til inntektsgrafen. Vi sammenligner stigningstallene til de to grafene og ser hvor avstanden slutter å øke.

1. Sammenlign stigningstallene Med inntektsfunksjonen \( I \) og kostnadsfunksjonen \( K \) er overskuddet inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \]

Vi deriverer: \[ O'(x) = \textcolor{blue}{I'(x)} - \textcolor{red}{K'(x)} \]

Inntektsgrafen er en rett linje gjennom \( (0, 0) \) og \( (100, 10\,000)\text{,} \) så stigningstallet er det samme overalt: \[ \textcolor{blue}{I'(x)} = \dfrac{10\,000}{100} = \textcolor{blue}{100} \]

Kostnadsgrafen krummer oppover, så stigningstallet \( \textcolor{red}{K'(x)} \) øker. Der det er mindre enn \( \textcolor{blue}{100}\text{,} \) øker overskuddet, og der det er større, minker overskuddet: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K'(x)} < \textcolor{blue}{100}&\text{:} \quad O'(x) > 0 \\ \textcolor{red}{K'(x)} > \textcolor{blue}{100}&\text{:} \quad O'(x) < 0 \end{aligned} \]Overskuddet er derfor størst der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) som for ekstremalpunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det er der \( {\textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) altså der tangenten til kostnadsgrafen er parallell med inntektslinja.

2. Finn punktet på figuren Vi skyver en linjal parallelt med inntektslinja ned til den så vidt rører kostnadsgrafen. Den grønne linja rører grafen omtrent i \( {x = 57{,}5}\text{:} \)

Der er den prikkede avstanden opp til inntektslinja størst. Bedriften må altså produsere og selge omtrent 57 eller 58 enheter. Linja er tegnet for hånd, så en avlesning litt over eller under er like god.