Eksamensoppgaver etter tema

Vannmengden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X \le 1{,}48) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{1{,}48 - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\textcolor{red}{0{,}01}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{-0{,}02}{0{,}01}\right) \\ &= P(Z \le -2) \end{aligned} \]1,48 L ligger altså to standardavvik under forventningen.

2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le -2{,}00) = 0{,}0228}\text{.} \)

Vi bruker sannsynligheten fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut hvor mange flasker med \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre Henrik kan vente å finne blant 24, hvis produsenten har rett.

1. Regn ut forventet antall Fra a) har hver flaske sannsynligheten \( \textcolor{red}{0{,}0228} \) for å ha \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre. Antallet slike flasker blant \( \textcolor{blue}{24} \) er binomisk fordelt, så vi kan vente \( {n \cdot p}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ \textcolor{blue}{24} \cdot \textcolor{red}{0{,}0228} \approx 0{,}55 \]flasker med så lite vann, selv om produsenten har rett.

2. Forklar Det er altså ikke uvanlig å finne én slik flaske i en kasse. En enkelt flaske sier dessuten lite om gjennomsnittet. Henrik har valgt ut den flasken med minst vann, og den vil nesten alltid ligge under \( 1{,}50\,\text{L}\text{,} \) også når produsenten har rett. Han må se på alle de 24 flaskene, som i d).

Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Henrik påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra det produsenten oppgir.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( \mu \) være forventet vannmengde i en flaske. \( \textcolor{red}{\text{Henrik}} \) påstår at \( {\textcolor{red}{\mu < 1{,}50\,\text{L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{produsenten}} \) oppgir \( {\textcolor{blue}{\mu = 1{,}50\,\text{L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi Henrik bare påstår at det er for lite vann.

Vi bruker hypotesene fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Gjennomsnittet av 24 flasker varierer mye mindre enn én flaske. Vi regner ut hvor sannsynlig det er å få et så lavt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og forkaster \( H_0 \) hvis det er svært usannsynlig.

1. Velg nivå og regn ut snittet I c) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } \mu = 1{,}50 \qquad H_1\text{: } \mu < 1{,}50 \]

Før målingene velger Henrik et signifikansnivå, for eksempel \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Så regner han ut gjennomsnittet av de 24 målingene: \[ \bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{24}}{24} \]

2. Finn fordelingen til gjennomsnittet Hvis \( H_0 \) er sann, er gjennomsnittet \( \bar{X} \) normalfordelt med forventning \( \textcolor{blue}{1{,}50} \) og standardavvik \( \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.

Siden standardavviket er kjent, bruker han en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{24}}\text{:} \) \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\dfrac{\textcolor{red}{0{,}01}}{\sqrt{\textcolor{green}{24}}}} \]

3. Konkluder Han finner P-verdien \( {P(Z \le z)} \) i tabellen. Er P-verdien mindre enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) forkaster han \( H_0\text{,} \) og da har han grunnlag for å si at flaskene inneholder mindre enn \( 1{,}50\,\text{L}\text{.} \) Ellers kan han ikke forkaste \( H_0\text{.} \) Med \( {\alpha = 0{,}05} \) er det det samme som å forkaste når \( {z < -1{,}645}\text{.} \)

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Det trekker to tilfeldige tall mange ganger og teller hvem som har størst, men bare når minst ett av dem er over grensen.

1. Les løkka Løkka i linje 10 går \( {\texttt{SIMULERINGER} = 100} \) ganger, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker linje 11 en tilfeldig verdi \( \textcolor{blue}{\texttt{A}} \) fra en normalfordeling med forventning 80 og standardavvik 20, og linje 12 en \( \textcolor{green}{\texttt{B}} \) med forventning 70 og standardavvik 30.

Linje 13 sjekker om minst én av dem er større enn \( {\texttt{GRENSE} = 110}\text{.} \) Bare da teller runden: er \( {\textcolor{blue}{\texttt{A}} > \textcolor{green}{\texttt{B}}}\text{,} \) får A et poeng, ellers får B et poeng.

2. Les utskriften Linje 20 til 25 står utenfor løkka. De sammenligner poengene og skriver ut «A vinner», «B vinner» eller «Uavgjort».

I hver runde som teller, er det litt mer sannsynlig at B vinner. Jo flere runder, desto nærmere kommer andelen B-seirer denne sannsynligheten, og desto sikrere får B flest poeng.

1. Forklar effekten av flere runder Siden programmet oftest skriver ut «B vinner», vinner \( \textcolor{green}{B} \) en runde som teller, med en sannsynlighet \( \textcolor{green}{q} \) som er større enn \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Med bare 100 runder kan tilfeldighetene likevel gi \( \textcolor{blue}{A} \) flest poeng.

Når antallet runder øker, kommer andelen runder \( \textcolor{green}{B} \) vinner, nærmere og nærmere \( \textcolor{green}{q}\text{.} \) Det er de store talls lov, og det er derfor vi simulerer mange ganger, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Da blir det mindre og mindre sannsynlig at A får flest poeng ved en tilfeldighet.

Runden teller bare når minst én verdi er over grensen. Figuren viser hvilken fordeling som oftest gir de største verdiene.

1. Les av figuren Til høyre for omtrent \( {x = 115} \) ligger den grønne kurven, til \( \textcolor{green}{B}\text{,} \) over den mørke, til \( \textcolor{blue}{A}\text{.} \) B har større standardavvik, så svært store verdier kommer oftere fra \( \textcolor{green}{B} \) enn fra \( \textcolor{blue}{A}\text{.} \)

2. Forklar virkningen av høyere grense Jo høyere grensen er, desto oftere er det \( \textcolor{green}{B} \) som er over den når en runde teller. Da er det også oftere \( \textcolor{green}{B} \) som er størst, så B vinner en større andel av rundene.

Grensen må likevel ikke bli for høy. Da teller nesten ingen runder, og med bare 100 runder kan resultatet bli tilfeldig eller uavgjort.

Kurvene har samme form, så det er tallene på \( x \)-aksen som skiller dem. I en normalfordeling ligger nesten alle verdiene innenfor tre standardavvik fra forventningsverdien.

1. Finn hvor nesten alle høydene ligger Høyden \( X \) til én elev er normalfordelt med forventningsverdi \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{170}} \) og standardavvik \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{5}}\text{.} \) I en normalfordeling ligger nesten alle verdiene innenfor tre standardavvik fra forventningsverdien: \[ \textcolor{blue}{\mu} - 3\textcolor{red}{\sigma} < X < \textcolor{blue}{\mu} + 3\textcolor{red}{\sigma} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{170} - 3 \cdot \textcolor{red}{5} &= 155 \\ \textcolor{blue}{170} + 3 \cdot \textcolor{red}{5} &= 185 \end{aligned} \]

2. Velg figuren I figur C går kurven fra omtrent 155 til 185, med toppen i 170. De andre kurvene er for smale (A og B) eller for brede (D).

Gjennomsnittet av mange elever varierer mindre enn høyden til én elev. Vi finner standardavviket til gjennomsnittet og ser hvilken figur som passer.

1. Finn standardavviket til gjennomsnittet Gjennomsnittet \( \bar{X} \) av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige høyder har forventningsverdi \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.

Her er \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{5}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\sqrt{\textcolor{green}{25}}} = \dfrac{5}{5} = 1 \]

2. Velg figuren Gjennomsnittet har forventningsverdi \( \textcolor{blue}{170} \) og standardavvik \( 1\text{,} \) så nesten alle verdiene ligger mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{170} - 3 \cdot 1 &= 167 \\ \textcolor{blue}{170} + 3 \cdot 1 &= 173 \end{aligned} \]Det passer med figur B.

Vi setter opp hypotesene og regner ut hvor sannsynlig det er å få minst én feil blant 20 hvis MASK har rett. Er det ikke svært usannsynlig, er klagen ikke velbegrunnet.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. La \( p \) være andelen feilproduserte komponenter: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}01} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p > 0{,}01} \]Vi velger signifikansnivået \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \)

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet feil \( X \) blant 20 komponenter binomisk fordelt med \( {n = 20} \) og \( {p = 0{,}01}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet). P-verdien er sannsynligheten for minst én feil: \[ \begin{aligned} P(X \ge 1) &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - 0{,}99^{20} \\ &\approx 0{,}182 \end{aligned} \]

3. Konkluder P-verdien \( 0{,}182 \) er større enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Minst én feil blant 20 skjer i omtrent \( 18\,\% \) av tilfellene selv når andelen feil er \( 1\,\%\text{.} \) Bedriften har derfor ikke grunnlag for klagen.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut \( {1 - 0{,}99^{20}} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - 0.99^20

P-verdien er omtrent \( 0{,}182\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi ser påstanden som en hypotesetest med \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Høyst én feil blant \( n \) komponenter må da skje i mindre enn \( 5\,\% \) av tilfellene når andelen feil er \( 1\,\%\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for \( n \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp \( {P(X \le 1)} \) og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {n = 472} \) gir omtrent \( 0{,}0502 \) og \( {n = 473} \) omtrent \( 0{,}0498\text{.} \)

1. Sett opp hypotesene og P-verdien Kontrolløren vil vise at andelen er under \( 1\,\%\text{,} \) så det blir \( H_1\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}01} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p < 0{,}01} \]Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet feil \( X \) blant \( \textcolor{green}{n} \) komponenter binomisk fordelt, som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ P(X = x) = \binom{\textcolor{green}{n}}{x} \cdot p^x \cdot (1 - p)^{\textcolor{green}{n} - x} \]Med \( {p = 0{,}01} \) er \( {\binom{n}{0} = 1} \) og \( {\binom{n}{1} = n}\text{,} \) så P-verdien, sannsynligheten for høyst én feil, er: \[ \begin{aligned} P(X \le 1) &= 0{,}99^{\textcolor{green}{n}} \\ &\quad + \textcolor{green}{n} \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99^{\textcolor{green}{n} - 1} \end{aligned} \]

2. Løs likningen i CAS Vi finner \( n \) der P-verdien er \( 0{,}05 \) med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og sjekker de hele tallene på hver side:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(0.99^n + n*0.01*0.99^(n - 1) = 0.05, n = 470) 0.99^472 + 472*0.01*0.99^471 0.99^473 + 473*0.01*0.99^472

Med \( {n = 472} \) er P-verdien \( 0{,}0502\text{,} \) litt over \( 0{,}05\text{,} \) og med \( {n = 473} \) er den \( 0{,}0498\text{,} \) under. Kontrolløren må altså ha testet minst 473 komponenter for å forkaste \( H_0\text{.} \)

Alle de seks sidene er like sannsynlige, så sannsynligheten for et antall øyne er antall sider med det tallet delt på 6. Så regner vi ut forventningsverdien.

1. Fyll ut tabellen Ener, toer og treer står på én side hver, og sekser står på tre sider: \[ P(X = 6) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \]

Tabellen blir: \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \textcolor{blue}{k} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{6} \\ \hline P(X = k) & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{array} \]Sannsynlighetene summerer seg til \( {\dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{2} = 1}\text{,} \) som de skal.

2. Regn ut forventningsverdien Forventningsverdien er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten for den: \[ E(X) = \sum \textcolor{blue}{k} \cdot \textcolor{red}{P(X = k)} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Plugger vi inn tallene fra tabellen, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \\ &\quad + \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{6}{6} + 3 \\ &= 4 \end{aligned} \]

Vi bruker tabellen fra a) og \( {E(X) = 4}\text{,} \) som står i oppgaveteksten. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Variansen finner vi som forventningen til \( X^2 \) minus forventningen til \( X \) i andre. Vi regner derfor først ut \( E(X^2)\text{.} \)

1. Finn forventningen til kvadratet Fra a) har vi tabellen: \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \textcolor{blue}{k} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{6} \\ \hline P(X = k) & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{array} \]

\( E(X^2) \) regner vi ut som \( E(X)\text{,} \) men med hver verdi i andre: \[ \begin{aligned} E(X^2) &= \textcolor{blue}{1}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{2}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{3}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \\ &\quad + \textcolor{blue}{6}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{1 + 4 + 9}{6} + 18 \\ &= \dfrac{7}{3} + 18 = \dfrac{61}{3} \end{aligned} \]

2. Regn ut variansen Variansen er: \[ Var(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Med \( {E(X) = 4} \) fra a) får vi: \[ \begin{aligned} Var(X) &= \dfrac{61}{3} - 4^2 \\ &= \dfrac{61}{3} - \dfrac{48}{3} = \dfrac{13}{3} \end{aligned} \]

Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Benz A/S påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra den gamle bensinen.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at det ikke skjer noen forandring, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( \mu \) være gjennomsnittlig kjørelengde per liter med den nye bensinen. \( \textcolor{red}{\text{Benz A/S}} \) mener at \( {\textcolor{red}{\mu > 20\,\text{km/L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{ingen forandring}} \) betyr \( {\textcolor{blue}{\mu = 20\,\text{km/L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi de bare påstår at kjørelengden øker.

Vi bruker hypotesene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Standardavviket er kjent, så vi bruker en z-test for gjennomsnittet. Vi finner sannsynligheten for et så høyt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og sammenligner med \( 5\,\%\text{.} \)

1. Regn ut testobservatoren I a) satte vi opp: \[ H_0\text{: } \mu = 20 \qquad H_1\text{: } \mu > 20 \]

Standardavviket er oppgitt, så vi bruker en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Gjennomsnittet av \( n \) biler har standardavviket \( \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]

Her er \( {\bar{x} = 21}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{20}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{2{,}5}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} z &= \dfrac{21 - \textcolor{blue}{20}}{\dfrac{\textcolor{red}{2{,}5}}{\sqrt{\textcolor{green}{25}}}} \\ &= \dfrac{1}{0{,}5} = 2 \end{aligned} \]

2. Finn P-verdien \( H_1 \) sier \( {\mu > 20}\text{,} \) så P-verdien er sannsynligheten for \( {z = 2} \) eller mer. Tabellen over standard normalfordeling i vedlegget gir \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772}\text{,} \) som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ \begin{aligned} P(Z \ge 2) &= 1 - 0{,}9772 \\ &= 0{,}0228 \end{aligned} \]

3. Konkluder \( {0{,}0228 < 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{.} \) Da er det grunnlag for å si at \( H_1 \) stemmer, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro: den nye bensinen øker kjørelengden.

Lengden er normalfordelt for hver hopper. Vi gjør 90 meter om til en \( z \)-verdi for hver av dem og slår opp i tabellen over standard normalfordeling.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ \begin{aligned} & P(X > 90) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{90 - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Vi regner ut \( z \)-verdien for hver hopper: \[ \begin{aligned} \text{Birger: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{70}}{\textcolor{red}{20}} = 1 \\ \text{Maren: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{80}}{\textcolor{red}{5}} = 2 \\ \text{Espen: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{75}}{\textcolor{red}{10}} = 1{,}5 \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}00) = 0{,}8413}\text{,} \) \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772} \) og \( {P(Z \le 1{,}50) = 0{,}9332}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{Birger: } & 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587 \\ \text{Maren: } & 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \\ \text{Espen: } & 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668 \end{aligned} \]Birger har størst sjanse for et hopp over 90 meter. Han har lavest forventning, men størst standardavvik.

1. Regn ut i CAS FordelingNormal\( (\mu, \sigma, x) \) gir \( {P(X \le x)}\text{.} \) Vi trekker den fra 1 og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingNormal(70, 20, 90) 1 - FordelingNormal(80, 5, 90) 1 - FordelingNormal(75, 10, 90)

Rad 1 til 3 gir \( 0{,}1587\text{,} \) \( 0{,}0228 \) og \( 0{,}0668 \) for Birger, Maren og Espen.

Maren hoppet lengst hvis både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter. Hoppene er uavhengige, så vi ganger de to sannsynlighetene.

1. Finn sannsynlighetene for de andre For Birger og Espen standardiserer vi 83 meter, som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \text{Birger: } z &= \dfrac{83 - 70}{20} = 0{,}65 \\ \text{Espen: } z &= \dfrac{83 - 75}{10} = 0{,}80 \end{aligned} \]

Tabellen over standard normalfordeling gir: \[ \begin{aligned} P(\text{Birger} < 83) &= \textcolor{blue}{0{,}7422} \\ P(\text{Espen} < 83) &= \textcolor{red}{0{,}7881} \end{aligned} \]

2. Gang sannsynlighetene Hoppene er uavhengige, så sannsynligheten for at begge hopper kortere, er produktet, som når vi kaster flere terninger i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Maren hoppet lengst når både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter: \[ \begin{aligned} P(\text{Maren lengst}) &= \textcolor{blue}{0{,}7422} \cdot \textcolor{red}{0{,}7881} \\ &\approx 0{,}585 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) ganger vi \( {P(\text{Birger} < 83)} \) med \( {P(\text{Espen} < 83)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingNormal(70, 20, 83)*FordelingNormal(75, 10, 83)

Rad 4 gir \( {P(\text{Maren lengst}) \approx 0{,}585}\text{.} \)

Nå er også Marens hopp tilfeldig. Vi lar et program trekke tre tilfeldige hopp mange ganger og teller hvor ofte Maren hopper lengst. Andelen er et anslag for sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å lese og skrive slike programmer på papir, og på å forklare hvorfor flere simuleringer gir et sikrere anslag.

1. Skriv programmet Vi trekker lengdene med \( \texttt{normal}\text{,} \) der det første tallet er forventningen og det andre standardavviket, og gjentar forsøket i en løkke, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

2. Les programmet og kjør det Løkka i linje 6 går \( {N = 100\,000} \) ganger. Linje 7 til 9 trekker ett hopp for hver hopper. Linje 10 sjekker om \( \textcolor{blue}{\texttt{maren}} \) er lenger enn både \( \texttt{birger} \) og \( \texttt{espen}\text{,} \) og da teller linje 11 én til. Linje 13 skriver ut andelen av forsøkene der Maren hopper lengst:

Simuleringen gir litt ulike tall hver gang, men med så mange forsøk endrer svaret seg bare i tredje desimal.

Hvert frø spirer eller spirer ikke, med samme sannsynlighet, så antallet som spirer er binomisk fordelt. Vi regner ut forventningen og standardavviket og ser hvilken kurve som har den spredningen.

1. Regn ut forventning og standardavvik La \( X \) være antall frø som spirer. Med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk er: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{1000}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7} = 700 \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7} \cdot 0{,}3} = \sqrt{210} \end{aligned} \]Siden \( {14^2 = 196} \) og \( {15^2 = 225}\text{,} \) er \( {14 < \sigma < 15}\text{.} \)

2. Sammenlign med figurene Begge kurvene har toppen i 700. Med så mange frø er \( X \) tilnærmet normalfordelt, og tabellen i vedlegget gir \( {P(Z \le -3) = 0{,}0013}\text{.} \) Nesten alt ligger derfor innenfor tre standardavvik fra forventningen: \[ 1 - 2 \cdot 0{,}0013 = 0{,}9974 \]

Siden \( {3\sigma < 3 \cdot 15 = 45}\text{,} \) er det mellom omtrent: \[ \begin{aligned} 700 - 45 &= 655 \\ 700 + 45 &= 745 \end{aligned} \]

Kurven i figur 2 har toppen i 700 og ligger innenfor dette området. Kurven i figur 1 ligger over aksen fra omtrent 100 til 1300 og er altfor bred, som i videoen Varians og Standardavvik. Den har dessuten mye areal over 1000, men det kan ikke spire flere enn 1000 frø.

Begge kurvene har toppen i forventningen 50. Vi ser hvor bred kurven skal være når standardavviket er 10.

1. Finn hvor nesten alt ligger Med \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{10}} \) ligger nesten alt, \( 99{,}7\,\%\text{,} \) innenfor tre standardavvik fra forventningen, som i a): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\mu} - 3\textcolor{red}{\sigma} &= \textcolor{blue}{50} - 3 \cdot \textcolor{red}{10} = 20 \\ \textcolor{blue}{\mu} + 3\textcolor{red}{\sigma} &= \textcolor{blue}{50} + 3 \cdot \textcolor{red}{10} = 80 \end{aligned} \]

2. Sammenlign med figurene Kurven i figur 3 ligger over aksen fra omtrent 20 til 80. Kurven i figur 4 er bare halvparten så bred, fra omtrent 35 til 65. Den har standardavvik omtrent 5, og er for smal, som i videoen Varians og Standardavvik.

\( H_1 \) er det fagforeningen mistenker, at ledelsen velger menn. \( H_0 \) er at det ikke er noen forskjell fra et tilfeldig utvalg.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er det motsatte, at det ikke er noen forskjell, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( p \) være sannsynligheten for at den som blir invitert, er en mann. Velges det tilfeldig, er \( {\textcolor{blue}{p = \dfrac{40}{100} = 0{,}4}}\text{.} \) Velger ledelsen bevisst menn, er \( {\textcolor{red}{p > 0{,}4}}\text{.} \) Testen er ensidig.

2. Forklar valget av fordeling La \( X \) være antall menn blant de 20 som blir invitert. En binomisk fordeling krever lik sannsynlighet og uavhengige forsøk, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Her trekkes 20 av bare 100 søkere, og ingen kan trekkes to ganger. Sannsynligheten endrer seg derfor merkbart for hver trekning. Er de 12 første som trekkes, menn, er det bare \( {\dfrac{28}{88} \approx 0{,}32} \) sannsynlig at neste er en mann. Den hypergeometriske fordelingen teller nettopp trekning uten tilbakelegging fra to grupper: \[ P(X = k) = \dfrac{\dbinom{40}{k} \cdot \dbinom{60}{20 - k}}{\dbinom{100}{20}} \]

Vi bruker hypotesene og den hypergeometriske fordelingen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut P-verdien: sannsynligheten for minst 12 menn hvis utvalget er tilfeldig. Er den under \( 5\,\%\text{,} \) forkaster vi \( H_0\text{.} \)

1. Regn ut P-verdien I a) satte vi opp \( {H_0\text{: } p = 0{,}4} \) og \( {H_1\text{: } p > 0{,}4}\text{.} \) Med \( X \) som antall menn blant de 20 er: \[ P(X = k) = \dfrac{\dbinom{40}{k} \cdot \dbinom{60}{20 - k}}{\dbinom{100}{20}} \]

Vi regner ut leddene med nCr på kalkulatoren og runder av til fem desimaler: \[ \begin{aligned} P(X = 12) &\approx 0{,}02667 \\ P(X = 13) &\approx 0{,}00867 \\ P(X = 14) &\approx 0{,}00217 \\ P(X = 15) &\approx 0{,}00041 \\ P(X = 16) &\approx 0{,}00006 \end{aligned} \]Leddene for 17 til 20 er til sammen under \( 0{,}00001\text{.} \) P-verdien er: \[ P(X \ge 12) \approx \textcolor{red}{0{,}0380} \]

2. Konkluder P-verdien \( \textcolor{red}{0{,}0380} \) er mindre enn signifikansnivået \( \textcolor{blue}{0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Det er grunnlag for å si at ledelsen bevisst velger menn.

Merk – Binomisk fordeling gir et annet svar: Med binomisk fordeling, \( {n = 20} \) og \( {p = 0{,}4}\text{,} \) blir P-verdien omtrent \( 0{,}057\text{,} \) over \( 5\,\%\text{.} \) Den binomiske fordelingen gjelder trekning med tilbakelegging, og her trekkes 20 av bare 100 søkere uten. Det er derfor den hypergeometriske P-verdien som gjelder.

1. Regn ut P-verdien i CAS \( {P(X \ge 12)} \) er \( {1 - P(X \le 11)}\text{.} \) Vi bruker den kumulative hypergeometriske fordelingen med 100 søkere, 40 menn og 20 trukket. Det samme kan gjøres i sannsynlighetskalkulatoren, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(100, 40, 20, 11, true)

P-verdien er \( \textcolor{red}{0{,}0380}\text{,} \) under \( \textcolor{blue}{0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{.} \)

Vi gjør vekten \( X \) om til en standard normalfordelt \( Z\text{.} \) Tabellen i vedlegget gir hvilken \( z \) som hører til 5300 gram, og den gir oss \( \sigma\text{.} \)

1. Skriv om til «mindre eller lik» Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi bruker den motsatte hendelsen: \[ \begin{aligned} P(X \le 5300) &= 1 - P(X > 5300) \\ &= 1 - 0{,}115 = 0{,}885 \end{aligned} \]

2. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{4700}}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\sigma} \) er det vi leter etter. Plugger vi inn \( {x = 5300}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P\left(Z \le \dfrac{5300 - \textcolor{blue}{4700}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{600}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) = 0{,}885 \end{aligned} \]

3. Les av tabellen og løs I tabellen over standard normalfordeling står: \[ P(Z \le 1{,}20) = 0{,}8849 \approx 0{,}885 \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{600}{\textcolor{red}{\sigma}} &\approx 1{,}20 \\ \textcolor{red}{\sigma} &\approx \dfrac{600}{1{,}20} = 500 \end{aligned} \]Standardavviket er altså omtrent 500 gram.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: standardavviket 500 gram står i oppgaveteksten.

Vi standardiserer med \( {\sigma = 500} \) og slår opp i tabellen.

1. Standardiser og slå opp Vi standardiserer som i a), se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]

Med \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{4700}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{500}} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P(X < 4500) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{4500 - \textcolor{blue}{4700}}{\textcolor{red}{500}}\right) \\ &= P(Z \le -0{,}40) \end{aligned} \]For en normalfordeling er det ingen forskjell på \( {<} \) og \( {\le}\text{.} \) I tabellen står \( {P(Z \le -0{,}40) = 0{,}3446}\text{.} \)