Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

standardavvik

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

16 oppgaver i S2 om standardavvik · viser 1–10

Oppgavene

S2 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Silas skal ta bussen 20 ganger. Sannsynligheten for billettkontroll på en busstur er 5 %. 5\,\%\text{.} Vi lar X X være antall kontroller på de 20 bussturene.

Oppgave 4a)

Bestem forventningsverdien E(X) E(X) og variansen Var(X). Var(X)\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
E(X)=1‾‾Var(X)=0,95‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{E(X) = 1}} \\ &\underline{\underline{Var(X) = 0{,}95}} \end{aligned}
Hver busstur har to utfall, kontroll eller ikke, med samme sannsynlighet hver gang, og vi antar at turene er uavhengige. \( X \) er derfor binomisk fordelt.
1. Kjenn igjen den binomiske fordelingen Når \( X \) er binomisk fordelt med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk, er: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ Var(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).
Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{20}} \) bussturer og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}05}}\text{.} \)
2. Regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{0{,}05} = 1 \\ Var(X) &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{0{,}05} \cdot 0{,}95 \\ &= 0{,}95 \end{aligned} \]Silas kan altså vente én kontroll på de 20 turene.
Hver busstur koster 65 kr, og Silas får en bot på 1470 kr dersom han blir tatt i en kontroll.

Oppgave 4b)

Vis at det sannsynligvis vil lønne seg for Silas å kjøpe billetter.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Det lønner seg sannsynligvis å kjøpe billetter, for de forventede bøtene er større enn det billettene koster:
1470 kr>1300 kr‾‾ \underline{\underline{1470\,\text{kr} > 1300\,\text{kr}}}
Vi bruker \( {E(X) = 1} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi sammenligner hva billettene koster med hvor mye Silas kan vente å betale i bøter hvis han ikke kjøper billett.
1. Regn ut hva billettene koster 20 turer til 65 kr koster: \[ 20 \cdot 65\,\text{kr} = \textcolor{blue}{1300\,\text{kr}} \]
2. Regn ut de forventede bøtene Uten billett betaler Silas 1470 kr for hver kontroll. Fra a) venter han \( {E(X) = 1} \) kontroll, som vi fant med formelen fra videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet). De forventede bøtene er da: \[ \begin{aligned} E(1470X) &= 1470 \cdot E(X) \\ &= 1470 \cdot 1 = \textcolor{red}{1470\,\text{kr}} \end{aligned} \]
3. Sammenlign \( \textcolor{red}{1470\,\text{kr}} \) er mer enn \( \textcolor{blue}{1300\,\text{kr}}\text{.} \) I gjennomsnitt taper Silas 170 kr på å kjøre uten billett, så det lønner seg sannsynligvis å kjøpe billetter. Vi skriver «sannsynligvis» fordi \( X \) er tilfeldig. Blir han ikke kontrollert i det hele tatt, slipper han billigere, men allerede én kontroll koster mer enn alle billettene.

S2 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

5 poeng

Henrik kjøper ofte flasker med vann. Produsenten oppgir at flaskene inneholder 1,50 L 1{,}50\,\text{L} med et standardavvik på 0,01 L. 0{,}01\,\text{L}\text{.}
Henrik påstår at flaskene inneholder mindre vann enn dette. Han kjøper en kasse med 24 flasker og måler vannmengden i alle.
Flasken med minst vann inneholder 1,48 L. 1{,}48\,\text{L}\text{.} Henrik mener at dette viser at påstanden hans er riktig.
Du kan anta at vannmengden i flaskene er normalfordelt.

Oppgave 5a)

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig flaske fra denne produsenten inneholder 1,48 L 1{,}48\,\text{L} vann eller mindre.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Det er omtrent 2,3 % 2{,}3\,\% sannsynlighet:
P(X≤1,48)≈0,0228‾‾ \underline{\underline{P(X \le 1{,}48) \approx 0{,}0228}}
Vannmengden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.
1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.
Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X \le 1{,}48) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{1{,}48 - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\textcolor{red}{0{,}01}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{-0{,}02}{0{,}01}\right) \\ &= P(Z \le -2) \end{aligned} \]1,48 L ligger altså to standardavvik under forventningen.
2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le -2{,}00) = 0{,}0228}\text{.} \)

Oppgave 5b)

Forklar hvorfor Henrik ikke kan bruke dette som argument for at påstanden hans er riktig, selv om han har funnet en flaske med lite vann.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Én flaske med 1,48 L 1{,}48\,\text{L} eller mindre er ikke uvanlig, for hvis produsenten har rett, kan Henrik vente så mange slike i en kasse:
24⋅0,0228≈0,55‾‾ \underline{\underline{24 \cdot 0{,}0228 \approx 0{,}55}}
Vi bruker sannsynligheten fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi regner ut hvor mange flasker med \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre Henrik kan vente å finne blant 24, hvis produsenten har rett.
1. Regn ut forventet antall Fra a) har hver flaske sannsynligheten \( \textcolor{red}{0{,}0228} \) for å ha \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre. Antallet slike flasker blant \( \textcolor{blue}{24} \) er binomisk fordelt, så vi kan vente \( {n \cdot p}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ \textcolor{blue}{24} \cdot \textcolor{red}{0{,}0228} \approx 0{,}55 \]flasker med så lite vann, selv om produsenten har rett.
2. Forklar Det er altså ikke uvanlig å finne én slik flaske i en kasse. En enkelt flaske sier dessuten lite om gjennomsnittet. Henrik har valgt ut den flasken med minst vann, og den vil nesten alltid ligge under \( 1{,}50\,\text{L}\text{,} \) også når produsenten har rett. Han må se på alle de 24 flaskene, som i d).

Oppgave 5c)

Formuler Henriks påstand som en hypotesetest.
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Med μ \mu som forventet vannmengde i liter:
H0: μ=1,50‾‾H1: μ<1,50‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{H_0\text{: } \mu = 1{,}50}} \\ &\underline{\underline{H_1\text{: } \mu < 1{,}50}} \end{aligned}
Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Henrik påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra det produsenten oppgir.
1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.
La \( \mu \) være forventet vannmengde i en flaske. \( \textcolor{red}{\text{Henrik}} \) påstår at \( {\textcolor{red}{\mu < 1{,}50\,\text{L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{produsenten}} \) oppgir \( {\textcolor{blue}{\mu = 1{,}50\,\text{L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi Henrik bare påstår at det er for lite vann.

Oppgave 5d)

Forklar hvordan Henrik kan gjennomføre en hypotesetest ved å se på gjennomsnittet av vannmengden i flaskene. Forklaringen må inkludere relevante formler Henrik kan bruke for å gjennomføre testen.
Vis løsning på oppgave 5d
Svar
Henrik regner ut gjennomsnittet xˉ \bar{x} av de 24 flaskene og tester på nivå α=0,05: {\alpha = 0{,}05}\text{:}
z=xˉ−1,500,0124‾‾Forkast H0 hvis z<−1,645‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{z = \dfrac{\bar{x} - 1{,}50}{\dfrac{0{,}01}{\sqrt{24}}}}} \\ &\underline{\underline{\text{Forkast } H_0 \text{ hvis } z < -1{,}645}} \end{aligned}
Vi bruker hypotesene fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Gjennomsnittet av 24 flasker varierer mye mindre enn én flaske. Vi regner ut hvor sannsynlig det er å få et så lavt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og forkaster \( H_0 \) hvis det er svært usannsynlig.
1. Velg nivå og regn ut snittet I c) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } \mu = 1{,}50 \qquad H_1\text{: } \mu < 1{,}50 \]
Før målingene velger Henrik et signifikansnivå, for eksempel \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Så regner han ut gjennomsnittet av de 24 målingene: \[ \bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{24}}{24} \]
2. Finn fordelingen til gjennomsnittet Hvis \( H_0 \) er sann, er gjennomsnittet \( \bar{X} \) normalfordelt med forventning \( \textcolor{blue}{1{,}50} \) og standardavvik \( \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.
Siden standardavviket er kjent, bruker han en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]
Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{24}}\text{:} \) \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\dfrac{\textcolor{red}{0{,}01}}{\sqrt{\textcolor{green}{24}}}} \]
3. Konkluder Han finner P-verdien \( {P(Z \le z)} \) i tabellen. Er P-verdien mindre enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) forkaster han \( H_0\text{,} \) og da har han grunnlag for å si at flaskene inneholder mindre enn \( 1{,}50\,\text{L}\text{.} \) Ellers kan han ikke forkaste \( H_0\text{.} \) Med \( {\alpha = 0{,}05} \) er det det samme som å forkaste når \( {z < -1{,}645}\text{.} \)

S2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

5 poeng

I et spill kan du få poeng ved å kaste en terning med fire sider. De fire sidene har ulik farge. Den ene siden er gul, den andre grønn, den tredje rød og den fjerde blå. • Gul side gir ingen poeng. • Grønn side gir ett poeng. • Blå side gir to poeng. • Rød side gir tre poeng.
Du starter med 10 poeng, og hvert kast koster 2 poeng. La x x være endringen i poeng for hvert kast, det vil si poengene fra kastet fratrukket de to poengene kastet koster.

Oppgave 4a)

Skriv av tabellen og fyll inn det som mangler.
xP(X=x)−114 \begin{array}{r|r} x & P(X = x) \\ \hline & \\ -1 & \dfrac{1}{4} \\ & \\ & \end{array}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Hver verdi har sannsynligheten 14: \dfrac{1}{4}\text{:}
x−2−101P(X=x)14141414‾‾ \underline{\underline{\begin{array}{c|cccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline P(X = x) & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \end{array}}}
Vi trekker 2 fra poengene for hver farge. Terningen har fire sider, så hver side kommer opp med sannsynligheten \( \dfrac{1}{4}\text{.} \)
1. Finn endringen for hver farge Endringen er \( \textcolor{blue}{\text{poengene fra kastet}} \) minus de \( \textcolor{red}{2} \) poengene kastet koster: \[ \begin{aligned} \text{Gul:} \quad & \textcolor{blue}{0} - \textcolor{red}{2} = -2 \\ \text{Grønn:} \quad & \textcolor{blue}{1} - \textcolor{red}{2} = -1 \\ \text{Blå:} \quad & \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{2} = 0 \\ \text{Rød:} \quad & \textcolor{blue}{3} - \textcolor{red}{2} = 1 \end{aligned} \]
2. Finn sannsynlighetene Hver av de fire sidene kommer opp like ofte, så hver verdi har sannsynligheten \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) som tabellen allerede viser for \( {-1}\text{.} \) Summen er \( {4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1}\text{,} \) og summen av sannsynlighetene skal alltid være 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Oppgave 4b)

Bestem E(x). E(x)\text{.} Hva forteller dette svaret?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
I det lange løp taper du i gjennomsnitt et halvt poeng per kast:
E(X)=−12‾‾ \underline{\underline{E(X) = -\dfrac{1}{2}}}
Vi bruker tabellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Forventningsverdien er hver verdi ganget med sannsynligheten sin, summert. Den sier hvor mye poengsummen endrer seg i gjennomsnitt per kast i det lange løp.
1. Regn ut forventningsverdien Forventningsverdien er: \[ E(X) = \sum \textcolor{blue}{x_i} \cdot \textcolor{red}{P(X = x_i)} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).
I a) fant vi at verdiene er \( {\textcolor{blue}{-2}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{-1}}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{blue}{1}\text{,} \) hver med sannsynligheten \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}\text{.} \) Siden alle har samme sannsynlighet, setter vi \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \) utenfor en parentes: \[ \begin{aligned} E(X) &= \left(\textcolor{blue}{-2 - 1 + 0 + 1}\right) \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \\ &= -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]
2. Tolk svaret Forventningsverdien er negativ. Spiller du mange ganger, taper du i gjennomsnitt et halvt poeng per kast.

Oppgave 4c)

Bestem Var(x). \text{Var}(x)\text{.}
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Var(X)=54‾‾ \underline{\underline{\text{Var}(X) = \dfrac{5}{4}}}
Vi bruker tabellen fra a) og \( {E(X) = -\dfrac{1}{2}} \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi bruker at variansen er forventningen til \( X^2 \) minus forventningen i andre.
1. Skriv opp formelen Variansen er: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{E(X^2)} - \textcolor{blue}{E(X)}^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).
2. Regn ut forventningen til kvadratet Forventningen til \( X^2 \) regner vi ut som \( E(X)\text{,} \) men med hver verdi kvadrert: \[ \textcolor{green}{E(X^2)} = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) \]
Alle sannsynlighetene er \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) så vi kvadrerer hver verdi og deler summen på \( 4\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{E(X^2)} &= \dfrac{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2}{4} \\ &= \dfrac{6}{4} = \textcolor{green}{\dfrac{3}{2}} \end{aligned} \]
3. Sett sammen I b) fant vi \( {\textcolor{blue}{E(X) = -\dfrac{1}{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{Var}(X) &= \textcolor{green}{\dfrac{3}{2}} - \left(\textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}\right)^2 \\ &= \dfrac{6}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

S2 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

3 poeng

På en skole med mange elever er høyden til elevene tilnærmet normalfordelt med en forventningsverdi på 170 cm 170\,\text{cm} og et standardavvik på 5 cm. 5\,\text{cm}\text{.}
Husk å begrunne svarene dine.
Vi trekker ut én tilfeldig elev fra skolen og måler hvor høy eleven er.

Oppgave 5a)

Hvilken figur ovenfor viser sannsynlighetsfordelingen til denne hendelsen?
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Nesten alle høydene ligger mellom 155 cm 155\,\text{cm} og 185 cm: 185\,\text{cm}\text{:}
Figur C‾‾ \underline{\underline{\text{Figur C}}}
Kurvene har samme form, så det er tallene på \( x \)-aksen som skiller dem. I en normalfordeling ligger nesten alle verdiene innenfor tre standardavvik fra forventningsverdien.
1. Finn hvor nesten alle høydene ligger Høyden \( X \) til én elev er normalfordelt med forventningsverdi \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{170}} \) og standardavvik \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{5}}\text{.} \) I en normalfordeling ligger nesten alle verdiene innenfor tre standardavvik fra forventningsverdien: \[ \textcolor{blue}{\mu} - 3\textcolor{red}{\sigma} < X < \textcolor{blue}{\mu} + 3\textcolor{red}{\sigma} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{170} - 3 \cdot \textcolor{red}{5} &= 155 \\ \textcolor{blue}{170} + 3 \cdot \textcolor{red}{5} &= 185 \end{aligned} \]
2. Velg figuren I figur C går kurven fra omtrent 155 til 185, med toppen i 170. De andre kurvene er for smale (A og B) eller for brede (D).
Vi trekker ut 25 25 tilfeldige elever fra skolen, måler hvor høye elevene er, og regner ut gjennomsnittshøyden.

Oppgave 5b)

Hvilken figur ovenfor viser sannsynlighetsfordelingen til denne hendelsen?
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Gjennomsnittet har standardavvik 1 cm, 1\,\text{cm}\text{,} så nesten alle verdiene ligger mellom 167 167 og 173 cm: 173\,\text{cm}\text{:}
Figur B‾‾ \underline{\underline{\text{Figur B}}}
Gjennomsnittet av mange elever varierer mindre enn høyden til én elev. Vi finner standardavviket til gjennomsnittet og ser hvilken figur som passer.
1. Finn standardavviket til gjennomsnittet Gjennomsnittet \( \bar{X} \) av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige høyder har forventningsverdi \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.
Her er \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{5}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\sqrt{\textcolor{green}{25}}} = \dfrac{5}{5} = 1 \]
2. Velg figuren Gjennomsnittet har forventningsverdi \( \textcolor{blue}{170} \) og standardavvik \( 1\text{,} \) så nesten alle verdiene ligger mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{170} - 3 \cdot 1 &= 167 \\ \textcolor{blue}{170} + 3 \cdot 1 &= 173 \end{aligned} \]Det passer med figur B.

S2 vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

Til et brettspill hører det med en spesiell terning med 6 sider. Det er en side med en ener, en side med en toer, en side med en treer og tre sider med seksere. Vi kaster terningen én gang. La X X være antall øyne terningen viser.
kP(X=k)116236 \begin{array}{r|r} k & P(X = k) \\ \hline 1 & \dfrac{1}{6} \\ 2 & \\ 3 & \\ 6 & \end{array}

Oppgave 3a)

Skriv av og fyll ut tabellen. Vis at E(X)=4. {E(X) = 4}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Sannsynlighetene er 16 \dfrac{1}{6} for 1, 2 og 3, og 12 \dfrac{1}{2} for 6:
E(X)=4‾‾ \underline{\underline{E(X) = 4}}
Alle de seks sidene er like sannsynlige, så sannsynligheten for et antall øyne er antall sider med det tallet delt på 6. Så regner vi ut forventningsverdien.
1. Fyll ut tabellen Ener, toer og treer står på én side hver, og sekser står på tre sider: \[ P(X = 6) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \]
Tabellen blir: \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \textcolor{blue}{k} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{6} \\ \hline P(X = k) & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{array} \]Sannsynlighetene summerer seg til \( {\dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{2} = 1}\text{,} \) som de skal.
2. Regn ut forventningsverdien Forventningsverdien er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten for den: \[ E(X) = \sum \textcolor{blue}{k} \cdot \textcolor{red}{P(X = k)} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).
Plugger vi inn tallene fra tabellen, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \\ &\quad + \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{6}{6} + 3 \\ &= 4 \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

Bestem Var(x). Var(x)\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Var(X)=133‾‾ \underline{\underline{Var(X) = \dfrac{13}{3}}}
Vi bruker tabellen fra a) og \( {E(X) = 4}\text{,} \) som står i oppgaveteksten. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Variansen finner vi som forventningen til \( X^2 \) minus forventningen til \( X \) i andre. Vi regner derfor først ut \( E(X^2)\text{.} \)
1. Finn forventningen til kvadratet Fra a) har vi tabellen: \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \textcolor{blue}{k} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{6} \\ \hline P(X = k) & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{array} \]
\( E(X^2) \) regner vi ut som \( E(X)\text{,} \) men med hver verdi i andre: \[ \begin{aligned} E(X^2) &= \textcolor{blue}{1}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{2}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{3}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \\ &\quad + \textcolor{blue}{6}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{1 + 4 + 9}{6} + 18 \\ &= \dfrac{7}{3} + 18 = \dfrac{61}{3} \end{aligned} \]
2. Regn ut variansen Variansen er: \[ Var(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).
Med \( {E(X) = 4} \) fra a) får vi: \[ \begin{aligned} Var(X) &= \dfrac{61}{3} - 4^2 \\ &= \dfrac{61}{3} - \dfrac{48}{3} = \dfrac{13}{3} \end{aligned} \]

S2 vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

3 poeng

Benz A/S har utviklet en ny type bensin som de mener øker kjørelengden per liter. Den gamle bensinen gir en gjennomsnittlig kjørelengde på 20 km/L, 20\,\text{km/L}\text{,} med et standardavvik på 2,5 km/L. 2{,}5\,\text{km/L}\text{.}
Benz A/S ønsker å teste om den nye bensinen øker kjørelengden, og planlegger å gjennomføre en hypotesetest med 25 biler.

Oppgave 6a)

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese for testen.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Med μ \mu som gjennomsnittlig kjørelengde i km/L med den nye bensinen:
H0: μ=20‾‾H1: μ>20‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{H_0\text{: } \mu = 20}} \\ &\underline{\underline{H_1\text{: } \mu > 20}} \end{aligned}
Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Benz A/S påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra den gamle bensinen.
1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at det ikke skjer noen forandring, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.
La \( \mu \) være gjennomsnittlig kjørelengde per liter med den nye bensinen. \( \textcolor{red}{\text{Benz A/S}} \) mener at \( {\textcolor{red}{\mu > 20\,\text{km/L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{ingen forandring}} \) betyr \( {\textcolor{blue}{\mu = 20\,\text{km/L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi de bare påstår at kjørelengden øker.
Det viser seg at de 25 bilene kjører i gjennomsnitt 21 km/L. 21\,\text{km/L}\text{.} Gå ut fra at kjørelengden er normalfordelt med standardavvik 2,5 km/L. 2{,}5\,\text{km/L}\text{.}

Oppgave 6b)

Gjennomfør hypotesetesten, og bruk den til å avgjøre om Benz A/S kan si at den nye bensinen øker kjørelengden. Bruk et signifikansnivå på 5 %. 5\,\%\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Vi forkaster H0, H_0\text{,} så Benz A/S kan si at den nye bensinen øker kjørelengden:
z=2‾‾P(Z≥2)≈0,0228<0,05‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{z = 2}} \\ &\underline{\underline{P(Z \ge 2) \approx 0{,}0228 < 0{,}05}} \end{aligned}
Vi bruker hypotesene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Standardavviket er kjent, så vi bruker en z-test for gjennomsnittet. Vi finner sannsynligheten for et så høyt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og sammenligner med \( 5\,\%\text{.} \)
1. Regn ut testobservatoren I a) satte vi opp: \[ H_0\text{: } \mu = 20 \qquad H_1\text{: } \mu > 20 \]
Standardavviket er oppgitt, så vi bruker en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Gjennomsnittet av \( n \) biler har standardavviket \( \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]
Her er \( {\bar{x} = 21}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{20}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{2{,}5}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} z &= \dfrac{21 - \textcolor{blue}{20}}{\dfrac{\textcolor{red}{2{,}5}}{\sqrt{\textcolor{green}{25}}}} \\ &= \dfrac{1}{0{,}5} = 2 \end{aligned} \]
2. Finn P-verdien \( H_1 \) sier \( {\mu > 20}\text{,} \) så P-verdien er sannsynligheten for \( {z = 2} \) eller mer. Tabellen over standard normalfordeling i vedlegget gir \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772}\text{,} \) som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ \begin{aligned} P(Z \ge 2) &= 1 - 0{,}9772 \\ &= 0{,}0228 \end{aligned} \]
3. Konkluder \( {0{,}0228 < 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{.} \) Da er det grunnlag for å si at \( H_1 \) stemmer, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro: den nye bensinen øker kjørelengden.

S2 vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

6 poeng

Tre skihoppere skal delta i en hoppkonkurranse. Listen nedenfor viser forventningsverdi og standardavvik for lengden på et hopp for hver av de tre hopperne. Vi antar at lengden på hoppene er uavhengig og normalfordelt. • Birger: forventningsverdi 70 meter, standardavvik 20 meter • Maren: forventningsverdi 80 meter, standardavvik 5 meter • Espen: forventningsverdi 75 meter, standardavvik 10 meter

Oppgave 2a)

Gjør beregninger for hver skihopper, og bestem sannsynligheten for at skihopperen hopper lenger enn 90 meter i et tilfeldig hopp.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Sannsynligheten for et hopp lenger enn 90 meter, avrundet til fire desimaler:
Birger: 0,1587‾‾Maren: 0,0228‾‾Espen: 0,0668‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Birger: } 0{,}1587}} \\ &\underline{\underline{\text{Maren: } 0{,}0228}} \\ &\underline{\underline{\text{Espen: } 0{,}0668}} \end{aligned}
Lengden er normalfordelt for hver hopper. Vi gjør 90 meter om til en \( z \)-verdi for hver av dem og slår opp i tabellen over standard normalfordeling.
Metode: Med kalkulator
1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ \begin{aligned} & P(X > 90) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{90 - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.
Vi regner ut \( z \)-verdien for hver hopper: \[ \begin{aligned} \text{Birger: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{70}}{\textcolor{red}{20}} = 1 \\ \text{Maren: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{80}}{\textcolor{red}{5}} = 2 \\ \text{Espen: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{75}}{\textcolor{red}{10}} = 1{,}5 \end{aligned} \]
2. Slå opp i tabellen Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}00) = 0{,}8413}\text{,} \) \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772} \) og \( {P(Z \le 1{,}50) = 0{,}9332}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{Birger: } & 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587 \\ \text{Maren: } & 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \\ \text{Espen: } & 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668 \end{aligned} \]Birger har størst sjanse for et hopp over 90 meter. Han har lavest forventning, men størst standardavvik.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS FordelingNormal\( (\mu, \sigma, x) \) gir \( {P(X \le x)}\text{.} \) Vi trekker den fra 1 og bruker \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingNormal(70, 20, 90) 1 - FordelingNormal(80, 5, 90) 1 - FordelingNormal(75, 10, 90)
Rad 1 til 3 gir \( 0{,}1587\text{,} \) \( 0{,}0228 \) og \( 0{,}0668 \) for Birger, Maren og Espen.
I første omgang hoppet Maren 83 meter.

Oppgave 2b)

Bestem sannsynligheten for at Maren hoppet lengst i denne omgangen.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Maren hoppet lengst hvis både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter. Avrundet til tre desimaler:
P(Maren lengst)≈0,585‾‾ \underline{\underline{P(\text{Maren lengst}) \approx 0{,}585}}
Maren hoppet lengst hvis både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter. Hoppene er uavhengige, så vi ganger de to sannsynlighetene.
Metode: Med kalkulator
1. Finn sannsynlighetene for de andre For Birger og Espen standardiserer vi 83 meter, som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \]
Det gir: \[ \begin{aligned} \text{Birger: } z &= \dfrac{83 - 70}{20} = 0{,}65 \\ \text{Espen: } z &= \dfrac{83 - 75}{10} = 0{,}80 \end{aligned} \]
Tabellen over standard normalfordeling gir: \[ \begin{aligned} P(\text{Birger} < 83) &= \textcolor{blue}{0{,}7422} \\ P(\text{Espen} < 83) &= \textcolor{red}{0{,}7881} \end{aligned} \]
2. Gang sannsynlighetene Hoppene er uavhengige, så sannsynligheten for at begge hopper kortere, er produktet, som når vi kaster flere terninger i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
Maren hoppet lengst når både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter: \[ \begin{aligned} P(\text{Maren lengst}) &= \textcolor{blue}{0{,}7422} \cdot \textcolor{red}{0{,}7881} \\ &\approx 0{,}585 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) ganger vi \( {P(\text{Birger} < 83)} \) med \( {P(\text{Espen} < 83)}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: FordelingNormal(70, 20, 83)*FordelingNormal(75, 10, 83)
Rad 4 gir \( {P(\text{Maren lengst}) \approx 0{,}585}\text{.} \)
I andre omgang gjør alle et nytt hopp.

Oppgave 2c)

Bruk simulering og bestem sannsynligheten for at Maren hopper lengst i denne omgangen.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Maren hopper lengst i omtrent 47,5 % av de 100 000 100\,000 simulerte omgangene. Avrundet til tre desimaler:
P(Maren lengst)≈0,475‾‾ \underline{\underline{P(\text{Maren lengst}) \approx 0{,}475}}
Nå er også Marens hopp tilfeldig. Vi lar et program trekke tre tilfeldige hopp mange ganger og teller hvor ofte Maren hopper lengst. Andelen er et anslag for sannsynligheten.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å lese og skrive slike programmer på papir, og på å forklare hvorfor flere simuleringer gir et sikrere anslag.
Metode: Med Python
1. Skriv programmet Vi trekker lengdene med \( \texttt{normal}\text{,} \) der det første tallet er forventningen og det andre standardavviket, og gjentar forsøket i en løkke, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
2. Les programmet og kjør det Løkka i linje 6 går \( {N = 100\,000} \) ganger. Linje 7 til 9 trekker ett hopp for hver hopper. Linje 10 sjekker om \( \textcolor{blue}{\texttt{maren}} \) er lenger enn både \( \texttt{birger} \) og \( \texttt{espen}\text{,} \) og da teller linje 11 én til. Linje 13 skriver ut andelen av forsøkene der Maren hopper lengst:
Simuleringen gir litt ulike tall hver gang, men med så mange forsøk endrer svaret seg bare i tredje desimal.

S2 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

2 poeng

Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X. X\text{.}
xP(X=x)00,3010,4040,10b0,20 \begin{array}{r|r} x & P(X = x) \\ \hline 0 & 0{,}30 \\ 1 & 0{,}40 \\ 4 & 0{,}10 \\ b & 0{,}20 \end{array}
E(X)=2. {E(X) = 2}\text{.}
Vis at b=6, {b = 6}\text{,} og bestem Var(X). \text{Var}(X)\text{.}
Vis løsning på oppgave 3

Svar

b=6‾‾Var(X)=5,2‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{b = 6}} \\ &\underline{\underline{\text{Var}(X) = 5{,}2}} \end{aligned}
Forventningen er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten for den. Med \( {E(X) = 2} \) gir det en likning for \( b\text{.} \) Variansen finner vi så med \( E(X^2)\text{.} \)
1. Sett opp forventningen Forventningen til en diskret stokastisk variabel er: \[ E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).
Plugger vi inn tabellen og \( {\textcolor{red}{E(X) = 2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 0 \cdot 0{,}30 + 1 \cdot 0{,}40 & \\ + \ 4 \cdot 0{,}10 + \textcolor{blue}{b} \cdot 0{,}20 &= \textcolor{red}{2} \\ 0{,}8 + 0{,}2\textcolor{blue}{b} &= \textcolor{red}{2} \\ 0{,}2\textcolor{blue}{b} &= 1{,}2 \\ \textcolor{blue}{b} &= 6 \end{aligned} \]
2. Regn ut variansen Variansen er: \[ \text{Var}(X) = E\left(X^2\right) - \big(\textcolor{red}{E(X)}\big)^2 \]Det er formelen i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans). Vi regner først ut \( {E\left(X^2\right)} \) med \( {\textcolor{blue}{b = 6}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} E\left(X^2\right) &= 0^2 \cdot 0{,}30 + 1^2 \cdot 0{,}40 \\ &\quad + 4^2 \cdot 0{,}10 + \textcolor{blue}{6}^2 \cdot 0{,}20 \\ &= 0 + 0{,}4 + 1{,}6 + 7{,}2 \\ &= 9{,}2 \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \text{Var}(X) = 9{,}2 - \textcolor{red}{2}^2 = 5{,}2 \]

S2 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

En gartner sår 1000 frø. Frøene har en spireevne på 70 %. 70\,\%\text{.}

Oppgave 4a)

Hvilken av de to figurene nedenfor viser sannsynlighetstettheten for antall frø som spirer? Husk å begrunne svaret ditt.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Forventningen er 700 og standardavviket 210 \sqrt{210} er mellom 14 og 15, så nesten alt ligger mellom 655 og 745:
Figur 2‾‾ \underline{\underline{\text{Figur 2}}}
Hvert frø spirer eller spirer ikke, med samme sannsynlighet, så antallet som spirer er binomisk fordelt. Vi regner ut forventningen og standardavviket og ser hvilken kurve som har den spredningen.
1. Regn ut forventning og standardavvik La \( X \) være antall frø som spirer. Med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk er: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).
Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{1000}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7} = 700 \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7} \cdot 0{,}3} = \sqrt{210} \end{aligned} \]Siden \( {14^2 = 196} \) og \( {15^2 = 225}\text{,} \) er \( {14 < \sigma < 15}\text{.} \)
2. Sammenlign med figurene Begge kurvene har toppen i 700. Med så mange frø er \( X \) tilnærmet normalfordelt, og tabellen i vedlegget gir \( {P(Z \le -3) = 0{,}0013}\text{.} \) Nesten alt ligger derfor innenfor tre standardavvik fra forventningen: \[ 1 - 2 \cdot 0{,}0013 = 0{,}9974 \]
Siden \( {3\sigma < 3 \cdot 15 = 45}\text{,} \) er det mellom omtrent: \[ \begin{aligned} 700 - 45 &= 655 \\ 700 + 45 &= 745 \end{aligned} \]
Kurven i figur 2 har toppen i 700 og ligger innenfor dette området. Kurven i figur 1 ligger over aksen fra omtrent 100 til 1300 og er altfor bred, som i videoen Varians og Standardavvik. Den har dessuten mye areal over 1000, men det kan ikke spire flere enn 1000 frø.
En stokastisk variabel er normalfordelt med E(X)=50 {E(X) = 50} og σ=10. {\sigma = 10}\text{.}

Oppgave 4b)

Hvilken av de to figurene nedenfor viser sannsynlighetstettheten til denne stokastiske variabelen? Husk å begrunne svaret ditt.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Med σ=10 {\sigma = 10} ligger nesten alt mellom 50−30=20 {50 - 30 = 20} og 50+30=80, {50 + 30 = 80}\text{,} som i figur 3:
Figur 3‾‾ \underline{\underline{\text{Figur 3}}}
Begge kurvene har toppen i forventningen 50. Vi ser hvor bred kurven skal være når standardavviket er 10.
1. Finn hvor nesten alt ligger Med \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{10}} \) ligger nesten alt, \( 99{,}7\,\%\text{,} \) innenfor tre standardavvik fra forventningen, som i a): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\mu} - 3\textcolor{red}{\sigma} &= \textcolor{blue}{50} - 3 \cdot \textcolor{red}{10} = 20 \\ \textcolor{blue}{\mu} + 3\textcolor{red}{\sigma} &= \textcolor{blue}{50} + 3 \cdot \textcolor{red}{10} = 80 \end{aligned} \]
2. Sammenlign med figurene Kurven i figur 3 ligger over aksen fra omtrent 20 til 80. Kurven i figur 4 er bare halvparten så bred, fra omtrent 35 til 65. Den har standardavvik omtrent 5, og er for smal, som i videoen Varians og Standardavvik.

S2 vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

Hos en lakseoppdretter er slaktevekten til laksen normalfordelt med forventningsverdi 4700 gram. Det viser seg at 11,5 % 11{,}5\,\% av laksen som slaktes, veier mer enn 5300 gram.

Oppgave 4a)

Vis at standardavviket for vekten til en vilkårlig laks er omtrent 500 gram.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
σ≈500 g‾‾ \underline{\underline{\sigma \approx 500\,\text{g}}}
Vi gjør vekten \( X \) om til en standard normalfordelt \( Z\text{.} \) Tabellen i vedlegget gir hvilken \( z \) som hører til 5300 gram, og den gir oss \( \sigma\text{.} \)
1. Skriv om til «mindre eller lik» Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi bruker den motsatte hendelsen: \[ \begin{aligned} P(X \le 5300) &= 1 - P(X > 5300) \\ &= 1 - 0{,}115 = 0{,}885 \end{aligned} \]
2. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.
Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{4700}}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\sigma} \) er det vi leter etter. Plugger vi inn \( {x = 5300}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P\left(Z \le \dfrac{5300 - \textcolor{blue}{4700}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{600}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) = 0{,}885 \end{aligned} \]
3. Les av tabellen og løs I tabellen over standard normalfordeling står: \[ P(Z \le 1{,}20) = 0{,}8849 \approx 0{,}885 \]
Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{600}{\textcolor{red}{\sigma}} &\approx 1{,}20 \\ \textcolor{red}{\sigma} &\approx \dfrac{600}{1{,}20} = 500 \end{aligned} \]Standardavviket er altså omtrent 500 gram.

Oppgave 4b)

Bestem sannsynligheten for at en vilkårlig laks veier mindre enn 4500 gram.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Fra tabellen, med fire desimaler:
P(X<4500)≈0,3446‾‾ \underline{\underline{P(X < 4500) \approx 0{,}3446}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: standardavviket 500 gram står i oppgaveteksten.
Vi standardiserer med \( {\sigma = 500} \) og slår opp i tabellen.
1. Standardiser og slå opp Vi standardiserer som i a), se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]
Med \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{4700}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{500}} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P(X < 4500) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{4500 - \textcolor{blue}{4700}}{\textcolor{red}{500}}\right) \\ &= P(Z \le -0{,}40) \end{aligned} \]For en normalfordeling er det ingen forskjell på \( {<} \) og \( {\le}\text{.} \) I tabellen står \( {P(Z \le -0{,}40) = 0{,}3446}\text{.} \)