Eksamensoppgaver etter tema

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon som er 0 der grafene krysser, og den er størst midt mellom nullpunktene.

1. Finn nullpunktene til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = I(x) - K(x) \]

\( O \) er 0 der grafene til \( I \) og \( K \) krysser. For vare 1 er det i \( {x = \textcolor{blue}{60}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) og for vare 2 i \( {x = \textcolor{green}{20}} \) og \( {x = \textcolor{green}{80}}\text{.} \) Mellom nullpunktene er \( {I > K}\text{,} \) så der går bedriften med overskudd.

2. Skriv overskuddet på faktorisert form En andregradsfunksjon med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives som: \[ O(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Vi kaller konstanten \( a_1 \) for vare 1 og \( a_2 \) for vare 2, og finner dem med \( {O(0) = -K(0)}\text{,} \) fordi \( {I(0) = 0}\text{.} \) Figuren gir \( {K_1(0) = 6000} \) og \( {K_2(0) = 1600}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_1(0) &= a_1(-\textcolor{blue}{60})(-\textcolor{blue}{100}) = 6000a_1 \\ O_2(0) &= a_2(-\textcolor{green}{20})(-\textcolor{green}{80}) = 1600a_2 \end{aligned} \]Siden \( {6000a_1 = -6000} \) og \( {1600a_2 = -1600}\text{,} \) er \( {a_1 = a_2 = -1}\text{,} \) så \( {O_1(x) = -(x - 60)(x - 100)} \) og \( {O_2(x) = -(x - 20)(x - 80)}\text{.} \)

3. Finn det største overskuddet Grafen er en parabel som vender nedover, så toppunktet ligger midt mellom nullpunktene: \[ \begin{aligned} O_1(\textcolor{blue}{80}) &= -(80 - 60)(80 - 100) \\ &= -20 \cdot (-20) = 400 \\ O_2(\textcolor{green}{50}) &= -(50 - 20)(50 - 80) \\ &= -30 \cdot (-30) = 900 \end{aligned} \]Vare 2 gir altså størst overskudd, 900 kr.

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, så prisen er stigningstallet til inntektslinja.

1. Finn prisene Med prisen \( p \) per enhet er \( {I(x) = p \cdot x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, så \( {p = \dfrac{I(x)}{x}}\text{.} \) Vi bruker et punkt på hver linje der rutenettet er tydelig, \( (60, 12\,000) \) og \( (20, 2400)\text{:} \) \[ \begin{aligned} p_1 &= \dfrac{12\,000}{60} = \textcolor{blue}{200} \\ p_2 &= \dfrac{2400}{20} = \textcolor{green}{120} \end{aligned} \]Prisforskjellen er da: \[ \textcolor{blue}{200} - \textcolor{green}{120} = 80 \]

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K_2\text{.} \) Den er lavest når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K_2(x)}{x} = \dfrac{K_2(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K_2(x)) \) på grafen.

2. Finn den lavest mulige Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den stiplede linja \( {y = \textcolor{red}{100}x} \) går gjennom origo og er tangent i \( (\textcolor{blue}{40}, 4000)\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Vi skriver \( {K_2(x) = ax^2 + bx + c} \) og bruker at stigningstallet til en tangent er den deriverte. De to tangentene gir oss tre opplysninger, nok til å finne \( a\text{,} \) \( b \) og \( c\text{.} \)

1. Les av konstantleddet Tangenten \( {y = 20x + 1600} \) rører grafen i \( (0, K_2(0))\text{,} \) så \( {K_2(0) = 1600}\text{.} \) Det gir \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{1600}}\text{.} \)

2. Bruk stigningstallene til tangentene Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer: \[ K_2'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]

Stigningstallet til tangenten i \( {x = 0} \) er 20, og i \( {x = 40} \) er det 100: \[ \begin{aligned} K_2'(0) &= \textcolor{red}{b} = 20 \\ K_2'(40) &= 80\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{20} = 100 \\ 80\textcolor{blue}{a} &= 80 \\ \textcolor{blue}{a} &= 1 \end{aligned} \]Så \( {K_2(x) = x^2 + 20x + 1600}\text{.} \)

3. Finn inntektsfunksjonen \( I_2 \) går gjennom origo, og den krysser \( K_2 \) i \( {x = 20}\text{.} \) Der er \( {I_2(20) = K_2(20)}\text{:} \) \[ K_2(20) = 400 + 400 + 1600 = 2400 \]Stigningstallet til \( I_2 \) er derfor \( {\dfrac{2400}{20} = 120}\text{.} \)

Kontroll: Punktet \( (40, 4000) \) er tangeringspunktet på figuren, og modellen gir det samme: \[ \begin{aligned} K_2(40) &= 1600 + 800 + 1600 \\ &= 4000 \end{aligned} \]

Vi deriverer med kjerneregelen, setter inn \( {t = 8} \) og løser likningen ved å ta \( \ln \) på begge sider. \( f'(t) \) er veksten i millioner bakterier per dag.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}1t + 0{,}4}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= 2{,}2 \cdot e^{\textcolor{green}{0{,}1t + 0{,}4}} \cdot \textcolor{green}{0{,}1} \\ &= 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} \end{aligned} \]

2. Regn ut veksten etter 8 dager \[ \begin{aligned} f'(8) &= 0{,}22 \cdot e^{0{,}8 + 0{,}4} \\ &= 0{,}22 \cdot e^{1{,}2} \approx 0{,}730 \end{aligned} \]

3. Løs likningen med ln Vi deler på \( 0{,}22 \) og tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} &= 8 \\ e^{0{,}1t + 0{,}4} &= \dfrac{8}{0{,}22} \\ 0{,}1t + 0{,}4 &= \ln\left(\dfrac{8}{0{,}22}\right) \\ 0{,}1t + 0{,}4 &\approx 3{,}5936 \\ t &\approx 31{,}9 \end{aligned} \]

4. Tolk svarene \( f \) er i millioner bakterier og \( t \) i dager, så \( f'(t) \) er i millioner bakterier per dag. Etter 8 dager øker antallet bakterier med omtrent \( 0{,}73 \) millioner per dag, og etter omtrent 32 dager med 8 millioner per dag.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( f \) i CAS, regner ut \( f'(8) \) med \( {\approx} \) og løser \( {f'(t) = 8} \) med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 2.2*ℯ^(0.1t + 0.4) f'(8) NLøs(f'(t) = 8, t = 30)

Rad 2 gir \( {f'(8) \approx 0{,}730} \) millioner bakterier per dag, og rad 3 gir \( {t \approx 31{,}9} \) dager.

Vi bruker \( f'(t) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Veksten er den deriverte. Vi løser \( {f'(t) = g'(t)} \) ved å samle potensene av \( e \) på én side og ta \( \ln\text{,} \) og setter \( t \) inn i \( f'\text{.} \)

1. Deriver g Med kjerneregelen \( {\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}'} \) er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}2t - 0{,}2}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{0{,}2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(t) &= 1{,}2 \cdot e^{\textcolor{green}{0{,}2t - 0{,}2}} \cdot \textcolor{green}{0{,}2} \\ &= 0{,}24 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2} \end{aligned} \]

2. Sett de deriverte like I a) fant vi: \[ f'(t) = 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} \]Vi deler begge sider på \( {0{,}24 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4}}\text{.} \) Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi fra eksponentene, \( {\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a - b}}\text{,} \) som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ \begin{aligned} 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} &= 0{,}24 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2} \\ \dfrac{0{,}22}{0{,}24} &= \dfrac{e^{0{,}2t - 0{,}2}}{e^{0{,}1t + 0{,}4}} \\ \dfrac{11}{12} &= e^{0{,}1t - 0{,}6} \\ \ln\left(\dfrac{11}{12}\right) &= 0{,}1t - 0{,}6 \\ t &= 10\ln\left(\dfrac{11}{12}\right) + 6 \\ t &\approx 5{,}13 \end{aligned} \]

3. Regn ut veksten Vi setter \( {t \approx 5{,}13} \) inn i \( f'\text{:} \) \[ f'(5{,}13) = 0{,}22 \cdot e^{0{,}513 + 0{,}4} \approx 0{,}548 \]Begge kulturene vokser da med omtrent \( 0{,}55 \) millioner bakterier per dag.

Kontroll: Setter vi inn i \( g'\text{,} \) får vi det samme: \[ g'(5{,}13) = 0{,}24 \cdot e^{1{,}026 - 0{,}2} \approx 0{,}548 \]

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) definerer vi \( g\text{,} \) løser \( {f'(t) = g'(t)} \) med NLøs og setter løsningen inn i \( f'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(t) := 1.2*ℯ^(0.2t - 0.2) NLøs(f'(t) = g'(t), t = 5) f'(5.1299)

Rad 5 gir \( {t \approx 5{,}13}\text{,} \) og rad 6 gir veksten \( 0{,}548 \) millioner bakterier per dag.

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Den høyeste inntekten finner vi der den deriverte er null.

1. Sett opp inntekten Med prisen \( \textcolor{blue}{p} \) selger bedriften \( \textcolor{red}{E(p)} \) enheter i uka, så: \[ \begin{aligned} I(p) &= \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{(2700 - p^2)} \\ &= 2700p - p^3 \end{aligned} \]

2. Deriver og sett lik null Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd og setter den deriverte lik null, som for toppunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} I'(p) = 2700 - 3p^2 &= 0 \\ p^2 &= 900 \\ p &= 30 \end{aligned} \]Vi forkaster \( {p = -30}\text{,} \) fordi \( p \in [10, 45]\text{.} \)

3. Sjekk at det er et toppunkt \( {I'(p) = 3(900 - p^2)} \) er positiv for \( {p < 30} \) og negativ for \( {p > 30}\text{,} \) så inntekten stiger fram til \( {p = 30} \) og synker etterpå. Inntekten blir da: \[ I(30) = 81\,000 - 27\,000 = 54\,000 \]

Vi lager en kostnadsmodell med regresjon og skriver inntekten som en funksjon av antall enheter \( x\text{.} \) Så finner vi toppunktet til overskuddet \( {O(x) = I(x) - K(x)}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å skrive inntekten som funksjon av \( x\text{,} \) og på å derivere \( O(x) \) når \( K(x) \) er gitt.

1. Lag kostnadsmodellen Kostnadene vokser stadig raskere, så vi bruker andregradsregresjon, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi lager en liste med punktene og skriver \( {K(x) =} \) RegPoly(l1, 2). Modellen går gjennom alle de fem punktene: \[ K(x) = 0{,}01x^2 + 15x + 5000 \]

2. Skriv inntekten som funksjon av x Bedriften selger \( {\textcolor{red}{x} = 2700 - \textcolor{blue}{p}^2} \) enheter. Løser vi for prisen, får vi \( {\textcolor{blue}{p} = \sqrt{2700 - x}}\text{,} \) så: \[ I(x) = \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{x} = x\sqrt{2700 - x} \]Prisen \( p \in [10, 45] \) gir \( x \in [675, 2600]\text{.} \)

3. Finn toppunktet til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= x\sqrt{2700 - x} \\ &\quad - (0{,}01x^2 + 15x + 5000) \end{aligned} \]

Vi skriver det inn på intervallet og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Toppunktet ligger ikke på et helt tall, så vi regner også ut \( O(874) \) og \( O(875)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(50, 5775), (100, 6600), (300, 10400), (600, 17600), (1000, 30000)} K(x) = RegPoly(l1, 2) O(x) = Funksjon(x*sqrt(2700 - x) - K(x), 675, 2600) E = Ekstremalpunkt(O, 675, 2600) A = O(874) B = O(875)

Toppunktet er \( (874{,}54;\ 11\,598{,}77)\text{.} \) Bedriften må selge et helt antall enheter, så vi sammenligner 874 og 875: \[ \begin{aligned} O(874) &\approx 11\,598{,}764 \\ O(875) &\approx 11\,598{,}766 \end{aligned} \]\( O(875) \) er størst, så overskuddet er størst med 875 enheter i uka.

Salget øker stadig mindre, så vi sammenligner snittet bedriften må selge resten av året med der salget flater ut. Med GeoGebra lager vi en logistisk modell og summerer den over 52 uker.

1. Regn ut snittet som trengs De 8 første ukene er det solgt \( 6460 \) enheter til sammen. Resten av året, \( {52 - 8 = 44} \) uker, må det selges: \[ \dfrac{45\,000 - 6460}{44} = \dfrac{38\,540}{44} \approx \textcolor{red}{876} \]enheter i uka i snitt.

2. Sammenlign med trenden Økningen fra uke til uke er \( 70\text{,} \) \( 40\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 20\text{,} \) \( 15\text{,} \) \( 5 \) og \( 5\text{,} \) så salget flater ut rundt \( \textcolor{blue}{870} \) i uka, under \( \textcolor{red}{876}\text{.} \) Selv om bedriften solgte \( \textcolor{blue}{875} \) hver eneste uke resten av året, mer enn salget flater ut på, ville den bare nå: \[ 6460 + 44 \cdot \textcolor{blue}{875} = 44\,960 \]Det er under \( 45\,000\text{,} \) så bedriften når ikke målet.

1. Lag en logistisk modell og summer Salget vokser og flater ut, så vi bruker logistisk regresjon, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den finner tallene i modellen som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Så summerer vi modellen for uke 1 til 52:

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(1, 680), (2, 750), (3, 790), (4, 820), (5, 840), (6, 855), (7, 860), (8, 865)} s(x) = RegLogist(l2) S = Sum(s(k), k, 1, 52)

Med tallene avrundet til tre desimaler er modellen: \[ s(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{871{,}812}}{1 + \textcolor{blue}{0{,}464} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}507}x}} \]Den flater ut på omtrent \( \textcolor{red}{872} \) enheter i uka og gir \( {S \approx 44\,809} \) enheter det første året. Det er under \( 45\,000\text{,} \) så bedriften når ikke målet.

Merk – Andre modeller: En logaritmisk modell og en potensmodell vokser uten grense og gir omtrent \( 50\,000 \) og \( 51\,000 \) enheter, altså ja. De passer dårligere med at økningen nesten har stoppet opp, så vi velger den logistiske modellen. Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet.

Vi deriverer med kjerneregelen og setter inn \( {x = 150}\text{.} \) \( K'(x) \) sier hvor mye kostnaden øker per ekstra enhet.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\dfrac{x}{200}}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{\dfrac{1}{200}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} K'(x) &= 700 \cdot e^{\textcolor{green}{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{200}} \\ &= 3{,}5 \cdot e^{\tfrac{x}{200}} \end{aligned} \]

2. Regn ut og tolk \[ K'(150) = 3{,}5 \cdot e^{0{,}75} \approx 7{,}41 \]Når bedriften produserer 150 enheter per dag, øker kostnaden med omtrent 7,41 kr for hver ekstra enhet den produserer.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K'(150) \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 700*ℯ^(x/200) K'(150)

Rad 2 gir \( {K'(150) \approx 7{,}41}\text{.} \)

Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi deriverer den med kvotientregelen og setter den deriverte lik null.

1. Sett opp enhetskostnaden Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{700 \cdot e^{\tfrac{x}{200}}}{x} \]

2. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er, med \( u' \) fra kjerneregelen som i a): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og faktoriserer ut \( 3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} E'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}(x - 200)}{x^2} \end{aligned} \]

3. Finn bunnpunktet Brøken er null når telleren er null, og \( 3{,}5e^{\tfrac{x}{200}} \) er aldri null: \[ \begin{aligned} E'(x) &= 0 \\ x - 200 &= 0 \\ x &= 200 \end{aligned} \]

\( e^{\tfrac{x}{200}} \) og \( x^2 \) er positive for \( {x > 0}\text{,} \) så \( E'(x) \) har samme fortegn som \( {x - 200}\text{.} \) Den er negativ for \( {x < 200} \) og positiv for \( {x > 200}\text{,} \) så enhetskostnaden synker fram til \( {x = 200} \) og stiger etterpå. Den laveste enhetskostnaden er: \[ E(200) = \dfrac{700 \cdot e^{1}}{200} = 3{,}5e \approx 9{,}51 \]

1. Løs i CAS På samme CAS-ark som i a) definerer vi \( E\text{,} \) løser \( {E'(x) = 0} \) og regner ut \( E(200)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: E(x) := K(x)/x Løs(E'(x) = 0, x) E(200)

Rad 4 gir \( {x = 200}\text{,} \) og rad 5 gir \( {E(200) \approx 9{,}51}\text{.} \) Fortegnet til \( E' \) skifter fra minus til pluss i \( {x = 200}\text{,} \) som i kalkulatorruten, så det er et bunnpunkt.

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Vi finner hvor overskuddet er positivt, og det gjør vi med grafen og Nullpunkt i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen \( {O(x) = 0} \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: \( {O(9) \approx -20} \) og \( {O(10) \approx 54}\text{.} \) Grafen til \( O \) krummer nedover, fordi \( {O''(x) < 0}\text{,} \) og \( {O(500) \approx 6472}\text{,} \) så overskuddet er positivt hele veien opp til 500.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{80x - 0{,}10x^2} - \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} \end{aligned} \]

2. Finn hvor overskuddet er positivt Vi tegner \( O \) for \( x \) fra 0 til 500 og finner nullpunktet med Nullpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = Funksjon(80x - 0.1x^2 - 700*ℯ^(x/200), 0, 500) N = Nullpunkt(O, 0, 100) P = (500, O(500))

Grafen krysser \( x \)-aksen i \( {N \approx (9{,}27;\ 0)} \) og ligger over \( x \)-aksen resten av veien til \( {P = (500;\ 6472)}\text{.} \) Overskuddet er altså positivt for \( {9{,}27 < x \le 500}\text{.} \) Bedriften produserer hele enheter, så det minste antallet er 10.

Enhetskostnaden er kostnaden per enhet, altså stigningstallet til linja fra origo til punktet på grafen. Grensekostnaden er den deriverte, altså stigningstallet til tangenten.

1. Finn enhetskostnaden Enhetskostnaden ved 180 enheter er kostnaden delt på antallet: \[ \begin{aligned} \dfrac{K(180)}{180} &= \dfrac{14\,920 - 0}{180 - 0} \\ &= \dfrac{746}{9} \approx 82{,}89 \end{aligned} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (180, 14\,920)\text{.} \)

Den svarte stiplede linja \( {y = 82{,}89x} \) går gjennom origo og punktet, så enhetskostnaden er omtrent \( 82{,}89 \) kr per enhet, avrundet til hele øre.

Kontroll: \( {9 \cdot 83 = 747}\text{,} \) så \( \dfrac{746}{9} \) er litt under 83 kr, som figuren viser.

2. Finn grensekostnaden Grensekostnaden er den deriverte, \( K'(180)\text{.} \) Den er stigningstallet til tangenten i punktet, og tangenten er den blå stiplede linja \( {y = \textcolor{blue}{138}x - 9920}\text{:} \) \[ K'(180) = \textcolor{blue}{138} \]Den forteller at én enhet til koster omtrent 138 kr mer når det allerede produseres 180 enheter, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi bruker grensekostnaden \( {K'(180) = 138} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Der overskuddet er størst, er den deriverte av overskuddet null. Vi setter derfor \( {O'(180) = 0} \) og løser for \( p\text{.} \)

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= \textcolor{green}{p} \cdot x - K(x) \end{aligned} \]

Vi deriverer: \[ O'(x) = \textcolor{green}{p} - K'(x) \]

2. Sett den deriverte lik null I et toppunkt er den deriverte null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I a) fant vi \( {K'(180) = \textcolor{blue}{138}}\text{,} \) stigningstallet til den blå tangenten, så: \[ \begin{aligned} O'(180) = \textcolor{green}{p} - \textcolor{blue}{138} &= 0 \\ \textcolor{green}{p} &= 138 \end{aligned} \]

Grafen til \( K \) krummer oppover, så stigningstallet \( K'(x) \) øker. Da er \( {O'(x) = \textcolor{blue}{138} - K'(x)} \) positiv før \( {x = 180} \) og negativ etter: \[ \begin{aligned} x < 180&\text{:} \quad O'(x) > 0 \\ x > 180&\text{:} \quad O'(x) < 0 \end{aligned} \]Overskuddet er derfor størst ved 180 enheter.

Vi finner \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) med andregradsregresjon på tabellen, og deriverer modellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å derivere en andregradsfunksjon når den er gitt, og på å tolke \( K'(x)\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker andregradsregresjon, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Så lar vi GeoGebra derivere modellen:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(10, 400), (20, 850), (40, 2070), (50, 2890)} K(x) = RegPoly(l1, 2) D(x) = Derivert(K)

Med tallene avrundet til fire desimaler er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}6167}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{25}}\text{,} \) og modellen er: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}6167}x^2 + \textcolor{red}{25}x + 93{,}3333 \]

2. Deriver modellen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstantleddet blir borte, og vi får: \[ \begin{aligned} K'(x) &\approx 2 \cdot \textcolor{blue}{0{,}6167}x + \textcolor{red}{25} \\ &\approx 1{,}233x + 25 \end{aligned} \]GeoGebra regner med tallene uten avrunding og viser \( {D(x) = 1{,}2333x + 25}\text{.} \) Avrundet til to desimaler er det \( {1{,}23x + 25}\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( K'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( I \) med regelen for \( \ln u \) og setter inn \( {x = 35} \) i begge de deriverte. De deriverte forteller hvor mye inntekten og kostnaden øker per ekstra enhet.

1. Deriver inntekten Regelen for \( \ln \) av en kjerne forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{5x}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I'(x) &= 3000 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{5x}} \cdot \textcolor{green}{5} \\ &= \dfrac{3000}{x} \end{aligned} \]

2. Sett inn 35 enheter I a) viste vi: \[ K'(x) = 1{,}23x + 25 \]

Vi setter inn \( {x = 35} \) i begge: \[ \begin{aligned} I'(35) &= \dfrac{3000}{35} \approx \textcolor{blue}{85{,}71} \\ K'(35) &= 1{,}23 \cdot 35 + 25 = \textcolor{red}{68{,}05} \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med modellen fra a) uten avrunding blir \( {K'(35) \approx 68{,}17}\text{.} \) Forskjellen kommer bare av at oppgaven runder av til \( {1{,}23x + 25}\text{,} \) og begge regnemåtene er riktige.

3. Tolk svarene \( I \) og \( K \) er i kroner og \( x \) i enheter per uke, så de deriverte er i kroner per enhet, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Når bedriften produserer og selger 35 enheter i uka, gir én enhet til omtrent \( \textcolor{blue}{85{,}71} \) kr mer i inntekt og omtrent \( \textcolor{red}{68{,}05} \) kr mer i kostnad. Overskuddet øker altså hvis bedriften produserer og selger litt flere enn 35 enheter.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( I \) i CAS, regner ut \( I'(35) \) og setter inn i \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) fra oppgaveteksten, med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: I(x) := 3000*ln(5x) I'(35) 1.23*35 + 25

Rad 2 gir \( {I'(35) \approx 85{,}71} \) kr per enhet, og rad 3 gir \( {K'(35) = 68{,}05} \) kr per enhet.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( K'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi integrerer \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) ledd for ledd og setter inn grensene. Integralet av den deriverte er hvor mye \( K \) endrer seg mellom grensene.

1. Finn en antiderivert I a) viste vi: \[ K'(x) = 1{,}23x + 25 \]

For potenser forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{1{,}23x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{0{,}615x^2}}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{25} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{25x}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_{20}^{30} \left(1{,}23x + 25\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{0{,}615x^2} + \textcolor{red}{25x}\right]_{20}^{30} \\ &= (\textcolor{blue}{553{,}5} + \textcolor{red}{750}) - (\textcolor{blue}{246} + \textcolor{red}{500}) \\ &= 557{,}5 \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med modellen fra a) uten avrunding blir \( {K(30) - K(20) \approx 558{,}33}\text{.} \) Forskjellen kommer bare av at oppgaven runder av til \( {1{,}23x + 25}\text{,} \) og begge regnemåtene er riktige.

3. Tolk svaret \( K \) er en antiderivert til \( K'\text{,} \) så integralet er \( {K(30) - K(20)}\text{:} \) hvor mye kostnaden øker fra 20 til 30 enheter. Når produksjonen øker fra 20 til 30 enheter per uke, øker kostnaden med omtrent \( 557{,}50 \) kr.

1. Regn ut integralet i CAS På samme CAS-ark som i b) integrerer vi \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) fra oppgaveteksten, med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Integral(1.23x + 25, 20, 30)

Rad 4 gir \( 557{,}5\text{,} \) altså at kostnaden øker med omtrent \( 557{,}50 \) kr fra 20 til 30 enheter per uke.

Halvparten av 2 millioner er 1 million. Vi setter \( {B(t) = 1\,000\,000}\text{,} \) får potensen av \( e \) alene på én side og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen Halvparten av husstandene er \( 1\,000\,000\text{:} \) \[ \dfrac{1\,700\,000}{1 + 500e^{-0{,}07t}} = 1\,000\,000 \]

2. Løs likningen med ln Vi ganger med nevneren, deler på \( 1\,000\,000 \) og får potensen \( {\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}}} \) alene. Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 1 + 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 1{,}7 \\ 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}7 \\ \textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}0014 \\ \textcolor{green}{-0{,}07t} &= \ln 0{,}0014 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}0014}{-0{,}07} \approx 93{,}9 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( B \) i CAS og løser \( {B(t) = 1\,000\,000} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B(t) := 1700000/(1 + 500*ℯ^(-0.07t)) Løs(B(t) = 1000000, t)

Rad 2 gir \( {t \approx 93{,}9} \) uker.

\( B \) er en brøk med en konstant i telleren. Vi deriverer med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. \( B'(t) \) er hvor mange nye husstander som får systemet per uke.

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}'}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Med kjerneregelen er \( {\left(e^{-0{,}07t}\right)' = e^{-0{,}07t} \cdot (-0{,}07)}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1\,700\,000} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ B'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Det første leddet i telleren er 0. Setter vi inn \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} B'(t) &= \dfrac{-\textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot (\textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}})}{(\textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}})^2} \\ &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-0{,}07t}}{(1 + 500e^{-0{,}07t})^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn 52 uker Med \( {t = 52} \) er eksponenten \( {-0{,}07 \cdot 52 = -3{,}64}\text{:} \) \[ \begin{aligned} B'(52) &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-3{,}64}}{(1 + 500e^{-3{,}64})^2} \\ &\approx 7828 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( B \) er antall husstander og \( t \) er uker, så \( B'(t) \) er husstander per uke, som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Ett år etter lanseringen får omtrent 7800 nye husstander systemet per uke.

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut \( B'(52) \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B'(52)

Rad 3 gir \( {B'(52) \approx 7828} \) husstander per uke.

En logistisk modell har formen \( {F(t) = \dfrac{C}{1 + ae^{-kt}}}\text{.} \) Hver antakelse gir oss én av konstantene \( C\text{,} \) \( a \) og \( k\text{.} \)

1. Finn grensen og startverdien En logistisk modell har formen: \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{1 + \textcolor{red}{a}e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Når \( t \) blir stor, går \( {e^{-\textcolor{green}{k}t}} \) mot 0, og \( F(t) \) går mot \( \textcolor{blue}{C}\text{.} \) De selger totalt til en million husstander, så \( {\textcolor{blue}{C} = \textcolor{blue}{1\,000\,000}}\text{.} \)

Ved lanseringen er \( {t = 0} \) og \( {e^0 = 1}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} F(0) = \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{a}} &= 4000 \\ 1 + \textcolor{red}{a} &= 250 \\ \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{249} \end{aligned} \]

2. Bruk uken med flest nye kjøpere Antall nye husstander per uke er \( F'(t)\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I en logistisk modell er veksten størst når \( F \) har nådd halvparten av \( \textcolor{blue}{C}\text{:} \) \[ F'(t) \text{ er størst når } F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{2} \]

Flest kjøper i uke 65, så \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}}} &= 500\,000 \\ 1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}} &= 2 \\ e^{-65\textcolor{green}{k}} &= \dfrac{1}{249} \\ -65\textcolor{green}{k} &= \ln \dfrac{1}{249} \\ \textcolor{green}{k} &= \dfrac{\ln 249}{65} \approx \textcolor{green}{0{,}0849} \end{aligned} \]

Med \( k \) avrundet til fire desimaler blir modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-\textcolor{green}{0{,}0849}t}} \]

1. Finn konstantene i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) skriver vi modellen med \( {C = 1\,000\,000}\text{,} \) finner \( a \) fra \( {F(0) = 4000} \) og \( k \) fra \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(t) := 1000000/(1 + a*ℯ^(-k*t)) Løs(F(0) = 4000, a) Løs(1000000/(1 + 249*ℯ^(-65k)) = 500000, k)

Rad 5 gir \( {a = 249}\text{,} \) og rad 6 gir \( {k \approx 0{,}0849}\text{.} \)

Grensekostnaden er den deriverte \( K'(x)\text{,} \) og enhetskostnaden er kostnaden per enhet, \( \dfrac{K(x)}{x}\text{.} \) Vi setter dem like og løser for \( x\text{.} \)

1. Finn grensekostnaden og enhetskostnaden Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer ledd for ledd og får \( \textcolor{red}{\text{grensekostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{red}{0{,}6x + 10} \]

Vi deler hvert ledd i \( K(x) \) på \( x \) og får \( \textcolor{blue}{\text{enhetskostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{E(x)} = \dfrac{K(x)}{x} = \textcolor{blue}{0{,}3x + 10 + \dfrac{3000}{x}} \]

2. Sett dem like \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}6x + 10} &= \textcolor{blue}{0{,}3x + 10 + \dfrac{3000}{x}} \\ 0{,}3x &= \dfrac{3000}{x} \\ 0{,}3x^2 &= 3000 \\ x^2 &= 10\,000 \\ x &= \pm 100 \end{aligned} \]Vi forkaster \( {x = -100}\text{,} \) fordi antall enheter ikke kan være negativt.

3. Tolk svaret For \( {x = 100} \) er begge kostnadene \( 70 \) kr: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K'(100)} &= 60 + 10 = 70 \\ \textcolor{blue}{E(100)} &= 30 + 10 + 30 = 70 \end{aligned} \]

Er grensekostnaden lavere enn enhetskostnaden, koster neste enhet mindre enn snittet, og snittet synker. Er den høyere, stiger snittet. Vi ser det også av den deriverte til \( \textcolor{blue}{E}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{E'(x)} = 0{,}3 - \dfrac{3000}{x^2} \]Den er negativ for \( {x < 100} \) og positiv for \( {x > 100}\text{,} \) så enhetskostnaden er lavest i \( {x = 100}\text{.} \)

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon, og vi finner toppunktet der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Inntekten er \( {\textcolor{blue}{I(x) = 400x}}\text{.} \) Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{400x} \\ &\quad - \left(\textcolor{red}{0{,}3x^2 + 10x + 3000}\right) \\ &= -0{,}3x^2 + 390x - 3000 \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Toppunktet finner vi der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} O'(x) = -0{,}6x + 390 &= 0 \\ 0{,}6x &= 390 \\ x &= 650 \end{aligned} \]\( O \) er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd, så grafen vender nedover og \( {x = 650} \) gir toppunktet.

Vi regner ut hva modellen gir for ukene i tabellen og sammenligner med målingene. Modellen er logistisk, så den vokser og flater ut mot et tak.

1. Regn ut modellverdiene Vi setter ukene fra tabellen inn i \( L(t)\text{,} \) og runder av til én desimal: \[ \begin{aligned} L(1) &\approx 14{,}7 & L(5) &\approx 33{,}4 \\ L(10) &\approx 74{,}2 & L(15) &\approx 117{,}2 \\ L(20) &\approx 142{,}0 \end{aligned} \]Målingene er 14, 32, 80, 115 og 145 km. Modellen bommer med under 6 km hver uke, og den følger både den raske økningen og at den avtar mot slutten.

2. Forklar modelltypen Modellen har formen \[ L(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + a \cdot e^{-kt}} \]med \( {\textcolor{red}{C} = \textcolor{red}{156{,}31}}\text{.} \) Den vokser sakte først, så raskt, og flater så ut mot \( \textcolor{red}{C}\text{.} \)

Det passer for løpetrening. Marco starter forsiktig og øker mer og mer når kroppen tåler det. Men han har bare så mye tid og så mye kroppen tåler, så antall kilometer per uke kan ikke vokse uten grense. \( \textcolor{red}{C} \) er taket, omtrent 156 km per uke.

1. Lag logistisk regresjon Vi legger punktene i en liste og lager logistisk regresjon, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den finner tallene i modellen som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi tegner også \( L \) fra oppgaven:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 14), (5, 32), (10, 80), (15, 115), (20, 145)} f(x) = RegLogist(l1) L(x) = 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24x))

Regresjonen gir: \[ f(x) \approx \dfrac{156{,}31}{1 + 12{,}21e^{-0{,}24x}} \]med tallene avrundet til to desimaler. Det er modellen \( L\text{,} \) og grafen går nær alle punktene.

Økningen er den deriverte \( L'(t)\text{.} \) En logistisk funksjon vokser raskest i vendepunktet, der den er kommet halvveis til taket \( 156{,}31\text{.} \)

1. Finn når modellen er halvveis Vi setter \( {L(t) = \dfrac{156{,}31}{2}}\text{.} \) Det skjer når nevneren er 2, altså når \( {\textcolor{green}{12{,}21e^{-0{,}24t}} = 1}\text{.} \) Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{-0{,}24t} &= \dfrac{1}{12{,}21} \\ -0{,}24t &= -\ln 12{,}21 \\ t &= \dfrac{\ln 12{,}21}{0{,}24} \approx 10{,}43 \end{aligned} \]

2. Deriver med kjerneregelen Vi skriver \( {L(t) = 156{,}31 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{12{,}21e^{-0{,}24t}}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = -0{,}24 \cdot \textcolor{green}{u}}\text{.} \) Den ytre funksjonen er \( {g(\textcolor{green}{u}) = 156{,}31(1 + \textcolor{green}{u})^{-1}}\text{:} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \big(g(\textcolor{green}{u})\big)' = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen. Det gir: \[ \begin{aligned} L'(t) &= -156{,}31 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-2} \\ &\quad \cdot (-0{,}24\textcolor{green}{u}) \\ &= \dfrac{156{,}31 \cdot 0{,}24 \cdot \textcolor{green}{u}}{\left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^2} \end{aligned} \]

3. Regn ut økningen I \( {t \approx 10{,}43} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1}\text{:} \) \[ L'(10{,}43) = \dfrac{156{,}31 \cdot 0{,}24 \cdot 1}{2^2} \approx 9{,}38 \]

Det er den største økningen, for brøken \( {\dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2}} \) er aldri større enn \( \dfrac{1}{4}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2} \le \dfrac{1}{4} \iff (1 - \textcolor{green}{u})^2 \ge 0 \]Da økte antallet kilometer per uke med omtrent 9,4 km for hver uke.

1. Finn vendepunktet i CAS Vendepunktet er der \( {L''(t) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi løser med NLøs og setter løsningen inn i \( L'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: L(t) := 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24t)) NLøs(L''(t) = 0, t = 10) L'(10.4261)

Rad 2 gir \( {t \approx 10{,}43} \) uker, og rad 3 gir økningen \( 9{,}38 \) km per uke per uke.

\( L \) er kilometer per uke, så integralet av \( L \) er hvor langt Marco har løpt. Vi løser likningen der integralet er 500, og deler 500 km på antall uker.

1. Sett opp likningen Modellen fra a) er: \[ L(t) = \dfrac{156{,}31}{1 + 12{,}21e^{-0{,}24t}} \]

Strekningen er integralet av farten, som i videoen Eksamen 2018 August oppgave 2a. Etter \( \textcolor{blue}{x} \) uker har Marco løpt 500 km når: \[ \int_0^{\textcolor{blue}{x}} L(t)\,dt = 500 \]

2. Finn en antiderivert Vi ganger teller og nevner med \( e^{0{,}24t}\text{:} \) \[ L(t) = \dfrac{156{,}31 \cdot e^{0{,}24t}}{\textcolor{green}{e^{0{,}24t} + 12{,}21}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}24t} + 12{,}21}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = 0{,}24e^{0{,}24t}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{156{,}31}{0{,}24} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \int L(t)\,dt &= \dfrac{156{,}31}{0{,}24} \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt \\ &= \dfrac{156{,}31}{0{,}24}\ln \textcolor{green}{u} + c \end{aligned} \]

3. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 13{,}21}\text{.} \) Setter vi inn grensene, får vi: \[ \dfrac{156{,}31}{0{,}24}\left(\ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} - \ln \textcolor{green}{u(0)}\right) = 500 \]

Vi ganger med \( \dfrac{0{,}24}{156{,}31} \) og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} &= \ln 13{,}21 + \dfrac{120}{156{,}31} \\ &\approx 3{,}3487 \\ e^{0{,}24\textcolor{blue}{x}} + 12{,}21 &\approx e^{3{,}3487} \approx 28{,}47 \\ e^{0{,}24\textcolor{blue}{x}} &\approx 16{,}26 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 16{,}26}{0{,}24} \approx \textcolor{blue}{11{,}62} \end{aligned} \]

4. Regn ut gjennomsnittet Han løp 500 km på \( \textcolor{blue}{11{,}62} \) uker, altså i uke 12. I gjennomsnitt er det: \[ \dfrac{500}{\textcolor{blue}{11{,}62}} \approx 43{,}0 \]km per uke.

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen \( {\int_0^{x} L(t)\,dt = 500} \) med NLøs. Rad 1 er modellen fra a), og rad 3 deler 500 km på antall uker:

Skriv inn i GeoGebra: L(t) := 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24t)) NLøs(Integral(L(t), t, 0, x) = 500, x = 12) 500/11.6184

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{x} \approx \textcolor{blue}{11{,}62}} \) uker. Før skokjøpet løp han altså 500 km på 11,62 uker, og rad 3 gir gjennomsnittet: \[ \dfrac{500}{\textcolor{blue}{11{,}62}} \approx 43{,}0 \]