Eksamensoppgaver etter tema

Hver busstur har to utfall, kontroll eller ikke, med samme sannsynlighet hver gang, og vi antar at turene er uavhengige. \( X \) er derfor binomisk fordelt.

1. Kjenn igjen den binomiske fordelingen Når \( X \) er binomisk fordelt med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk, er: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ Var(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{20}} \) bussturer og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}05}}\text{.} \)

2. Regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{0{,}05} = 1 \\ Var(X) &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{0{,}05} \cdot 0{,}95 \\ &= 0{,}95 \end{aligned} \]Silas kan altså vente én kontroll på de 20 turene.

Vi bruker \( {E(X) = 1} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi sammenligner hva billettene koster med hvor mye Silas kan vente å betale i bøter hvis han ikke kjøper billett.

1. Regn ut hva billettene koster 20 turer til 65 kr koster: \[ 20 \cdot 65\,\text{kr} = \textcolor{blue}{1300\,\text{kr}} \]

2. Regn ut de forventede bøtene Uten billett betaler Silas 1470 kr for hver kontroll. Fra a) venter han \( {E(X) = 1} \) kontroll, som vi fant med formelen fra videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet). De forventede bøtene er da: \[ \begin{aligned} E(1470X) &= 1470 \cdot E(X) \\ &= 1470 \cdot 1 = \textcolor{red}{1470\,\text{kr}} \end{aligned} \]

3. Sammenlign \( \textcolor{red}{1470\,\text{kr}} \) er mer enn \( \textcolor{blue}{1300\,\text{kr}}\text{.} \) I gjennomsnitt taper Silas 170 kr på å kjøre uten billett, så det lønner seg sannsynligvis å kjøpe billetter. Vi skriver «sannsynligvis» fordi \( X \) er tilfeldig. Blir han ikke kontrollert i det hele tatt, slipper han billigere, men allerede én kontroll koster mer enn alle billettene.

Vi setter opp hypotesene og regner ut hvor sannsynlig det er å få minst én feil blant 20 hvis MASK har rett. Er det ikke svært usannsynlig, er klagen ikke velbegrunnet.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. La \( p \) være andelen feilproduserte komponenter: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}01} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p > 0{,}01} \]Vi velger signifikansnivået \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \)

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet feil \( X \) blant 20 komponenter binomisk fordelt med \( {n = 20} \) og \( {p = 0{,}01}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet). P-verdien er sannsynligheten for minst én feil: \[ \begin{aligned} P(X \ge 1) &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - 0{,}99^{20} \\ &\approx 0{,}182 \end{aligned} \]

3. Konkluder P-verdien \( 0{,}182 \) er større enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Minst én feil blant 20 skjer i omtrent \( 18\,\% \) av tilfellene selv når andelen feil er \( 1\,\%\text{.} \) Bedriften har derfor ikke grunnlag for klagen.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut \( {1 - 0{,}99^{20}} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - 0.99^20

P-verdien er omtrent \( 0{,}182\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi ser påstanden som en hypotesetest med \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Høyst én feil blant \( n \) komponenter må da skje i mindre enn \( 5\,\% \) av tilfellene når andelen feil er \( 1\,\%\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for \( n \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp \( {P(X \le 1)} \) og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {n = 472} \) gir omtrent \( 0{,}0502 \) og \( {n = 473} \) omtrent \( 0{,}0498\text{.} \)

1. Sett opp hypotesene og P-verdien Kontrolløren vil vise at andelen er under \( 1\,\%\text{,} \) så det blir \( H_1\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}01} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p < 0{,}01} \]Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet feil \( X \) blant \( \textcolor{green}{n} \) komponenter binomisk fordelt, som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ P(X = x) = \binom{\textcolor{green}{n}}{x} \cdot p^x \cdot (1 - p)^{\textcolor{green}{n} - x} \]Med \( {p = 0{,}01} \) er \( {\binom{n}{0} = 1} \) og \( {\binom{n}{1} = n}\text{,} \) så P-verdien, sannsynligheten for høyst én feil, er: \[ \begin{aligned} P(X \le 1) &= 0{,}99^{\textcolor{green}{n}} \\ &\quad + \textcolor{green}{n} \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99^{\textcolor{green}{n} - 1} \end{aligned} \]

2. Løs likningen i CAS Vi finner \( n \) der P-verdien er \( 0{,}05 \) med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og sjekker de hele tallene på hver side:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(0.99^n + n*0.01*0.99^(n - 1) = 0.05, n = 470) 0.99^472 + 472*0.01*0.99^471 0.99^473 + 473*0.01*0.99^472

Med \( {n = 472} \) er P-verdien \( 0{,}0502\text{,} \) litt over \( 0{,}05\text{,} \) og med \( {n = 473} \) er den \( 0{,}0498\text{,} \) under. Kontrolløren må altså ha testet minst 473 komponenter for å forkaste \( H_0\text{.} \)

Hvert frø spirer eller spirer ikke, med samme sannsynlighet, så antallet som spirer er binomisk fordelt. Vi regner ut forventningen og standardavviket og ser hvilken kurve som har den spredningen.

1. Regn ut forventning og standardavvik La \( X \) være antall frø som spirer. Med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk er: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{1000}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7} = 700 \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7} \cdot 0{,}3} = \sqrt{210} \end{aligned} \]Siden \( {14^2 = 196} \) og \( {15^2 = 225}\text{,} \) er \( {14 < \sigma < 15}\text{.} \)

2. Sammenlign med figurene Begge kurvene har toppen i 700. Med så mange frø er \( X \) tilnærmet normalfordelt, og tabellen i vedlegget gir \( {P(Z \le -3) = 0{,}0013}\text{.} \) Nesten alt ligger derfor innenfor tre standardavvik fra forventningen: \[ 1 - 2 \cdot 0{,}0013 = 0{,}9974 \]

Siden \( {3\sigma < 3 \cdot 15 = 45}\text{,} \) er det mellom omtrent: \[ \begin{aligned} 700 - 45 &= 655 \\ 700 + 45 &= 745 \end{aligned} \]

Kurven i figur 2 har toppen i 700 og ligger innenfor dette området. Kurven i figur 1 ligger over aksen fra omtrent 100 til 1300 og er altfor bred, som i videoen Varians og Standardavvik. Den har dessuten mye areal over 1000, men det kan ikke spire flere enn 1000 frø.

Begge kurvene har toppen i forventningen 50. Vi ser hvor bred kurven skal være når standardavviket er 10.

1. Finn hvor nesten alt ligger Med \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{10}} \) ligger nesten alt, \( 99{,}7\,\%\text{,} \) innenfor tre standardavvik fra forventningen, som i a): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\mu} - 3\textcolor{red}{\sigma} &= \textcolor{blue}{50} - 3 \cdot \textcolor{red}{10} = 20 \\ \textcolor{blue}{\mu} + 3\textcolor{red}{\sigma} &= \textcolor{blue}{50} + 3 \cdot \textcolor{red}{10} = 80 \end{aligned} \]

2. Sammenlign med figurene Kurven i figur 3 ligger over aksen fra omtrent 20 til 80. Kurven i figur 4 er bare halvparten så bred, fra omtrent 35 til 65. Den har standardavvik omtrent 5, og er for smal, som i videoen Varians og Standardavvik.

Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling. Så setter vi inn i formelen for binomisk sannsynlighet.

1. Begrunn fordelingen For hver pasient er det to utfall: legemiddelet virker eller ikke. Antallet pasienter \( n \) er fast, sannsynligheten \( 0{,}75 \) er den samme for alle, og vi antar at pasientene er uavhengige av hverandre. Det er de fire kravene til en binomisk fordeling, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( X \) er derfor binomisk fordelt.

2. Regn ut sannsynligheten Med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk er: \[ P(X = x) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{x} \cdot \textcolor{red}{p}^x \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - x} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{12}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}75}} \) og \( {x = 9}\text{.} \) Med nCr på kalkulatoren er \( {\binom{12}{9} = 220}\text{,} \) og vi får: \[ \begin{aligned} P(X = 9) &= \binom{\textcolor{blue}{12}}{9} \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^9 \cdot 0{,}25^{3} \\ &= 220 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^9 \cdot 0{,}25^{3} \\ &\approx 0{,}258 \end{aligned} \]

1. Regn ut sannsynligheten i CAS Med den samme begrunnelsen for fordelingen bruker vi den binomiske fordelingen med \( {n = 12} \) og \( {p = 0{,}75}\text{.} \) Det siste argumentet, false, gir \( {P(X = 9)} \) og ikke \( {P(X \le 9)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingBinomial(12, 0.75, 9, false)

\( {P(X = 9)} \) er omtrent \( 0{,}258\text{.} \)

Vi bruker den binomiske fordelingen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter opp hypotesene og regner ut hvor sannsynlig det er at B virker på minst 9 av 10 hvis B er like god som A. Er det ikke under \( 5\,\%\text{,} \) kan vi ikke si at B er bedre.

1. Sett opp hypotesene \( H_1 \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( H_0 \) er at det ikke er noen forskjell fra A, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro: \[ H_0\text{: } p = \textcolor{red}{0{,}75} \qquad H_1\text{: } p > \textcolor{red}{0{,}75} \]

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet \( Y \) som B virker på, binomisk fordelt med \( {n = 10} \) og \( {p = 0{,}75}\text{,} \) som i a): \[ P(Y = y) = \binom{10}{y} \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^y \cdot 0{,}25^{10 - y} \]

P-verdien er sannsynligheten for et resultat som er minst like godt som 9 av 10. Med \( {\binom{10}{9} = 10} \) og \( {\binom{10}{10} = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P(Y \ge 9) \\ &= P(Y = 9) + P(Y = 10) \\ &= 10 \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25 \\ &\quad + 0{,}75^{10} \\ &\approx 0{,}1877 + 0{,}0563 \\ &= \textcolor{green}{0{,}2440} \end{aligned} \]

3. Konkluder P-verdien \( \textcolor{green}{0{,}2440} \) er større enn signifikansnivået \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Selv om B var like god som A, ville minst 9 av 10 skje i omtrent \( 24\,\% \) av tilfellene. Vi kan derfor ikke si at B virker med høyere sannsynlighet enn A.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene er \( {P(Y \ge 9) = 1 - P(Y \le 8)}\text{.} \) Med true gir FordelingBinomial den kumulative sannsynligheten \( {P(Y \le 8)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.75, 8, true)

P-verdien er \( \textcolor{green}{0{,}244}\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi bruker hypotesene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter det minste antallet \( k \) som gir en P-verdi \( {P(Y \ge k)} \) under \( 5\,\%\text{.} \) Med 200 pasienter er \( Y \) tilnærmet normalfordelt, så vi kan bruke tabellen.

1. Finn forventning og standardavvik I b) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } p = 0{,}75 \qquad H_1\text{: } p > 0{,}75 \]

Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet \( Y \) som B virker på, binomisk fordelt med \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{200}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} E(Y) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(Y) &= \textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{0{,}75} = 150 \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \cdot 0{,}25} \approx 6{,}124 \end{aligned} \]Med så mange pasienter er \( Y \) tilnærmet normalfordelt.

2. Finn grensen for å forkaste Vi forkaster \( H_0 \) når \( {P(Y \ge k) < 0{,}05}\text{,} \) altså når \( k \) ligger mer enn \( z \) standardavvik over \( 150\text{,} \) der \( {P(Z \le z) = 0{,}95}\text{.} \) I tabellen står \( {P(Z \le 1{,}64) = 0{,}9495} \) og \( {P(Z \le 1{,}65) = 0{,}9505}\text{,} \) så \( {z \approx 1{,}645}\text{.} \) Vi standardiserer som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ Z = \dfrac{Y - E(Y)}{\sigma} \]

Med \( {Y = k}\text{,} \) \( {E(Y) = 150} \) og \( {\sigma \approx 6{,}124} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{k - 150}{6{,}124} &> 1{,}645 \\ k &> 150 + 1{,}645 \cdot 6{,}124 \\ k &> 160{,}07 \end{aligned} \]Det minste heltallet er \( {k = 161}\text{.} \) B må altså virke på minst 161 av de 200 pasientene.

1. Regn ut P-verdiene i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut P-verdien eksakt for \( {k = 160} \) og \( {k = 161}\text{:} \) \[ P(Y \ge k) = 1 - P(Y \le k - 1) \]

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(200, 0.75, 159, true) 1 - FordelingBinomial(200, 0.75, 160, true)

Med \( {k = 160} \) er P-verdien \( 0{,}0578\text{,} \) over \( 0{,}05\text{,} \) og med \( {k = 161} \) er den \( 0{,}0405\text{,} \) under. B må altså virke på minst 161 pasienter.

Når Marte tipper, er hvert svar riktig med sannsynlighet \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Vi sjekker at \( X \) da er binomisk fordelt, og bruker formelen for \( {P(X = k)}\text{.} \)

1. Sjekk antagelsene \( X \) er binomisk fordelt når de fire punktene i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 holder. Det er antagelsene vi gjør: • To utfall for hvert glass: riktig eller galt svar. • Et fast antall forsøk: \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{10}} \) glass. • Samme sannsynlighet hver gang: \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}5}}\text{,} \) fordi hun tipper mellom to colatyper. • Uavhengige svar: det hun svarer på ett glass, påvirker ikke de andre.

2. Regn ut sannsynligheten Formelen for binomisk sannsynlighet er: \[ P(X = \textcolor{green}{k}) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{red}{p}^{\textcolor{green}{k}} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - \textcolor{green}{k}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{6}}\text{,} \) og \( {\binom{10}{6} = 210} \) med nCr på kalkulatoren. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(X = \textcolor{green}{6}) &= \binom{\textcolor{blue}{10}}{\textcolor{green}{6}} \cdot \textcolor{red}{0{,}5}^{\textcolor{green}{6}} \cdot \textcolor{red}{0{,}5}^{4} \\ &= \dfrac{210}{1024} \approx 0{,}205 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Med de samme antagelsene bruker vi FordelingBinomial med \( {n = 10}\text{,} \) \( {p = 0{,}5} \) og \( {k = 6}\text{.} \) «false» gir \( {P(X = 6)} \) og ikke \( {P(X \le 6)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingBinomial(10, 0.5, 6, false)

Sannsynligheten er omtrent \( 0{,}205\text{.} \)

Den alternative hypotesen er det Marte påstår: at hun svarer riktig oftere enn når hun tipper. Vi regner ut sannsynligheten for minst 8 riktige hvis hun bare tipper.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er det motsatte, at hun bare tipper, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. La \( p \) være sannsynligheten for at Marte svarer riktig på et glass: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}5} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p > 0{,}5} \]Signifikansnivået er \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \)

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er \( X \) binomisk fordelt med \( {n = 10} \) og \( {p = 0{,}5}\text{,} \) som i a). P-verdien er sannsynligheten for et resultat minst like godt som 8 riktige: \[ \begin{aligned} & P(X \ge 8) \\ &= P(X = 8) + P(X = 9) \\ &\quad + P(X = 10) \\ &= \dfrac{\binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}}{2^{10}} \\ &= \dfrac{45 + 10 + 1}{1024} \\ &= \dfrac{56}{1024} \approx 0{,}0547 \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {0{,}5^k \cdot 0{,}5^{10 - k} = \dfrac{1}{2^{10}}} \) for alle \( k\text{.} \)

3. Konkluder P-verdien \( 0{,}0547 \) er større enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Med 10 glass er det ikke grunnlag for å si at Marte kan gjenkjenne colatypene, selv om 8 riktige er mye.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene er \( {P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)}\text{.} \) «true» gir \( {P(X \le 7)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.5, 7, true)

P-verdien er omtrent \( 0{,}0547\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi bruker hypotesene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med 30 glass ser vi etter det minste antallet riktige \( m \) der sannsynligheten for minst \( m \) riktige ved tipping er under 0,05. Vi prøver oss fram.

1. Sett opp kravet til P-verdien I b) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } p = 0{,}5 \qquad H_1\text{: } p > 0{,}5 \]Hvis \( H_0 \) er sann, er \( X \) nå binomisk fordelt med \( {n = 30} \) og \( {p = 0{,}5}\text{.} \) Marte overbeviser Birger hvis P-verdien \( {P(X \ge m)} \) er under 0,05. Ved tipping kan hun forvente 15 riktige, så vi prøver litt over det, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

2. Prøv oss fram Som i b) er hvert ledd \( \binom{30}{k} \) delt på \( 2^{30}\text{.} \) Vi legger sammen binomialkoeffisientene med nCr på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} & P(X \ge 19) \\ &= \dfrac{\binom{30}{19} + \binom{30}{20} + \ldots + \binom{30}{30}}{2^{30}} \\ &= \dfrac{107\,636\,402}{1\,073\,741\,824} \approx \textcolor{red}{0{,}1002} \\ & P(X \ge 20) \\ &= \dfrac{\binom{30}{20} + \binom{30}{21} + \ldots + \binom{30}{30}}{2^{30}} \\ &= \dfrac{53\,009\,102}{1\,073\,741\,824} \approx \textcolor{green}{0{,}0494} \end{aligned} \]

3. Konkluder Med 19 riktige er P-verdien \( \textcolor{red}{0{,}1002}\text{,} \) over 0,05, så \( H_0 \) forkastes ikke. Med 20 riktige er den \( \textcolor{green}{0{,}0494}\text{,} \) under 0,05, så da forkastes \( H_0\text{.} \) Med flere riktige blir P-verdien enda mindre.

1. Prøv oss fram i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut \( {P(X \ge 19)} \) som 1 minus \( {P(X \le 18)}\text{,} \) og \( {P(X \ge 20)} \) som 1 minus \( {P(X \le 19)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(30, 0.5, 18, true) 1 - FordelingBinomial(30, 0.5, 19, true)

Rad 3 gir \( {P(X \ge 19) \approx 0{,}1002}\text{,} \) over 0,05, og rad 4 gir \( {P(X \ge 20) \approx 0{,}0494}\text{,} \) under 0,05. Marte må altså ha minst 20 riktige.