Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

topp- og bunnpunkter

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

4 oppgaver i S1 om topp- og bunnpunkter

Oppgavene

S1 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

5 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=ex(6−ex) f(x) = e^x(6 - e^x)

Oppgave 2a)

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Funksjonen har ett nullpunkt:
x=ln⁡6‾‾ \underline{\underline{x = \ln 6}}
Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, video, 02:25
For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)
1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:21 Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) = 0 \]Da må \( \textcolor{red}{e^x} \) eller \( {\textcolor{blue}{6 - e^x}} \) være \( 0\text{.} \)
\( \textcolor{red}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \)
2. Løs likningen med ln 1:12 Setter vi \( {\textcolor{blue}{6 - e^x} = 0}\text{,} \) får vi: \[ e^x = 6 \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) = \ln 6 \]
Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.
Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 6 \\ x &= \ln 6 \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Oppgave 2b)

Vis at f′(x)=2ex(3−ex). {f'(x) = 2e^x(3 - e^x)}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
f′(x)=2ex(3−ex)‾‾ \underline{\underline{f'(x) = 2e^x(3 - e^x)}}
Oppgave 2B - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, video, 04:04
Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.
1. Deriver med produktregelen 0:28 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x} \) og konstanten \( 6 \) har derivert \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{6 - e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^x} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^x}) \]
2. Faktoriser 2:05 Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) og trekker sammen det som står i parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - e^x - e^x) \\ f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - 2e^x) \end{aligned} \]
Vi kan faktorisere ut \( 2 \) også, siden \( {6 = 2 \cdot 3}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = 2\textcolor{darkorange}{e^x}(3 - e^x) \]Det er uttrykket i oppgaven.

Oppgave 2c)

Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til f. f\text{.} Avgjør om eventuelle punkter er topp- eller bunnpunkt.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Grafen har ett toppunkt og ingen bunnpunkter:
Toppunkt: (ln⁡3, 9)‾‾ \underline{\underline{\text{Toppunkt: } (\ln 3,\ 9)}}
Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, video, 07:06
Vi bruker nullpunktet fra a), og uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).
Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Om det er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av funksjonsverdiene på hver side.
1. Sett den deriverte lik null 0:16 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{3 - e^x}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Derfor må \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x} = 0}\text{.} \)
2. Løs likningen med ln 2:07 Vi flytter \( e^x \) over til høyre side: \[ e^x = 3 \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser og \( {\ln e = 1} \) gir \( {\ln\left(e^x\right) = x \cdot \ln e = x}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^x\right) &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]
3. Finn y-koordinaten 2:52 For å finne koordinatene plugger vi \( {x = \ln 3} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Siden \( {\textcolor{green}{e^{\ln 3}} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f(\ln 3) &= \textcolor{green}{e^{\ln 3}}(6 - \textcolor{green}{e^{\ln 3}}) \\ f(\ln 3) &= \textcolor{green}{3} \cdot (6 - \textcolor{green}{3}) = 9 \end{aligned} \]
4. Avgjør hva slags punkt det er 4:15 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \ln 3}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = 0} \) og nullpunktet \( {x = \ln 6} \) fra a): \[ f(0) = e^0(6 - e^0) = 1 \cdot 5 = 5 \]
Siden \( \ln \) er voksende, er \( {0 = \ln 1 < \ln 3 < \ln 6}\text{,} \) og \( {f(\ln 6) = 0}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \ln 3 & \ln 6 \\ \hline f(x) & 5 & 9 & 0 \end{array} \]
Grafen går opp fra \( 5 \) til \( 9 \) og ned igjen til \( 0\text{.} \) Punktet \( (\ln 3,\ 9) \) er derfor et toppunkt, og siden grafen bare snur der, har den ingen bunnpunkter.
Alternativ metode: Fortegnslinje Siden \( {\textcolor{darkorange}{2e^x} > 0}\text{,} \) har \( f'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x}}\text{:} \) positiv når \( {x < \ln 3} \) og negativ når \( {x > \ln 3}\text{.} \) :::fortegnsskjema {"points": [1.0986122886681098], "labels": ["\\ln 3"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{3 - e^x}", "expr": "3 - e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(3 - e^x)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \ln 3} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så \( (\ln 3,\ 9) \) er et toppunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=4x2⋅ln⁡x f(x) = 4x^2 \cdot \ln x
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Grafen har ett bunnpunkt og ingen toppunkter:
Bunnpunkt: (1e, −2e)‾‾ \underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } \left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\ -\dfrac{2}{e}\right)}}
Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 09:17
\( \ln x \) er bare definert for \( {x > 0}\text{,} \) og der er \( f \) deriverbar, så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen.
1. Deriver med produktregelen 0:10 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln x + 4x \end{aligned} \]
2. Sett den deriverte lik null 2:12 Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{:} \) \[ 8x \ln x + 4x = 0 \]
Vi trekker fra \( 4x \) og deler på \( 8x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8x \ln x &= -4x \\ \ln x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]
For å få \( x \) alene opphøyer vi \( e \) i begge sider. Siden \( {e^{\ln x} = x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ x = e^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \]
3. Finn y-koordinaten 4:05 Vi setter \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Her er \( {\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 = \dfrac{1}{e}} \) og \( {\ln\left(e^{-\tfrac{1}{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{e} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e} \]
4. Avgjør hva slags punkt det er 6:07 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = \dfrac{1}{e}} \) og \( {x = 1}\text{,} \) siden \( {\dfrac{1}{e} < \dfrac{1}{\sqrt{e}} < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &= 4 \cdot \dfrac{1}{e^2} \cdot (-1) = -\dfrac{4}{e^2} \\ f(1) &= 4 \cdot 1^2 \cdot \ln 1 = 0 \end{aligned} \]
Siden \( {e > 2}\text{,} \) er \( {\dfrac{2}{e} < 1}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{e^2} &= \dfrac{2}{e} \cdot \dfrac{2}{e} < \dfrac{2}{e} \\ -\dfrac{4}{e^2} &> -\dfrac{2}{e} \end{aligned} \]
Begge verdiene er altså større enn \( {-\dfrac{2}{e}}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{1}{e} & \dfrac{1}{\sqrt{e}} & 1 \\ \hline f(x) & -\dfrac{4}{e^2} & -\dfrac{2}{e} & 0 \end{array} \]Grafen går ned til \( {-\dfrac{2}{e}} \) og opp igjen, så punktet er et bunnpunkt. Grafen snur ikke noe annet sted, så den har ingen toppunkter.
Alternativ metode: Fortegnslinje Vi faktoriserer \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{4x}(\textcolor{magenta}{2\ln x + 1})}\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {\textcolor{darkorange}{4x} > 0}\text{,} \) så \( f'(x) \) har samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{2\ln x + 1}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.6065306597126334], "labels": ["\\tfrac{1}{\\sqrt{e}}"], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{4x}", "expr": "4x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2\\ln x + 1}", "expr": "2ln(x) + 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "4x(2ln(x) + 1)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

S1 vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

5 poeng

En funksjon g g er gitt ved g(x)=12ex⋅(2x−1)2 {g(x) = \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x - 1)^2}

Oppgave 2a)

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen g. g\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Funksjonen har ett nullpunkt:
x=12‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{1}{2}}}
Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025, video, 01:46
For å finne nullpunktene setter vi \( {g(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)
1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:10 Vi setter \( {g(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0 \]
\( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \) Derfor må \( {\textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0}\text{.} \)
2. Løs likningen 1:18 Vi tar kvadratroten på begge sider, og \( {\sqrt{0} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2x - 1 &= 0 \\ 2x &= 1 \\ x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Oppgave 2b)

Vis at g′(x)=12ex(2x−1)(2x+3) {g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3)}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
g′(x)=12ex(2x−1)(2x+3)‾‾ \underline{\underline{g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3)}}
Oppgave 2B - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025, video, 05:37
Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.
1. Skriv opp produktregelen 0:33 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'} \) og \( \textcolor{blue}{v} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{u'} = \textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]
2. Gang ut parentesen og deriver 1:41 For å finne \( \textcolor{blue}{v'} \) ganger vi først ut parentesen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= (2x - 1)(2x - 1) \\ \textcolor{blue}{v} &= 4x^2 - 4x + 1 \end{aligned} \]
Så deriverer vi ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 1 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{v'} = 8x - 4 = \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \]
3. Sett inn og faktoriser 3:39 Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) = {} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \\ &+ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]
Begge leddene har faktorene \( {\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}}\text{.} \) Faktoriserer vi dem ut, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}\bigl(4 + (2x - 1)\bigr) \\ g'(x) &= \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3) \end{aligned} \]Det er uttrykket i oppgaven.

Oppgave 2c)

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til g. g\text{.}
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Grafen har ett toppunkt og ett bunnpunkt:
Toppunkt: (−32, 8e−32)‾‾Bunnpunkt: (12, 0)‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Toppunkt: } \left(-\dfrac{3}{2},\ 8e^{-\tfrac{3}{2}}\right)}} \\ &\underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } \left(\dfrac{1}{2},\ 0\right)}} \end{aligned}
Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025, video, 04:16
Uttrykket for \( g'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).
Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {g'(x) = 0}\text{.} \) Om et punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av fortegnet til \( g'(x) \) på hver side.
1. Sett den deriverte lik null 0:05 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(\textcolor{darkorange}{2x - 1})(\textcolor{magenta}{2x + 3}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \dfrac{1}{2}e^x \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x - 1} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{magenta}{2x + 3} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]
2. Finn y-koordinatene 2:00 Vi setter \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og \( {x = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g(x)\text{.} \) Siden \( {2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 1 = -4} \) og \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g\left(-\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{-\tfrac{3}{2}} \cdot (-4)^2 = 8e^{-\tfrac{3}{2}} \\ g\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{\tfrac{1}{2}} \cdot 0^2 = 0 \end{aligned} \]
3. Avgjør hva slags punkter det er 3:51 \( \dfrac{1}{2}e^x \) er alltid positiv, så fortegnet til \( g'(x) \) kommer fra de to andre faktorene. Vi lager en fortegnslinje, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1.5, 0.5], "labels": ["-\\tfrac{3}{2}", "\\tfrac{1}{2}"], "rows": [{"label": "\\tfrac{1}{2}e^x", "expr": "0.5*e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 3}", "expr": "2x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{2x - 1}", "expr": "2x - 1"}, {"label": "g'(x)", "expr": "0.5*e^x*(2x - 1)*(2x + 3)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \)
Grafen stiger fram til \( {x = -\dfrac{3}{2}}\text{,} \) synker fram til \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og stiger igjen. Den har derfor et toppunkt i \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og et bunnpunkt i \( {x = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) I videoen sammenligner vi bare de to funksjonsverdiene, men fortegnslinja viser også at grafen faktisk snur i begge punktene.

S1 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

La f f være en tredjegradsfunksjon.
Avgjør for hver av påstandene nedenfor om den er sann eller usann. Begrunn svaret.

Oppgave 6a)

Påstand 1: Grafen til f f har minst ett ekstremalpunkt.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
f(x)=x3+x {f(x) = x^3 + x} har f′(x)=3x2+1>0 {f'(x) = 3x^2 + 1 > 0} og ingen ekstremalpunkter:
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
Oppgave 6A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, video, 05:59
Påstanden gjelder alle tredjegradsfunksjoner. Ekstremalpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så vi ser etter en tredjegradsfunksjon der den deriverte aldri er null.
Metode: For hånd
1. Deriver tredjegradsfunksjonen 0:13 En tredjegradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {a \neq 0}\text{.} \) Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]Den deriverte er et andregradsuttrykk.
2. Se når den deriverte er null 3:13 Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene i \( f'(x) \) for \( {\textcolor{blue}{p} = 3a}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = 2b} \) og \( {\textcolor{green}{r} = c}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {f'(x) = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Er tallet under rottegnet negativt, finnes det ingen løsning, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Da er \( f'(x) \) aldri null, og grafen har ingen ekstremalpunkter.
3. Finn et moteksempel Vi velger \( {f(x) = x^3 + x}\text{.} \) Da er: \[ f'(x) = 3x^2 + 1 \]Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) så tallet under rottegnet er \( {\textcolor{red}{0}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{green}{1} = -12 < 0}\text{.} \)
Siden \( {x^2 \ge 0}\text{,} \) er \( {f'(x) \ge 1} \) for alle \( x\text{.} \) Grafen stiger hele tiden og har ingen ekstremalpunkter. Det er et moteksempel, så påstanden er usann.

Oppgave 6b)

Påstand 2: Alle linjer på formen y=ax+b, {y = ax + b}\text{,} der a,b∈R, a, b \in \mathbb{R}\text{,} vil skjære grafen til f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
f(x) f(x) minus linja er en tredjegradsfunksjon, og den har alltid minst ett nullpunkt:
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Oppgave 6B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, video, 06:56
Linja skjærer grafen der \( f(x) \) er lik linja. Samler vi alt på én side, får vi en tredjegradslikning, og en tredjegradsfunksjon har alltid minst ett nullpunkt.
Metode: For hånd
1. Se hvor grafen kommer fra 1:50 Vi skriver \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Når \( x \) blir stor i tallverdi, bestemmer leddet \( \textcolor{blue}{a}x^3 \) hvor grafen går. Er \( {\textcolor{blue}{a} > 0}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty \end{aligned} \]Er \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) er det omvendt.
Grafen henger sammen, så på veien fra \( {-\infty} \) til \( \infty \) må den krysse \( x \)-aksen minst én gang. En tredjegradsfunksjon har altså alltid minst ett nullpunkt.
2. Sett funksjonen lik linja 4:16 Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i \( f\text{,} \) så vi skriver linja \( {y = kx + m}\text{.} \) Den skjærer grafen der \( {f(x) = kx + m}\text{,} \) altså der \( {g(x) = 0} \) med: \[ \begin{aligned} g(x) &= f(x) - kx - m \\ &= \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 \\ &\quad + (c - k)x + (d - m) \end{aligned} \]
\( g \) er en tredjegradsfunksjon, fordi \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Den har minst ett nullpunkt, så linja skjærer grafen minst én gang, uansett hva \( k \) og \( m \) er. Påstanden er derfor sann.

Oppgave 6c)

Påstand 3: Dersom grafen til f f har et vendepunkt for x=3, {x = 3}\text{,} er f′(1)=f′(5). {f'(1) = f'(5)}\text{.}
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Vendepunktet gir f′′(3)=0, {f''(3) = 0}\text{,} og da er f′(1)=f′(5): {f'(1) = f'(5)}\text{:}
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, video, 07:50
Et vendepunkt ligger der \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi deriverer \( f \) to ganger, bruker at \( {f''(3) = 0}\text{,} \) og regner ut \( f'(1) \) og \( f'(5)\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Deriver to ganger 0:30 Med \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + cx + d} \) og potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + c \\ f''(x) &= 6\textcolor{blue}{a}x + 2\textcolor{red}{b} \end{aligned} \]
2. Bruk vendepunktet 1:44 Vendepunktet i \( {x = 3} \) gir \( {f''(3) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{a} \cdot 3 + 2\textcolor{red}{b} &= 0 \\ \textcolor{red}{b} &= -9\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]
3. Regn ut de to deriverte 4:40 Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {\textcolor{red}{b} = -9\textcolor{blue}{a}} \) i \( f'(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} + 2\textcolor{red}{b} + c \\ f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} - 18\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]
Og så \( {x = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} + 10\textcolor{red}{b} + c \\ f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} - 90\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]
Begge er \( {c - 15\textcolor{blue}{a}}\text{,} \) så \( {f'(1) = f'(5)}\text{,} \) og påstanden er sann. Det passer med at grafen til \( f' \) er en parabel med toppunkt eller bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og 1 og 5 ligger like langt fra 3.