Eksamensoppgaver etter tema

Erik får poenget når terningen hans viser mer enn den høyeste av Kris sine to. Vi teller de like sannsynlige utfallene der det skjer.

1. Tell utfallene der Erik vinner Vi deler opp etter den høyeste terningen til Kris, \( m\text{.} \) Av de 16 parene Kris kan få, har \( {\textcolor{blue}{2m - 1}} \) høyeste verdi \( m\text{,} \) for eksempel har (1, 2), (2, 1) og (2, 2) høyeste verdi 2. Erik vinner når han får mer enn \( m\text{,} \) altså på \( {\textcolor{red}{6 - m}} \) av sidene: \[ \begin{array}{l|cccc} m & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{par til Kris} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{blue}{7} \\ \text{Erik over } m & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{2} \\ \hline \text{gunstige} & 5 & 12 & 15 & 14 \end{array} \]Til sammen er det \( {5 + 12 + 15 + 14 = 46} \) gunstige utfall.

2. Regn ut sannsynligheten Eriks terning har 6 sider og hver av Kris sine 4, så det er \( {6 \cdot 4 \cdot 4 = 96} \) like sannsynlige utfall. Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{46}{96} = \dfrac{23}{48} \approx 0{,}479 \]

Vi lager et program som spiller hele spillet mange ganger, og teller hvor ofte Erik når 100 poeng først. Andelen er omtrent sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive en runde og et spill som funksjoner, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Skriv programmet Programmet har tre deler: én runde, ett spill og mange spill. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar en runde og et spill Funksjonen \( \texttt{runde()} \) i linje 3 til 11 kaster Eriks terning med \( \texttt{randint(1, 7)} \) og Kris sine med \( \texttt{randint(1, 5)}\text{.} \) Den øvre grensen er ikke med, så vi får 1 til 6 og 1 til 4, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 8 sammenligner Eriks terning med den høyeste av Kris sine.

Funksjonen \( \texttt{spill()} \) i linje 13 til 23 spiller runder så lenge begge har under 100 poeng, og gir poenget til den som vinner runden. Den returnerer Eriks poeng, som er 100 når han kom først.

3. Tell spillene Erik vinner Løkka i linje 28 til 30 spiller \( \textcolor{red}{100\,000} \) spill og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_erik\_vinner}} \) hvor mange Erik vinner, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 32 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{spill Erik vinner}}}{\textcolor{red}{\text{alle spill}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at Erik nådde 100 poeng først i omtrent \( 27{,}7\,\% \) av spillene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 28\,\%\text{.} \)

Kontroll: Erik når 100 poeng først nøyaktig når han vinner minst 100 av de 199 første rundene. Med \( {p = \dfrac{23}{48}} \) fra a) gir sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, med binomisk fordeling og \( {n = 199}\text{,} \) den eksakte verdien \( {P(X \ge 100) \approx 0{,}2780}\text{.} \)

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hvor mange treff det kan bli. Programmet skriver ut antall treff delt på antall skudd.

1. Les løkka Linje 7 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) så løkka i linje 10 til 13 går tre ganger, én gang for hvert skudd, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker \( \texttt{choice} \) et tilfeldig element fra lista i linje 4. Er det \( \texttt{"treff"}\text{,} \) øker linje 13 \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) med 1.

Linje 8 starter tellingen på 0, så etter løkka er \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) lik \( \textcolor{red}{0}\text{,} \) \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) \( \textcolor{red}{2} \) eller \( \textcolor{red}{3}\text{.} \)

2. Regn ut utskriftene Linje 15 står utenfor løkka og skriver ut ett tall: \( \textcolor{red}{\text{antall treff}} \) delt på \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0}}{\textcolor{blue}{3}} = 0 \qquad \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{3}} = 1 \]Programmet skriver dem som desimaltall, så tre treff gir \( 1{,}0\text{,} \) som i b).

Programmet skriver ut \( 1{,}0 \) når alle tre skuddene er treff. Hvert skudd er treff med samme sannsynlighet, uavhengig av de andre, så vi ganger.

1. Finn sannsynligheten for ett treff Lista i linje 4 har 5 elementer, og 2 av dem er \( \texttt{"treff"}\text{.} \) \( \texttt{choice} \) velger hvert element med samme sannsynlighet, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P(\text{treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \]

2. Gang sammen for tre skudd Lista endrer seg ikke, så skuddene er uavhengige. Vi ganger sannsynlighetene for hvert skudd, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{tre treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{8}{125} \]Antallet treff er altså binomisk fordelt med \( {n = 3} \) skudd og \( {p = \dfrac{2}{5}}\text{.} \)

«Minst ett mål» er det motsatte av «ingen mål». Vi finner sannsynligheten for at Einar bommer på alle straffesparkene, og prøver oss fram med antallet.

1. Bruk den motsatte hendelsen Einar bommer med sannsynligheten \( {1 - 0{,}3 = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{.} \) Enten scorer han minst ett mål, eller så bommer han på alle, så vi teller det motsatte og trekker fra, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst ett mål}) \\ &= 1 - P(\text{ingen mål}) \end{aligned} \]

Straffesparkene er uavhengige, så med \( n \) straffespark ganger vi \( \textcolor{red}{0{,}7} \) med seg selv \( n \) ganger: \[ P(\text{minst ett mål}) = 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^n \]

2. Prøv deg fram Med ett straffespark er sannsynligheten \( {1 - \textcolor{red}{0{,}7} = 0{,}3}\text{,} \) som er for lite. Med to får vi: \[ \begin{aligned} 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^2 &= 1 - 0{,}49 \\ &= 0{,}51 \end{aligned} \]Det er mer enn \( 0{,}5\text{,} \) altså over \( 50\,\%\text{.} \)

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hva som skjer med terningene i hver runde.

1. Les starten og løkkene Linje 4 og 5 starter med \( {\texttt{runder} = 0} \) og \( {\texttt{terninger} = 100}\text{.} \) Løkka i linje 6 går så lenge det er terninger igjen, som while-løkka i videoen Oppgave 4C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang den går, er én runde.

Løkka i linje 7 kaster én gang for hver terning Ola har når runden starter. \( \texttt{randint(1,6)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, altså et vanlig terningkast, slik kommentaren i linje 2 sier.

2. Les hva hvert kast gjør Viser terningen 6, legger linje 9 til \( \textcolor{green}{3} \) terninger. Terningen selv blir, så Ola får \( \textcolor{green}{3} \) terninger til. Viser den noe annet, trekker linje 11 fra \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) så den terningen er borte.

Linje 12 teller rundene. Når det ikke er flere terninger igjen, stopper løkka, og linje 14 skriver ut hvor mange runder spillet varte.

Vi bygger videre på programmet til Ola og reglene fra a).

Vi lar et program spille spillet mange ganger og regner ut gjennomsnittet av antall runder.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å gjøre et spill om til en funksjon, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Gjør spillet om til en funksjon Vi flytter linje 4 til 12 fra programmet til Ola inn i funksjonen \( \texttt{spill()} \) i linje 3 til 13. Den spiller ett spill og returnerer antall runder, som funksjonen i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her er hele programmet, med utskriften fra én kjøring:

2. Regn ut gjennomsnittet Løkka i linje 18 og 19 spiller \( \textcolor{red}{100\,000} \) spill og legger sammen antall runder i \( \textcolor{blue}{\texttt{sum\_runder}}\text{,} \) som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 21 deler summen på antall spill: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{alle rundene}}}{\textcolor{red}{\text{antall spill}}} \]Utskriften viser at et spill i gjennomsnitt varte omtrent \( 8{,}52 \) runder. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 8{,}5\text{.} \)

Hvert av de tre sifrene kan være ett av de seks sifrene 1 til 6. Vi teller hvor mange koder som er mulige, og bare én av dem er riktig.

1. Tell de mulige kodene Uten 7, 8, 9 og 0 er det seks sifre igjen: 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvert av de tre sifrene i koden kan være hvilket som helst av dem, så antall mulige koder er: \[ \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{6} = 216 \]

2. Regn ut sannsynligheten Peder prøver én av kodene, og alle er like sannsynlige. Sannsynligheten er da: \[ P = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} \]

Her er 1 kode gunstig og 216 mulige: \[ P = \dfrac{1}{216} \approx 0{,}0046 \]Det er det samme som å treffe riktig siffer på hvert av de tre hjulene, \( {\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}}\text{,} \) slik vi ganger sannsynligheter i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi lar et program trekke en tilfeldig kode og et tilfeldig forsøk svært mange ganger, og teller hvor ofte forsøket åpner låsen. Andelen er omtrent sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive ett forsøk som en funksjon, og en løkke som teller.

1. Skriv programmet Programmet har to deler: ett forsøk og mange forsøk. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar ett forsøk Funksjonen «forsøk()» i linje 3 til 15 trekker en tilfeldig kode i linje 4 til 6 og et tilfeldig forsøk i linje 8 til 10. \( \texttt{np.random.randint(1, 7)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, fordi den øvre grensen ikke er med, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 12 sjekker om alle tre sifrene er like, og da åpner låsen.

3. Tell forsøkene som åpner låsen Løkka i linje 20 til 22 gjør \( \textcolor{red}{1\,000\,000} \) forsøk og teller i «antall_åpnet» hvor mange av dem som åpner låsen, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 24 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{forsøk som åpnet}}}{\textcolor{red}{\text{alle forsøk}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at låsen åpnet seg i omtrent \( 0{,}47\,\% \) av forsøkene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 0{,}46\,\%\text{,} \) som er \( \dfrac{1}{216} \) fra a).

Hver dag vinner Hassan eller ikke, med samme sannsynlighet og uavhengig av de andre dagene. Antall reiser han vinner, er derfor binomisk fordelt. Vi finner hvor mange dager som skal til før sannsynligheten for minst én reise blir \( 20\,\%\text{.} \)

1. Begrunn modellen La \( X \) være antall reiser Hassan vinner på \( \textcolor{blue}{n} \) dager. Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver pakke har gavekort eller ikke, vi har et fast antall forsøk, \( \textcolor{blue}{n} \) pakker, sannsynligheten er den samme hver dag, \( {\textcolor{red}{p} = \dfrac{1}{1000} = \textcolor{red}{0{,}001}}\text{,} \) og pakkene påvirker ikke hverandre, fordi det selges svært mange pakker. \( X \) er altså binomisk fordelt.

2. Sett opp sannsynligheten for minst én Minst én reise er det motsatte av ingen reiser, og ingen reiser betyr at alle \( \textcolor{blue}{n} \) pakkene er uten gavekort: \[ \begin{aligned} P(X \ge 1) &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - (1 - \textcolor{red}{0{,}001})^{\textcolor{blue}{n}} \\ &= 1 - 0{,}999^{\textcolor{blue}{n}} \end{aligned} \]

Den skal være \( 0{,}2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - 0{,}999^{n} &= 0{,}2 \\ 0{,}999^{n} &= 0{,}8 \end{aligned} \]

3. Løs med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regneregelen \( {\ln\left(a^n\right) = n \cdot \ln a} \) flytter eksponenten ned foran, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(0{,}999^{n}\right) &= \ln 0{,}8 \\ n \cdot \ln 0{,}999 &= \ln 0{,}8 \\ n &= \dfrac{\ln 0{,}8}{\ln 0{,}999} \approx 223{,}03 \end{aligned} \]

Antall dager er et helt tall, og sannsynligheten øker for hver dag. Etter 223 dager er den \( {1 - 0{,}999^{223} \approx 19{,}997\,\%}\text{,} \) som er litt under \( 20\,\%\text{.} \) Etter 224 dager er den \( {1 - 0{,}999^{224} \approx 20{,}08\,\%}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi løser \( {1 - 0{,}999^n = 0{,}2} \) i CAS, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(1 - 0.999^n = 0.2, n)

CAS gir \( {n \approx 223{,}03}\text{.} \) Sannsynligheten øker for hver dag, så etter 223 dager er den fortsatt litt under \( 20\,\%\text{.} \) Det tar altså 224 dager.

Overskuddet per pakke er prisen minus det pakken koster å lage, og minus det reisene koster i gjennomsnitt per pakke. Vi finner overskuddet for de vanlige pakkene og krever det samme for Gullknekk.

1. Finn overskuddet for de vanlige pakkene Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Én av 1000 pakker gir en reise til 5000 kroner, så reisene koster i gjennomsnitt: \[ \dfrac{5000}{1000} = \textcolor{blue}{5} \text{ kroner per pakke} \]

Overskuddet per vanlig pakke blir: \[ 40 - 10 - \textcolor{blue}{5} = 25 \text{ kroner} \]

2. Krev det samme for Gullknekk Én av 100 pakker Gullknekk gir en reise, så reisene koster i gjennomsnitt: \[ \dfrac{5000}{100} = \textcolor{red}{50} \text{ kroner per pakke} \]

Med prisen \( x \) kroner skal overskuddet også være 25 kroner per pakke: \[ \begin{aligned} x - 10 - \textcolor{red}{50} &= 25 \\ x &= 85 \end{aligned} \]

Vi lager et program som kjøper knekkebrød i 52 uker mange ganger, og teller hvor ofte Hassan vinner minst én reise. Andelen er omtrent sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive de 52 ukene som en funksjon, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Skriv programmet Her er programmet, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar de 52 ukene Funksjonen \( \texttt{vinner\_reise()} \) i linje 3 til 13 går gjennom 52 uker. Hver uke kjøper Hassan 5 vanlige pakker og 2 Gullknekk. \( \texttt{randint(1, 1001)} \) i linje 6 gir et tilfeldig heltall fra 1 til 1000, fordi den øvre grensen ikke er med, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Tallet er 1 med sannsynlighet \( \dfrac{1}{1000}\text{,} \) som gavekortet i en vanlig pakke. På samme måte gir \( \texttt{randint(1, 101)} \) gavekort med sannsynlighet \( \dfrac{1}{100} \) i linje 10. Funksjonen returnerer \( \texttt{True} \) så snart Hassan vinner, og \( \texttt{False} \) hvis han ikke vinner noe på 52 uker.

3. Tell forsøkene Løkka i linje 18 til 20 går gjennom de 52 ukene \( \textcolor{red}{100\,000} \) ganger og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_vinner}} \) hvor mange ganger Hassan vinner minst én reise, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 22 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{forsøk med reise}}}{\textcolor{red}{\text{alle forsøk}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at Hassan vant minst én reise i omtrent \( 72{,}8\,\% \) av forsøkene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 73\,\%\text{.} \)

Kontroll: På 52 uker kjøper Hassan \( {52 \cdot 5 = 260} \) vanlige pakker og \( {52 \cdot 2 = 104} \) Gullknekk. Sannsynligheten for minst én reise er da nøyaktig \( {1 - 0{,}999^{260} \cdot 0{,}99^{104}}\text{,} \) altså omtrent \( 0{,}7289\text{.} \)

Vi tar terningene én om gangen. Hver ny terning må vise et antall øyne som ikke er brukt, og vi ganger sannsynlighetene sammen.

1. Finn sannsynligheten for hver terning Den første terningen kan vise hva som helst, så \( \textcolor{blue}{6} \) av de \( \textcolor{red}{6} \) sidene er gunstige. Den andre må vise noe annet enn den første, så \( \textcolor{blue}{5} \) sider er gunstige, og så videre. Vi skriver de gunstige sidene i blått og alle sidene i rødt: \[ \begin{aligned} \text{Terning 1: } & \dfrac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{6}} & \text{Terning 2: } & \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{6}} \\ \text{Terning 3: } & \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{6}} & \text{Terning 4: } & \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{6}} \\ \text{Terning 5: } & \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{6}} \end{aligned} \]

2. Gang sammen og forkort Hver brøk gjelder når terningene før har vist forskjellig antall øyne, så vi ganger brøkene sammen, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P &= \dfrac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{6}} \\ P &= \dfrac{\textcolor{blue}{720}}{\textcolor{red}{7776}} = \dfrac{5}{54} \approx 0{,}093 \end{aligned} \]

Sannsynligheten er omtrent andelen av mange forsøk der vi får nøyaktig tre seksere. Vi lar et program kaste fem terninger svært mange ganger og telle.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive én funksjon for ett kast med fem terninger og en løkke som teller, og på å forklare hva hver del gjør.

1. Skriv programmet Programmet har to deler: ett kast med fem terninger, og mange kast. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar ett kast Funksjonen \( \texttt{kast()} \) i linje 3 til 12 kaster fem terninger med \( \texttt{randint(1, 7)}\text{.} \) Den øvre grensen er ikke med, så vi får et tall fra 1 til 6, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang terningen viser 6, øker \( \texttt{antall\_seksere} \) med 1, og funksjonen returnerer antall seksere.

3. Tell kastene med tre seksere Løkka i linje 17 til 19 kaster de fem terningene \( \textcolor{red}{1\,000\,000} \) ganger og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_tre\_seksere}} \) hvor mange kast som har nøyaktig tre seksere, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 21 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{kast med tre seksere}}}{\textcolor{red}{\text{alle kast}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at vi fikk nøyaktig tre seksere i omtrent \( 3{,}2\,\% \) av kastene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 3{,}2\,\%\text{.} \)

Kontroll: Med binomisk fordeling, \( {n = 5} \) og \( {p = \dfrac{1}{6}}\text{,} \) er den eksakte sannsynligheten \( {10 \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{125}{3888}}\text{,} \) altså omtrent \( 3{,}2\,\%\text{.} \) Tallet \( {10 = \dbinom{5}{3}} \) er antall måter å velge hvilke tre terninger som viser 6 på.

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Brøken i linje 9 kjenner vi igjen fra definisjonen av den deriverte.

1. Les hva funksjonene regner ut Linje 1 og 2 definerer \( f\text{,} \) og linje 4 og 5 definerer \( \texttt{areal(x)}\text{.} \) Med \( {B = (x, 0)} \) er \( {AB = x} \) og \( {BC = f(x)}\text{,} \) så \( \texttt{areal(x)} \) er arealet av rektangelet \( ABCD\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{A(x)} = x \cdot (-x^2 + 4) = 4x - x^3 \]

Linje 7 til 9 regner ut brøken med \( {h = 0{,}0001}\text{.} \) Den er stigningstallet mellom to punkter på grafen til \( \textcolor{blue}{A} \) som ligger svært nær hverandre, så den er nesten den deriverte, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x)}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{A(x + h)} - \textcolor{blue}{A(x)}}{h} \\ &\approx A'(x) \end{aligned} \]

2. Finn ut når løkka stopper Løkka i linje 13 og 14 starter i \( {x = 0} \) og øker \( x \) med \( 0{,}01 \) så lenge \( {\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x + dx)}} > 0}\text{,} \) altså så lenge arealet fortsatt øker. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ A'(x) = 4 - 3x^2 \]Den er positiv for \( {x < \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547}\text{.} \)

Når \( {x = 1{,}14}\text{,} \) er \( {A'(1{,}15) \approx 0{,}03 > 0}\text{,} \) så \( x \) blir \( 1{,}15\text{.} \) Når \( {x = 1{,}15}\text{,} \) er \( {A'(1{,}16) \approx -0{,}04 < 0}\text{,} \) så løkka stopper.

3. Regn ut utskriften Linje 16 skriver ut arealet i \( {x = 1{,}15}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A(1{,}15)} &= 1{,}15 \cdot (4 - 1{,}15^2) \\ &= 1{,}15 \cdot 2{,}6775 \\ &= 3{,}079125 \end{aligned} \]Lars prøver altså å finne det største arealet rektangelet \( ABCD \) kan få. Toppunktet er i \( {x = \dfrac{2}{\sqrt{3}}}\text{,} \) så programmet treffer nesten.

1. Kjør programmet Kjører vi programmet, skriver det ut:

Det er \( 3{,}079125\text{.} \) Sifrene til slutt kommer av en liten avrundingsfeil i datamaskinen.

Vi bruker at \( \texttt{der\_areal(x)} \) er nesten den deriverte av arealet, som vi fant i a).

Programmet går fram i små steg og stopper når den deriverte av arealet ikke lenger er positiv. Vi ser når det gir det største arealet, og når det ikke gjør det.

1. Beskriv strategien Lars starter i \( {x = 0} \) og går fram i steg på \( 0{,}01 \) så lenge den deriverte av arealet er positiv, altså så lenge arealet øker. Når den deriverte blir 0 eller negativ, har arealet nådd toppen, og programmet skriver ut arealet der. Det er det samme som at toppunktet ligger der den deriverte skifter fra pluss til minus, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

2. Finn et moteksempel Strategien virker bare når arealet først øker og så minker. Et moteksempel er \( {f(x) = 4}\text{.} \) Da er arealet \( \textcolor{blue}{4x}\text{,} \) som øker hele tiden: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x)}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{4(x + h)} - \textcolor{blue}{4x}}{h} = 4 > 0 \end{aligned} \]Løkka stopper aldri. Har arealet flere toppunkter, stopper programmet i det første, og det trenger ikke å være det største.

«Minst to like» dekker alle tilfellene unntatt ett: at alle fem terningene viser forskjellig. Vi finner sannsynligheten for det og trekker den fra 1.

1. Bruk den motsatte hendelsen 0:20 Enten viser alle fem terningene forskjellig antall øyne, eller så viser minst to av dem det samme. Sannsynlighetene for de to tilfellene blir til sammen 1: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst to like}) \\ &= 1 - \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} \end{aligned} \]

2. Finn sannsynligheten for alle ulike 1:39 Vi tar terningene én om gangen, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Hver ny terning må vise et antall øyne som ikke er brukt: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} &= \dfrac{6}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \\ \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} &= \dfrac{720}{7776} = \textcolor{blue}{\dfrac{5}{54}} \end{aligned} \]

3. Trekk fra 1 4:13 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{minst to like}) &= 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{5}{54}} \\ &= \dfrac{49}{54} \approx 0{,}907 \end{aligned} \]

Sannsynligheten er omtrent andelen av mange forsøk der summen blir over 20. Vi lar programmet kaste fem terninger svært mange ganger og telle, som i videoen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir: en funksjon, en løkke og en teller.

1. Simuler fem terninger 4:02 Her er programmet, med utskriften fra én kjøring:

Funksjonen \( \texttt{kast} \) i linje 3 til 12 kaster fem terninger og returnerer summen. \( \texttt{np.random.randint(1, 7)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, fordi tallet 7 ikke er med.

2. Tell forsøkene med sum over 20 8:18 Løkka i linje 17 til 21 kaster fem terninger \( \textcolor{red}{10\,000\,000} \) ganger, antall forsøk fra linje 14. Hver gang summen er over 20, øker telleren \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_over\_20}} \) med 1.

3. Regn ut sannsynligheten 14:13 Linje 23 deler antallet over 20 på antall forsøk: \[ P(X > 20) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall over } 20}}{\textcolor{red}{\text{antall forsøk}}} \]Linje 23 ganger også med 100, så programmet skriver ut sannsynligheten i prosent.

Programmet gir omtrent 22,1 %. Svaret varierer litt fra kjøring til kjøring, og jo flere forsøk, jo mindre varierer det.

Kontroll: Teller vi alle \( {6^5 = 7776} \) like sannsynlige kast i stedet for å trekke tilfeldige, har 1722 av dem sum over 20, så sannsynligheten er \( {\dfrac{287}{1296} \approx 0{,}2215}\text{.} \)

Vi bygger videre på programmet fra b).

\( {P(X \ge k)} \) blir mindre når \( k \) øker. Vi lar et program regne ut sannsynligheten for \( {k = 1, 2, 3} \) og så videre, og stoppe når den ikke lenger er større enn 0,8.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir, særlig while-løkker som stopper når et krav ikke lenger holder.

1. Lag en funksjon for sannsynligheten 4:38 Her er programmet:

Vi flytter tellingen fra b) inn i funksjonen \( \texttt{sannsynlighet(k)} \) i linje 18 til 28. Den kaster fem terninger \( \textcolor{red}{10\,000} \) ganger, teller kastene med sum minst \( k \) i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_over\_k}} \) og returnerer andelen: \[ P(X \ge k) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall med sum} \ge k}}{\textcolor{red}{10\,000}} \]

2. La en løkke øke k 6:30 While-løkka i linje 30 til 33 starter med \( {k = 1} \) og øker \( k \) med 1 så lenge sannsynligheten er større enn 0,8. For hver \( k \) skriver den ut \( k \) og sannsynligheten. Kjører vi programmet, skriver det ut:

Den siste \( k \) som skrives ut, er 14. For \( {k = 15} \) er sannsynligheten ikke lenger over 0,8, så løkka stopper.

Kontroll: Teller vi alle 7776 kast, er \( {P(X \ge 14) = \dfrac{1099}{1296} \approx 0{,}848} \) og \( {P(X \ge 15) = \dfrac{1009}{1296} \approx 0{,}779}\text{.} \)