Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

S1 eksamen høsten 2024

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 6 oppgaver · 14 poeng

Oppgave 1

2 poeng

  • derivasjon,
  • kvotientregelen
Deriver funksjonen
f(x)=e2xx f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x}
Vis løsning på oppgave 1

Svar

For x≠0 {x \neq 0} er
f′(x)=e2x(2x−1)x2‾‾ \underline{\underline{f'(x) = \dfrac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}}}
Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Telleren \( e^{2x} \) deriverer vi med kjerneregelen.
1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Kjerneregelen gir \( {\left(e^{\textcolor{green}{2x}}\right)' = e^{2x} \cdot \textcolor{green}{2}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{2x}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2e^{2x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \]
Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^{2x}} \) i telleren, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^{2x}}(2x - 1)}{x^2} \]

Oppgave 2

2 poeng

  • andregradsfunksjoner,
  • derivasjon,
  • programmering
Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Programmet stopper i toppunktet til O O og skriver ut
10 000‾‾ \underline{\underline{10\,000}}
Løkka øker \( x \) så lenge neste funksjonsverdi er større, altså så lenge grafen til \( O \) stiger. Programmet stopper derfor i toppunktet, som vi finner med den deriverte.
1. Les hva programmet gjør Linje 1 og 2 definerer funksjonen: \[ O(x) = -0{,}1x^2 + 2000x - 50\,000 \]
Linje 4 starter med \( {x = 0}\text{.} \) Løkka i linje 6 og 7 øker \( x \) med \( 1 \) så lenge \( {O(x + 1) > O(x)}\text{,} \) altså så lenge grafen stiger. Når den ikke stiger lenger, stopper løkka, og linje 9 skriver ut \( x\text{.} \)
2. Finn toppunktet med den deriverte Topp- og bunnpunkter finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd: \[ O'(x) = -0{,}2x + 2000 \]
Vi setter den deriverte lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}2x + 2000 &= 0 \\ x &= \dfrac{2000}{0{,}2} = 10\,000 \end{aligned} \]For \( {x < 10\,000} \) er \( {\textcolor{blue}{O'(x) > 0}}\text{,} \) og grafen stiger. For \( {x > 10\,000} \) er \( {\textcolor{red}{O'(x) < 0}}\text{,} \) og grafen synker.
3. Finn verdien som skrives ut Løkka tar ett steg om gangen. Når \( {x = 9999}\text{,} \) er \( {\textcolor{blue}{O(10\,000) > O(9999)}}\text{,} \) fordi grafen stiger fram til toppunktet. Da blir \( {x = 10\,000}\text{.} \)
Når \( {x = 10\,000}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{O(10\,001) < O(10\,000)}}\text{,} \) fordi grafen synker etter toppunktet. Da stopper løkka, og programmet skriver ut \( 10\,000\text{.} \)

Oppgave 3

2 poeng

  • andregradslikninger,
  • logaritmer,
  • potenser
Løs likningen
100x−3⋅10x=4 100^x - 3 \cdot 10^x = 4
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Likningen har én løsning, siden 10x=−1 {10^x = -1} er umulig:
x=lg⁡4‾‾ \underline{\underline{x = \lg 4}}
Vi ser at \( 100^x \) er \( 10^x \) i andre. Gir vi \( 10^x \) et nytt navn, \( u\text{,} \) blir likningen en andregradslikning.
1. Skriv om med en ny variabel Siden \( {100 = 10^2}\text{,} \) gir regneregelen \( {(a^m)^n = a^{m \cdot n}} \) for potenser at: \[ 100^x = (10^2)^x = 10^{2x} = (10^x)^2 \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.
Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{10^x}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, og flytter \( 4 \) over: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u}^2 - 3\textcolor{darkorange}{u} &= 4 \\ \textcolor{darkorange}{u}^2 - 3\textcolor{darkorange}{u} - 4 &= 0 \end{aligned} \]
2. Løs med abc-formelen Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}u^2 + \textcolor{red}{b}u + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-3}) = 3}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{3 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ u &= \dfrac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {u = 4} \) eller \( {u = -1}\text{.} \)
3. Finn x Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{10^x}}\text{.} \) En potens av \( 10 \) er alltid positiv, så \( {10^x = -1} \) har ingen løsning. Vi står igjen med: \[ 10^x = 4 \]
Vi tar \( \lg \) på begge sider. Fra definisjonen er \( {\lg\left(10^x\right) = x}\text{,} \) fordi \( x \) er tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( 10^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lg\left(10^x\right) &= \lg 4 \\ x &= \lg 4 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Oppgave 4

2 poeng

  • grenseverdier
Finn grenseverdien hvis den eksisterer.
lim⁡x→∞x2+x−122x2−18 \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18}
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Grenseverdien eksisterer:
lim⁡x→∞x2+x−122x2−18=12‾‾ \underline{\underline{\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18} = \dfrac{1}{2}}}
Vi ser hvilken form brøken får når \( x \) vokser, og bruker så L'Hôpitals regel.
1. Se hva teller og nevner gjør Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Teller: }} & x^2 + x - 12 \to \infty \\ \textcolor{blue}{\text{Nevner: }} & 2x^2 - 18 \to \infty \end{aligned} \]Både telleren og nevneren vokser uten grense, så vi får formen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{.} \)
2. Bruk L'Hôpitals regel Da kan vi bruke L'Hôpitals regel. Den forteller oss at når vi får formen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) er: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hôpitals regel.
Her er \( {\textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{x^2 + x - 12}} \) og \( {\textcolor{blue}{g(x)} = \textcolor{blue}{2x^2 - 18}}\text{.} \) Deriverer vi telleren og nevneren hver for seg, får vi: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{x^2 + x - 12}}{\textcolor{blue}{2x^2 - 18}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{2x + 1}}{\textcolor{blue}{4x}} \]
3. Bruk regelen én gang til Vi lar \( x \) gå mot uendelig igjen, i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Teller: }} & 2x + 1 \to \infty \\ \textcolor{blue}{\text{Nevner: }} & 4x \to \infty \end{aligned} \]Vi har fortsatt formen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) så vi bruker regelen en gang til, som i eksempelet i videoen L'Hôpitals regel: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{2x + 1}}{\textcolor{blue}{4x}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{4}} = \dfrac{1}{2} \]Nå er telleren og nevneren bare tall.
Alternativ metode: Del på den høyeste potensen Vi deler telleren og nevneren på \( x^2\text{,} \) den høyeste potensen i nevneren: \[ \dfrac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{12}{x^2}}{2 - \dfrac{18}{x^2}} \]Når \( x \to \infty\text{,} \) går brøkene med \( x \) i nevneren mot \( 0\text{,} \) så grensen er \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Metoden lønner seg for brøker med polynomer i teller og nevner, fordi den ikke trenger derivasjon.

Oppgave 5

4 poeng

  • sannsynlighet
I en kasse ligger det 4 røde, 3 blå og 2 gule kuler. Audun tar tilfeldig to kuler fra kassen.

Oppgave 5a)

Bestem sannsynligheten for at han tar to kuler med samme farge.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
P(samme farge)=518‾‾ \underline{\underline{P(\text{samme farge}) = \dfrac{5}{18}}}
Samme farge betyr to røde, to blå eller to gule. Vi tar kulene én om gangen, regner ut hvert tilfelle for seg og legger sammen.
1. Regn ut hvert tilfelle Det er \( {4 + 3 + 2 = 9} \) kuler i kassen. Vi tar kulene én om gangen og ganger sannsynlighetene, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Den første kula legges ikke tilbake, så til den andre er det 8 kuler igjen, og én mindre av fargen han tok.
To røde: \[ \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{8} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{12}{72}}} \]
To blå: \[ \dfrac{3}{9} \cdot \dfrac{2}{8} = \textcolor{blue}{\underline{\dfrac{6}{72}}} \]
To gule: \[ \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{1}{8} = \textcolor{darkorange}{\underline{\dfrac{2}{72}}} \]
2. Legg sammen De tre tilfellene kan ikke skje samtidig. Slår vi dem sammen, får vi: \[ \textcolor{red}{\dfrac{12}{72}} + \textcolor{blue}{\dfrac{6}{72}} + \textcolor{darkorange}{\dfrac{2}{72}} = \dfrac{20}{72} = \dfrac{5}{18} \]

Oppgave 5b)

Bestem sannsynligheten for at han tar nøyaktig én gul kule.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
P(nøyaktig eˊn gul)=718‾‾ \underline{\underline{P(\text{nøyaktig én gul}) = \dfrac{7}{18}}}
Nøyaktig én gul kan skje på to måter: den gule først og så en annen farge, eller en annen farge først og så den gule. Vi regner ut begge rekkefølgene og legger sammen.
1. Regn ut begge rekkefølgene Av de 9 kulene er \( \textcolor{darkorange}{2} \) gule og \( \textcolor{green}{7} \) ikke gule. Vi tar kulene én om gangen, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.
Gul først, så en annen farge: \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{2}{9}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{7}{8}} = \underline{\dfrac{14}{72}} \]
En annen farge først, så gul: \[ \textcolor{green}{\dfrac{7}{9}} \cdot \textcolor{darkorange}{\dfrac{2}{8}} = \underline{\dfrac{14}{72}} \]
2. Legg sammen De to rekkefølgene kan ikke skje samtidig. Slår vi dem sammen, får vi: \[ \dfrac{14}{72} + \dfrac{14}{72} = \dfrac{28}{72} = \dfrac{7}{18} \]

Oppgave 6

2 poeng

  • derivasjon,
  • funksjoner
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner, f, f\text{,} g g og h. h\text{.} En av funksjonene har gjennomsnittlig vekstfart lik 12 \dfrac{1}{2} i intervallet [0,4], [0, 4]\text{,} og derivert lik 1 1 når x=1. {x = 1}\text{.}
Hvilken av funksjonene er dette? Husk å begrunne svaret ditt.
Vis løsning på oppgave 6

Svar

f f har gjennomsnittlig vekstfart 12 \dfrac{1}{2} på [0,4], [0, 4]\text{,} og f′(1)=1: {f'(1) = 1}\text{:}
Funksjonen er f‾‾ \underline{\underline{\text{Funksjonen er } f}}
Gjennomsnittlig vekstfart på \( [0, 4] \) er stigningstallet til linja mellom grafens punkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 4}\text{.} \) Vi leser av grafene og ser hvilken funksjon som oppfyller begge kravene.
1. Regn ut den gjennomsnittlige vekstfarten Gjennomsnittlig vekstfart fra \( {x = 0} \) til \( {x = 4} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Med \( {x_1 = 0} \) og \( {x_2 = 4} \) leser vi av \( y_1 \) og \( y_2 \) i figuren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f}\text{:} \quad \dfrac{2 - 0}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{blue}{g}\text{:} \quad \dfrac{4 - 2}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{h}\text{:} \quad \dfrac{4 - 4}{4 - 0} &= 0 \end{aligned} \]Bare \( \textcolor{green}{f} \) og \( \textcolor{blue}{g} \) har gjennomsnittlig vekstfart \( \dfrac{1}{2}\text{.} \)
2. Sjekk den deriverte Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen til \( \textcolor{blue}{g} \) er en rett linje, så tangenten er linja selv, og stigningstallet er \( \dfrac{1}{2} \) overalt: \[ \textcolor{blue}{g'(1)} = \dfrac{1}{2} \neq 1 \]Da står bare \( \textcolor{green}{f} \) igjen.
3. Kontroller med funksjonsuttrykket Grafen til \( \textcolor{green}{f} \) ser ut som en parabel med nullpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{,} \) altså \( {f(x) = a \cdot x(x - 6)}\text{.} \) Punktet \( (2, 2) \) gir: \[ \begin{aligned} a \cdot 2 \cdot (2 - 6) &= 2 \\ a &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]
Det gir \( {f(x) = -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x}\text{.} \) Potensregelen \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}} \) gir: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \\ f'(1) &= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 1 \end{aligned} \]

Del 2

Med hjelpemidler · 7 oppgaver · 32 poeng

Oppgave 1

6 poeng

  • kombinatorikk,
  • sannsynlighet
Bedriften Drakt & Søm leier ut komplette antrekk. Et antrekk består av et hodeplagg, en skjorte, en jakke, en bukse og et par sko. Bedriften har 10 hodeplagg, 20 skjorter, 15 jakker, 15 bukser og 5 par sko. Alle plagg og skopar som bedriften leier ut, er ulike.

Oppgave 1a)

Hvor mange forskjellige antrekk er det mulig å lage?
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
225 000 antrekk‾‾ \underline{\underline{225\,000 \text{ antrekk}}}
Et antrekk har ett plagg fra hver av de fem gruppene, og alle valgene kan kombineres med hverandre. Vi ganger derfor antallene sammen.
Metode: For hånd
1. Gang sammen antallene Hvert av de 10 hodeplaggene kan kombineres med hver av de 20 skjortene, og hver av disse kombinasjonene med hver av de 15 jakkene, og så videre. Dette kalles multiplikasjonsprinsippet: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{10 \cdot 20} \cdot \textcolor{red}{15 \cdot 15} \cdot 5 \\ &= \textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{225} \cdot 5 = 225\,000 \end{aligned} \]

Oppgave 1b)

Tore leier et antrekk. Han har det litt travelt når han skal hente antrekket, og tar med seg 3 tilfeldige sko. Bestem sannsynligheten for at Tore får med seg et skopar.
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
P(et skopar)=13‾‾ \underline{\underline{P(\text{et skopar}) = \dfrac{1}{3}}}
Med 3 sko kan Tore få med seg høyst ett par. Det er enklest å regne ut det motsatte, at alle tre skoene er fra ulike par, og trekke det fra 1.
Metode: For hånd
1. Bruk den motsatte hendelsen Enten får Tore med seg et skopar, eller så er alle tre skoene fra ulike par. Sannsynlighetene blir til sammen 1, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{et skopar}) = 1 - \textcolor{blue}{P(\text{ulike par})} \]
2. Ta skoene én om gangen Det er \( {5 \cdot 2 = 10} \) sko. Vi tar dem én om gangen og ganger sannsynlighetene, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Den første skoen kan være hvilken som helst. Den andre må være fra et annet par, så 8 av de 9 som er igjen, passer. Den tredje må være fra et tredje par, så 6 av de 8 som er igjen, passer: \[ \textcolor{blue}{P(\text{ulike par})} = \dfrac{10}{10} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{6}{8} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\text{et skopar}) = 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{3} \]
I byen Draktenburg bor det 542 000 542\,000 mennesker.

Oppgave 1c)

Hva er minste antall nye plagg og/eller skopar Drakt & Søm må anskaffe for at de skal ha flere mulige antrekk enn antall mennesker i Draktenburg?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
6 nye skopar og 1 nytt hodeplagg gir 11⋅20⋅15⋅15⋅11=544 500 {11 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 11 = 544\,500} antrekk:
7 nye plagg og skopar‾‾ \underline{\underline{7 \text{ nye plagg og skopar}}}
Vi bruker de \( 225\,000 \) antrekkene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Antall antrekk er produktet av antallene i de fem gruppene. Et nytt plagg gir flest nye antrekk i gruppen med færrest plagg, så vi kjøper alltid inn der det er færrest.
Metode: For hånd
1. Se hva ett nytt plagg gir Kjøper bedriften ett plagg til i en gruppe med \( \textcolor{blue}{n} \) plagg, blir antall antrekk ganget med: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{n} + 1}{\textcolor{blue}{n}} = 1 + \dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}} \]Faktoren er størst når \( \textcolor{blue}{n} \) er minst. Det lønner seg derfor å kjøpe skopar, der det er 5, til det er like mange skopar som hodeplagg, 10.
2. Kjøp der det er færrest I a) fant vi \( 225\,000 \) antrekk. Fem nye skopar, fra 5 til 10, dobler antallet. Så gir ett nytt hodeplagg og ett nytt skopar en faktor \( \dfrac{11}{10} \) hver: \[ \begin{aligned} 225\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{10}{5}} &= 450\,000 \\ 450\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{11}{10}} &= 495\,000 \\ 495\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{11}{10}} &= 544\,500 \end{aligned} \]Med 6 nye er \( 495\,000 \) det meste bedriften kan få, og det er for lite. Med 7 nye, 6 skopar og 1 hodeplagg, blir det \( 544\,500 \) antrekk, som er flere enn \( 542\,000\text{.} \) Bare skopar holder ikke: 7 nye skopar gir \( {225\,000 \cdot \dfrac{12}{5} = 540\,000}\text{.} \)

Oppgave 2

6 poeng

  • grenseverdier,
  • potenser,
  • vekstfart
Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Oppgave 2a)

Påstand: Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen f(x)=x2+2 {f(x) = x^2 + 2} i intervallet [1,4] [1, 4] er 5.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
f(4)−f(1)4−1=18−33=5: {\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{18 - 3}{3} = 5}\text{:}
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til linja mellom grafens punkter i endene av intervallet. Vi regner den ut og sammenligner med 5.
Metode: For hånd
1. Regn ut den gjennomsnittlige vekstfarten Gjennomsnittlig vekstfart fra \( {x = 1} \) til \( {x = 4} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Med \( {x_1 = 1} \) og \( {x_2 = 4} \) regner vi ut \( {y_1 = f(1)} \) og \( {y_2 = f(4)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(1)} &= 1^2 + 2 = \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{f(4)} &= 4^2 + 2 = \textcolor{blue}{18} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{blue}{18} - \textcolor{red}{3}}{4 - 1} = \dfrac{15}{3} = 5 \]Den gjennomsnittlige vekstfarten er 5, så påstanden er sann.

Oppgave 2b)

Påstand: Hvis
lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞g(x) \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x)
og
lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞g(x), \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} g(x)\text{,}
så er f(x)=g(x). {f(x) = g(x)}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
f(x)=1x2+1 {f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}} og g(x)=0 {g(x) = 0} har de samme grenseverdiene, men er ikke like:
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
Påstanden skal gjelde for alle funksjoner, så ett moteksempel er nok til å vise at den er usann. Grenseverdiene sier bare hva som skjer langt ute til venstre og til høyre.
Metode: For hånd
1. Let etter et moteksempel Finner vi to funksjoner som har de samme grenseverdiene, men som ikke er like, er påstanden usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.
Vi velger: \[ \textcolor{blue}{f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}} \qquad \textcolor{red}{g(x) = 0} \]
2. Sjekk grenseverdiene Når \( x \to \infty \) eller \( {x \to -\infty}\text{,} \) vokser nevneren \( {x^2 + 1} \) uten grense, så brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to \infty} \textcolor{red}{g(x)} \\ \lim_{x \to -\infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to -\infty} \textcolor{red}{g(x)} \end{aligned} \]
Begge kravene i påstanden er oppfylt, men funksjonene er ikke like: \[ \textcolor{blue}{f(0)} = \dfrac{1}{0 + 1} = 1 \neq 0 = \textcolor{red}{g(0)} \]Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}} \) og \( {g(x) = 2}\text{.} \)

Oppgave 2c)

Påstand: For likningen ax=ay, {a^x = a^y}\text{,} der a∈R, a \in \mathbb{R}\text{,} er løsningen alltid x=y. {x = y}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
For a=1 {a = 1} er 12=13, {1^2 = 1^3}\text{,} selv om 2≠3: {2 \neq 3}\text{:}
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
Påstanden sier «alltid», så den skal gjelde for alle \( a \in \mathbb{R}\text{.} \) Finner vi én verdi av \( a \) der likningen også har andre løsninger, er påstanden usann.
Metode: For hånd
1. Let etter et moteksempel Vi prøver \( {\textcolor{green}{a = 1}}\text{.} \) En potens er et produkt der grunntallet er faktor like mange ganger som eksponenten sier, som i videoen Hva er en Potens, så for eksempel er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} &= 1 \cdot 1 = 1 \\ \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}} &= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]Da er \( {\textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} = \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}}}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {y = \textcolor{red}{3}} \) er en løsning av likningen, selv om \( {2 \neq 3}\text{.} \) Dette er et moteksempel, og påstanden er usann.
Påstanden gjelder når \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{,} \) fordi \( a^x \) da enten vokser hele tiden eller avtar hele tiden, og tar hver verdi bare én gang.

Oppgave 3

2 poeng

  • logaritmer
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon f f gitt ved
f(x)=log⁡a(x) f(x) = \log_a(x)
Bestem a. a\text{.} Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Grafen går gjennom (5,1) (5, 1) og (25,2), (25, 2)\text{,} og 51=5 {5^1 = 5} og 52=25: {5^2 = 25}\text{:}
a=5‾‾ \underline{\underline{a = 5}}
For alle grunntall er \( {\log_a a = 1}\text{,} \) fordi \( {a^1 = a}\text{.} \) Grafen når derfor høyden \( 1 \) akkurat der \( {x = a}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Bruk definisjonen av logaritmen Fra definisjonen av logaritmen vet vi at: \[ \log_{\textcolor{blue}{a}} \textcolor{red}{x} = \textcolor{green}{y} \quad \text{betyr at} \quad \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{y}} = \textcolor{red}{x} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.
2. Les av et punkt på grafen Grafen går gjennom rutepunktet \( (\textcolor{red}{5}, \textcolor{green}{1})\text{,} \) så \( {\log_{\textcolor{blue}{a}} \textcolor{red}{5} = \textcolor{green}{1}}\text{.} \) Det gir: \[ \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{1}} = \textcolor{red}{5} \quad \Rightarrow \quad a = 5 \]
3. Sjekk med et annet punkt Grafen går også gjennom rutepunktet \( (\textcolor{red}{25}, \textcolor{green}{2})\text{.} \) Med \( {a = 5} \) stemmer det, siden: \[ 5^{\textcolor{green}{2}} = 5 \cdot 5 = \textcolor{red}{25} \]Altså er \( {\log_5 25 = 2}\text{,} \) og grafen er grafen til \( \log_5 x\text{.} \)

Oppgave 4

6 poeng

  • binomisk fordeling,
  • programmering,
  • sannsynlighet,
  • simulering,
  • økonomi
Trollmat AS selger pakker med knekkebrød. I én av 1000 pakker som selges, ligger det et gavekort. En kunde som finner et gavekort, vinner en reise. Hver reise har en verdi på 5000 kroner. Knekkebrødene selges for 40 kroner per pakke, og de koster 10 kroner per pakke å produsere.
Hassan kjøper én pakke knekkebrød hver dag.

Oppgave 4a)

Hvor mange dager tar det før sannsynligheten for at Hassan har vunnet minst én reise, er 20 %? 20\,\%\text{?} Husk å begrunne valget av sannsynlighetsmodell.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Med binomisk modell er P(X≥1)=1−0,999n, {P(X \ge 1) = 1 - 0{,}999^n}\text{,} som er 19,997 % etter 223 dager og 20,08 % etter 224:
224 dager‾‾ \underline{\underline{224 \text{ dager}}}
Hver dag vinner Hassan eller ikke, med samme sannsynlighet og uavhengig av de andre dagene. Antall reiser han vinner, er derfor binomisk fordelt. Vi finner hvor mange dager som skal til før sannsynligheten for minst én reise blir \( 20\,\%\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Begrunn modellen La \( X \) være antall reiser Hassan vinner på \( \textcolor{blue}{n} \) dager. Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver pakke har gavekort eller ikke, vi har et fast antall forsøk, \( \textcolor{blue}{n} \) pakker, sannsynligheten er den samme hver dag, \( {\textcolor{red}{p} = \dfrac{1}{1000} = \textcolor{red}{0{,}001}}\text{,} \) og pakkene påvirker ikke hverandre, fordi det selges svært mange pakker. \( X \) er altså binomisk fordelt.
2. Sett opp sannsynligheten for minst én Minst én reise er det motsatte av ingen reiser, og ingen reiser betyr at alle \( \textcolor{blue}{n} \) pakkene er uten gavekort: \[ \begin{aligned} P(X \ge 1) &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - (1 - \textcolor{red}{0{,}001})^{\textcolor{blue}{n}} \\ &= 1 - 0{,}999^{\textcolor{blue}{n}} \end{aligned} \]
Den skal være \( 0{,}2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - 0{,}999^{n} &= 0{,}2 \\ 0{,}999^{n} &= 0{,}8 \end{aligned} \]
3. Løs med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regneregelen \( {\ln\left(a^n\right) = n \cdot \ln a} \) flytter eksponenten ned foran, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(0{,}999^{n}\right) &= \ln 0{,}8 \\ n \cdot \ln 0{,}999 &= \ln 0{,}8 \\ n &= \dfrac{\ln 0{,}8}{\ln 0{,}999} \approx 223{,}03 \end{aligned} \]
Antall dager er et helt tall, og sannsynligheten øker for hver dag. Etter 223 dager er den \( {1 - 0{,}999^{223} \approx 19{,}997\,\%}\text{,} \) som er litt under \( 20\,\%\text{.} \) Etter 224 dager er den \( {1 - 0{,}999^{224} \approx 20{,}08\,\%}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi løser \( {1 - 0{,}999^n = 0{,}2} \) i CAS, med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(1 - 0.999^n = 0.2, n)
CAS gir \( {n \approx 223{,}03}\text{.} \) Sannsynligheten øker for hver dag, så etter 223 dager er den fortsatt litt under \( 20\,\%\text{.} \) Det tar altså 224 dager.
Trollmat AS lanserer en ny knekkebrødpakke som de kaller «Gullknekk». I én av 100 pakker med Gullknekk ligger det et gavekort. Det koster 10 kroner å produsere en pakke Gullknekk.

Oppgave 4b)

Hvilken pris må Trollmat AS ta betalt per pakke Gullknekk for å ha samme overskudd per pakke som for de vanlige knekkebrødene?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Overskuddet blir 25 kroner per pakke, som for de vanlige knekkebrødene:
85 kroner per pakke‾‾ \underline{\underline{85 \text{ kroner per pakke}}}
Overskuddet per pakke er prisen minus det pakken koster å lage, og minus det reisene koster i gjennomsnitt per pakke. Vi finner overskuddet for de vanlige pakkene og krever det samme for Gullknekk.
Metode: For hånd
1. Finn overskuddet for de vanlige pakkene Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Én av 1000 pakker gir en reise til 5000 kroner, så reisene koster i gjennomsnitt: \[ \dfrac{5000}{1000} = \textcolor{blue}{5} \text{ kroner per pakke} \]
Overskuddet per vanlig pakke blir: \[ 40 - 10 - \textcolor{blue}{5} = 25 \text{ kroner} \]
2. Krev det samme for Gullknekk Én av 100 pakker Gullknekk gir en reise, så reisene koster i gjennomsnitt: \[ \dfrac{5000}{100} = \textcolor{red}{50} \text{ kroner per pakke} \]
Med prisen \( x \) kroner skal overskuddet også være 25 kroner per pakke: \[ \begin{aligned} x - 10 - \textcolor{red}{50} &= 25 \\ x &= 85 \end{aligned} \]
Hassan endrer vanene sine og kjøper vanlige knekkebrødpakker på hverdager og en pakke Gullknekk hver lørdag og søndag.

Oppgave 4c)

Bruk simulering til å bestemme sannsynligheten for at Hassan vinner minst én reise i løpet av 52 uker med de nye kjøpsvanene sine.
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Med 100 000 100\,000 simuleringer av 52 uker, avrundet til hele prosent:
P≈73 %‾‾ \underline{\underline{P \approx 73\,\%}}
Vi lager et program som kjøper knekkebrød i 52 uker mange ganger, og teller hvor ofte Hassan vinner minst én reise. Andelen er omtrent sannsynligheten.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive de 52 ukene som en funksjon, og på å forklare hva løkkene gjør.
Metode: Med Python
1. Skriv programmet Her er programmet, med utskriften fra én kjøring:
2. Forklar de 52 ukene Funksjonen \( \texttt{vinner\_reise()} \) i linje 3 til 13 går gjennom 52 uker. Hver uke kjøper Hassan 5 vanlige pakker og 2 Gullknekk. \( \texttt{randint(1, 1001)} \) i linje 6 gir et tilfeldig heltall fra 1 til 1000, fordi den øvre grensen ikke er med, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Tallet er 1 med sannsynlighet \( \dfrac{1}{1000}\text{,} \) som gavekortet i en vanlig pakke. På samme måte gir \( \texttt{randint(1, 101)} \) gavekort med sannsynlighet \( \dfrac{1}{100} \) i linje 10. Funksjonen returnerer \( \texttt{True} \) så snart Hassan vinner, og \( \texttt{False} \) hvis han ikke vinner noe på 52 uker.
3. Tell forsøkene Løkka i linje 18 til 20 går gjennom de 52 ukene \( \textcolor{red}{100\,000} \) ganger og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_vinner}} \) hvor mange ganger Hassan vinner minst én reise, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 22 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{forsøk med reise}}}{\textcolor{red}{\text{alle forsøk}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at Hassan vant minst én reise i omtrent \( 72{,}8\,\% \) av forsøkene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 73\,\%\text{.} \)
Kontroll: På 52 uker kjøper Hassan \( {52 \cdot 5 = 260} \) vanlige pakker og \( {52 \cdot 2 = 104} \) Gullknekk. Sannsynligheten for minst én reise er da nøyaktig \( {1 - 0{,}999^{260} \cdot 0{,}99^{104}}\text{,} \) altså omtrent \( 0{,}7289\text{.} \)

Oppgave 5

4 poeng

  • derivasjon,
  • optimering,
  • økonomi
Stephanie leier ut parkeringsplasser. Hun leier ut plasser for 1000 kroner per plass per måned. Med denne prisen er samtlige plasser utleid. Dersom hun øker prisen, vil antallet utleide plasser minke med én for hver gang prisen øker med 50 kroner. Hvis hun øker prisen til 1500 kroner per plass, vil hun ha samme inntekt som nå.

Oppgave 5a)

Vis at Stephanie har 30 parkeringsplasser.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
1000⋅N=1500⋅(N−10) {1000 \cdot N = 1500 \cdot (N - 10)} gir:
N=30 parkeringsplasser‾‾ \underline{\underline{N = 30 \text{ parkeringsplasser}}}
Fra 1000 til 1500 kroner øker prisen 10 ganger med 50 kroner, så hun leier ut 10 færre plasser. Vi setter inntekten før og etter prisøkningen lik hverandre.
Metode: For hånd
1. Sett opp inntekten før og etter La \( \textcolor{blue}{N} \) være antall parkeringsplasser. Inntekten er prisen ganget med antall utleide plasser, og med 1000 kroner er alle plassene utleid: \[ \text{Inntekt nå} = 1000 \cdot \textcolor{blue}{N} \]
Prisøkningen er \( {1500 - 1000 = 500} \) kroner, altså \( {\dfrac{500}{50} = 10} \) økninger på 50 kroner. Da leier hun ut \( \textcolor{red}{10} \) færre plasser: \[ \text{Ny inntekt} = 1500 \cdot (\textcolor{blue}{N} - \textcolor{red}{10}) \]
2. Sett inntektene like Inntektene er like, så: \[ \begin{aligned} 1500(\textcolor{blue}{N} - \textcolor{red}{10}) &= 1000\textcolor{blue}{N} \\ 1500\textcolor{blue}{N} - 15\,000 &= 1000\textcolor{blue}{N} \\ 500\textcolor{blue}{N} &= 15\,000 \\ \textcolor{blue}{N} &= 30 \end{aligned} \]Stephanie har altså 30 parkeringsplasser.

Oppgave 5b)

Hva er den største mulige månedlige inntekten som Stephanie kan få?
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Med 1250 kroner per plass og 25 plasser utleid:
31 250 kroner per ma˚ned‾‾ \underline{\underline{31\,250 \text{ kroner per måned}}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at Stephanie har 30 plasser, står i oppgaveteksten til a).
Vi lar \( x \) være antall ganger prisen øker med 50 kroner, og skriver inntekten som pris ganger antall utleide plasser. Inntekten er størst i toppunktet, der den deriverte er null.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp inntekten Øker prisen \( \textcolor{blue}{x} \) ganger med 50 kroner, er prisen \( {1000 + 50\textcolor{blue}{x}} \) kroner, og hun leier ut \( {30 - \textcolor{blue}{x}} \) plasser. Ganger vi ut, blir inntekten per måned: \[ \begin{aligned} I(x) &= (1000 + 50x)(30 - x) \\ I(x) &= -50x^2 + 500x + 30\,000 \end{aligned} \]
2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ I'(x) = -100x + 500 \]
Vi setter \( {I'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -100x + 500 &= 0 \\ x &= 5 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-50 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.
3. Regn ut inntekten Med \( {\textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{5}} \) er prisen \( {1000 + 50 \cdot \textcolor{blue}{5} = 1250} \) kroner, og \( {30 - \textcolor{blue}{5} = 25} \) plasser er utleid: \[ I(5) = 1250 \cdot 25 = 31\,250 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( I \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: I(x) = (1000 + 50x)(30 - x) T = Ekstremalpunkt(I)
Toppunktet er \( {T = (5, 31\,250)}\text{.} \) Med 5 prisøkninger, altså 1250 kroner per plass, blir inntekten 31 250 kroner per måned.

Oppgave 6

6 poeng

  • derivasjon,
  • optimering,
  • økonomi
Bedriften Skipsmotor AS ønsker å optimalisere produksjonen av båtmotorer i Norge. Inntektene og kostnadene ved produksjon og salg av x x båtmotorer per år er gitt ved
I(x)=250x−0,5x2K(x)=70x+600 \begin{aligned} I(x) &= 250x - 0{,}5x^2 \\ K(x) &= 70x + 600 \end{aligned}
I(x) I(x) og K(x) K(x) er gitt i 1000 kroner.

Oppgave 6a)

Bestem I′(15). I'(15)\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Ved 15 solgte motorer øker inntekten med omtrent 235 000 kroner per ekstra motor:
I′(15)=235‾‾ \underline{\underline{I'(15) = 235}}
\( I'(15) \) er hvor fort inntekten vokser når bedriften selger 15 motorer. Vi deriverer \( I \) med potensregelen og setter inn \( {x = 15}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Deriver og sett inn Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd og setter inn \( {x = \textcolor{blue}{15}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} I'(x) &= 250 - 0{,}5 \cdot 2x = 250 - x \\ I'(\textcolor{blue}{15}) &= 250 - \textcolor{blue}{15} = \textcolor{red}{235} \end{aligned} \]
2. Tolk svaret \( I(x) \) er gitt i 1000 kroner, så \( {I'(\textcolor{blue}{15}) = \textcolor{red}{235}} \) betyr \( \textcolor{red}{235\,000} \) kroner per motor. Når bedriften selger \( \textcolor{blue}{15} \) motorer, øker inntekten med omtrent \( \textcolor{red}{235\,000} \) kroner for hver motor den selger i tillegg, som tolkningen i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Oppgave 6b)

Hvor mange båtmotorer må Skipsmotor AS selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort er dette overskuddet?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Overskuddet er størst med 180 solgte motorer:
180 ba˚tmotorer‾‾Overskudd: 15 600 000 kr‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{180 \text{ båtmotorer}}} \\ &\underline{\underline{\text{Overskudd: } 15\,600\,000 \text{ kr}}} \end{aligned}
Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Vi setter opp \( {O(x) = I(x) - K(x)} \) og finner toppunktet, der den deriverte er null.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 250x - 0{,}5x^2 - 70x - 600 \\ &= -0{,}5x^2 + 180x - 600 \end{aligned} \]
2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen er: \[ \begin{aligned} O'(x) &= -x + 180 = 0 \\ x &= \textcolor{blue}{180} \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}5 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.
3. Regn ut overskuddet Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{180}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &O(\textcolor{blue}{180}) \\ &= -0{,}5 \cdot \textcolor{blue}{180}^2 + 180 \cdot \textcolor{blue}{180} - 600 \\ &= 15\,600 \end{aligned} \]Overskuddet er i 1000 kroner, så det er \( 15\,600\,000 \) kroner.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( I\text{,} \) \( K \) og \( O\text{,} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: I(x) = 250x - 0.5x^2 K(x) = 70x + 600 O(x) = I(x) - K(x) T = Ekstremalpunkt(O)
Toppunktet er \( {T = (180, 15\,600)}\text{.} \) Bedriften må selge 180 båtmotorer, og overskuddet blir 15 600 tusen kroner.
Skipsmotor AS frykter at høy produksjon vil føre til dårligere kvalitet. De antar at de 50 første motorene produseres uten feil, og at 10 % 10\,\% av motorene etter dette ikke kan selges.

Oppgave 6c)

Bestem det største overskuddet Skipsmotor AS kan få dersom denne antakelsen er riktig.
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Avrundet til hele tusen kroner, når bedriften lager omtrent 186 motorer:
Overskudd≈14 619 000 kr‾‾ \underline{\underline{\text{Overskudd} \approx 14\,619\,000 \text{ kr}}}
Nå blir ikke alle motorene som lages, solgt. Kostnadene gjelder alle motorene, men inntekten bare dem som selges. Vi setter opp det nye overskuddet og finner toppunktet.
Metode: Med kalkulator
1. Finn antall solgte motorer Lager bedriften \( \textcolor{blue}{x} \) motorer, der \( {\textcolor{blue}{x} \ge 50}\text{,} \) blir de 50 første solgt, og \( 90\,\% \) av de \( {\textcolor{blue}{x} - 50} \) andre. Antall solgte motorer er: \[ 50 + 0{,}9(\textcolor{blue}{x} - 50) = \textcolor{red}{0{,}9x + 5} \]
2. Sett opp det nye overskuddet Inntekten regnes av de \( {\textcolor{red}{0{,}9x + 5}} \) solgte motorene, og kostnadene av alle \( \textcolor{blue}{x} \) som lages: \[ \begin{aligned} O_2(x) &= I(\textcolor{red}{0{,}9x + 5}) - K(\textcolor{blue}{x}) \\ &= 250(\textcolor{red}{0{,}9x + 5}) \\ &\quad - 0{,}5(\textcolor{red}{0{,}9x + 5})^2 \\ &\quad - (70\textcolor{blue}{x} + 600) \end{aligned} \]
Ganger vi ut og trekker sammen, får vi: \[ \begin{aligned} O_2(x) &= -0{,}405x^2 + 150{,}5x \\ &\quad + 637{,}5 \end{aligned} \]
3. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen er: \[ \begin{aligned} O_2'(x) &= -0{,}81x + 150{,}5 = 0 \\ x &= \dfrac{150{,}5}{0{,}81} \approx 185{,}80 \end{aligned} \]Dette er over 50, og grafen er en parabel som vender ned, så det er et toppunkt.
4. Regn ut overskuddet Vi setter inn \( {x \approx 185{,}80} \) i \( O_2(x)\text{:} \) \[ O_2(185{,}80) \approx 14\,619 \]Overskuddet er i 1000 kroner, så det største overskuddet er omtrent \( 14\,619\,000 \) kroner, når bedriften lager omtrent 186 motorer.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver antall solgte motorer inn i \( I \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: I(x) = 250x - 0.5x^2 K(x) = 70x + 600 O_2(x) = I(50 + 0.9(x - 50)) - K(x) T = Ekstremalpunkt(O_2)
Toppunktet er \( {T \approx (185{,}80,\ 14\,619{,}14)}\text{.} \) Det største overskuddet er omtrent 14 619 tusen kroner.

Oppgave 7

2 poeng

  • betinget sannsynlighet,
  • sannsynlighet
En test for covid-19 har disse egenskapene: • Dersom en person er smittet, så er det 99 % 99\,\% sikkert at testen vil vise dette. • Dersom en person ikke er smittet, så er det 98 % 98\,\% sikkert at testen vil vise dette.
Anta at 99 % 99\,\% av befolkningen ikke er smittet. En tilfeldig valgt person tar en test, og testen viser at personen er smittet.
Bestem sannsynligheten for at personen faktisk har covid-19.
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Sannsynligheten for at personen faktisk har covid-19, avrundet til hele prosent:
P=13≈33 %‾‾ \underline{\underline{P = \dfrac{1}{3} \approx 33\,\%}}
Vi vet at testen viser smittet, og spør hvor sannsynlig det da er at personen er smittet. Det er en betinget sannsynlighet: blant alle som får en positiv test, finner vi andelen som er smittet.
Metode: For hånd
1. Finn sannsynligheten for positiv test La \( S \) være at personen er smittet, \( F \) at personen er frisk, og \( T \) at testen viser smittet. Det er \( 1\,\% \) som er smittet, og en frisk person får feil svar i \( 2\,\% \) av testene. En person kan få en positiv test på to måter: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(S \text{ og } T)} &= 0{,}01 \cdot 0{,}99 = \textcolor{blue}{0{,}0099} \\ \textcolor{red}{P(F \text{ og } T)} &= 0{,}99 \cdot 0{,}02 = \textcolor{red}{0{,}0198} \end{aligned} \]
2. Bruk betinget sannsynlighet Sannsynligheten for \( S \) når vi vet at \( T \) har skjedd, er andelen av \( T \) der også \( S \) skjer, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(S \mid T) = \dfrac{P(S \text{ og } T)}{P(T)} \]
Her er \( P(T) \) summen av de to måtene. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(S \mid T) &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}0099}}{\textcolor{blue}{0{,}0099} + \textcolor{red}{0{,}0198}} \\ P(S \mid T) &= \dfrac{0{,}0099}{0{,}0297} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]Bare én av tre med positiv test er altså smittet, fordi det er så få smittede at de friske med feil svar blir flest.

Ferdig med settet? Se de andre S1-eksamenene