Eksamensoppgaver etter tema

\( AB \) er vannrett, så lengden er forskjellen mellom førstekoordinatene. \( AD \) er loddrett, så lengden er forskjellen mellom andrekoordinatene.

1. Finn lengdene \( A \) har førstekoordinat \( a\text{,} \) og \( B \) har førstekoordinat \( 5\text{.} \) Siden \( {a < 5}\text{,} \) er: \[ AB = \textcolor{red}{5 - a} \]

\( A \) har andrekoordinat \( {f(a) = 100 \cdot 0{,}8^a}\text{,} \) og \( D \) har andrekoordinat \( 200\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a \le 1} \) når \( {a \ge 0}\text{,} \) er \( {f(a) \le 100}\text{,} \) så \( D \) ligger over \( A\text{:} \) \[ AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a} \]

Vi bruker lengdene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er \( {AB \cdot AD}\text{,} \) en funksjon av \( a\text{.} \) Vi finner der den deriverte er \( 0\text{,} \) viser at det er et toppunkt, og sammenligner med endepunktet \( {a = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen der den deriverte er \( 0\text{,} \) kan ikke løses for hånd. Øv heller på å sette opp arealet og den deriverte for hånd, med produktregelen og \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{,} \) og på å avgjøre fortegnet til den deriverte.

1. Sett opp arealet som en funksjon I a) fant vi \( {AB = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ T(a) = (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \]der \( a \in [0, 5\rangle\text{.} \)

2. Deriver og løs med CAS Oppgaven krever derivasjon, fordi en annen metode, som å lese av en graf, bare gir noe uttelling. Arealet er et produkt, og produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a = e^{a \cdot \ln 0{,}8}}\text{,} \) gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, at \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \textcolor{red}{-1} \cdot (\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \\ &{}+ (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \ln 0{,}8}) \end{aligned} \]

Vi lar CAS kontrollere den deriverte og løse \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Likningen kan ikke løses eksakt, så vi bruker NLøs med startverdien \( {a = 0{,}2}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 100*0.8^x T(a) := (5 - a)*(200 - f(a)) T'(a) NLøs(T'(a) = 0, a = 0.2)

CAS gir \( {T'(a) = 0} \) når \( {a \approx 0{,}1707}\text{.} \)

3. Vis at det er et toppunkt Faktoriserer vi ut \( {100 \cdot 0{,}8^a} \) fra leddene som har den, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= 100 \cdot 0{,}8^a \cdot g(a) - 200 \\ g(a) &= 1 - (5 - a) \cdot \ln 0{,}8 \end{aligned} \]Siden \( {\ln 0{,}8 < 0}\text{,} \) er \( g(a) \) positiv og blir mindre når \( a \) øker, og \( 0{,}8^a \) blir også mindre. Derfor avtar \( T'(a)\text{,} \) og den er \( 0 \) bare én gang.

Vi sjekker fortegnet på hver side og regner ut arealet i CAS, radene 5 til 7 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: T'(0) T'(1) T(0.1707) T(0)

CAS gir i rad 5 og 6: \[ \begin{aligned} T'(0) &\approx 11{,}57 > 0 \\ T'(1) &\approx -48{,}59 < 0 \end{aligned} \]Arealet vokser før \( {a \approx 0{,}1707} \) og avtar etter, så der har \( T \) et toppunkt.

Vi sammenligner med endepunktet \( {a = 0} \) i rad 7 og 8: \[ \begin{aligned} T(0{,}1707) &\approx 500{,}98 \\ T(0) &= 500 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 5\text{,} \) går arealet mot \( 0\text{.} \) Det største arealet er derfor omtrent \( 501\text{.} \)

Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Det blir en andregradsfunksjon, og det største overskuddet ligger i toppunktet, der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det elevbedriften får for produktene, minus det de koster, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \text{overskudd} = \textcolor{blue}{\text{inntekt}} - \textcolor{red}{\text{kostnader}} \]

Hver enhet gir 100 kroner, så \( x \) enheter gir inntekten \( \textcolor{blue}{100x}\text{.} \) Vi trekker fra hele \( \textcolor{red}{K(x)}\text{,} \) så minus gjelder alle leddene i den, og \( {100x - 60x = 40x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{100x} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{100x} \textcolor{red}{{}- 0{,}02x^2} \\ &\quad \textcolor{red}{{}- 60x - 12000} \\ &= -0{,}02x^2 + 40x - 12000 \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}04x + 40 \]

Vi setter \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}04x + 40 &= 0 \\ x &= \dfrac{40}{0{,}04} = 1000 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}02 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.

3. Regn ut overskuddet Vi setter \( {x = 1000} \) inn i \( O(x)\text{.} \) Her er \( {-0{,}02 \cdot 1000^2 = -20\,000} \) og \( {40 \cdot 1000 = 40\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &O(1000) \\ &= -20\,000 + 40\,000 - 12\,000 \\ &= 8000 \end{aligned} \]Det største overskuddet er 8000 kroner, når elevbedriften lager og selger 1000 enheter.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og overskuddet \( O\text{,} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 0.02x^2 + 60x + 12000 O(x) = 100x - K(x) T = Ekstremalpunkt(O)

Toppunktet er \( {T = (1000,\ 8000)}\text{.} \) Det største overskuddet er 8000 kroner, med 1000 enheter.

Nå er antallet fast, 1000 enheter, og prisen er ukjent. Elevbedriften unngår underskudd når inntekten er minst like stor som kostnadene.

1. Regn ut de nye kostnadene De faste kostnadene er konstantleddet i \( K(x)\text{,} \) det som må betales uansett hvor mange enheter som lages. Det blir 8000 i stedet for 12 000: \[ K(x) = 0{,}02x^2 + 60x + \textcolor{darkorange}{8000} \]

Med 1000 enheter er \( {0{,}02 \cdot 1000^2 = 20\,000} \) og \( {60 \cdot 1000 = 60\,000}\text{,} \) så kostnadene er: \[ \begin{aligned} K(1000) &= 20\,000 + 60\,000 + \textcolor{darkorange}{8000} \\ K(1000) &= \textcolor{red}{88\,000} \end{aligned} \]

2. Finn den laveste prisen Med prisen \( p \) kroner per enhet er inntekten \( \textcolor{blue}{1000p}\text{.} \) Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det blir ikke underskudd når inntekten er minst like stor som kostnadene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1000p} &\ge \textcolor{red}{88\,000} \\ p &\ge 88 \end{aligned} \]Med 88 kroner per enhet er overskuddet akkurat 0.

1. Løs i CAS Vi skriver de nye kostnadene inn i CAS og løser likningen der inntekten er lik kostnadene:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 0.02x^2 + 60x + 8000 Løs(1000p = K(1000), p)

CAS gir \( {p = 88}\text{.} \) Med en lavere pris blir det underskudd.

Inntekten er antall T-skjorter ganget med prisen per stykk. Den er størst i toppunktet, der den deriverte er null.

1. Sett opp inntekten Selger bedriften \( x \) T-skjorter til \( p(x) \) kroner per stykk, er inntekten antallet ganget med prisen: \[ \begin{aligned} I(x) &= x \cdot p(x) \\ I(x) &= x(-0{,}001x^2 + 0{,}2x + 100) \\ I(x) &= -0{,}001x^3 + 0{,}2x^2 + 100x \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ I'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}4x + 100 \]

Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-0{,}003}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{0{,}4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{100}}\text{.} \) Vi regner ut det som står under rottegnet først: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c} &= \textcolor{red}{0{,}4}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-0{,}003}) \cdot \textcolor{green}{100} \\ &= 0{,}16 + 1{,}2 = 1{,}36 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{0{,}4} \pm \sqrt{1{,}36}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-0{,}003})} \]Det gir \( {x \approx -127{,}7} \) eller \( {x \approx 261{,}03}\text{.} \) Antallet kan ikke være negativt.

3. Regn ut den største inntekten \( I'(x) \) er en andregradsfunksjon med negativt tall foran \( x^2\text{,} \) så den er positiv mellom nullpunktene og negativ etter \( 261{,}03\text{.} \) Inntekten vokser altså fram til \( {x \approx 261{,}03} \) og avtar etterpå, så der er toppunktet: \[ I(261{,}03) \approx 21\,944{,}62 \]Den største inntekten er omtrent 21 945 kroner per uke, når bedriften selger omtrent 261 T-skjorter.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn prisen og inntekten, og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Polynom ganger ut uttrykket:

Skriv inn i GeoGebra: p(x) = -0.001x^2 + 0.2x + 100 I(x) = Polynom(x*p(x)) T = Ekstremalpunkt(I, 0, 500)

Toppunktet er \( {T \approx (261{,}03,\ 21\,944{,}62)}\text{.} \) Den største inntekten er omtrent 21 945 kroner per uke.

Vi bruker inntekten \( I(x) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Vi finner toppunktet til overskuddet der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det bedriften får inn, minus det den betaler, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \]

I a) fant vi inntekten \( \textcolor{blue}{I(x)}\text{,} \) og kostnadene \( \textcolor{red}{K(x)} \) står i oppgaven: \[ \begin{aligned} O(x) = {} & \textcolor{blue}{-0{,}001x^3 + 0{,}2x^2 + 100x} \\ & \textcolor{red}{{}- (0{,}1x^2 + 8000)} \\ = {} & -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 \\ & + 100x - 8000 \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}2x + 100 \]

Vi setter \( {O'(x) = 0} \) og bruker abc-formelen, som i a), med \( {a = -0{,}003}\text{,} \) \( {b = 0{,}2} \) og \( {c = 100}\text{.} \) Under rottegnet står \( {0{,}2^2 + 4 \cdot 0{,}003 \cdot 100 = 1{,}24}\text{:} \) \[ x = \dfrac{-0{,}2 \pm \sqrt{1{,}24}}{2 \cdot (-0{,}003)} \]Det gir \( {x \approx -152{,}3} \) eller \( {x \approx 218{,}93}\text{.} \) Antallet kan ikke være negativt.

3. Regn ut det største overskuddet Som i a) er \( O'(x) \) positiv mellom nullpunktene og negativ etter \( 218{,}93\text{,} \) så der er toppunktet: \[ O(218{,}93) \approx 8192{,}64 \]Det største overskuddet er omtrent 8 193 kroner per uke, når bedriften selger omtrent 219 T-skjorter.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Prisen \( p(x) \) har vi skrevet inn i a). Vi skriver inn kostnadene og overskuddet, og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 0.1x^2 + 8000 O(x) = Polynom(x*p(x) - K(x)) T = Ekstremalpunkt(O, 0, 500)

Toppunktet er \( {T \approx (218{,}9255,\ 8192{,}6441)}\text{.} \) Det største overskuddet er omtrent 8 193 kroner per uke.

Vi bruker overskuddet \( O(x) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med kampanjen blir overskuddet 30 kroner mindre per T-skjorte. Vi finner det største antallet der overskuddet fortsatt er null eller mer.

1. Sett opp overskuddet med kampanje I b) fant vi overskuddet: \[ \begin{aligned} O(x) = {} & -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 \\ & + 100x - 8000 \end{aligned} \]

Med kampanjen gir bedriften bort \( \textcolor{red}{30x} \) kroner når den selger \( x \) T-skjorter: \[ \begin{aligned} O_k(x) = {} & O(x) - \textcolor{red}{30x} \\ = {} & -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 \\ & + 70x - 8000 \end{aligned} \]Bedriften går ikke med underskudd så lenge \( {O_k(x) \ge 0}\text{.} \)

2. Finn toppunktet Likningen \( {O_k(x) = 0} \) har tredjegrad, så den kan vi ikke løse med abc-formelen. Vi finner derfor først toppunktet. Med potensregelen er: \[ O_k'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}2x + 70 \]

Vi setter \( {O_k'(x) = 0} \) og bruker abc-formelen, som i b). Under rottegnet står \( {0{,}2^2 + 4 \cdot 0{,}003 \cdot 70 = 0{,}88}\text{:} \) \[ x = \dfrac{-0{,}2 \pm \sqrt{0{,}88}}{2 \cdot (-0{,}003)} \]Det gir \( {x \approx -123{,}0} \) eller \( {x \approx 189{,}68}\text{.} \) Etter \( {x \approx 189{,}68} \) er \( {O_k'(x) < 0}\text{,} \) så overskuddet avtar hele tiden derfra.

3. Prøv deg fram Overskuddet avtar etter toppunktet, så vi prøver oss fram med hele tall større enn 190, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O_k(250) &= 125 \\ O_k(260) &= -616 \end{aligned} \]

Overskuddet blir altså null et sted mellom 250 og 260. Vi prøver tallene der: \[ \begin{aligned} O_k(251) &\approx 56{,}85 \\ O_k(252) &\approx -12{,}61 \end{aligned} \]Med 251 T-skjorter er overskuddet positivt, og med 252 er det negativt og blir bare mindre. 251 er derfor det største antallet uten underskudd.

1. Finn nullpunktene Vi skriver inn overskuddet med kampanje og finner nullpunktene for \( {x \ge 0} \) med NullpunktIntervall:

Skriv inn i GeoGebra: O_k(x) = Polynom(x*p(x) - K(x) - 30x) NullpunktIntervall(O_k, 0, 400)

Nullpunktene er \( {A \approx (117{,}82,\ 0)} \) og \( {B \approx (251{,}82,\ 0)}\text{.} \) Etter \( B \) er overskuddet negativt. Antall T-skjorter er et helt tall, så det største antallet er 251.

Fra 1000 til 1500 kroner øker prisen 10 ganger med 50 kroner, så hun leier ut 10 færre plasser. Vi setter inntekten før og etter prisøkningen lik hverandre.

1. Sett opp inntekten før og etter La \( \textcolor{blue}{N} \) være antall parkeringsplasser. Inntekten er prisen ganget med antall utleide plasser, og med 1000 kroner er alle plassene utleid: \[ \text{Inntekt nå} = 1000 \cdot \textcolor{blue}{N} \]

Prisøkningen er \( {1500 - 1000 = 500} \) kroner, altså \( {\dfrac{500}{50} = 10} \) økninger på 50 kroner. Da leier hun ut \( \textcolor{red}{10} \) færre plasser: \[ \text{Ny inntekt} = 1500 \cdot (\textcolor{blue}{N} - \textcolor{red}{10}) \]

2. Sett inntektene like Inntektene er like, så: \[ \begin{aligned} 1500(\textcolor{blue}{N} - \textcolor{red}{10}) &= 1000\textcolor{blue}{N} \\ 1500\textcolor{blue}{N} - 15\,000 &= 1000\textcolor{blue}{N} \\ 500\textcolor{blue}{N} &= 15\,000 \\ \textcolor{blue}{N} &= 30 \end{aligned} \]Stephanie har altså 30 parkeringsplasser.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at Stephanie har 30 plasser, står i oppgaveteksten til a).

Vi lar \( x \) være antall ganger prisen øker med 50 kroner, og skriver inntekten som pris ganger antall utleide plasser. Inntekten er størst i toppunktet, der den deriverte er null.

1. Sett opp inntekten Øker prisen \( \textcolor{blue}{x} \) ganger med 50 kroner, er prisen \( {1000 + 50\textcolor{blue}{x}} \) kroner, og hun leier ut \( {30 - \textcolor{blue}{x}} \) plasser. Ganger vi ut, blir inntekten per måned: \[ \begin{aligned} I(x) &= (1000 + 50x)(30 - x) \\ I(x) &= -50x^2 + 500x + 30\,000 \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ I'(x) = -100x + 500 \]

Vi setter \( {I'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -100x + 500 &= 0 \\ x &= 5 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-50 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.

3. Regn ut inntekten Med \( {\textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{5}} \) er prisen \( {1000 + 50 \cdot \textcolor{blue}{5} = 1250} \) kroner, og \( {30 - \textcolor{blue}{5} = 25} \) plasser er utleid: \[ I(5) = 1250 \cdot 25 = 31\,250 \]

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( I \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: I(x) = (1000 + 50x)(30 - x) T = Ekstremalpunkt(I)

Toppunktet er \( {T = (5, 31\,250)}\text{.} \) Med 5 prisøkninger, altså 1250 kroner per plass, blir inntekten 31 250 kroner per måned.

\( I'(15) \) er hvor fort inntekten vokser når bedriften selger 15 motorer. Vi deriverer \( I \) med potensregelen og setter inn \( {x = 15}\text{.} \)

1. Deriver og sett inn Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd og setter inn \( {x = \textcolor{blue}{15}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} I'(x) &= 250 - 0{,}5 \cdot 2x = 250 - x \\ I'(\textcolor{blue}{15}) &= 250 - \textcolor{blue}{15} = \textcolor{red}{235} \end{aligned} \]

2. Tolk svaret \( I(x) \) er gitt i 1000 kroner, så \( {I'(\textcolor{blue}{15}) = \textcolor{red}{235}} \) betyr \( \textcolor{red}{235\,000} \) kroner per motor. Når bedriften selger \( \textcolor{blue}{15} \) motorer, øker inntekten med omtrent \( \textcolor{red}{235\,000} \) kroner for hver motor den selger i tillegg, som tolkningen i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Vi setter opp \( {O(x) = I(x) - K(x)} \) og finner toppunktet, der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 250x - 0{,}5x^2 - 70x - 600 \\ &= -0{,}5x^2 + 180x - 600 \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen er: \[ \begin{aligned} O'(x) &= -x + 180 = 0 \\ x &= \textcolor{blue}{180} \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}5 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.

3. Regn ut overskuddet Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{180}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &O(\textcolor{blue}{180}) \\ &= -0{,}5 \cdot \textcolor{blue}{180}^2 + 180 \cdot \textcolor{blue}{180} - 600 \\ &= 15\,600 \end{aligned} \]Overskuddet er i 1000 kroner, så det er \( 15\,600\,000 \) kroner.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( I\text{,} \) \( K \) og \( O\text{,} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: I(x) = 250x - 0.5x^2 K(x) = 70x + 600 O(x) = I(x) - K(x) T = Ekstremalpunkt(O)

Toppunktet er \( {T = (180, 15\,600)}\text{.} \) Bedriften må selge 180 båtmotorer, og overskuddet blir 15 600 tusen kroner.

Nå blir ikke alle motorene som lages, solgt. Kostnadene gjelder alle motorene, men inntekten bare dem som selges. Vi setter opp det nye overskuddet og finner toppunktet.

1. Finn antall solgte motorer Lager bedriften \( \textcolor{blue}{x} \) motorer, der \( {\textcolor{blue}{x} \ge 50}\text{,} \) blir de 50 første solgt, og \( 90\,\% \) av de \( {\textcolor{blue}{x} - 50} \) andre. Antall solgte motorer er: \[ 50 + 0{,}9(\textcolor{blue}{x} - 50) = \textcolor{red}{0{,}9x + 5} \]

2. Sett opp det nye overskuddet Inntekten regnes av de \( {\textcolor{red}{0{,}9x + 5}} \) solgte motorene, og kostnadene av alle \( \textcolor{blue}{x} \) som lages: \[ \begin{aligned} O_2(x) &= I(\textcolor{red}{0{,}9x + 5}) - K(\textcolor{blue}{x}) \\ &= 250(\textcolor{red}{0{,}9x + 5}) \\ &\quad - 0{,}5(\textcolor{red}{0{,}9x + 5})^2 \\ &\quad - (70\textcolor{blue}{x} + 600) \end{aligned} \]

Ganger vi ut og trekker sammen, får vi: \[ \begin{aligned} O_2(x) &= -0{,}405x^2 + 150{,}5x \\ &\quad + 637{,}5 \end{aligned} \]

3. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen er: \[ \begin{aligned} O_2'(x) &= -0{,}81x + 150{,}5 = 0 \\ x &= \dfrac{150{,}5}{0{,}81} \approx 185{,}80 \end{aligned} \]Dette er over 50, og grafen er en parabel som vender ned, så det er et toppunkt.

4. Regn ut overskuddet Vi setter inn \( {x \approx 185{,}80} \) i \( O_2(x)\text{:} \) \[ O_2(185{,}80) \approx 14\,619 \]Overskuddet er i 1000 kroner, så det største overskuddet er omtrent \( 14\,619\,000 \) kroner, når bedriften lager omtrent 186 motorer.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver antall solgte motorer inn i \( I \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: I(x) = 250x - 0.5x^2 K(x) = 70x + 600 O_2(x) = I(50 + 0.9(x - 50)) - K(x) T = Ekstremalpunkt(O_2)

Toppunktet er \( {T \approx (185{,}80,\ 14\,619{,}14)}\text{.} \) Det største overskuddet er omtrent 14 619 tusen kroner.

Vi setter opp overskuddet og finner der den deriverte skifter fra pluss til minus. Antall biler er et helt tall, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det Edison får for bilene, minus det bilene koster å lage, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \text{overskudd} = \textcolor{green}{\text{inntekt}} - \text{kostnad} \]

Vi regner alt i 1000 kroner, som kostnaden. Hver bil gir 600 tusen kroner, så \( x \) biler gir inntekten \( \textcolor{green}{600x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{green}{600x} - K(x) \\ O(x) &= \textcolor{green}{600x} - 200x \cdot 1{,}015^x - 200 \end{aligned} \]

2. Deriver overskuddet Leddet \( {200x \cdot 1{,}015^x} \) er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Siden \( {1{,}015^x = e^{x \cdot \ln 1{,}015}}\text{,} \) gir kjerneregelen \( {(1{,}015^x)' = 1{,}015^x \cdot \ln 1{,}015}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{200x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{200} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{1{,}015^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1{,}015^x \ln 1{,}015} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og deriverer \( 600x \) og \( {-200} \) for seg, får vi: \[ \begin{aligned} O'(x) = {} & 600 - \textcolor{red}{200} \cdot \textcolor{blue}{1{,}015^x} \\ & - \textcolor{red}{200x} \cdot \textcolor{blue}{1{,}015^x \ln 1{,}015} \end{aligned} \]

3. Prøv deg fram med hele tall \( {O'(x) = 0} \) kan vi ikke løse for hånd. Men begge leddene vi trekker fra, vokser når \( x \) øker, så \( O' \) avtar og skifter fortegn bare én gang. Toppunktet ligger der den deriverte skifter fra pluss til minus, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} x & O'(x) \\ \hline 40 & 21{,}13 \\ 41 & 6{,}96 \\ 42 & -7{,}50 \\ 45 & -52{,}70 \end{array} \]Den deriverte skifter fortegn mellom 41 og 42. Overskuddet øker fram dit og minker etterpå.

4. Sammenlign de to hele tallene Edison kan ikke lage en del av en bil, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(41) &\approx 9301{,}92 \\ O(42) &\approx 9301{,}68 \end{aligned} \]41 biler gir størst overskudd, omtrent 9,3 millioner kroner.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og regner ut \( O(41) \) og \( O(42)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 200x*1.015^x + 200 O(x) = 600x - K(x) T = Ekstremalpunkt(O, 0, 100) o_1 = O(41) o_2 = O(42)

Toppunktet er \( {T \approx (41{,}4842,\ 9303{,}6138)}\text{,} \) og \( {O(41) \approx 9301{,}9248} \) er større enn \( {O(42) \approx 9301{,}6842}\text{.} \) 41 biler gir størst overskudd.

Vi deler kostnaden på antall biler og finner der den deriverte skifter fra minus til pluss. Antall biler er et helt tall, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene.

1. Sett opp enhetskostnaden Enhetskostnaden er kostnaden per bil, altså kostnaden delt på antall biler. Vi deler hvert ledd i telleren med \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(x) &= \dfrac{K(x)}{x} \\ E(x) &= \dfrac{200x \cdot 1{,}015^x + 200}{x} \\ E(x) &= \textcolor{blue}{200 \cdot 1{,}015^x} \textcolor{red}{{}+ \dfrac{200}{x}} \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd \( {\textcolor{blue}{200 \cdot 1{,}015^x}} \) derivert blir \( {\textcolor{blue}{\underline{200 \cdot 1{,}015^x \ln 1{,}015}}}\text{,} \) siden \( {1{,}015^x = e^{x \cdot \ln 1{,}015}} \) og kjerneregelen gir \( {(1{,}015^x)' = 1{,}015^x \cdot \ln 1{,}015}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( \textcolor{red}{\dfrac{200}{x}} \) skriver vi som \( {200x^{-1}}\text{.} \) Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Med \( {n = -1} \) blir \( {\textcolor{red}{200x^{-1}}} \) derivert \( {-200x^{-2} = \textcolor{red}{\underline{-\dfrac{200}{x^2}}}}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ E'(x) = \textcolor{blue}{200 \cdot 1{,}015^x \ln 1{,}015} \textcolor{red}{{}- \dfrac{200}{x^2}} \]

3. Prøv deg fram med hele tall \( {E'(x) = 0} \) kan vi ikke løse for hånd. Når \( x \) øker, vokser det blå leddet, og det røde nærmer seg 0, så \( E' \) øker og skifter fortegn bare én gang. Vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} x & E'(x) \\ \hline 5 & -4{,}79 \\ 7 & -0{,}78 \\ 8 & 0{,}23 \\ 10 & 1{,}46 \end{array} \]Den deriverte skifter fra minus til pluss mellom 7 og 8. Enhetskostnaden minker fram dit og øker etterpå.

4. Sammenlign de to hele tallene Vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} E(7) &\approx 250{,}54 \\ E(8) &\approx 250{,}30 \end{aligned} \]8 biler gir lavest enhetskostnad, omtrent 250 300 kroner per bil.

1. Finn bunnpunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og \( E \) for \( {x > 0}\text{,} \) finner bunnpunktet med Ekstremalpunkt og regner ut \( E(7) \) og \( E(8)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 200x*1.015^x + 200 E(x) = K(x)/x, x > 0 B = Ekstremalpunkt(E, 1, 40) e_1 = E(7) e_2 = E(8)

Bunnpunktet er \( {B \approx (7{,}7368,\ 250{,}2679)}\text{,} \) og \( {E(8) \approx 250{,}2985} \) er mindre enn \( {E(7) \approx 250{,}5404}\text{.} \) 8 biler gir lavest enhetskostnad.

Prisen per bil er ukjent. Vi kaller den \( p\text{,} \) setter overskuddet for 70 biler lik 15 millioner kroner og løser for \( p\text{.} \)

1. Sett opp likningen Vi regner i 1000 kroner, som kostnaden, så 15 millioner kroner er \( 15\,000\text{.} \) Med prisen \( \textcolor{blue}{p} \) per bil er inntekten for 70 biler \( 70\textcolor{blue}{p}\text{,} \) og overskuddet er inntekten minus kostnaden, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 70\textcolor{blue}{p} - K(70) = 15\,000 \]

2. Regn ut kostnaden og prisen Med kalkulatoren er kostnaden for 70 biler: \[ \begin{aligned} K(70) &= 200 \cdot 70 \cdot 1{,}015^{70} + 200 \\ K(70) &\approx 39\,896{,}39 \end{aligned} \]

Vi legger til \( K(70) \) på begge sider og deler med 70: \[ \begin{aligned} 70\textcolor{blue}{p} &\approx 15\,000 + 39\,896{,}39 \\ \textcolor{blue}{p} &\approx \dfrac{54\,896{,}39}{70} \approx 784{,}234 \end{aligned} \]Prisen er omtrent 784,234 tusen kroner, altså 784 234 kroner per bil. Det er mer enn 600 000 kroner, som teksten sier.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver inn \( K \) og løser \( {70p - K(70) = 15\,000} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 200x*1.015^x + 200 Løs(70p - K(70) = 15000, p)

CAS gir \( {p \approx 784{,}2341}\text{,} \) altså omtrent 784 234 kroner per bil.

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Brøken i linje 9 kjenner vi igjen fra definisjonen av den deriverte.

1. Les hva funksjonene regner ut Linje 1 og 2 definerer \( f\text{,} \) og linje 4 og 5 definerer \( \texttt{areal(x)}\text{.} \) Med \( {B = (x, 0)} \) er \( {AB = x} \) og \( {BC = f(x)}\text{,} \) så \( \texttt{areal(x)} \) er arealet av rektangelet \( ABCD\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{A(x)} = x \cdot (-x^2 + 4) = 4x - x^3 \]

Linje 7 til 9 regner ut brøken med \( {h = 0{,}0001}\text{.} \) Den er stigningstallet mellom to punkter på grafen til \( \textcolor{blue}{A} \) som ligger svært nær hverandre, så den er nesten den deriverte, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x)}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{A(x + h)} - \textcolor{blue}{A(x)}}{h} \\ &\approx A'(x) \end{aligned} \]

2. Finn ut når løkka stopper Løkka i linje 13 og 14 starter i \( {x = 0} \) og øker \( x \) med \( 0{,}01 \) så lenge \( {\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x + dx)}} > 0}\text{,} \) altså så lenge arealet fortsatt øker. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ A'(x) = 4 - 3x^2 \]Den er positiv for \( {x < \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547}\text{.} \)

Når \( {x = 1{,}14}\text{,} \) er \( {A'(1{,}15) \approx 0{,}03 > 0}\text{,} \) så \( x \) blir \( 1{,}15\text{.} \) Når \( {x = 1{,}15}\text{,} \) er \( {A'(1{,}16) \approx -0{,}04 < 0}\text{,} \) så løkka stopper.

3. Regn ut utskriften Linje 16 skriver ut arealet i \( {x = 1{,}15}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A(1{,}15)} &= 1{,}15 \cdot (4 - 1{,}15^2) \\ &= 1{,}15 \cdot 2{,}6775 \\ &= 3{,}079125 \end{aligned} \]Lars prøver altså å finne det største arealet rektangelet \( ABCD \) kan få. Toppunktet er i \( {x = \dfrac{2}{\sqrt{3}}}\text{,} \) så programmet treffer nesten.

1. Kjør programmet Kjører vi programmet, skriver det ut:

Det er \( 3{,}079125\text{.} \) Sifrene til slutt kommer av en liten avrundingsfeil i datamaskinen.

Vi bruker at \( \texttt{der\_areal(x)} \) er nesten den deriverte av arealet, som vi fant i a).

Programmet går fram i små steg og stopper når den deriverte av arealet ikke lenger er positiv. Vi ser når det gir det største arealet, og når det ikke gjør det.

1. Beskriv strategien Lars starter i \( {x = 0} \) og går fram i steg på \( 0{,}01 \) så lenge den deriverte av arealet er positiv, altså så lenge arealet øker. Når den deriverte blir 0 eller negativ, har arealet nådd toppen, og programmet skriver ut arealet der. Det er det samme som at toppunktet ligger der den deriverte skifter fra pluss til minus, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

2. Finn et moteksempel Strategien virker bare når arealet først øker og så minker. Et moteksempel er \( {f(x) = 4}\text{.} \) Da er arealet \( \textcolor{blue}{4x}\text{,} \) som øker hele tiden: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x)}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{4(x + h)} - \textcolor{blue}{4x}}{h} = 4 > 0 \end{aligned} \]Løkka stopper aldri. Har arealet flere toppunkter, stopper programmet i det første, og det trenger ikke å være det største.

Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Med kalkulator sammenligner vi modellen med overskuddet i tabellen, og i GeoGebra lager vi en modell for kostnadene med regresjon, som i videoen.

1. Sett opp overskuddet 0:51 Overskuddet er det fabrikken får for sofaene, minus det de koster å lage: \[ \text{overskudd} = \textcolor{blue}{\text{inntekt}} - \textcolor{red}{\text{kostnader}} \]

Alt regnes i tusen kroner, som i tabellen. Hver sofa gir \( 28 \) tusen kroner, så \( x \) sofaer gir inntekten \( \textcolor{blue}{28x}\text{.} \) Kostnadene \( \textcolor{red}{K} \) står i tabellen.

2. Sammenlign med tabellen For hver verdi av \( x \) i tabellen regner vi ut det virkelige overskuddet \( {\textcolor{blue}{28x} - \textcolor{red}{K}} \) og modellen \( O(x)\text{.} \) For \( {x = 40} \) er for eksempel: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{28 \cdot 40} - \textcolor{red}{870} &= 250 \\ O(40) &= 271{,}4 \end{aligned} \]

Gjør vi det samme for alle sju verdiene, får vi: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{28x} - \textcolor{red}{K} & O(x) \\ \hline 10 & 10 & 2{,}9 \\ 25 & 150 & 146{,}4 \\ 40 & 250 & 271{,}4 \\ 70 & 460 & 466{,}1 \\ 100 & 600 & 587{,}0 \\ 140 & 620 & 633{,}4 \\ 180 & 540 & 548{,}6 \end{array} \]Modellen ligger høyst 21,4 tusen kroner fra det virkelige overskuddet, som går opp til 620 tusen kroner, og den stiger, flater ut og synker som tabellen. \( O(x) \) er derfor en god modell.

1. Lag en modell for kostnadene 2:14 \( O(x) \) er en andregradsfunksjon, og inntekten \( 28x \) er lineær, så kostnadene må også være en andregradsfunksjon. Vi skriver tabellen inn i regnearket, lager en liste med punkt og bruker andregradsregresjon. Regresjonen finner den andregradsfunksjonen som ligger nærmest punktene:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = RegPoly(l1, 2)

2. Trekk kostnadene fra inntekten 4:43 Overskuddet er inntekten \( \textcolor{blue}{28x} \) minus kostnadene \( \textcolor{red}{K(x)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = Polynom(28x - K(x))

Avrundet er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K(x)} &\approx 0{,}041x^2 + 17{,}05x + 102{,}7 \\ O(x) &\approx -0{,}041x^2 + 10{,}95x - 102{,}7 \end{aligned} \]Avrunder vi de to siste tallene i \( O(x) \) til hele tall, får vi modellen fra oppgaven. Den er altså god.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Overskuddet er størst i toppunktet til \( O\text{,} \) der \( {O'(x) = 0}\text{.} \) Antall sofaer er et helt tall, så vi sammenligner de to hele tallene på hver side av toppunktet.

Merk – Modellen i videoen: Videoen regner med regresjonen fra a) i stedet for \( O(x)\text{,} \) og får toppunktet i \( {x \approx 133{,}55}\text{,} \) men også der gir 134 sofaer størst overskudd.

1. Deriver og sett lik null Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103 \]

Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}082x + 11 \]

Vi setter \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}082x + 11 &= 0 \\ x &= \dfrac{11}{0{,}082} \approx 134{,}15 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}041 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.

2. Sjekk hele sofaer 0:46 Fabrikken kan ikke lage \( 134{,}15 \) sofaer, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{134}) &= \textcolor{blue}{634{,}804} \\ O(\textcolor{red}{135}) &= \textcolor{red}{634{,}775} \end{aligned} \]\( \textcolor{blue}{134} \) sofaer gir størst overskudd, omtrent 634 800 kroner.

1. Finn toppunktet i GeoGebra 0:17 Vi skriver inn \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt og regner ut \( O(134) \) og \( O(135)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.041x^2 + 11x - 103 T = Ekstremalpunkt(O) o_1 = O(134) o_2 = O(135)

Toppunktet er \( {T \approx (134{,}1463,\ 634{,}8049)}\text{,} \) og \( {O(134) = 634{,}804} \) er større enn \( {O(135) = 634{,}775}\text{.} \) 134 sofaer gir størst overskudd.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Kostnadene er de samme, men prisen \( v \) per sofa endres. Prisen er lavest når det største overskuddet akkurat blir 1000 tusen kroner, så vi krever det i toppunktet.

Merk – Modellen i videoen: Videoen regner med kostnadene fra regresjonen i a) med alle desimalene og får omtrent 30 500 kroner, fordi tallene i \( O(x) \) er avrundet.

1. Sett opp overskuddet med ny pris 0:47 Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103 \]

Kostnadene \( K(x) \) er inntekten minus overskuddet: \[ \begin{aligned} K(x) &= 28x - O(x) \\ K(x) &= 0{,}041x^2 + 17x + 103 \end{aligned} \]

Får fabrikken \( \textcolor{blue}{v} \) tusen kroner per sofa, blir det nye overskuddet \( {O_2(x) = \textcolor{blue}{v}x - K(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_2(x) = {} &-0{,}041x^2 \\ &+ (\textcolor{blue}{v} - 17)x - 103 \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet 1:30 Toppunktet ligger der den deriverte er null. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O_2'(x) = -0{,}082x + \textcolor{blue}{v} - 17 = 0 \]Det gir \( {\textcolor{blue}{v} - 17 = 0{,}082x} \) i toppunktet.

3. Krev 1 million i toppunktet 4:08 Vi setter \( {\textcolor{blue}{v} - 17 = 0{,}082x} \) inn i \( O_2(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_2(x) &= -0{,}041x^2 + 0{,}082x^2 - 103 \\ &= 0{,}041x^2 - 103 \end{aligned} \]

1 million kroner er 1000 tusen kroner, så overskuddet i toppunktet skal være 1000: \[ \begin{aligned} 0{,}041x^2 - 103 &= 1000 \\ x^2 &= \dfrac{1103}{0{,}041} \\ x &\approx 164{,}02 \end{aligned} \]Antall sofaer er positivt, så vi bruker bare den positive roten.

4. Finn prisen 6:03 Vi setter \( {x \approx 164{,}02} \) inn i \( {\textcolor{blue}{v} - 17 = 0{,}082x}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{v} \approx 17 + 0{,}082 \cdot 164{,}02 \approx 30{,}4496 \]Prisen må være omtrent \( 30{,}45 \) tusen kroner, altså 30 450 kroner per sofa. Da lager de 164 sofaer.

1. Løs i CAS 1:50 Vi skriver inn det nye overskuddet med prisen \( v \) i CAS, som i videoen. Rad 4 gir toppunktet uttrykt ved \( v\text{,} \) og rad 6 setter overskuddet der lik 1000, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.041x^2 + 11x - 103 K(x) := 28x - O(x) O_2(x) := v*x - K(x) Løs(O_2'(x) = 0, x) E(v) := 500/41*v - 8500/41 Løs(O_2(E(v)) = 1000, v) {E(3.5504), E(30.4496)}

CAS gir \( {v \approx 3{,}5504} \) eller \( {v \approx 30{,}4496}\text{.} \) Med \( {v \approx 3{,}5504} \) ligger toppunktet i en negativ \( x\text{,} \) så den løsningen forkaster vi. Prisen er omtrent 30 450 kroner per sofa.

Med bunnsider på 5 dm blir volumet større jo høyere kassen er. Høyden begrenses av at platene til sammen kan være høyst \( 120\,\text{dm}^2\text{.} \)

1. Skriv opp volum og areal 1:15 Vi kaller sidene i bunnen \( \textcolor{blue}{s} \) og høyden \( \textcolor{red}{h}\text{.} \) Volumet er grunnflaten ganget med høyden. Platene er bunnen og de fire sideflatene, men ikke lokket: \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} \\ A &= \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} \end{aligned} \]

2. Finn den største høyden 4:30 Med \( {\textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{5}} \) kan arealet være høyst 120: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{5}^2 + 4 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{h} &\le 120 \\ 20\textcolor{red}{h} &\le 95 \\ \textcolor{red}{h} &\le 4{,}75 \end{aligned} \]

3. Regn ut volumet 6:30 Volumet er størst når \( \textcolor{red}{h} \) er størst, altså \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm}}\text{.} \) Vi ganger tallene og enhetene hver for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm} \\ V &= 118{,}75\,\text{dm}^3 \end{aligned} \]

Volumet blir størst når hele arealet på \( 120\,\text{dm}^2 \) brukes. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver volumet som en funksjon av \( s \) og finner toppunktet.

1. Uttrykk høyden ved sidene 0:36 Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Vi setter arealet lik 120 og løser for \( \textcolor{red}{h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} &= 120 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \end{aligned} \]

2. Skriv volumet som en funksjon 1:36 Plugger vi høyden inn i volumet og stryker en \( s\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V(s) &= s^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \\ V(s) &= \dfrac{s(120 - s^2)}{4} = 30s - \dfrac{1}{4}s^3 \end{aligned} \]Sidene må være mellom 0 og \( {\sqrt{120} \approx 10{,}95} \) dm, ellers blir høyden negativ.

3. Finn toppunktet 3:20 Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V'(s) = 30 - \dfrac{3}{4}s^2 &= 0 \\ s^2 &= 40 \\ s &= \sqrt{40} \approx 6{,}32 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt{40} \approx 6{,}32}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V'(6) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 36 = 3 > 0 \\ V'(7) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 49 = -6{,}75 < 0 \end{aligned} \]Volumet vokser før og avtar etter, så det er et toppunkt.

4. Regn ut volumet Vi setter \( {s = \sqrt{40}} \) inn i \( V(s)\text{.} \) Siden \( {(\sqrt{40})^3 = 40\sqrt{40}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} V(\sqrt{40}) &= 30\sqrt{40} - \dfrac{1}{4} \cdot 40\sqrt{40} \\ V(\sqrt{40}) &= 20\sqrt{40} \approx 126{,}49 \end{aligned} \]

1. Finn toppunktet i GeoGebra 2:16 Med høyden fra kalkulatorruten er \( {V(s) = s^2 \cdot \dfrac{120 - s^2}{4s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le \sqrt{120}} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: V(s) = Funksjon(s^2*(120 - s^2)/(4s), 0, sqrt(120)) T = Ekstremalpunkt(V, 0, 10)

Toppunktet er \( {T \approx (6{,}3246,\ 126{,}4911)}\text{.} \) Det største volumet er omtrent \( 126{,}49\,\text{dm}^3\text{.} \)

Nå er volumet fast. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver arealet som en funksjon av \( s \) og finner bunnpunktet.

1. Uttrykk høyden ved sidene 0:56 Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Volumet skal være 80: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} &= 80 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \end{aligned} \]

2. Skriv arealet som en funksjon 1:39 Plugger vi høyden inn i arealet, får vi: \[ \begin{aligned} A(s) &= s^2 + 4s \cdot \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \\ A(s) &= s^2 + \dfrac{320}{s} \end{aligned} \]for \( {s > 0}\text{.} \)

3. Finn bunnpunktet 3:48 Vi skriver \( {\dfrac{320}{s} = 320s^{-1}}\text{,} \) så potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) gir: \[ \begin{aligned} A'(s) = 2s - \dfrac{320}{s^2} &= 0 \\ 2s^3 &= 320 \\ s^3 &= 160 \\ s &= \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A'(5) &= 10 - \dfrac{320}{25} = -2{,}8 < 0 \\ A'(6) &= 12 - \dfrac{320}{36} \approx 3{,}11 > 0 \end{aligned} \]Arealet avtar før og vokser etter, så det er et bunnpunkt.

4. Regn ut arealet Vi setter \( {s = \sqrt[3]{160}} \) inn i \( A(s) \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} A\left(\sqrt[3]{160}\right) &= \left(\sqrt[3]{160}\right)^2 + \dfrac{320}{\sqrt[3]{160}} \\ A\left(\sqrt[3]{160}\right) &\approx 88{,}42 \end{aligned} \]

1. Finn bunnpunktet i GeoGebra 2:40 Med høyden fra kalkulatorruten er \( {A(s) = s^2 + \dfrac{320}{s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le 20} \) og finner bunnpunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: A(s) = Funksjon(s^2 + 320/s, 0, 20) B = Ekstremalpunkt(A, 0, 20)

Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}4288,\ 88{,}4168)}\text{.} \) Det minste arealet er omtrent \( 88{,}42\,\text{dm}^2\text{.} \)