Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

derivasjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

25 oppgaver i S1 om derivasjon · viser 21–25

Oppgavene

S1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Bedriften Edison produserer biler. Kostnaden (oppgitt i 1000 kroner) ved å produsere x x biler per måned er gitt ved
K(x)=200x⋅1,015x+200 K(x) = 200x \cdot 1{,}015^x + 200
Edison selger alle bilene de produserer. Hver bil selges for 600 000 600\,000 kroner.

Oppgave 1a)

Hvilken produksjonsmengde gir størst mulig overskudd?
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med hele biler gir 41 biler størst overskudd, omtrent 9,3 millioner kroner per måned:
41 biler per ma˚ned‾‾ \underline{\underline{41 \text{ biler per måned}}}
Vi setter opp overskuddet og finner der den deriverte skifter fra pluss til minus. Antall biler er et helt tall, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det Edison får for bilene, minus det bilene koster å lage, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \text{overskudd} = \textcolor{green}{\text{inntekt}} - \text{kostnad} \]
Vi regner alt i 1000 kroner, som kostnaden. Hver bil gir 600 tusen kroner, så \( x \) biler gir inntekten \( \textcolor{green}{600x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{green}{600x} - K(x) \\ O(x) &= \textcolor{green}{600x} - 200x \cdot 1{,}015^x - 200 \end{aligned} \]
2. Deriver overskuddet Leddet \( {200x \cdot 1{,}015^x} \) er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
Siden \( {1{,}015^x = e^{x \cdot \ln 1{,}015}}\text{,} \) gir kjerneregelen \( {(1{,}015^x)' = 1{,}015^x \cdot \ln 1{,}015}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{200x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{200} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{1{,}015^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1{,}015^x \ln 1{,}015} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, og deriverer \( 600x \) og \( {-200} \) for seg, får vi: \[ \begin{aligned} O'(x) = {} & 600 - \textcolor{red}{200} \cdot \textcolor{blue}{1{,}015^x} \\ & - \textcolor{red}{200x} \cdot \textcolor{blue}{1{,}015^x \ln 1{,}015} \end{aligned} \]
3. Prøv deg fram med hele tall \( {O'(x) = 0} \) kan vi ikke løse for hånd. Men begge leddene vi trekker fra, vokser når \( x \) øker, så \( O' \) avtar og skifter fortegn bare én gang. Toppunktet ligger der den deriverte skifter fra pluss til minus, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} x & O'(x) \\ \hline 40 & 21{,}13 \\ 41 & 6{,}96 \\ 42 & -7{,}50 \\ 45 & -52{,}70 \end{array} \]Den deriverte skifter fortegn mellom 41 og 42. Overskuddet øker fram dit og minker etterpå.
4. Sammenlign de to hele tallene Edison kan ikke lage en del av en bil, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(41) &\approx 9301{,}92 \\ O(42) &\approx 9301{,}68 \end{aligned} \]41 biler gir størst overskudd, omtrent 9,3 millioner kroner.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og regner ut \( O(41) \) og \( O(42)\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 200x*1.015^x + 200 O(x) = 600x - K(x) T = Ekstremalpunkt(O, 0, 100) o_1 = O(41) o_2 = O(42)
Toppunktet er \( {T \approx (41{,}4842,\ 9303{,}6138)}\text{,} \) og \( {O(41) \approx 9301{,}9248} \) er større enn \( {O(42) \approx 9301{,}6842}\text{.} \) 41 biler gir størst overskudd.

Oppgave 1b)

Hvilken produksjonsmengde gir lavest mulig enhetskostnad?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Med hele biler gir 8 biler lavest enhetskostnad, omtrent 250 300 kroner per bil:
8 biler per ma˚ned‾‾ \underline{\underline{8 \text{ biler per måned}}}
Vi deler kostnaden på antall biler og finner der den deriverte skifter fra minus til pluss. Antall biler er et helt tall, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp enhetskostnaden Enhetskostnaden er kostnaden per bil, altså kostnaden delt på antall biler. Vi deler hvert ledd i telleren med \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(x) &= \dfrac{K(x)}{x} \\ E(x) &= \dfrac{200x \cdot 1{,}015^x + 200}{x} \\ E(x) &= \textcolor{blue}{200 \cdot 1{,}015^x} \textcolor{red}{{}+ \dfrac{200}{x}} \end{aligned} \]
2. Deriver ledd for ledd \( {\textcolor{blue}{200 \cdot 1{,}015^x}} \) derivert blir \( {\textcolor{blue}{\underline{200 \cdot 1{,}015^x \ln 1{,}015}}}\text{,} \) siden \( {1{,}015^x = e^{x \cdot \ln 1{,}015}} \) og kjerneregelen gir \( {(1{,}015^x)' = 1{,}015^x \cdot \ln 1{,}015}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler.
\( \textcolor{red}{\dfrac{200}{x}} \) skriver vi som \( {200x^{-1}}\text{.} \) Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Med \( {n = -1} \) blir \( {\textcolor{red}{200x^{-1}}} \) derivert \( {-200x^{-2} = \textcolor{red}{\underline{-\dfrac{200}{x^2}}}}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ E'(x) = \textcolor{blue}{200 \cdot 1{,}015^x \ln 1{,}015} \textcolor{red}{{}- \dfrac{200}{x^2}} \]
3. Prøv deg fram med hele tall \( {E'(x) = 0} \) kan vi ikke løse for hånd. Når \( x \) øker, vokser det blå leddet, og det røde nærmer seg 0, så \( E' \) øker og skifter fortegn bare én gang. Vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} x & E'(x) \\ \hline 5 & -4{,}79 \\ 7 & -0{,}78 \\ 8 & 0{,}23 \\ 10 & 1{,}46 \end{array} \]Den deriverte skifter fra minus til pluss mellom 7 og 8. Enhetskostnaden minker fram dit og øker etterpå.
4. Sammenlign de to hele tallene Vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} E(7) &\approx 250{,}54 \\ E(8) &\approx 250{,}30 \end{aligned} \]8 biler gir lavest enhetskostnad, omtrent 250 300 kroner per bil.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn bunnpunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og \( E \) for \( {x > 0}\text{,} \) finner bunnpunktet med Ekstremalpunkt og regner ut \( E(7) \) og \( E(8)\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 200x*1.015^x + 200 E(x) = K(x)/x, x > 0 B = Ekstremalpunkt(E, 1, 40) e_1 = E(7) e_2 = E(8)
Bunnpunktet er \( {B \approx (7{,}7368,\ 250{,}2679)}\text{,} \) og \( {E(8) \approx 250{,}2985} \) er mindre enn \( {E(7) \approx 250{,}5404}\text{.} \) 8 biler gir lavest enhetskostnad.
En måned trenger et firma 70 biler. De er villige til å betale mer enn 600 000 600\,000 kroner per bil. Firmaet inngår en kontrakt om at Edison skal lage 70 biler denne måneden og selge alle til dem. Kontrakten gir Edison et overskudd på 15 millioner kroner.

Oppgave 1c)

Hvilken pris ble avtalt per bil i denne kontrakten?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Avrundet til hele kroner:
Omtrent 784 234 kr per bil‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 784\,234 \text{ kr per bil}}}
Prisen per bil er ukjent. Vi kaller den \( p\text{,} \) setter overskuddet for 70 biler lik 15 millioner kroner og løser for \( p\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen Vi regner i 1000 kroner, som kostnaden, så 15 millioner kroner er \( 15\,000\text{.} \) Med prisen \( \textcolor{blue}{p} \) per bil er inntekten for 70 biler \( 70\textcolor{blue}{p}\text{,} \) og overskuddet er inntekten minus kostnaden, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 70\textcolor{blue}{p} - K(70) = 15\,000 \]
2. Regn ut kostnaden og prisen Med kalkulatoren er kostnaden for 70 biler: \[ \begin{aligned} K(70) &= 200 \cdot 70 \cdot 1{,}015^{70} + 200 \\ K(70) &\approx 39\,896{,}39 \end{aligned} \]
Vi legger til \( K(70) \) på begge sider og deler med 70: \[ \begin{aligned} 70\textcolor{blue}{p} &\approx 15\,000 + 39\,896{,}39 \\ \textcolor{blue}{p} &\approx \dfrac{54\,896{,}39}{70} \approx 784{,}234 \end{aligned} \]Prisen er omtrent 784,234 tusen kroner, altså 784 234 kroner per bil. Det er mer enn 600 000 kroner, som teksten sier.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver inn \( K \) og løser \( {70p - K(70) = 15\,000} \) med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 200x*1.015^x + 200 Løs(70p - K(70) = 15000, p)
CAS gir \( {p \approx 784{,}2341}\text{,} \) altså omtrent 784 234 kroner per bil.

S1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 7

4 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=−x2+4,0≤x≤2 f(x) = -x^2 + 4, \quad 0 \le x \le 2
Lars har tegnet grafen til f f med et innskrevet rektangel ABCD. ABCD\text{.} Lars har også skrevet et program.

Oppgave 7a)

Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
Lars prøver å finne det største arealet rektangelet ABCD ABCD kan få. Programmet skriver ut
3,079125≈3,08‾‾ \underline{\underline{3{,}079125 \approx 3{,}08}}
Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Brøken i linje 9 kjenner vi igjen fra definisjonen av den deriverte.
Metode: Med kalkulator
1. Les hva funksjonene regner ut Linje 1 og 2 definerer \( f\text{,} \) og linje 4 og 5 definerer \( \texttt{areal(x)}\text{.} \) Med \( {B = (x, 0)} \) er \( {AB = x} \) og \( {BC = f(x)}\text{,} \) så \( \texttt{areal(x)} \) er arealet av rektangelet \( ABCD\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{A(x)} = x \cdot (-x^2 + 4) = 4x - x^3 \]
Linje 7 til 9 regner ut brøken med \( {h = 0{,}0001}\text{.} \) Den er stigningstallet mellom to punkter på grafen til \( \textcolor{blue}{A} \) som ligger svært nær hverandre, så den er nesten den deriverte, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x)}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{A(x + h)} - \textcolor{blue}{A(x)}}{h} \\ &\approx A'(x) \end{aligned} \]
2. Finn ut når løkka stopper Løkka i linje 13 og 14 starter i \( {x = 0} \) og øker \( x \) med \( 0{,}01 \) så lenge \( {\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x + dx)}} > 0}\text{,} \) altså så lenge arealet fortsatt øker. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ A'(x) = 4 - 3x^2 \]Den er positiv for \( {x < \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547}\text{.} \)
Når \( {x = 1{,}14}\text{,} \) er \( {A'(1{,}15) \approx 0{,}03 > 0}\text{,} \) så \( x \) blir \( 1{,}15\text{.} \) Når \( {x = 1{,}15}\text{,} \) er \( {A'(1{,}16) \approx -0{,}04 < 0}\text{,} \) så løkka stopper.
3. Regn ut utskriften Linje 16 skriver ut arealet i \( {x = 1{,}15}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A(1{,}15)} &= 1{,}15 \cdot (4 - 1{,}15^2) \\ &= 1{,}15 \cdot 2{,}6775 \\ &= 3{,}079125 \end{aligned} \]Lars prøver altså å finne det største arealet rektangelet \( ABCD \) kan få. Toppunktet er i \( {x = \dfrac{2}{\sqrt{3}}}\text{,} \) så programmet treffer nesten.
Metode: Med Python
1. Kjør programmet Kjører vi programmet, skriver det ut:
Det er \( 3{,}079125\text{.} \) Sifrene til slutt kommer av en liten avrundingsfeil i datamaskinen.

Oppgave 7b)

Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon f f er?
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
Lars går fram i små steg så lenge arealet øker. Det virker bare når arealet først øker og så minker:
Nei, ikke for alle f‾‾ \underline{\underline{\text{Nei, ikke for alle } f}}
Vi bruker at \( \texttt{der\_areal(x)} \) er nesten den deriverte av arealet, som vi fant i a).
Programmet går fram i små steg og stopper når den deriverte av arealet ikke lenger er positiv. Vi ser når det gir det største arealet, og når det ikke gjør det.
Metode: For hånd
1. Beskriv strategien Lars starter i \( {x = 0} \) og går fram i steg på \( 0{,}01 \) så lenge den deriverte av arealet er positiv, altså så lenge arealet øker. Når den deriverte blir 0 eller negativ, har arealet nådd toppen, og programmet skriver ut arealet der. Det er det samme som at toppunktet ligger der den deriverte skifter fra pluss til minus, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.
2. Finn et moteksempel Strategien virker bare når arealet først øker og så minker. Et moteksempel er \( {f(x) = 4}\text{.} \) Da er arealet \( \textcolor{blue}{4x}\text{,} \) som øker hele tiden: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\texttt{der\_areal(x)}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{4(x + h)} - \textcolor{blue}{4x}}{h} = 4 > 0 \end{aligned} \]Løkka stopper aldri. Har arealet flere toppunkter, stopper programmet i det første, og det trenger ikke å være det største.

S1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 8

2 poeng

En kule med radius r r deles i to like deler. Vi skal skjære ut en pyramide med rektangulær grunnflate av den ene halvkulen. Grunnflaten skal ligge i snittflaten til halvkulen.
Bestem et uttrykk for det største volumet en slik pyramide kan ha.
Volumet av en pyramide er gitt ved
V=h⋅G3 V = \dfrac{h \cdot G}{3}
der G G er grunnflaten og h h er høyden til pyramiden.
Vis løsning på oppgave 8

Svar

Grunnflaten er et kvadrat med side 2 r, \sqrt{2}\,r\text{,} og høyden er r: r\text{:}
V=2r33‾‾ \underline{\underline{V = \dfrac{2r^3}{3}}}
Volumet er størst når både høyden og grunnflaten er så store som mulig. Toppen legger vi øverst på halvkulen, og hjørnene i grunnflaten på randen av snittflaten.
Metode: For hånd
1. Finn den største høyden Det høyeste punktet på halvkulen er toppen, rett over sentrum. Legger vi toppen av pyramiden der, er høyden størst: \[ h = r \]
2. Uttrykk grunnflaten ved én side Et rektangel i snittflaten kan gjøres større til hjørnene ligger på randen. Da går diagonalene gjennom sentrum, så hver diagonal er en diameter, \( 2r\text{.} \) Med sidene \( x \) og \( y \) gir Pytagoras: \[ \begin{aligned} x^2 + y^2 &= (2r)^2 \\ y &= \sqrt{4r^2 - x^2} \end{aligned} \]
Vi setter \( y \) inn i grunnflaten, som når kravet brukes til å få én variabel i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ G(x) = \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \]
3. Deriver med produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
Roten deriverer vi med kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{k}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{green}{k}}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.
Med kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{4r^2 - x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{-2x}} \) blir den deriverte av roten \( {\dfrac{\textcolor{green}{-2x}}{2\sqrt{4r^2 - x^2}} = \dfrac{-x}{\sqrt{4r^2 - x^2}}}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - x^2}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{-x}{\sqrt{4r^2 - x^2}}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn og setter på felles brøkstrek, får vi: \[ \begin{aligned} G'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \\ &\quad + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{-x}{\sqrt{4r^2 - x^2}}} \\ &= \dfrac{4r^2 - 2x^2}{\sqrt{4r^2 - x^2}} \end{aligned} \]
4. Finn det største volumet \( {G'(x) = 0} \) når telleren er 0. Siden \( {x > 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 4r^2 - 2x^2 &= 0 \\ x &= \sqrt{2}\,r \end{aligned} \]Telleren er positiv når \( {x < \sqrt{2}\,r} \) og negativ når \( {x > \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så det er et toppunkt. Da er \( {y = \sqrt{4r^2 - 2r^2} = \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten er et kvadrat med \( {G = \sqrt{2}\,r \cdot \sqrt{2}\,r = 2r^2}\text{.} \)
Med \( {h = r} \) gir formelen fra oppgaven: \[ V = \dfrac{h \cdot G}{3} = \dfrac{r \cdot 2r^2}{3} = \dfrac{2r^3}{3} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i CAS Vi skriver inn grunnflaten \( G(x) \) fra ruten for hånd, løser \( {G'(x) = 0}\text{,} \) og regner ut grunnflaten og volumet med \( {h = r}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: G(x) := x*sqrt(4r^2 - x^2) Løs(G'(x) = 0, x) G(sqrt(2)*r) r*G(sqrt(2)*r)/3
Siden \( {x > 0}\text{,} \) er \( {x = \sqrt{2}\,r}\text{.} \) CAS skriver \( |r|\text{,} \) fordi den ikke vet at radien er positiv. Med \( {|r| = r} \) er \( {G = 2r^2} \) og \( {V = \dfrac{2r^3}{3}}\text{.} \)

S1 høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

En bedrift produserer en vare. De daglige kostnadene K K (i kroner) ved produksjon av x x enheter av varen er gitt ved
K(x)=0,1x2+100x+9000 K(x) = 0{,}1x^2 + 100x + 9000
Den økonomiansvarlige i bedriften har laget programmet nedenfor.
Hva blir resultatet når programmet kjøres? Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Ved 500 enheter per dag øker kostnadene med omtrent 200 kroner for hver ekstra enhet:
Programmet skriver ut 500‾‾ \underline{\underline{\text{Programmet skriver ut } 500}}
Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023, video, 06:47
Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Brøken i løkka kjenner vi igjen fra definisjonen av den deriverte.
1. Les programmet linje for linje 0:23 Linje 1 og 2 definerer \( K(x)\text{.} \) Løkka i linje 8 og 9 starter med \( {\textcolor{blue}{a} = 1} \) og øker \( \textcolor{blue}{a} \) med 1 så lenge \( \textcolor{red}{\text{brøken}} \) i linje 8 er mindre enn \( {\texttt{grense} = 200}\text{.} \) Når den blir 200 eller mer, stopper løkka, og linje 11 skriver ut \( \textcolor{blue}{a}\text{.} \)
2. Kjenn igjen den deriverte 1:35 Brøken i linje 8 er stigningstallet mellom to punkter på grafen som ligger svært nær hverandre, fordi \( {h = 0{,}00001}\text{.} \) Den deriverte er den samme brøken når \( h \) går mot 0: \[ K'(\textcolor{blue}{a}) = \lim_{h \to 0} \textcolor{red}{\dfrac{K(\textcolor{blue}{a} + h) - K(\textcolor{blue}{a})}{h}} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.
\( \textcolor{red}{\text{Brøken}} \) i linje 8 er derfor nesten lik \( K'(\textcolor{blue}{a})\text{.} \) Programmet leter etter den første \( \textcolor{blue}{a} \) der \( {K'(\textcolor{blue}{a}) \ge 200}\text{.} \)
3. Deriver og løs ulikheten 2:35 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd. Konstanten \( 9000 \) har derivert 0: \[ \begin{aligned} K'(x) &= 0{,}1 \cdot 2x + 100 \\ K'(x) &= 0{,}2x + 100 \end{aligned} \]
Løkka stopper når \( {K'(a) \ge 200}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}2\textcolor{blue}{a} + 100 &\ge 200 \\ 0{,}2\textcolor{blue}{a} &\ge 100 \\ \textcolor{blue}{a} &\ge \dfrac{100}{0{,}2} = 500 \end{aligned} \]Den første hele \( \textcolor{blue}{a} \) som oppfyller dette, er 500, så programmet skriver ut 500.
Kontroll: Regner vi ut brøken, blir den nøyaktig \( {0{,}2a + 100 + 0{,}1h}\text{.} \) Den er \( 199{,}800001 \) for \( {a = 499} \) og \( 200{,}000001 \) for \( {a = 500}\text{,} \) så løkka stopper akkurat på 500.
4. Tolk svaret 5:37 \( {K'(500) = 200} \) betyr at når bedriften produserer 500 enheter per dag, vokser kostnadene med omtrent 200 kroner per ekstra enhet. Å lage den 501. enheten koster altså omtrent 200 kroner ekstra.

S1 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

La f f være en tredjegradsfunksjon.
Avgjør for hver av påstandene nedenfor om den er sann eller usann. Begrunn svaret.

Oppgave 6a)

Påstand 1: Grafen til f f har minst ett ekstremalpunkt.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
f(x)=x3+x {f(x) = x^3 + x} har f′(x)=3x2+1>0 {f'(x) = 3x^2 + 1 > 0} og ingen ekstremalpunkter:
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
Oppgave 6A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, video, 05:59
Påstanden gjelder alle tredjegradsfunksjoner. Ekstremalpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så vi ser etter en tredjegradsfunksjon der den deriverte aldri er null.
Metode: For hånd
1. Deriver tredjegradsfunksjonen 0:13 En tredjegradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {a \neq 0}\text{.} \) Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]Den deriverte er et andregradsuttrykk.
2. Se når den deriverte er null 3:13 Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene i \( f'(x) \) for \( {\textcolor{blue}{p} = 3a}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = 2b} \) og \( {\textcolor{green}{r} = c}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {f'(x) = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Er tallet under rottegnet negativt, finnes det ingen løsning, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Da er \( f'(x) \) aldri null, og grafen har ingen ekstremalpunkter.
3. Finn et moteksempel Vi velger \( {f(x) = x^3 + x}\text{.} \) Da er: \[ f'(x) = 3x^2 + 1 \]Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) så tallet under rottegnet er \( {\textcolor{red}{0}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{green}{1} = -12 < 0}\text{.} \)
Siden \( {x^2 \ge 0}\text{,} \) er \( {f'(x) \ge 1} \) for alle \( x\text{.} \) Grafen stiger hele tiden og har ingen ekstremalpunkter. Det er et moteksempel, så påstanden er usann.

Oppgave 6b)

Påstand 2: Alle linjer på formen y=ax+b, {y = ax + b}\text{,} der a,b∈R, a, b \in \mathbb{R}\text{,} vil skjære grafen til f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
f(x) f(x) minus linja er en tredjegradsfunksjon, og den har alltid minst ett nullpunkt:
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Oppgave 6B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, video, 06:56
Linja skjærer grafen der \( f(x) \) er lik linja. Samler vi alt på én side, får vi en tredjegradslikning, og en tredjegradsfunksjon har alltid minst ett nullpunkt.
Metode: For hånd
1. Se hvor grafen kommer fra 1:50 Vi skriver \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Når \( x \) blir stor i tallverdi, bestemmer leddet \( \textcolor{blue}{a}x^3 \) hvor grafen går. Er \( {\textcolor{blue}{a} > 0}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty \end{aligned} \]Er \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) er det omvendt.
Grafen henger sammen, så på veien fra \( {-\infty} \) til \( \infty \) må den krysse \( x \)-aksen minst én gang. En tredjegradsfunksjon har altså alltid minst ett nullpunkt.
2. Sett funksjonen lik linja 4:16 Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i \( f\text{,} \) så vi skriver linja \( {y = kx + m}\text{.} \) Den skjærer grafen der \( {f(x) = kx + m}\text{,} \) altså der \( {g(x) = 0} \) med: \[ \begin{aligned} g(x) &= f(x) - kx - m \\ &= \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 \\ &\quad + (c - k)x + (d - m) \end{aligned} \]
\( g \) er en tredjegradsfunksjon, fordi \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Den har minst ett nullpunkt, så linja skjærer grafen minst én gang, uansett hva \( k \) og \( m \) er. Påstanden er derfor sann.

Oppgave 6c)

Påstand 3: Dersom grafen til f f har et vendepunkt for x=3, {x = 3}\text{,} er f′(1)=f′(5). {f'(1) = f'(5)}\text{.}
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Vendepunktet gir f′′(3)=0, {f''(3) = 0}\text{,} og da er f′(1)=f′(5): {f'(1) = f'(5)}\text{:}
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, video, 07:50
Et vendepunkt ligger der \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi deriverer \( f \) to ganger, bruker at \( {f''(3) = 0}\text{,} \) og regner ut \( f'(1) \) og \( f'(5)\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Deriver to ganger 0:30 Med \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + cx + d} \) og potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + c \\ f''(x) &= 6\textcolor{blue}{a}x + 2\textcolor{red}{b} \end{aligned} \]
2. Bruk vendepunktet 1:44 Vendepunktet i \( {x = 3} \) gir \( {f''(3) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{a} \cdot 3 + 2\textcolor{red}{b} &= 0 \\ \textcolor{red}{b} &= -9\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]
3. Regn ut de to deriverte 4:40 Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {\textcolor{red}{b} = -9\textcolor{blue}{a}} \) i \( f'(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} + 2\textcolor{red}{b} + c \\ f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} - 18\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]
Og så \( {x = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} + 10\textcolor{red}{b} + c \\ f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} - 90\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]
Begge er \( {c - 15\textcolor{blue}{a}}\text{,} \) så \( {f'(1) = f'(5)}\text{,} \) og påstanden er sann. Det passer med at grafen til \( f' \) er en parabel med toppunkt eller bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og 1 og 5 ligger like langt fra 3.