Eksamensoppgaver etter tema

Påstanden gjelder alle par av ortogonale vektorer, så vi ser på hva eleven faktisk har vist.

1. Se hva eleven har vist Eleven har valgt to bestemte vektorer, \( \textcolor{blue}{[4, 0, 0]} \) og \( \textcolor{red}{[0, 0, 3]}\text{,} \) og vist at likheten stemmer for dem. Det er et eksempel.

Påstanden sier at likheten stemmer for «alle» ortogonale vektorer \( \textcolor{blue}{\vec{p}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{q}}\text{.} \) Ett eksempel viser ikke at den stemmer for alle de andre parene. Et eksempel kan bare vise at en slik påstand er usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026.

Et bevis må gjelde for vilkårlige vektorer der vi bare vet at \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{.} \)

Vi skriver lengden i andre som skalarproduktet av vektoren med seg selv, ganger ut og bruker at \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{.} \)

1. Skriv lengden som et skalarprodukt For en vektor \( \vec{v} \) er lengden i andre lik skalarproduktet med seg selv: \[ |\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} \]To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Gang ut parentesene Vi lar \( \vec{p} \) og \( \vec{q} \) være vilkårlige ortogonale vektorer, så \( {\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} = 0}\text{.} \) Vi ganger ut parentesene som i vanlig algebra: \[ \begin{aligned} |\vec{p} + \vec{q}|^2 &= (\vec{p} + \vec{q}) \cdot (\vec{p} + \vec{q}) \\ &= \vec{p} \cdot \vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{q} \cdot \vec{p} + \vec{q} \cdot \vec{q} \\ &= |\vec{p}|^2 + 2\,\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} + |\vec{q}|^2 \\ &= |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 \end{aligned} \]I den tredje linjen brukte vi at \( {\vec{q} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{q}}\text{,} \) og i den siste at \( {\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} = 0}\text{.} \)

En vinkel er større enn \( 90^\circ \) når skalarproduktet av de to vektorene ut fra hjørnet er negativt. Vi regner ut skalarproduktet i hvert hjørne.

1. Skriv opp regelen Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \textcolor{red}{\theta} \]der \( \textcolor{red}{\theta} \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Lengdene er positive, så skalarproduktet har samme fortegn som \( \cos \textcolor{red}{\theta}\text{.} \) Er det negativt, er \( \textcolor{red}{\theta} \) større enn \( 90^\circ\text{.} \)

2. Regn ut i hvert hjørne Ut fra \( A \) går \( {\overrightarrow{AB} = [2, 3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [1, 4, 1]}\text{,} \) ut fra \( B \) går \( {\overrightarrow{BA} = [-2, -3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{BC} = [-1, 1, 1]}\text{,} \) og ut fra \( C \) går \( {\overrightarrow{CA} = [-1, -4, -1]} \) og \( {\overrightarrow{CB} = [1, -1, -1]}\text{.} \)

Vi ganger koordinatene parvis og legger sammen: \[ \begin{aligned} A\text{:} \quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= 2 + 12 + 0 = 14 \\ B\text{:} \quad \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= 2 - 3 + 0 = \textcolor{red}{-1} \\ C\text{:} \quad \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &= -1 + 4 + 1 = 4 \end{aligned} \]Skalarproduktet er negativt bare i \( B\text{,} \) så vinkelen i \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{.} \)

Arealet av en trekant er halvparten av lengden av vektorproduktet av to av sidene. Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

1. Regn ut vektorproduktet Arealet av trekanten er: \[ T = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vektorproduktet av \( [a_1, a_2, a_3] \) og \( [b_1, b_2, b_3] \) er: \[ \begin{aligned} [&\textcolor{blue}{a_2b_3 - a_3b_2},\ \textcolor{red}{a_3b_1 - a_1b_3}, \\ &\textcolor{green}{a_1b_2 - a_2b_1}] \end{aligned} \]

Med \( {\overrightarrow{AB} = [2, 3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [1, 4, 1]} \) får vi: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{3 \cdot 1 - 0 \cdot 4},\ \textcolor{red}{0 \cdot 1 - 2 \cdot 1}, \\ &\qquad \textcolor{green}{2 \cdot 4 - 3 \cdot 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

2. Regn ut arealet Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2 + \textcolor{green}{5}^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{38} \end{aligned} \]Enheten er desimeter, så arealet er i kvadratdesimeter.

Vi finner planet som bordplaten ligger i. Linja gjennom \( D \) og \( E \) treffer aldri planet hvis den er parallell med planet og ikke ligger i det.

1. Finn planet til bordplaten Vektorproduktet fra b) står vinkelrett på bordplaten, så \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{5}]} \) er en normalvektor. Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentplan eksempel!.

Planet går gjennom \( A(0, 0, 0)\text{,} \) så likningen blir: \[ \textcolor{blue}{3}x \textcolor{red}{- 2}y + \textcolor{green}{5}z = 0 \]

2. Undersøk linja Retningsvektoren til linja er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{DE} &= [2 - 3,\ 3 - 7,\ 2 - 3] \\ &= [-1, -4, -1] \end{aligned} \]

Skalarproduktet med normalvektoren er: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{DE} \cdot \vec{n} \\ &= (-1) \cdot \textcolor{blue}{3} + (-4) \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (-1) \cdot \textcolor{green}{5} \\ &= -3 + 8 - 5 = 0 \end{aligned} \]Retningsvektoren står vinkelrett på normalvektoren, så linja er parallell med planet.

Setter vi \( D(3, 7, 3) \) inn i likningen for planet, får vi: \[ \textcolor{blue}{3} \cdot 3 \textcolor{red}{- 2} \cdot 7 + \textcolor{green}{5} \cdot 3 = 10 \neq 0 \]\( D \) ligger altså ikke i planet. En linje som er parallell med et plan og ikke ligger i det, treffer aldri planet, og derfor heller aldri bordplaten.

Arealet av en trekant er halvparten av lengden til vektorproduktet av to av sidene.

1. Finn vektorproduktet Arealet av trekanten \( ABC \) er: \[ \text{Areal} = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vi trekker koordinatene fra hverandre: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{3, 0, 1}] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{red}{1, -1, -1}] \end{aligned} \]

Vektorproduktet av \( [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}] \) og \( [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}] \) har koordinatene: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2} \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3} \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 1 \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 4 \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} = -3 \end{aligned} \]Altså er \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [1, 4, -3]}\text{.} \)

2. Regn ut arealet Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \left|[1, 4, -3]\right| = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26} \]Arealet er halvparten av dette, \( \dfrac{\sqrt{26}}{2}\text{.} \)

Vi bruker arealet fra a), \( \dfrac{\sqrt{26}}{2}\text{.} \)

Avstanden fra \( C \) til linja er høyden i trekanten når \( AB \) er grunnlinja. Vi bruker arealformelen baklengs.

1. Bruk arealet Arealet av en trekant er grunnlinja ganger høyden, delt på \( 2\text{:} \) \[ \text{Areal} = \dfrac{\textcolor{blue}{|AB|} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]

Grunnlinja er: \[ \textcolor{blue}{|AB|} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \textcolor{blue}{\sqrt{10}} \]

Med arealet fra a) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{10}} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} &= \dfrac{\sqrt{26}}{2} \\ \textcolor{red}{h} &= \dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{13}{5}} = \dfrac{\sqrt{65}}{5} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 1{,}61\text{.} \)

Vi bruker vektorproduktet fra a), \( {[1, 4, -3]}\text{.} \)

En linje som står vinkelrett på et plan, har en normalvektor til planet som retningsvektor. Vektorproduktet fra a) står vinkelrett på både \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så det er en normalvektor til \( \alpha\text{.} \)

1. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har parameterframstillingen: \[ \ell\text{:} \ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Plugger vi inn \( {P(-2, 1, 4)} \) og \( {[\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{4}, \textcolor{green}{-3}]}\text{,} \) får vi svaret.

Vi bruker normalvektoren \( {\vec{n} = [1, 4, -3]} \) fra c).

\( D \) ligger på \( z \)-aksen, så \( {D = (0, 0, d)}\text{.} \) Linja \( m \) er parallell med planet, så \( \overrightarrow{PD} \) står vinkelrett på normalvektoren. Da er skalarproduktet \( 0\text{.} \)

1. Sett opp vektoren PD Med \( {D = (0, 0, d)} \) og \( {P(-2, 1, 4)} \) er: \[ \overrightarrow{PD} = [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{d - 4}] \]

2. Sett skalarproduktet lik 0 To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2} \cdot 1 + (\textcolor{red}{-1}) \cdot 4 & \\ + (\textcolor{green}{d - 4}) \cdot (-3) &= 0 \\ 10 - 3d &= 0 \\ d &= \dfrac{10}{3} \end{aligned} \]