Eksamensoppgaver etter tema

Vi går gjennom løkka én runde om gangen og skriver opp hva \( \texttt{a} \) er i hver runde.

1. Les koden linje for linje Linje 1 setter \( {\texttt{a} = 2}\text{,} \) og linje 2 setter \( {\texttt{n} = 5}\text{.} \) Løkka i linje 3 går gjennom \( {\texttt{i} = 1, 2, 3, 4, 5}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(1, 6)} \) stopper før 6, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I hver runde skriver linje 4 ut \( \texttt{a}\text{,} \) og linje 5 legger til \( {\textcolor{red}{\texttt{i} + 2}}\text{.} \)

2. Kjør løkka for hånd De fire første rundene gir: \[ \begin{aligned} \texttt{i} = 1&\text{:} \quad 2 + \textcolor{red}{3} = 5 \\ \texttt{i} = 2&\text{:} \quad 5 + \textcolor{red}{4} = 9 \\ \texttt{i} = 3&\text{:} \quad 9 + \textcolor{red}{5} = 14 \\ \texttt{i} = 4&\text{:} \quad 14 + \textcolor{red}{6} = 20 \end{aligned} \]Programmet skriver ut \( \texttt{a} \) før det legger til, så det skriver ut \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{.} \)

Tallfølgen starter altså på \( 2\text{,} \) og hvert nytt tall er det forrige pluss \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) \( \textcolor{red}{4}\text{,} \) \( \textcolor{red}{5}\text{,} \) \( \textcolor{red}{6}\text{,} \) … Det vi legger til, øker med \( 1 \) hver gang.

Vi ser at programmet legger hvert ledd til \( \texttt{S} \) før det lager det neste. \( \texttt{S} \) blir derfor summen av leddene.

1. Les koden Linje 3 setter \( {\texttt{S} = 0}\text{.} \) I hver runde legger linje 5 det leddet vi har nå, til \( \texttt{S}\text{,} \) og linje 6 lager det neste leddet, som i a). Slik oppdaterer vi en sum i en løkke, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 7 står utenfor løkka, så den skriver ut \( \textcolor{blue}{\texttt{S}} \) én gang, etter den siste runden. Løkka går fem runder, så eleven vil finne summen av de fem første leddene.

2. Regn ut summen Leddene fra a) er \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\texttt{S}} = 2 + 5 + 9 + 14 + 20 = \textcolor{blue}{50} \]

Fra koden i a) ser vi hvordan et ledd lages av det forrige. Med den sammenhengen viser vi at formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og at den stemmer for \( {n = k + 1} \) hvis den stemmer for \( {n = k}\text{.} \)

1. Finn sammenhengen mellom leddene I runde nummer \( n \) gjør linje 5 i den første koden ledd nummer \( n \) om til ledd nummer \( {n + 1}\text{:} \) \[ a_{n+1} = a_n + \textcolor{red}{n + 2} \]For eksempel er \( {a_2 = 2 + \textcolor{red}{3} = 5}\text{.} \)

2. Sjekk det første tilfellet For \( {n = 1} \) gir formelen: \[ a_1 = \dfrac{1 \cdot (1 + 3)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \]Det er det første leddet, så formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \)

3. Vis neste tilfelle Vi antar at formelen stemmer for \( {n = k}\text{,} \) der \( {k \ge 1}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{a_k} = \textcolor{blue}{\dfrac{k(k + 3)}{2}} \]

Bytter vi ut \( \textcolor{blue}{a_k} \) med antakelsen i sammenhengen mellom leddene, får vi: \[ \begin{aligned} a_{k+1} &= \textcolor{blue}{a_k} + \textcolor{red}{k + 2} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{k(k + 3)}{2}} + \textcolor{red}{k + 2} \\ &= \dfrac{k^2 + 3k + 2k + 4}{2} \\ &= \dfrac{k^2 + 5k + 4}{2} \\ &= \dfrac{(k + 1)(k + 4)}{2} \end{aligned} \]Dette er formelen med \( {n = k + 1}\text{,} \) fordi \( {(k + 1) + 3 = k + 4}\text{.} \)

Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og hver gang den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Den stemmer derfor for alle \( {n \ge 1}\text{.} \)

Fra \( S_n \) til \( {S_{n+1}} \) legger vi til ett kubikktall til. For den eksplisitte formelen regner vi ut de første summene og ser etter et mønster.

1. Den rekursive sammenhengen \( {S_{n+1}} \) er summen av de \( {n + 1} \) første kubikktallene, altså \( S_n \) pluss det neste kubikktallet: \[ S_{n+1} = S_n + \textcolor{red}{(n + 1)^3} \quad\text{og}\quad S_1 = 1 \]

2. Regn ut de første summene Vi legger til ett kubikktall om gangen: \[ \begin{aligned} S_1 &= 1 = 1^2 \\ S_2 &= 1 + 8 = 9 = 3^2 \\ S_3 &= 9 + 27 = 36 = 6^2 \\ S_4 &= 36 + 64 = 100 = 10^2 \\ S_5 &= 100 + 125 = 225 = 15^2 \end{aligned} \]Alle summene er kvadrattall.

3. Finn mønsteret Tallene \( 1, 3, 6, 10, 15 \) er summene \( {1 + 2 + \dots + n}\text{,} \) og den summen er: \[ 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Summen av kubikktallene er kvadratet av den: \[ S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \]For eksempel er \( {S_5 = \left(\dfrac{5 \cdot 6}{2}\right)^2 = 15^2 = 225}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \)

Vi starter med summen \( 0\text{,} \) og lar en løkke legge til ett kubikktall om gangen, \( 50 \) ganger.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter summen \( {S = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker som legger sammen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 1, 2, \dots, 50}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger \( \textcolor{red}{n^3} \) til summen.

2. Sjekk de første rundene Etter tre runder er \( {S = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{8} + \textcolor{red}{27} = 36 = S_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 1\,625\,625\text{.} \) Formelen fra a) gir det samme: \[ \left(\dfrac{50 \cdot 51}{2}\right)^2 = 1275^2 = 1\,625\,625 \]

Vi beviser formelen fra a), \( {S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2}\text{,} \) og bruker \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \)

Et induksjonsbevis har to steg. Vi viser at formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \) Så viser vi at hvis den stemmer for \( {n = k}\text{,} \) stemmer den også for \( {n = k + 1}\text{.} \)

1. Sjekk for n = 1 Venstre side er \( {S_1 = 1^3 = 1}\text{,} \) og formelen gir: \[ \left(\dfrac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1 \]Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \)

2. Anta formelen for n = k Vi antar at: \[ \textcolor{blue}{S_k = \dfrac{k^2(k + 1)^2}{4}} \]Vi skal vise at da er \( {S_{k+1} = \dfrac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}}\text{.} \)

3. Vis steget til k + 1 Med den rekursive sammenhengen og antakelsen får vi: \[ \begin{aligned} S_{k+1} &= \textcolor{blue}{S_k} + \textcolor{red}{(k + 1)^3} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{k^2(k + 1)^2}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{4(k + 1)^3}{4}} \end{aligned} \]

Vi setter \( {(k + 1)^2} \) utenfor en parentes: \[ \begin{aligned} S_{k+1} &= \dfrac{(k + 1)^2\left(k^2 + 4(k + 1)\right)}{4} \\ &= \dfrac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4} \\ &= \dfrac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4} \end{aligned} \]der vi brukte første kvadratsetning, \( {k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2}\text{.} \)

Det er formelen med \( {n = k + 1}\text{.} \) Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og når den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Da stemmer den for alle \( n\text{.} \)

Vi ser på differansen mellom to figurtall som kommer etter hverandre. Den er antall kuler i den nye ytterste femkanten.

1. Se på differansene Vi trekker hvert figurtall fra det neste: \[ \begin{aligned} 6 - 1 &= 5 = 5 \cdot \textcolor{red}{1} \\ 16 - 6 &= 10 = 5 \cdot \textcolor{red}{2} \\ 31 - 16 &= 15 = 5 \cdot \textcolor{red}{3} \\ 51 - 31 &= 20 = 5 \cdot \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]

2. Forklar med figuren I figur \( n \) har den ytterste femkanten \( n \) kuler på hver kant. Fem kanter med \( n \) kuler gir \( 5n\text{,} \) men de fem hjørnekulene telles to ganger, så det blir \( {5n - 5 = 5(\textcolor{red}{n - 1})} \) nye kuler. For eksempel er \( {P_3 = P_2 + 5 \cdot 2 = 16}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}\text{.} \)

Vi starter med \( {P_1 = 1}\text{,} \) og lar en løkke legge til de nye kulene for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( {P = 1}\text{,} \) som er \( P_1\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger til \( {\textcolor{red}{5(n - 1)}}\text{.} \)

2. Sjekk de første rundene Etter to runder er \( {P = 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{red}{10} = 16 = P_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 24\,751\text{.} \)

Vi bruker \( {P_1 = 1} \) og \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)} \) fra a).

\( P_n \) er \( 1 \) pluss \( 5 \) ganger summen \( {1 + 2 + \dots + (n - 1)}\text{.} \) Den summen har en kjent formel. Så viser vi formelen med induksjon.

1. Finn formelen Vi legger sammen alle differansene fra a): \[ \begin{aligned} P_n &= 1 + 5\left(1 + 2 + \dots + (n - 1)\right) \\ &= 1 + 5 \cdot \dfrac{(n - 1)n}{2} \\ &= \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2} \end{aligned} \]der vi brukte at \( {1 + 2 + \dots + m} \) er \( {\dfrac{m(m + 1)}{2}}\text{,} \) som i videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

2. Sjekk for n = 1 Formelen gir \( {P_1 = \dfrac{5 - 5 + 2}{2} = 1}\text{,} \) som stemmer.

3. Anta formelen for n = k Vi antar at: \[ \textcolor{blue}{P_k = \dfrac{5k^2 - 5k + 2}{2}} \]Vi skal vise at da er: \[ P_{k+1} = \dfrac{5(k + 1)^2 - 5(k + 1) + 2}{2} \]

4. Vis steget til k + 1 Den rekursive sammenhengen med \( {n = k + 1} \) gir \( {P_{k+1} = \textcolor{blue}{P_k} + \textcolor{red}{5k}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P_{k+1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{5k^2 - 5k + 2}{2}} + \textcolor{red}{\dfrac{10k}{2}} \\ &= \dfrac{5k^2 + 5k + 2}{2} \end{aligned} \]

Formelen med \( {n = k + 1} \) gir det samme: \[ \begin{aligned} &\dfrac{5(k + 1)^2 - 5(k + 1) + 2}{2} \\ &= \dfrac{5k^2 + 10k + 5 - 5k - 5 + 2}{2} \\ &= \dfrac{5k^2 + 5k + 2}{2} \end{aligned} \]Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og når den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Da stemmer den for alle \( n\text{.} \)