Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

integrasjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

32 oppgaver i R2 om integrasjon · viser 21–30

Oppgavene

R2 vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

4 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=−x3+3x f(x) = -x^3 + 3x

Oppgave 1a)

Regn ut integralet.
∫−10f(x) dx \int_{-1}^{0} f(x)\,dx
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
∫−10f(x) dx=−54‾‾ \underline{\underline{\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\dfrac{5}{4}}}
Vi finner en antiderivert ledd for ledd med potensregelen, og setter inn grensene.
1. Finn en antiderivert Potensregelen for integrasjon forteller oss at: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Vi bruker den på hvert ledd: \[ F(x) = -\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{3x^2}{2} \]
2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er \( {F(0) - F(-1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} f(x)\,dx &= 0 - \left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right) \\ &= -\dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

Oppgave 1b)

Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til f, f\text{,} x x -aksen og linjene x=−1 {x = -1} og x=1. {x = 1}\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Arealet er 52‾‾ \underline{\underline{\text{Arealet er } \dfrac{5}{2}}}
Vi bruker integralet fra a), \( {\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\dfrac{5}{4}}\text{.} \)
Vi ser hvor grafen ligger under og over \( x \)-aksen. Der den ligger under, er integralet negativt, så vi tar arealet av hver del for seg.
1. Finn fortegnet til f Vi faktoriserer: \[ f(x) = x(3 - x^2) \]
For \( x \) mellom \( 0 \) og \( 1 \) er begge faktorene positive, så grafen ligger over \( x \)-aksen. For \( x \) mellom \( {-1} \) og \( 0 \) er \( x \) negativ, så grafen ligger under. Hvis du er usikker på arealet som integral, kan du se videoen Hva er integrasjon.
2. Regn ut de to delene Fra a) er integralet fra \( {-1} \) til \( 0 \) lik \( {-\dfrac{5}{4}}\text{,} \) så \( \textcolor{blue}{\text{arealet under}} \) aksen er \( \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}}\text{.} \) Fra \( 0 \) til \( 1 \) får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^1 f(x)\,dx &= -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} - 0 = \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} \end{aligned} \]Det er \( \textcolor{red}{\text{arealet over}} \) aksen.
Det samlede arealet er: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{5}{2} \]

R2 vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Regn ut integralet.
∫sin⁡3(x)⋅cos⁡(x) dx \int \sin^3(x) \cdot \cos(x)\,dx
Vis løsning på oppgave 2

Svar

∫sin⁡3x⋅cos⁡x dx=sin⁡4x4+C‾‾ \underline{\underline{\int \sin^3 x \cdot \cos x\,dx = \dfrac{\sin^4 x}{4} + C}}
Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{.} \) Vi bruker derfor substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)
1. Velg kjernen Vi setter \( {\textcolor{blue}{u = \sin x}}\text{.} \) Da er: \[ \dfrac{du}{dx} = \cos x \quad \Rightarrow \quad \textcolor{red}{du = \cos x\,dx} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.
2. Integrer og sett tilbake Vi bytter ut \( \sin x \) med \( \textcolor{blue}{u} \) og \( \cos x\,dx \) med \( \textcolor{red}{du}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int \sin^3 x \cdot \cos x\,dx &= \int \textcolor{blue}{u}^3\,\textcolor{red}{du} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{u}^4}{4} + C \\ &= \dfrac{\sin^4 x}{4} + C \end{aligned} \]

R2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Bildet nedenfor viser halve snittflaten til en pære som er skåret over på midten. Bildet er satt inn i et koordinatsystem. Enheten langs begge aksene er centimeter. Bruk informasjonen i bildet til å bestemme det omtrentlige volumet av pæra.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Med RegPoly av grad 6 6 gjennom punkter på kanten er volumet omtrent
V≈310 cm3‾‾ \underline{\underline{V \approx 310\,\text{cm}^3}}
Pæra er et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen, og kanten i bildet er grafen som dreies. Vi leser av punkter på kanten, lager en funksjon gjennom dem med regresjon, og regner ut volumet med integralet.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjonen. Øv heller på å lese av punkter fra et bilde, og på å sette opp volumet som \( \pi \int f(x)^2\,dx\text{.} \) For hånd kan du tilnærme pæra med noen sylindere.
Metode: Med GeoGebra
1. Les av punkter på kanten Vi leser av høyden \( \textcolor{blue}{f(x)} \) til kanten i rutenettet. Den er radien i omdreiningslegemet: \[ \begin{array}{r|ccccc} x & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 0 & 2 & 2{,}6 & 3{,}4 & 3{,}7 \end{array} \]\[ \begin{array}{r|ccccc} x & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 3{,}9 & 3{,}9 & 3{,}6 & 3{,}1 & 2{,}6 \end{array} \]\[ \begin{array}{r|cccc} x & 9 & 10 & 11 & 11{,}9 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 2 & 1{,}5 & 0{,}8 & 0 \end{array} \]Alle målene er i centimeter.
2. Lag modellen og regn ut volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er: \[ V = \pi \int_a^b \textcolor{blue}{f(x)}^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 6\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Så regner vi ut integralet fra \( 0 \) til \( 11{,}9\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 0), (0.5, 2), (1, 2.6), (2, 3.4), (3, 3.7), (4, 3.9), (5, 3.9), (6, 3.6), (7, 3.1), (8, 2.6), (9, 2), (10, 1.5), (11, 0.8), (11.9, 0)} f(x) = RegPoly(l1, 6) V = π*Integral((f(x))^2, 0, 11.9)
Grafen følger kanten godt, og volumet er \( {V \approx 313\,\text{cm}^3}\text{.} \)
3. Vurder svaret Vi har antatt at pæra er rund om \( x \)-aksen, og punktene er lest av med en nøyaktighet på omtrent en millimeter. Svaret er derfor et overslag, og vi runder av til omtrent \( 310\,\text{cm}^3\text{,} \) eller \( 3{,}1 \) dl. Det passer med en stor pære som er omtrent \( 12\,\text{cm} \) lang og \( 8\,\text{cm} \) bred.

R2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

2 poeng

La a1>0 {a_1 > 0} og la S(x) S(x) være summen av en rekke gitt ved
S(x)=∑n=0∞a1⋅(∫0xe−t dt)n S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_1 \cdot \left(\int_0^x e^{-t}\,dt\right)^n
Bestem a1 a_1 slik at den minste mulige summen blir 1. 1\text{.}
Vis løsning på oppgave 6

Svar

S(x)=a1ex {S(x) = a_1 e^x} for x>−ln⁡2, {x > -\ln 2}\text{,} og summen nærmer seg a12 \dfrac{a_1}{2} når x x nærmer seg −ln⁡2, {-\ln 2}\text{,} så
a1=2‾‾ \underline{\underline{a_1 = 2}}
Integralet er et tall for hver \( x\text{,} \) så rekken er en uendelig geometrisk rekke med det tallet som kvotient. Vi finner kvotienten, når rekken konvergerer, og summen som funksjon av \( x\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn kvotienten Den antideriverte til \( {e^{-t}} \) er \( {-e^{-t}}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = \int_0^x e^{-t}\,dt = \left[-e^{-t}\right]_0^x = \textcolor{red}{1 - e^{-x}} \]Hvis du er usikker på integralet, kan du se videoen Integrasjon regler.
Rekken er \( {a_1 + a_1\textcolor{red}{k} + a_1\textcolor{red}{k}^2 + \dots}\text{,} \) en geometrisk rekke med første ledd \( a_1 \) og kvotient \( \textcolor{red}{k}\text{.} \)
2. Finn når rekken konvergerer Rekken konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test. \( {e^{-x} > 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{red}{k} < 1} \) alltid. Den andre ulikheten gir: \[ \begin{aligned} 1 - e^{-x} &> -1 \\ e^{-x} &< 2 \\ x &> -\ln 2 \end{aligned} \]
3. Finn summen og den minste verdien Summen av en konvergent geometrisk rekke er \( {\dfrac{a_1}{1 - \textcolor{red}{k}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S(x) &= \dfrac{a_1}{1 - (\textcolor{red}{1 - e^{-x}})} \\ &= \dfrac{a_1}{e^{-x}} = a_1 e^x \end{aligned} \]
\( a_1 e^x \) vokser med \( x\text{,} \) så summen er minst når \( x \) er nær \( {-\ln 2}\text{.} \) Der nærmer den seg: \[ a_1 e^{-\ln 2} = \dfrac{a_1}{2} \]Grensen nås ikke, siden \( {x = -\ln 2} \) gir \( {k = -1}\text{,} \) men summen kommer så nær \( \dfrac{a_1}{2} \) vi vil. Den minste mulige summen blir \( 1 \) når \( {\dfrac{a_1}{2} = 1}\text{,} \) altså \( {a_1 = 2}\text{.} \)

R2 høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

Regn ut integralet
∫−11(x3+2x) dx \int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx
Hva forteller svaret deg?
Vis løsning på oppgave 1

Svar

∫−11(x3+2x) dx=0‾‾ \underline{\underline{\int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx = 0}}
Arealet mellom grafen og x x -aksen er like stort under aksen, fra −1 {-1} til 0, 0\text{,} som over, fra 0 0 til 1. 1\text{.} Det betyr ikke at arealet er 0. 0\text{.}
Vi finner en antiderivert med potensregelen, og setter inn grensene. Så ser vi på hva integralet betyr for grafen.
1. Finn en antiderivert Regelen for å integrere en potens er: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Ledd for ledd får vi: \[ \int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} + x^2\right]_{-1}^{1} \]
2. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\left(\dfrac{1^4}{4} + 1^2\right) - \left(\dfrac{(-1)^4}{4} + (-1)^2\right) \\ &= \left(\dfrac{1}{4} + 1\right) - \left(\dfrac{1}{4} + 1\right) = 0 \end{aligned} \]
3. Tolk svaret Integralet regner arealet over \( x \)-aksen som positivt og arealet under som negativt. Hvis du er usikker på integral som areal, kan du se videoen Hva er integrasjon. \( {f(x) = x^3 + 2x} \) er negativ for \( {x < 0} \) og positiv for \( {x > 0}\text{,} \) og \( {f(-x) = -f(x)}\text{,} \) så grafen er symmetrisk om origo. Området under \( x \)-aksen fra \( {-1} \) til \( 0 \) er derfor like stort som området over fra \( 0 \) til \( 1\text{.} \)

R2 høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

Figuren viser grafene til funksjonene f f og g, g\text{,} der f(x)=cos⁡x {f(x) = \cos x} og g(x)=sin⁡x. {g(x) = \sin x}\text{.}
Bestem arealet av det fargelagte området vist på figuren.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Grafene skjærer hverandre i x=−3π4 {x = -\dfrac{3\pi}{4}} og x=π4, {x = \dfrac{\pi}{4}}\text{,} og arealet er ∫−3π/4π/4(cos⁡x−sin⁡x) dx: {\displaystyle\int_{-3\pi/4}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx}\text{:}
A=22‾‾ \underline{\underline{A = 2\sqrt{2}}}
Området ligger mellom to skjæringspunkter, med \( f \) over \( g\text{.} \) Vi finner skjæringspunktene, og integrerer \( {f(x) - g(x)} \) mellom dem.
1. Finn skjæringspunktene Grafene skjærer hverandre når \( {\cos x = \sin x}\text{,} \) altså når \( {\tan x = 1}\text{:} \) \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \]På figuren ligger det ene skjæringspunktet like til høyre for \( y \)-aksen, \( {\textcolor{red}{x = \dfrac{\pi}{4}}}\text{,} \) og det andre en halv runde til venstre, \( {\textcolor{blue}{x = -\dfrac{3\pi}{4}}}\text{.} \)
2. Sett opp integralet Arealet mellom to grafer er integralet av den øverste minus den nederste. Den antideriverte til \( \sin x \) er \( {-\cos x}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, og til \( \cos x \) er den \( \sin x\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \int_{\textcolor{blue}{-3\pi/4}}^{\textcolor{red}{\pi/4}} (\cos x - \sin x)\,dx \\ &= \Big[\sin x + \cos x\Big]_{\textcolor{blue}{-3\pi/4}}^{\textcolor{red}{\pi/4}} \end{aligned} \]
3. Sett inn grensene Fra enhetssirkelen er \( {\sin\dfrac{\pi}{4} = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) og i \( {-\dfrac{3\pi}{4}} \) er begge \( {-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &\quad - \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \end{aligned} \]

R2 høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

En elev har skrevet koden nedenfor.

Oppgave 5a)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut med denne koden.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Eleven ønsker å regne ut arealet mellom grafen til f(x)=x2−1 {f(x) = x^2 - 1} og x x -aksen fra −2 {-2} til 2, 2\text{,} tilnærmet med 1000 1000 rektangler:
∫−22∣x2−1∣ dx‾‾ \underline{\underline{\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx}}
Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde av løkka. Det er arealet av et smalt rektangel.
1. Les programmet Linje 1 til 4 deler intervallet \( {[-2, 2]} \) i \( {N = 1000} \) like deler med bredde \( {dx = \dfrac{2 - (-2)}{1000} = 0{,}004}\text{.} \) Linje 6 og 7 definerer \( {f(x) = x^2 - 1}\text{.} \)
I løkka i linje 10 til 12 er \( x_i \) venstre ende av del nummer \( i\text{,} \) og linje 12 legger til \( {\textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx}}\text{.} \) Det er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{blue}{dx} \) og høyde \( \textcolor{red}{|f(x_i)|}\text{.} \)
2. Se hva summen blir Summen av rektanglene er en venstre Riemannsum, som i videoen Riemann sum. Med \( 1000 \) smale rektangler er den svært nær integralet. Absoluttverdien gjør at områdene under \( x \)-aksen også telles positivt.

Oppgave 5b)

Finn ved regning den verdien eleven ønsker å bestemme.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
∫−22∣x2−1∣ dx=2(23+43)=4‾‾ \underline{\underline{\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx = 2\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3}\right) = 4}}
Vi regner ut \( {\displaystyle\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx} \) fra a).
\( {x^2 - 1} \) skifter fortegn i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen, så vi regner ut arealet fra \( 0 \) til \( 2 \) og ganger med \( 2\text{.} \)
1. Del opp intervallet \( {x^2 - 1 < 0} \) for \( {0 < x < 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 1 > 0} \) for \( {1 < x < 2}\text{.} \) Der grafen er under aksen, integrerer vi \( {1 - x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \\ &= 2\textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} \\ &\quad + 2\textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} \end{aligned} \]
2. Regn ut de to integralene \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} &= \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} &= \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 \end{aligned} \]
Det siste er: \[ \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \]
3. Legg sammen \[ 2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} + \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]

R2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

En tønne er 75 75 cm høy. Diameteren i bunnen og toppen er 45 45 cm. Den største diameteren er 52 52 cm.
Siden i tønnen fra toppen til bunnen er formet som en parabel.
Bruk blant annet integrasjon til å bestemme volumet av tønnen.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Med siden r(x)=−145625x2+26 {r(x) = -\dfrac{14}{5625}x^2 + 26} dreid om x x -aksen fra −37,5 {-37{,}5} til 37,5 37{,}5 er
V≈145 562 cm3≈146 liter‾‾ \underline{\underline{V \approx 145\,562\,\text{cm}^3 \approx 146 \text{ liter}}}
Vi legger tønna ned langs \( x \)-aksen med midten i \( {x = 0}\text{.} \) Da er siden grafen til en parabel \( r(x)\text{,} \) og tønna er omdreiningslegemet vi får når grafen dreies om \( x \)-aksen.
Metode: Med kalkulator
1. Finn parabelen Radien er halve diameteren: \( 26 \) cm på midten og \( 22{,}5 \) cm i endene, \( 37{,}5 \) cm fra midten. Parabelen har toppunkt i \( (0, 26)\text{,} \) så: \[ r(x) = \textcolor{red}{a}x^2 + 26 \]
Med \( {r(37{,}5) = 22{,}5} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} \cdot 37{,}5^2 + 26 &= 22{,}5 \\ \textcolor{red}{a} &= -\dfrac{3{,}5}{1406{,}25} \\ &= \textcolor{red}{-\dfrac{14}{5625}} \end{aligned} \]
2. Sett opp volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er \( \pi \) ganger integralet av radien i andre, her fra den ene enden til den andre: \[ V = \pi \int_{-37{,}5}^{37{,}5} r(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Vi kvadrerer \( {r(x) = 26 + \textcolor{red}{a}x^2}\text{:} \) \[ r(x)^2 = 676 + 52\textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{red}{a}^2x^4 \]
3. Integrer Tønna er symmetrisk om midten, så vi integrerer fra \( 0 \) til \( 37{,}5 \) og ganger med \( 2\text{:} \) \[ V = 2\pi\left[676x + \dfrac{52\textcolor{red}{a}}{3}x^3 + \dfrac{\textcolor{red}{a}^2}{5}x^5\right]_0^{37{,}5} \]
Ledd for ledd med \( {x = 37{,}5} \) og \( {\textcolor{red}{a} = -\dfrac{14}{5625}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 676 \cdot 37{,}5 &= 25\,350 \\ \dfrac{52\textcolor{red}{a}}{3} \cdot 37{,}5^3 &= -2275 \\ \dfrac{\textcolor{red}{a}^2}{5} \cdot 37{,}5^5 &= 91{,}875 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V &= 2\pi(25\,350 - 2275 + 91{,}875) \\ &\approx 145\,562\,\text{cm}^3 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 146 \) liter.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut volumet i CAS Vi finner \( a \) med Løs, og regner ut integralet:
Skriv inn i GeoGebra: r(x) := a*x^2 + 26 Løs(r(37.5) = 22.5, a) r(x) := -14/5625 x^2 + 26 ≈ π*Integral(r(x)^2, -37.5, 37.5)
Rad 4 gir \( {V \approx 145\,562\,\text{cm}^3}\text{,} \) det samme som med kalkulatoren.

R2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

Regn ut integralene

Oppgave 1a)

∫−11(4x3−x) dx \int_{-1}^{1} (4x^3 - x)\,dx
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
∫−11(4x3−x) dx=0‾‾ \underline{\underline{\int_{-1}^{1} (4x^3 - x)\,dx = 0}}
Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen, og setter inn grensene.
1. Finn den antideriverte Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Ledd for ledd får vi: \[ \int (4x^{\textcolor{green}{3}} - x^{\textcolor{green}{1}})\,dx = x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 + C \]
2. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\left[x^4 - \dfrac{1}{2}x^2\right]_{-1}^{1} \\ &= \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) \\ &= 0 \end{aligned} \]
Det kunne vi også sett på forhånd: \( {4x^3 - x} \) er en odde funksjon, så arealet over og under \( x \)-aksen er like store.

Oppgave 1b)

∫0ln⁡2e2x dx \int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,dx
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
∫0ln⁡2e2x dx=32‾‾ \underline{\underline{\int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,dx = \dfrac{3}{2}}}
Vi bruker regelen for integralet av \( e^{kx}\text{,} \) og husker at \( {e^{2\ln 2} = 4}\text{.} \)
1. Finn den antideriverte Regelen for eksponentialfunksjoner forteller oss at: \[ \int e^{\textcolor{red}{k}x}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{red}{k}}e^{\textcolor{red}{k}x} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Her er \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \)
2. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} \left[\dfrac{1}{\textcolor{red}{2}}e^{\textcolor{red}{2}x}\right]_{0}^{\ln 2} &= \dfrac{1}{2}e^{2\ln 2} - \dfrac{1}{2}e^{0} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {e^{2\ln 2} = \left(e^{\ln 2}\right)^2 = 2^2 = 4}\text{.} \)

R2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

Oppgave 2a)

Vis at dersom f(x)=tan⁡x, {f(x) = \tan x}\text{,} så er f′(x)=1+tan⁡2x. {f'(x) = 1 + \tan^2 x}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Med kvotientregelen på sin⁡xcos⁡x \dfrac{\sin x}{\cos x} er
f′(x)=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1+tan⁡2x‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= 1 + \tan^2 x \end{aligned}}}
Vi skriver \( {\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}} \) og deriverer brøken med kvotientregelen.
1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{blue}{u}}{\textcolor{red}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{blue}{u}' \cdot \textcolor{red}{v} - \textcolor{blue}{u} \cdot \textcolor{red}{v}'}{\textcolor{red}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{\sin x}, & \textcolor{blue}{u}' &= \cos x \\ \textcolor{red}{v} &= \textcolor{red}{\cos x}, & \textcolor{red}{v}' &= -\sin x \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn, blir telleren: \[ \begin{aligned} &\cos x \cdot \textcolor{red}{\cos x} - \textcolor{blue}{\sin x} \cdot (-\sin x) \\ &= \cos^2 x + \sin^2 x \end{aligned} \]
Nevneren er \( {\textcolor{red}{v}^2 = \textcolor{red}{\cos^2 x}}\text{,} \) så: \[ f'(x) = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\textcolor{red}{\cos^2 x}} \]
Vi deler brøken i to: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= 1 + \tan^2 x \end{aligned} \]

Oppgave 2b)

Regn ut
∫1+tan⁡2xtan⁡x dx \int \dfrac{1 + \tan^2 x}{\tan x}\,dx
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
∫1+tan⁡2xtan⁡x dx=ln⁡∣tan⁡x∣+C‾‾ \underline{\underline{\int \dfrac{1 + \tan^2 x}{\tan x}\,dx = \ln|\tan x| + C}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den deriverte av \( \tan x \) står i oppgaveteksten i a), \( {(\tan x)' = 1 + \tan^2 x}\text{.} \)
Telleren er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon med \( {u = \tan x}\text{.} \)
1. Velg u Vi setter \( {\textcolor{blue}{u = \tan x}}\text{.} \) Fra a) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{du}{dx} &= 1 + \tan^2 x \\ \textcolor{red}{du} &= \textcolor{red}{(1 + \tan^2 x)\,dx} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.
2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\textcolor{red}{(1 + \tan^2 x)\,dx}}{\textcolor{blue}{\tan x}} &= \int \dfrac{1}{\textcolor{blue}{u}}\,\textcolor{red}{du} \\ &= \ln|\textcolor{blue}{u}| + C \end{aligned} \]Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Til slutt bytter vi tilbake til \( x\text{.} \)