Eksamensoppgaver etter tema

Vi leser hva linje 4 til 6 regner ut, og sammenligner brøken med definisjonen av den deriverte.

1. Les hva de to funksjonene gjør Linje 1 og 2 definerer funksjonen \( \textcolor{blue}{f}\text{,} \) og linje 4 til 6 definerer \( \textcolor{red}{g}\text{.} \) Linje 5 setter \( {h = 0{,}000001}\text{,} \) og linje 6 returnerer: \[ \textcolor{red}{g(x)} = \dfrac{\textcolor{blue}{f(x + h)} - \textcolor{blue}{f(x)}}{h} \]

2. Sammenlign med definisjonen av den deriverte Brøken er stigningstallet til linja gjennom punktene \( (x, f(x)) \) og \( {(x + h, f(x + h))} \) på grafen, en sekant. Den deriverte er grenseverdien av den samme brøken når \( h \) går mot \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{blue}{f(x + h)} - \textcolor{blue}{f(x)}}{h} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Koden tar ikke grenseverdien, men bruker en svært liten \( h\text{.} \) Da er sekanten nesten lik tangenten, og \( \textcolor{red}{g(x)} \) er nesten lik \( f'(x)\text{.} \)

Vi bruker at \( {g(x) \approx f'(x)}\text{,} \) som vi fant i a).

Programmet skriver bare ut der \( g(x)\text{,} \) og dermed \( f'(x)\text{,} \) er nesten \( 0\text{.} \) Fortegnet til den deriverte like før og like etter punktet avgjør hva slags punkt det er.

1. Finn ut når programmet skriver ut I a) fant vi at: \[ g(x) \approx f'(x) \]Løkka i linje 13 til 24 går gjennom \( x \) fra \( {-4} \) til \( 4 \) med steg \( {\texttt{dx} = 0{,}002}\text{.} \) Programmet kan bare skrive ut når testen i linje 15 er sann, altså når \( {|g(x)| < 0{,}000001}\text{.} \) Da er \( {f'(x) \approx 0}\text{,} \) og grafen har en vannrett tangent.

2. Tolk de tre testene Linje 17, 20 og 23 sammenligner den deriverte like før punktet, \( {\textcolor{green}{g(x - \texttt{dx})}}\text{,} \) med den like etter, \( {\textcolor{darkorange}{g(x + \texttt{dx})}}\text{.} \)

Linje 17 er sann når produktet \( {\textcolor{green}{g(x - \texttt{dx})} \cdot \textcolor{darkorange}{g(x + \texttt{dx})}} \) er positivt, altså når den deriverte har samme fortegn på begge sider. Da fortsetter grafen samme vei gjennom punktet, og det er et terrassepunkt.

Kommer programmet til linje 20, har den deriverte ulikt fortegn på de to sidene. Linje 20 er sann når den går fra minus til pluss: grafen går ned og så opp, og det er et bunnpunkt. Linje 23 er det motsatte, fra pluss til minus, og det er et toppunkt.

I tabellen står linja som skriver ut, fortegnet til \( f' \) før og etter punktet, og hva slags punkt det er: \[ \begin{array}{c|cc|l} 18 & + & + & \text{terrassepunkt} \\ 18 & - & - & \text{terrassepunkt} \\ 21 & - & + & \text{bunnpunkt} \\ 24 & + & - & \text{toppunkt} \end{array} \]

Vi bruker fra a) og b) at programmet skriver ut der \( {f'(x) \approx 0}\text{,} \) og hva linje 18, 21 og 24 betyr.

Vi deriverer \( f\text{,} \) finner hvor \( {f'(x) = 0}\text{,} \) og ser på fortegnet til \( f' \) på hver side. Fortegnet avgjør hvilken linje som skriver ut.

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 + \dfrac{5}{3} \cdot 2x + \dfrac{25}{9} \\ f'(x) &= x^2 + \dfrac{10}{3}x + \dfrac{25}{9} \end{aligned} \]

2. Faktoriser den deriverte Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Vi bruker den baklengs, som i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}}\text{,} \) fordi \( {\textcolor{red}{b}^2 = \dfrac{25}{9}} \) og \( {2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} = \dfrac{10}{3}x}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = \left(\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right)^2 \]

3. Avgjør fortegnet rundt nullpunktet Et kvadrat er aldri negativt, og \( {\left(x + \dfrac{5}{3}\right)^2} \) er \( 0 \) bare i \( {x = -\dfrac{5}{3}}\text{,} \) som ligger mellom \( {-4} \) og \( 4\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) > 0 \quad \text{for } x \neq -\dfrac{5}{3} \]Den deriverte er positiv på begge sider av punktet, så grafen stiger både før og etter det. Det er et terrassepunkt.

Siden \( {g(x) \approx f'(x)}\text{,} \) er begge faktorene i linje 17 positive, og produktet er positivt. Programmet skriver derfor ut setningen i linje 18.

Vi leser programmet linje for linje og ser hva arealet og løkka står for. Så finner vi hvor løkka stopper.

1. Les hva programmet regner ut Linje 1 og 2 definerer \( {f(x) = -x^2 + 4}\text{.} \) Linje 4 og 5 regner ut arealet av rektangelet \( ABCD \) når \( B \) ligger i \( (x, 0)\text{:} \) bredden \( AB \) er \( \textcolor{blue}{x}\text{,} \) og høyden \( BC \) er \( \textcolor{red}{f(x)}\text{.} \) Vi kaller arealet \( T(x)\text{,} \) siden \( A \) er et hjørne: \[ \begin{aligned} T(x) &= \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{(-x^2 + 4)} \\ T(x) &= -x^3 + 4x \end{aligned} \]

Linje 7 til 9 regner ut den deriverte av arealet tilnærmet, med \( {h = 0{,}0001}\text{.} \) Det er brøken fra definisjonen av den deriverte, uten grenseverdien, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{T(x + h) - T(x)}{h} \approx T'(x) \]

Løkka i linje 13 og 14 øker \( x \) med \( {\texttt{dx} = 0{,}01} \) så lenge den deriverte i neste punkt er positiv, altså så lenge arealet vokser. Den stopper ved toppunktet, og linje 16 skriver ut arealet der. Lars vil altså finne det største arealet rektangelet kan få.

2. Finn hvor løkka stopper Toppunktet finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Med potensregelen er \( {T'(x) = -3x^2 + 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3x^2 + 4 &= 0 \\ x &= \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547 \end{aligned} \]

I \( {x = 1{,}14} \) er den deriverte i neste punkt, \( 1{,}15\text{,} \) positiv, så \( x \) blir \( 1{,}15\text{.} \) I \( {x = 1{,}15} \) er den deriverte i \( 1{,}16 \) negativ, fordi \( {1{,}16 > 1{,}1547}\text{.} \) Da stopper løkka, og programmet skriver ut: \[ \begin{aligned} T(1{,}15) &= 1{,}15 \cdot (-1{,}15^2 + 4) \\ T(1{,}15) &= 3{,}079125 \end{aligned} \]Det største arealet er \( {\dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}0792}\text{,} \) så programmet treffer det med tre desimaler.

1. Kjør programmet Vi kjører programmet slik det står. Det skriver ut:

Det siste sifferet kommer av at datamaskinen regner med avrundede desimaltall. Det største arealet er altså omtrent \( 3{,}079\text{.} \)

Vi bruker fra a) at løkka går så lenge den deriverte av arealet er positiv.

Vi beskriver hva løkka gjør, og ser etter funksjoner der den ikke stopper i det største arealet.

1. Beskriv strategien Lars starter i \( {x = 0} \) og går mot høyre i steg på \( {\texttt{dx} = 0{,}01}\text{.} \) Så lenge den deriverte av arealet er positiv, vokser arealet, og han tar et steg til. Når den deriverte i neste punkt ikke lenger er positiv, har arealet nådd et toppunkt, der den deriverte går fra pluss til minus, som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Der stopper han.

2. Avgjør om den alltid virker Nei. Strategien virker bare når arealet først vokser og så avtar, med ett toppunkt.

Er \( {f(x) = 4}\text{,} \) er arealet \( {\textcolor{blue}{x} \cdot 4 = 4x}\text{,} \) og den deriverte er hele tiden \( 4\text{.} \) Da stopper løkka aldri.

Har arealet flere toppunkter, stopper løkka ved det første, og det er ikke nødvendigvis det største. Avtar arealet fra start, stopper løkka med en gang, i \( {x = 0}\text{.} \)

Svaret blir heller ikke helt nøyaktig, fordi \( x \) bare går i steg på \( 0{,}01\text{.} \)

Vi leser programmet linje for linje: først hva funksjonen \( \texttt{df} \) regner ut, og så hva løkka gjør med den.

1. Les hva df regner ut Linje 1 og 2 definerer \( {f(x) = 2x^2 - 9x - 2}\text{,} \) og linje 4 og 5 definerer: \[ \textcolor{red}{\texttt{df}(x, h)} = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

Brøken er stigningstallet til linja gjennom punktene \( (x, f(x)) \) og \( {(x + h, f(x + h))} \) på grafen. Den deriverte er grenseverdien av den samme brøken når \( h \) går mot \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Linje 7 setter \( {h = 0{,}001}\text{,} \) en svært liten \( h\text{.} \) Da er \( \textcolor{red}{\texttt{df}(x, h)} \) nesten lik \( f'(x)\text{.} \)

2. Forklar løkka Linje 8 starter med \( {a = 0}\text{.} \) Løkka i linje 10 og 11 øker \( a \) med \( 1 \) så lenge \( {\textcolor{red}{\texttt{df}(a, h)} < 0}\text{,} \) altså så lenge den deriverte er negativ og grafen synker.

Når \( \textcolor{red}{\texttt{df}(a, h)} \) ikke lenger er negativ, har grafen sluttet å synke. Da stopper løkka, og linje 13 skriver ut \( (a, f(a)) \) som bunnpunktet. Det bygger på at bunnpunktet ligger der den deriverte går fra negativ til positiv, som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Vi bruker forklaringen av programmet fra a).

Løkka tar steg på \( 1\text{,} \) så den kan bare stoppe i hele tall. Bunnpunktet ligger ikke i et helt tall, så vi gjør steget mindre.

1. Finn det riktige bunnpunktet Potensregelen \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}} \) gir \( {f'(x) = 4x - 9}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Bunnpunktet ligger der den deriverte er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 4x - 9 &= 0 \\ x &= \textcolor{green}{\dfrac{9}{4}} \end{aligned} \]

Vi setter \( {x = \textcolor{green}{\dfrac{9}{4}}} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{9}{4}\right) &= 2 \cdot \dfrac{81}{16} - 9 \cdot \dfrac{9}{4} - 2 \\ f\left(\dfrac{9}{4}\right) &= \dfrac{81}{8} - \dfrac{162}{8} - \dfrac{16}{8} = -\dfrac{97}{8} \end{aligned} \]Bunnpunktet er \( {\left(\textcolor{green}{\dfrac{9}{4}},\ -\dfrac{97}{8}\right)}\text{,} \) altså \( {(\textcolor{green}{2{,}25};\ -12{,}125)}\text{.} \)

2. Se hvorfor svaret blir feil Den deriverte er negativ i \( {\textcolor{blue}{a = 2}}\text{,} \) siden \( {\textcolor{blue}{4 \cdot 2 - 9 = -1}}\text{,} \) og positiv i \( {\textcolor{red}{a = 3}}\text{,} \) siden \( {\textcolor{red}{4 \cdot 3 - 9 = 3}}\text{.} \) Løkka hopper derfor over \( {\textcolor{green}{x = 2{,}25}} \) og stopper i \( {\textcolor{red}{a = 3}}\text{,} \) der \( {f(3) = -11}\text{.} \)

3. Gjør steget mindre Vi endrer linje 11 slik at \( a \) øker med \( {h = 0{,}001} \) i stedet for \( 1\text{:} \)

Nå stopper løkka høyst \( 0{,}001 \) fra \( {\textcolor{green}{x = 2{,}25}}\text{,} \) og programmet skriver ut omtrent \( {(2{,}25;\ -12{,}125)}\text{.} \) Et annet lite steg, for eksempel \( 0{,}01\text{,} \) gir også et riktigere svar.