Eksamensoppgaver etter tema

Formen i oppgaven er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på b) til d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver tiden i kolonne A og farten i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = RegLogist(l1)

3. Skriv opp modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ V(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{C} \approx \textcolor{red}{223{,}48}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{27{,}33}} \) og \( {\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{green}{0{,}0478}}\text{.} \)

I b) til d) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Runder vi \( k \) av til \( 0{,}05\text{,} \) blir svaret i b) omtrent \( 61{,}9\,\text{s} \) i stedet for \( 64{,}8\,\text{s}\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi skal finne \( t \) når \( {V(t) = 100}\text{.} \) Med kalkulator får vi potensen \( {e^{-kt}} \) alene og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi regner med bokstavene \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k}\text{,} \) og setter inn tallene til slutt. Vi skal finne \( t \) når \( {V(t) = 100}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} = 100 \]

2. Få potensen alene Vi ganger begge sider med nevneren, trekker fra \( 100 \) og deler med \( {100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{C} &= 100 + 100 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \\ e^{-\textcolor{green}{k}t} &= \dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}} \end{aligned} \]

3. Ta ln på begge sider Brøken er positiv, fordi \( {\textcolor{red}{C} > 100}\text{,} \) så vi kan ta \( \ln \) på begge sider. Siden \( {\ln(e^u) = u \cdot \ln e = u}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -\textcolor{green}{k}t &= \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\right) \\ t &= -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\right) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å ta \( \ln \) på begge sider, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

4. Sett inn tallene Plugger vi inn tallene fra svaret i a), er brøken \[ \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{27{,}33}} = \dfrac{123{,}48}{2733} \]

Så regner vi ut \( t \) med kalkulatoren, uten å runde av brøken først: \[ t \approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{123{,}48}{2733}\right) \approx 64{,}79 \]Farten er \( 100\,\text{m/s} \) etter omtrent \( 64{,}8 \) sekunder.

1. Finn skjæringspunktet med linja I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi tegner linja \( {y = 100} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 100

Skjæringspunktet er \( {A \approx (64{,}7903,\ 100)}\text{.} \) Farten er \( 100\,\text{m/s} \) etter omtrent \( 64{,}8 \) sekunder.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Fartsøkningen er den deriverte \( V'(t)\text{.} \) Den er størst i toppunktet til \( V'\text{,} \) der den andrederiverte \( V''(t) \) er \( 0 \) og skifter fortegn fra pluss til minus.

1. Deriver modellen med kjerneregelen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi skriver modellen som \( {V(t) = \textcolor{red}{C} \cdot \textcolor{darkorange}{u}^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \textcolor{darkorange}{u'} = -\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} V'(t) &= \textcolor{red}{C} \cdot \left(-\textcolor{darkorange}{u}^{-2}\right) \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \\ V'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}{(1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t})^2} \end{aligned} \]

2. Innfør en hjelpevariabel Uttrykket blir enklere med en hjelpevariabel \( w\text{:} \) \[ \begin{aligned} w &= \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \\ V'(t) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]Her er \( {w > 0}\text{,} \) og siden \( {w' = -\textcolor{green}{k} \cdot w < 0}\text{,} \) avtar \( w \) fra \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{27{,}33}} \) mot \( 0 \) når \( t \) øker.

3. Deriver én gang til Vi kaller brøken \( {h(w) = \dfrac{w}{(1 + w)^2}}\text{,} \) så \( {V'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot h(w)}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{p}{q}\right)' = \dfrac{p' \cdot q - p \cdot q'}{q^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} p &= w & p' &= 1 \\ q &= (1 + w)^2 & q' &= 2(1 + w) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og forkorter med \( {1 + w}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} h'(w) &= \dfrac{(1 + w)^2 - w \cdot 2(1 + w)}{(1 + w)^4} \\ h'(w) &= \dfrac{(1 + w) - 2w}{(1 + w)^3} \\ h'(w) &= \dfrac{1 - w}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

Med kjerneregelen ganger vi med \( {w' = -\textcolor{green}{k} \cdot w}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V''(t) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot h'(w) \cdot (-\textcolor{green}{k} \cdot w) \\ V''(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}^2 \cdot w \cdot (w - 1)}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

4. Finn toppunktet til den deriverte Alt i \( V''(t) \) er positivt bortsett fra \( {w - 1}\text{,} \) og \( w \) avtar når \( t \) øker: \[ \begin{array}{r|ccc} w & > 1 & 1 & < 1 \\ \hline V''(t) & + & 0 & - \\ V'(t) & \nearrow & \text{maks} & \searrow \end{array} \]

Fartsøkningen er derfor størst når \( {w = 1}\text{,} \) altså når \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = 1}\text{.} \) Vi ganger med \( e^{\textcolor{green}{k}t} \) og tar \( \ln \) på begge sider: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{blue}{a} \\ t &= \dfrac{\ln \textcolor{blue}{a}}{\textcolor{green}{k}} \approx \dfrac{\ln \textcolor{blue}{27{,}33}}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \approx 69{,}20 \end{aligned} \]

Setter vi \( {w = 1} \) inn i \( V'(t)\text{,} \) får vi den største fartsøkningen: \[ \begin{aligned} V'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}}{4} \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48} \cdot \textcolor{green}{0{,}0478}}{4} \\ V'(t) &\approx 2{,}67 \end{aligned} \]Fartsøkningen er størst etter omtrent \( 69{,}2 \) sekunder, og da er den omtrent \( 2{,}67\,\text{m/s}^2\text{.} \)

1. Finn toppunktet til den deriverte I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi lar GeoGebra derivere modellen og tegne grafen til \( V'\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Toppunktet mellom \( {t = 0} \) og \( {t = 150} \) finner vi med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(V) Ekstremalpunkt(V', 0, 150)

Toppunktet er \( {B \approx (69{,}2022,\ 2{,}6706)}\text{.} \) Fartsøkningen er størst etter omtrent \( 69{,}2 \) sekunder, og da er den omtrent \( 2{,}67\,\text{m/s}^2\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a) og uttrykket for \( V'(t) \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) når \( {V'(t) > 2}\text{.} \) Vi finner de to tidspunktene der \( {V'(t) = 2}\text{,} \) og tiden mellom dem.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

I c) fant vi, med \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) at: \[ V'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \]Den vokser til omtrent \( 2{,}67 \) og avtar igjen, så farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) mellom de to tidspunktene der \( {V'(t) = 2}\text{.} \)

Vi setter \( {V'(t) = 2}\text{,} \) ganger med \( {(1 + w)^2} \) og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot w &= 2(1 + w)^2 \\ 0 &= 2w^2 + (4 - \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}) \cdot w + 2 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen Med tallene fra svaret i a) er \[ \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{red}{223{,}48} \cdot \textcolor{green}{0{,}0478} = 10{,}682344 \]Vi setter inn og deler med \( 2\text{:} \) \[ w^2 - 3{,}341172 \cdot w + 1 = 0 \]

Bokstaven \( a \) er brukt i modellen, så vi skriver likningen som \( {p \cdot w^2 + q \cdot w + r = 0}\text{.} \) Løsningene finner vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ w = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 1}\text{,} \) \( {q = -3{,}341172} \) og \( {r = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} w &= \dfrac{3{,}341172 \pm \sqrt{3{,}341172^2 - 4}}{2} \\ w_1 &\approx 3{,}0088 \\ w_2 &\approx 0{,}3324 \end{aligned} \]Begge ligger mellom \( 0 \) og \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) så begge gir en tid etter start.

3. Finn de to tidspunktene Vi løser \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = w} \) for \( t \) som i b): vi deler med \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u}\text{:} \) \[ t = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}}\right) \]

Plugger vi inn \( w_1 \) og \( w_2 \) med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} t_1 &\approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{3{,}0088}{\textcolor{blue}{27{,}33}}\right) \approx 46{,}16 \\ t_2 &\approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{0{,}3324}{\textcolor{blue}{27{,}33}}\right) \approx 92{,}25 \end{aligned} \]

Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) fra \( t_1 \) til \( t_2\text{.} \) Med alle desimalene er \[ t_2 - t_1 \approx 46{,}09 \]Det er omtrent \( 46{,}1 \) sekunder.

1. Finn skjæringspunktene med linja I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi tegner grafen til \( V' \) og linja \( {y = 2}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter ved hvert skjæringspunkt, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Til slutt regner vi ut avstanden mellom førstekoordinatene:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(V) h: y = 2 d = x(Q) - x(P)

Skjæringspunktene er \( {P \approx (46{,}1577,\ 2)} \) og \( {Q \approx (92{,}2467,\ 2)}\text{,} \) og \( {d \approx 46{,}0891}\text{.} \) Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) i omtrent \( 46{,}1 \) sekunder.

Formen i oppgaven er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1960.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør årene om til t 0:23 \( t \) er antall år etter 1960, så 1960 blir \( {t = 0}\text{,} \) 1961 blir \( {t = 1}\text{,} \) 1963 blir \( {t = 3} \) og så videre, til 1980, som blir \( {t = 20}\text{.} \)

Vi skriver \( t \) i kolonne A og folketallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør logistisk regresjon 2:19 Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{red}{B}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{B} \approx \textcolor{red}{2840{,}8992}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{5{,}0748}} \) og \( {\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{green}{0{,}2470}}\text{.} \)

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {k \approx 0{,}25}\text{,} \) som i videoen. Regner vi videre med \( 0{,}25\text{,} \) starter perioden i c) etter omtrent \( 3{,}2 \) år i stedet for \( 3{,}3\text{.} \)

3. Vurder gyldighetsområdet 3:04 Tabellen har tall fra 1960 til 1980, altså for \( {0 \le t \le 20}\text{.} \) Der går grafen nær punktene.

Bakover i tid går modellen mot \( 0\text{,} \) og framover flater den ut mot omtrent \( 2841 \) personer. Vi har ingen tall som viser om det stemmer, så modellen gjelder bare for årene vi har data for.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( F'(12) \) er hvor fort folketallet vokser i 1972, og \( F''(12) \) er hvor fort veksten selv endrer seg. Med kalkulator deriverer vi modellen for hånd først.

1. Deriver modellen med kjerneregelen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247}t}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi kaller \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{.} \) Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \begin{aligned} F(t) &= \textcolor{red}{B} \cdot {\textcolor{darkorange}{(1 + w)}}^{-1} \\ w' &= -\textcolor{green}{k} \cdot w \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \textcolor{darkorange}{1 + w} & \textcolor{darkorange}{u'} &= w' = -\textcolor{green}{k}w \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} F'(t) &= \textcolor{red}{B} \cdot \left(-(1 + w)^{-2}\right) \cdot (-\textcolor{green}{k}w) \\ F'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \cdot w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]

2. Deriver én gang til \( F'(t) \) er \( \textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \) ganget med brøken \( {h = \dfrac{w}{(1 + w)^2}}\text{,} \) så vi deriverer brøken med kvotientregelen.

Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{p}{q}\right)' = \dfrac{p' \cdot q - p \cdot q'}{q^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er, med kjerneregelen for \( q'\text{:} \) \[ \begin{aligned} p &= w & p' &= w' \\ q &= (1 + w)^2 & q' &= 2(1 + w) \cdot w' \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og forkorter med \( {1 + w}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} h' &= \dfrac{w'(1 + w)^2 - w \cdot 2(1 + w)w'}{(1 + w)^4} \\ h' &= \dfrac{w'(1 - w)}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

Med \( {w' = -\textcolor{green}{k}w} \) og faktoren \( \textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \) foran blir det: \[ \begin{aligned} F''(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}^2 \cdot w(w - 1)}{(1 + w)^3} \\ F''(t) &= \textcolor{green}{k} \cdot F'(t) \cdot \dfrac{w - 1}{w + 1} \end{aligned} \]

3. Sett inn tallene Med tallene fra svaret i a) er: \[ w = \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247} \cdot 12} \approx 0{,}2617 \]

Med alle desimalene fra kalkulatoren gir det: \[ \begin{aligned} F'(12) &\approx \dfrac{\textcolor{red}{2841} \cdot \textcolor{green}{0{,}247} \cdot 0{,}2617}{1{,}2617^2} \\ &\approx 115{,}4 \\ F''(12) &\approx \textcolor{green}{0{,}247} \cdot 115{,}4 \cdot \dfrac{-0{,}7383}{1{,}2617} \\ &\approx -16{,}7 \end{aligned} \]

4. Tolk svarene 0:30 \( F'(12) \) er vekstfarten 12 år etter 1960: i 1972 økte folketallet med omtrent \( 115 \) personer per år.

\( F'' \) forteller hvor fort vekstfarten endrer seg, slik akselerasjonen er den dobbeltderiverte av posisjonen i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. \( {F''(12) \approx -16{,}7 < 0}\text{,} \) så veksten avtok: vekstfarten ble omtrent \( 17 \) personer per år mindre for hvert år. Folketallet økte fortsatt, men saktere.

1. Regn ut de deriverte 0:09 I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2840{,}8992}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}0748} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}2470}t}} \]

Vi skriver de deriverte i \( {t = 12} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d_1 = F'(12) d_2 = F''(12)

GeoGebra gir \( {F'(12) \approx 115{,}4053} \) og \( {F''(12) \approx -16{,}6769}\text{.} \) I 1972 økte folketallet altså med omtrent \( 115 \) personer per år, og veksten avtok med omtrent \( 17 \) personer per år, per år.

Vi bruker modellen fra a) og uttrykket for \( F'(t) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Økningen per år er \( F'(t)\text{.} \) Vi finner de to tidspunktene der \( {F'(t) = 150}\text{,} \) og mellom dem er \( {F'(t) > 150}\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247}t}} \]

I b) fant vi den deriverte, med \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{:} \) \[ F'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \cdot w}{(1 + w)^2} \]

Vi setter \( {F'(t) = 150}\text{,} \) ganger med \( {(1 + w)^2}\text{,} \) deler på \( 150 \) og samler alt på én side: \[ w^2 + \left(2 - \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}}{150}\right) \cdot w + 1 = 0 \]

2. Løs andregradslikningen Med tallene fra svaret i a) er: \[ \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}}{150} \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841} \cdot \textcolor{green}{0{,}247}}{150} = 4{,}67818 \]Det gir likningen: \[ w^2 - 2{,}67818 \cdot w + 1 = 0 \]

Bokstaven \( a \) er brukt i modellen, så vi skriver likningen som \( {p \cdot w^2 + q \cdot w + r = 0}\text{.} \) Løsningene finner vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ w = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 1}\text{,} \) \( {q = -2{,}67818} \) og \( {r = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} w &= \dfrac{2{,}67818 \pm \sqrt{2{,}67818^2 - 4}}{2} \\ w_1 &\approx 2{,}2297 \\ w_2 &\approx 0{,}4485 \end{aligned} \]

3. Finn de to tidspunktene Vi løser \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = w} \) for \( t\text{:} \) vi deler med \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u}\text{.} \) Til slutt deler vi med \( {-\textcolor{green}{k}}\text{,} \) og minustegnet snur brøken inne i logaritmen: \[ \begin{aligned} e^{-\textcolor{green}{k}t} &= \dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}} \\ -\textcolor{green}{k}t &= \ln\left(\dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}}\right) \\ t &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{w}\right) \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( w_1 \) og \( w_2 \) med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} t_1 &\approx \dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}247}} \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{5{,}07}}{2{,}2297}\right) \approx 3{,}33 \\ t_2 &\approx \dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}247}} \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{5{,}07}}{0{,}4485}\right) \approx 9{,}82 \end{aligned} \]

Mellom de to tidspunktene er \( {F'(t) > 150}\text{,} \) for eksempel er \( {F'(6) \approx 175}\text{.} \) Folketallet økte altså med mer enn 150 personer per år fra \( {t \approx 3{,}3} \) til \( {t \approx 9{,}8}\text{.} \) Det er fra 1963,3 til 1969,8, altså fra våren 1963 til høsten 1969.

1. Finn skjæringspunktene med linja 0:30 I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2840{,}8992}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}0748} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}2470}t}} \]

Vi lar GeoGebra derivere den, tegner linja \( {y = 150} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter ved hvert skjæringspunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(F) g: y = 150

Skjæringspunktene er \( {K \approx (3{,}3286,\ 150)} \) og \( {L \approx (9{,}8222,\ 150)}\text{,} \) og grafen til \( F' \) ligger over linja mellom dem. Folketallet økte altså med mer enn 150 personer per år fra \( {t \approx 3{,}3} \) til \( {t \approx 9{,}8}\text{.} \) Det er fra 1963,3 til 1969,8, altså fra våren 1963 til høsten 1969.

Formen \( {A_0 \cdot k^t} \) er en eksponentiell modell, så vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra på alle punktene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på å tolke \( A_0 \) og \( k\text{,} \) og på c) og d) med modellene i svarene, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver månedene i kolonne A og antall tusen fisk i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A_0} \) og \( \textcolor{blue}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Kommandoen heter RegEksp, og GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ A(t) = \textcolor{red}{A_0} \cdot \textcolor{blue}{k}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{A_0} \approx \textcolor{red}{1{,}6012}} \) og \( {\textcolor{blue}{k} \approx \textcolor{blue}{1{,}6341}}\text{.} \)

3. Tolk tallene \( \textcolor{red}{A_0} \) er antall tusen fisk ved \( {t = 0}\text{,} \) da arten først ble registrert. Ifølge modellen var det omtrent \( 1600 \) fisk. Tabellen sier \( 1000\text{:} \) regresjonen går nær alle punktene, men ikke nødvendigvis gjennom det første.

\( \textcolor{blue}{k} \) er vekstfaktoren per måned. Siden \( {\textcolor{blue}{k} \approx 1{,}634 = 1 + 0{,}634}\text{,} \) øker antall fisk med omtrent \( 63\,\% \) hver måned.

Formen er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. \( N_0 \) er verdien modellen gir ved \( {t = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på c) og d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Kjør logistisk regresjon Lista med punkt fra a) heter \( l_1\text{.} \) Logistisk regresjon finner de tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Til slutt regner vi ut \( N(0)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: N(x) = RegLogist(l1) N_0 = N(0)

2. Les av de tre tallene GeoGebra gir modellen på formen \( {\dfrac{\textcolor{red}{B}}{1 + \textcolor{green}{b} \cdot e^{-\textcolor{blue}{r}x}}}\text{.} \) Sammenligner vi med formen i oppgaven, er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{B} &\approx \textcolor{red}{111{,}3734} \\ \textcolor{blue}{r} &\approx \textcolor{blue}{0{,}5244} \\ \textcolor{green}{\dfrac{B - N_0}{N_0}} &\approx \textcolor{green}{57{,}2048} \end{aligned} \]

\( N_0 \) er antall tusen fisk ved \( {t = 0} \) i modellen, altså \( {N(0) \approx 1{,}9135}\text{,} \) som GeoGebra regnet ut. Tabellen sier \( 1\text{:} \) RegLogist tilpasser kurven til alle punktene, så modellens verdi ved \( {t = 0} \) er ikke den første verdien i tabellen, som i a).

Kontroll: \( {\dfrac{111{,}3734 - 1{,}9135}{1{,}9135} \approx 57{,}20}\text{,} \) som er tallet foran \( e \) i modellen.

Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer begge modellene og ser om vekstfarten øker hele tiden, eller om den har et toppunkt.

1. Deriver den eksponentielle modellen I a) fant vi modellen: \[ A(t) \approx 1{,}60 \cdot \textcolor{blue}{1{,}634}^t \]Den deriverte av \( \textcolor{blue}{k}^t \) er: \[ \left(\textcolor{blue}{k}^t\right)' = \textcolor{blue}{k}^t \cdot \ln \textcolor{blue}{k} \]Den følger av kjerneregelen, siden \( {\textcolor{blue}{k}^t = e^{t \cdot \ln \textcolor{blue}{k}}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Det gir: \[ \begin{aligned} A'(t) &= 1{,}60 \cdot \textcolor{blue}{1{,}634}^t \cdot \ln \textcolor{blue}{1{,}634} \\ A'(t) &\approx 0{,}786 \cdot 1{,}634^t \end{aligned} \]Dette er \( A(t) \) ganget med \( \ln 1{,}634\text{,} \) så vekstfarten øker med samme prosent som antall fisk, \( 63\,\% \) per måned. Den øker hele tiden, og fortere og fortere.

2. Deriver den logistiske modellen I b) fant vi modellen, som vi skriver med \( {\textcolor{darkorange}{w} = \textcolor{darkorange}{57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t}}}\text{:} \) \[ N(t) \approx \dfrac{111{,}4}{1 + \textcolor{darkorange}{w}} = 111{,}4 \cdot (1 + \textcolor{darkorange}{w})^{-1} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(u^{-1}\right)' = -u^{-2} \cdot u' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {u = 1 + \textcolor{darkorange}{w}}\text{.} \) Siden \( {(e^{-0{,}524t})' = -0{,}524 \cdot e^{-0{,}524t}}\text{,} \) er \( {u' = \textcolor{darkorange}{w'} = -0{,}524 \cdot \textcolor{darkorange}{w}}\text{.} \) De to minustegnene gir pluss: \[ N'(t) = \dfrac{111{,}4 \cdot 0{,}524 \cdot \textcolor{darkorange}{w}}{(1 + \textcolor{darkorange}{w})^2} \]

Setter vi inn \( \textcolor{darkorange}{w}\text{,} \) og bruker at \( {111{,}4 \cdot 0{,}524 \cdot 57{,}20 \approx 3340}\text{,} \) avrundet til tre gjeldende sifre, får vi: \[ N'(t) \approx \dfrac{3340 \cdot e^{-0{,}524t}}{(1 + 57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t})^2} \]

3. Finn ut når vekstfarten er størst Siden \( {N = \dfrac{111{,}4}{1 + w}} \) og \( {1 - \dfrac{N}{111{,}4} = \dfrac{w}{1 + w}}\text{,} \) kan den deriverte skrives: \[ N'(t) = 0{,}524 \cdot N \cdot \left(1 - \dfrac{N}{111{,}4}\right) \]

Dette er et andregradsuttrykk i \( N \) med nullpunkter \( {N = 0} \) og \( {N = 111{,}4}\text{.} \) Det er størst midt mellom dem, når \( {N = 55{,}7}\text{.} \) Antallet \( N \) vokser hele tiden mot \( 111{,}4\text{,} \) så vekstfarten øker til \( {N = 55{,}7} \) og avtar etterpå. Det skjer når \( {\textcolor{darkorange}{w} = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t}} &= 1 \\ t &= \dfrac{\ln 57{,}20}{0{,}524} \approx 7{,}7 \end{aligned} \]Da er vekstfarten: \[ N'(t) = 0{,}524 \cdot 55{,}7 \cdot \dfrac{1}{2} \approx 14{,}6 \]Vekstfarten øker altså til omtrent \( 14{,}6 \) tusen fisk per måned etter omtrent \( 7{,}7 \) måneder, og avtar så mot \( 0 \) når antallet nærmer seg bæreevnen.

1. Deriver i CAS I a) og b) lagret vi modellene som \( A \) og \( N \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi deriverer dem i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: A'(x) N'(x)

Nevneren i \( N'(x) \) er \( {(1 + 57{,}2048 \cdot e^{-0{,}5244x})^2} \) ganget ut, og \( {e^{0{,}4911} \approx 1{,}6341}\text{.} \) CAS gir altså: \[ \begin{aligned} A'(t) &\approx 0{,}7863 \cdot 1{,}6341^t \\ N'(t) &\approx \dfrac{3340{,}95 \cdot e^{-0{,}5244t}}{(1 + 57{,}2048 \cdot e^{-0{,}5244t})^2} \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet til den deriverte Vi tegner grafene til \( A' \) og \( N'\text{,} \) og finner toppunktet til \( N' \) med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(A) Derivert(N) T = Ekstremalpunkt(N', 0, 14)

Grafen til \( A' \) stiger stadig brattere, og grafen til \( N' \) har toppunktet \( {T \approx (7{,}7168,\ 14{,}6008)}\text{.} \) Med den eksponentielle modellen øker vekstfarten hele tiden. Med den logistiske er den størst etter omtrent \( 7{,}7 \) måneder, omtrent \( 14{,}6 \) tusen fisk per måned, og avtar så mot \( 0\text{.} \)

Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

En innsjø har bare plass og mat til et begrenset antall fisk. Den logistiske modellen har en bæreevne, så vi velger den og regner ut \( N(12)\text{.} \)

1. Velg modell Vi sammenligner modellene med tabellen og ser hvordan de oppfører seg etter det siste punktet, som når vi vurderer gyldighetsområdet i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den eksponentielle modellen gir for mye allerede ved \( {t = 8}\text{,} \) og den vokser uten grense: \[ A(8) \approx 1{,}60 \cdot 1{,}634^8 \approx 81 \]mens tabellen sier \( 60 \) tusen fisk.

Den logistiske modellen går nær alle punktene i tabellen og flater ut mot bæreevnen, omtrent \( 111\,400 \) fisk. Den beskriver situasjonen best.

2. Regn ut antallet etter 12 måneder I b) fant vi modellen: \[ N(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{111{,}4}}{1 + \textcolor{green}{57{,}20} \cdot e^{-\textcolor{blue}{0{,}524}t}} \]

Vi setter inn \( {t = 12}\text{:} \) \[ \begin{aligned} N(12) &\approx \dfrac{\textcolor{red}{111{,}4}}{1 + \textcolor{green}{57{,}20} \cdot e^{-\textcolor{blue}{0{,}524} \cdot 12}} \\ &\approx 100{,}7 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 100\,700 \) fisk.

1. Regn ut antallet i GeoGebra I a) og b) lagret vi modellene som \( A \) og \( N \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi tegner begge sammen med punktene og regner ut \( N(12)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: n = N(12)

Grafen til \( A \) stiger forbi det siste punktet, mens \( N \) følger punktene og flater ut. GeoGebra gir \( {N(12) \approx 100{,}7163}\text{,} \) altså omtrent \( 100\,700 \) fisk.