Eksamensoppgaver etter tema

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:21 Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) = 0 \]Da må \( \textcolor{red}{e^x} \) eller \( {\textcolor{blue}{6 - e^x}} \) være \( 0\text{.} \)

\( \textcolor{red}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 1:12 Setter vi \( {\textcolor{blue}{6 - e^x} = 0}\text{,} \) får vi: \[ e^x = 6 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) = \ln 6 \]

Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 6 \\ x &= \ln 6 \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Deriver med produktregelen 0:28 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x} \) og konstanten \( 6 \) har derivert \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{6 - e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^x}) \]

2. Faktoriser 2:05 Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) og trekker sammen det som står i parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - e^x - e^x) \\ f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - 2e^x) \end{aligned} \]

Vi kan faktorisere ut \( 2 \) også, siden \( {6 = 2 \cdot 3}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = 2\textcolor{darkorange}{e^x}(3 - e^x) \]Det er uttrykket i oppgaven.

Vi bruker nullpunktet fra a), og uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Om det er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av funksjonsverdiene på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:16 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{3 - e^x}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Derfor må \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 2:07 Vi flytter \( e^x \) over til høyre side: \[ e^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser og \( {\ln e = 1} \) gir \( {\ln\left(e^x\right) = x \cdot \ln e = x}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^x\right) &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

3. Finn y-koordinaten 2:52 For å finne koordinatene plugger vi \( {x = \ln 3} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Siden \( {\textcolor{green}{e^{\ln 3}} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f(\ln 3) &= \textcolor{green}{e^{\ln 3}}(6 - \textcolor{green}{e^{\ln 3}}) \\ f(\ln 3) &= \textcolor{green}{3} \cdot (6 - \textcolor{green}{3}) = 9 \end{aligned} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 4:15 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \ln 3}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = 0} \) og nullpunktet \( {x = \ln 6} \) fra a): \[ f(0) = e^0(6 - e^0) = 1 \cdot 5 = 5 \]

Siden \( \ln \) er voksende, er \( {0 = \ln 1 < \ln 3 < \ln 6}\text{,} \) og \( {f(\ln 6) = 0}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \ln 3 & \ln 6 \\ \hline f(x) & 5 & 9 & 0 \end{array} \]

Grafen går opp fra \( 5 \) til \( 9 \) og ned igjen til \( 0\text{.} \) Punktet \( (\ln 3,\ 9) \) er derfor et toppunkt, og siden grafen bare snur der, har den ingen bunnpunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Siden \( {\textcolor{darkorange}{2e^x} > 0}\text{,} \) har \( f'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x}}\text{:} \) positiv når \( {x < \ln 3} \) og negativ når \( {x > \ln 3}\text{.} \) :::fortegnsskjema {"points": [1.0986122886681098], "labels": ["\\ln 3"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{3 - e^x}", "expr": "3 - e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(3 - e^x)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \ln 3} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så \( (\ln 3,\ 9) \) er et toppunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Vi tar for oss uttrykkene hver for seg, og finner verdien, eller to tall den ligger mellom. Så sorterer vi dem.

1. Regn ut de to første uttrykkene 0:25 Fra definisjonen av logaritmer vet vi at \( \log_a b \) er tallet vi må opphøye grunntallet \( a \) i for å få \( b\text{:} \) \[ \log_a b = c \quad \text{betyr at} \quad a^c = b \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

\( \textcolor{blue}{\log_2 8}\text{:} \) Her holder det med hoderegning, siden \( {2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\underline{\log_2 8 = 3}} \]

\( \textcolor{red}{e^{3\ln 1}}\text{:} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) siden \( {e^0 = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} = e^{3 \cdot 0} = e^0 = \textcolor{red}{\underline{1}} \]

2. Avgrens de to siste uttrykkene 1:49 \( \textcolor{green}{\lg 7}\text{:} \) Når det ikke står noe grunntall, er grunntallet \( 10\text{.} \) Her bruker vi litt logikk: logaritmen er voksende, og \( {1 < 7 < 10}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{\underline{0 = \lg 1 < \lg 7 < \lg 10 = 1}} \]

\( \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}}\text{:} \) Vi regner ut potensen under roten, \( {3^3 = 27}\text{.} \) Fjerderoten av \( 27 \) er tallet \( c \) der \( {c \cdot c \cdot c \cdot c = 27}\text{.} \) Siden \( {2^4 = 16} \) og \( {3^4 = 81}\text{,} \) og \( {16 < 27 < 81}\text{,} \) er: \[ \textcolor{darkorange}{\underline{2 = \sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{3^3} < \sqrt[4]{81} = 3}} \]

3. Sorter verdiene 4:27 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\lg 7} &< 1 = \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} \\ \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} &< 2 < \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}} \\ \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}} &< 3 = \textcolor{blue}{\log_2 8} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd så enkelt som mulig med logaritmereglene, og trekker sammen.

1. Skriv opp logaritmereglene 0:14 Uttrykket i oppgaven er bare definert når \( {a > 0} \) og \( {b > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a \cdot b) &= \lg a + \lg b \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \\ \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Skriv om ledd for ledd 0:49 \( \textcolor{blue}{\lg(ab)} \) kan vi skrive om som \( {\textcolor{blue}{\underline{\lg a + \lg b}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \) kan vi skrive om som \( {\textcolor{red}{\underline{\lg a - \lg b}}}\text{.} \)

\( \textcolor{green}{\lg(100b^3)} \) kan vi skrive om som \( {\lg 100 + \lg(b^3)}\text{.} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\lg 100 = 2}\text{,} \) siden \( {10^2 = 100}\text{,} \) og med den siste regelen er \( {\lg(b^3) = 3\lg b}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\lg(100b^3)} = \textcolor{green}{\underline{2 + 3\lg b}} \]

3. Trekk sammen 3:00 Vi trekker sammen de to første leddene. Minus foran \( \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \) gjelder begge leddene den blir til: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\lg(ab)} - \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \\ &= \textcolor{blue}{\lg a + \lg b} - (\textcolor{red}{\lg a - \lg b}) \\ &= \lg a + \lg b - \lg a + \lg b \\ &= 2\lg b \end{aligned} \]

Legger vi til det siste leddet, får vi: \[ 2\lg b + \textcolor{green}{2 + 3\lg b} = 2 + 5\lg b \]

Vi kan stoppe her, eller samle alt i én logaritme. Går vi baklengs med reglene, er \( {2 = \lg 100} \) og \( {5\lg b = \lg(b^5)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 + 5\lg b &= \lg 100 + \lg(b^5) \\ 2 + 5\lg b &= \lg(100b^5) \end{aligned} \]

\( \ln x \) er bare definert for \( {x > 0}\text{,} \) og der er \( f \) deriverbar, så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen.

1. Deriver med produktregelen 0:10 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln x + 4x \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null 2:12 Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{:} \) \[ 8x \ln x + 4x = 0 \]

Vi trekker fra \( 4x \) og deler på \( 8x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8x \ln x &= -4x \\ \ln x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi \( e \) i begge sider. Siden \( {e^{\ln x} = x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ x = e^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \]

3. Finn y-koordinaten 4:05 Vi setter \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Her er \( {\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 = \dfrac{1}{e}} \) og \( {\ln\left(e^{-\tfrac{1}{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{e} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 6:07 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = \dfrac{1}{e}} \) og \( {x = 1}\text{,} \) siden \( {\dfrac{1}{e} < \dfrac{1}{\sqrt{e}} < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &= 4 \cdot \dfrac{1}{e^2} \cdot (-1) = -\dfrac{4}{e^2} \\ f(1) &= 4 \cdot 1^2 \cdot \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

Siden \( {e > 2}\text{,} \) er \( {\dfrac{2}{e} < 1}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{e^2} &= \dfrac{2}{e} \cdot \dfrac{2}{e} < \dfrac{2}{e} \\ -\dfrac{4}{e^2} &> -\dfrac{2}{e} \end{aligned} \]

Begge verdiene er altså større enn \( {-\dfrac{2}{e}}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{1}{e} & \dfrac{1}{\sqrt{e}} & 1 \\ \hline f(x) & -\dfrac{4}{e^2} & -\dfrac{2}{e} & 0 \end{array} \]Grafen går ned til \( {-\dfrac{2}{e}} \) og opp igjen, så punktet er et bunnpunkt. Grafen snur ikke noe annet sted, så den har ingen toppunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Vi faktoriserer \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{4x}(\textcolor{magenta}{2\ln x + 1})}\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {\textcolor{darkorange}{4x} > 0}\text{,} \) så \( f'(x) \) har samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{2\ln x + 1}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.6065306597126334], "labels": ["\\tfrac{1}{\\sqrt{e}}"], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{4x}", "expr": "4x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2\\ln x + 1}", "expr": "2ln(x) + 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "4x(2ln(x) + 1)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hva som får løkka til å stoppe.

1. Finn ut hva programmet leter etter 2:32 Linje 8 og 9 definerer \( {f(x) = 4x^2 \cdot \ln x}\text{.} \) Løkka i linje 13 går så lenge \( {|f(m)| \ge 0{,}0001}\text{,} \) og linje 22 skriver ut \( m\text{.} \) Programmet stopper altså først når \( f(m) \) er nesten \( 0\text{.} \) Eleven vil finne nullpunktet til \( f\text{.} \)

2. Forklar linje 11 til 20 3:39 Linje 11 setter \( \textcolor{green}{m} \) midt mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}}{2} \]

Linje 15 tester om \( {f(\textcolor{blue}{a}) \cdot f(\textcolor{green}{m}) < 0}\text{,} \) altså om \( f(\textcolor{blue}{a}) \) og \( f(\textcolor{green}{m}) \) har ulikt fortegn. Da krysser grafen \( x \)-aksen mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{m}\text{,} \) og linje 16 flytter \( \textcolor{red}{b} \) til \( \textcolor{green}{m}\text{.} \)

Ellers ligger nullpunktet mellom \( \textcolor{green}{m} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{,} \) og linje 18 flytter \( \textcolor{blue}{a} \) til \( \textcolor{green}{m}\text{.} \) Linje 20 finner det nye midtpunktet.

Intervallet som nullpunktet ligger i, blir altså halvert for hver runde i løkka. Dette er halveringsmetoden, som i videoen Halveringsmetoden/​Midtpunktsmetoden.

3. Finn verdien som skrives ut 9:07 Vi finner nullpunktet selv. Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {4x^2 \neq 0}\text{,} \) så \( {\ln x = 0}\text{.} \) Fra definisjonen er \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så: \[ x = 1 \]Det ligger mellom \( 0{,}1 \) og \( 3\text{,} \) og \( {f(0{,}1) < 0 < f(3)}\text{,} \) siden \( {\ln 0{,}1 < 0 < \ln 3}\text{.} \) Halveringsmetoden finner det derfor.

Løkka stopper så snart \( {|f(m)| < 0{,}0001}\text{,} \) så programmet skriver ut en tilnærming til \( 1\text{:} \) et tall så nær \( 1 \) at \( f(m) \) er nesten \( 0\text{,} \) men ikke nødvendigvis nøyaktig \( 1\text{.} \)

Vi skriver opp tangenten i et punkt \( {x = b} \) på grafen, og krever at den går gjennom \( A(0, 0)\text{.} \) Det gir en likning for \( b\text{.} \)

1. Skriv opp tangenten i et punkt Vi kaller førstekoordinaten til \( B \) for \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) Tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{b}} \) har stigningstallet \( f'(\textcolor{blue}{b}) \) og går gjennom punktet \( (\textcolor{blue}{b}, f(\textcolor{blue}{b}))\text{:} \) \[ y = f'(\textcolor{blue}{b}) \cdot (x - \textcolor{blue}{b}) + f(\textcolor{blue}{b}) \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {f'(\textcolor{blue}{b}) = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}}}\text{.} \) Det gir tangenten: \[ y = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}} \cdot (x - \textcolor{blue}{b}) + \ln \textcolor{blue}{b} \]

2. Krev at tangenten går gjennom A Tangenten går gjennom \( A(0, 0) \) når \( {y = 0} \) for \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}} \cdot (0 - \textcolor{blue}{b}) + \ln \textcolor{blue}{b} \\ 0 &= -1 + \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln \textcolor{blue}{b} &= 1 \end{aligned} \]

Fra definisjonen er \( {\ln e = 1}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = e}\text{.} \) Andrekoordinaten er \( {f(e) = \ln e = 1}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Tangenten i \( {x = b} \) er \[ g(x) = f'(b) \cdot (x - b) + f(b) \]og den går gjennom origo når \( {g(0) = 0}\text{.} \) Vi skriver funksjonen og tangenten inn i CAS og løser likningen med Løs, som gir eksakte svar:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := ln(x) g(x) := f'(b)*(x - b) + f(b) Løs(g(0) = 0, b) f(e)

CAS gir \( {b = e} \) og \( {f(e) = 1}\text{,} \) så \( {B = (e, 1)}\text{.} \)

Vi bruker \( B(e, 1) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( C \) ligger på \( {y = x}\text{,} \) så \( {C = (c, c)}\text{.} \) Vinkelen i \( C \) er rett når \( {\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0}\text{,} \) og arealet er halvparten av produktet av katetene.

1. Skriv opp kravet Vinkelen \( \angle ACB \) er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Begge vektorene starter i \( C(c, c)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [0 - c,\ 0 - c] = [\textcolor{blue}{-c}, \textcolor{red}{-c}] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{e - c}, \textcolor{red}{1 - c}] \end{aligned} \]

2. Finn C Plugger vi dette inn og faktoriserer ut \( {-c}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-c})(\textcolor{blue}{e - c}) + (\textcolor{red}{-c})(\textcolor{red}{1 - c}) &= 0 \\ -c\,(e + 1 - 2c) &= 0 \end{aligned} \]

\( {c = 0} \) gir \( {C = A}\text{,} \) og da er det ingen trekant. Altså er \( {e + 1 - 2c = 0}\text{,} \) så: \[ c = \dfrac{e + 1}{2} \]

3. Regn ut arealet Vinkelen i \( C \) er rett, så \( CA \) og \( CB \) er katetene, og arealet \( T \) er halvparten av produktet av dem. Med \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) er \( {\overrightarrow{CB} = \left[\dfrac{e - 1}{2},\ \dfrac{1 - e}{2}\right]}\text{,} \) og med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{CA}| &= \sqrt{2c^2} = \dfrac{e + 1}{\sqrt{2}} \\ |\overrightarrow{CB}| &= \sqrt{2 \cdot \left(\dfrac{e - 1}{2}\right)^2} = \dfrac{e - 1}{\sqrt{2}} \end{aligned} \]

Konjugatsetningen, \( {(e + 1)(e - 1) = e^2 - 1}\text{,} \) gir da: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e + 1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{e - 1}{\sqrt{2}} = \dfrac{e^2 - 1}{4} \]

1. Løs i CAS Vi fortsetter i CAS-vinduet fra a) og skriver \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) inn som \( u \) og \( w\text{,} \) løser \( {u \cdot w = 0} \) og setter \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) inn i arealet med ByttUt. Rad 9 er rad 8 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: u := Vektor((-c, -c)) w := Vektor((e - c, 1 - c)) Løs(u*w = 0, c) ByttUt(1/2*Lengde(u)*Lengde(w), c = (e + 1)/2)

CAS gir \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) og arealet \( {\dfrac{1}{4}e^2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 - 1}{4} \approx 1{,}5973}\text{.} \) Løsningen \( {c = 0} \) gir \( {C = A}\text{,} \) så den forkaster vi.

Vannmengden ved start er \( V(0)\text{.} \) Vi finner når \( V(t) \) er halvparten av den, og får \( t \) ned fra eksponenten med \( \ln\text{.} \)

1. Finn vannmengden ved start Ved start er \( {t = 0}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ V(0) = 10000 \cdot e^{0} + 500 = 10\,500 \]Halvparten er \( 5250 \) liter.

2. Løs likningen med ln Vi setter \( {V(t) = 5250}\text{,} \) trekker fra \( 500 \) og deler på \( 10000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 10000 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} + 500 &= 5250 \\ e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} &= 0{,}475 \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Siden \( {\ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-0{,}07t} &= \ln 0{,}475 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}475}{-0{,}07} \approx 10{,}63 \end{aligned} \]Det tar omtrent \( 10{,}6 \) timer, altså omtrent \( 10 \) timer og \( 38 \) minutter.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( V(t) \) i CAS og løser \( {V(t) = \dfrac{1}{2} \cdot V(0)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 10000*e^(-0.07t) + 500 V(0) Løs(V(t) = V(0)/2, t)

CAS gir \( {V(0) = 10\,500} \) og \( {t \approx 10{,}6349}\text{.} \) Det tar omtrent \( 10{,}6 \) timer.

\( V'(12) \) er hvor fort vannmengden endrer seg etter 12 timer, og \( V''(12) \) er hvor fort selve endringen endrer seg. Med kalkulator deriverer vi for hånd først.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-0{,}07t}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-0{,}07}}\text{.} \) Konstanten \( 500 \) har derivert \( 0\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} V'(t) &= 10000 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} \cdot (\textcolor{green}{-0{,}07}) \\ V'(t) &= -700 \cdot e^{-0{,}07t} \end{aligned} \]

Vi deriverer én gang til på samme måte: \[ \begin{aligned} V''(t) &= -700 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} \cdot (\textcolor{green}{-0{,}07}) \\ V''(t) &= 49 \cdot e^{-0{,}07t} \end{aligned} \]

2. Regn ut verdiene Med \( {t = 12} \) er \( {e^{-0{,}07 \cdot 12} = e^{-0{,}84}}\text{.} \) Med alle desimalene fra kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} V'(12) &= -700 \cdot e^{-0{,}84} \approx -302{,}2 \\ V''(12) &= 49 \cdot e^{-0{,}84} \approx 21{,}2 \end{aligned} \]

3. Tolk svarene \( V'(12) \) er endringen i vannmengden per time etter 12 timer. Den er negativ, så vannmengden minker med omtrent \( 302 \) liter per time.

\( V'' \) forteller hvor fort \( V' \) endrer seg, slik akselerasjonen er den dobbeltderiverte av posisjonen i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. \( {V''(12) > 0}\text{,} \) så \( V' \) øker: lekkasjen avtar, og vannmengden minker omtrent \( 21 \) liter per time saktere for hver time som går.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( V(t) \) i CAS og regner ut de deriverte i \( {t = 12} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 10000*e^(-0.07t) + 500 V'(12) V''(12)

CAS gir \( {V'(12) \approx -302{,}1974} \) og \( {V''(12) \approx 21{,}1538}\text{.} \) Etter 12 timer minker vannmengden altså med omtrent \( 302 \) liter per time, og lekkasjen avtar med omtrent \( 21 \) liter per time, per time.

Vi ser hva \( V(t) \) går mot når \( t \) vokser, og om \( V \) kan gå mot uendelig for en bestemt \( t\text{.} \)

1. La tiden gå mot uendelig Når \( t \to \infty\text{,} \) går \( {\textcolor{blue}{e^{-0{,}07t}} = \dfrac{1}{e^{0{,}07t}} \to 0}\text{,} \) fordi nevneren vokser uten grense. Det gir: \[ \lim_{t \to \infty} V(t) = 10000 \cdot \textcolor{blue}{0} + 500 = 500 \]

Grafen nærmer seg linja \( {V = 500}\text{,} \) så \( {V = 500} \) er en vannrett asymptote, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Leddet \( {10000 \cdot e^{-0{,}07t}} \) er alltid positivt, så \( {V(t) > 500} \) for alle \( t\text{.} \)

2. Se etter loddrette asymptoter En loddrett asymptote krever at funksjonen går mot uendelig når \( t \) nærmer seg et bestemt tall. \( V \) har ingen brøk med \( t \) i nevneren og ingen logaritme, så den er definert og kontinuerlig for alle \( t\text{.} \) Den har derfor ingen loddrette asymptoter.

3. Tolk asymptoten Vannmengden nærmer seg \( 500 \) liter, men blir aldri mindre. Etter lang tid er det altså omtrent \( 500 \) liter igjen i reservoaret, for eksempel fordi lekkasjen sitter et stykke opp fra bunnen.

Vi skriver om eksponenten med logaritmeregelen for potenser, og bruker så definisjonen av \( \ln\text{.} \)

1. Skriv om eksponenten Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]De samme regnereglene gjelder for \( \ln \) som for \( \lg\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

Vi bruker den baklengs, med \( {a = x > 0} \) og \( {\textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{k}}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{k} \cdot \ln(x) = \ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right) \]

2. Bruk definisjonen av ln Fra definisjonen av logaritmen er \( \ln u \) tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( u\text{,} \) så \( {e^{\ln u} = u} \) for \( {u > 0}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med \( {u = x^{\textcolor{green}{k}}}\text{,} \) som er positiv når \( {x > 0}\text{,} \) får vi: \[ e^{\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x)} = e^{\ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right)} = x^{\textcolor{green}{k}} \]Det er det påstanden sier, og det gjelder for alle \( {x > 0}\text{.} \)

En funksjon som er deriverbar i et punkt, må også være kontinuerlig der. Vi sjekker derfor først om uttrykkene gir samme verdi i \( {x = 2}\text{.} \)

1. Sjekk om funksjonen er kontinuerlig Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^3 - 2}}\text{.} \) Fra høyre, og i \( {x = 2}\text{,} \) gjelder \( {\textcolor{red}{3x^2 - 4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= \textcolor{blue}{2^3 - 2} = \textcolor{blue}{6} \\ f(2) &= \textcolor{red}{3 \cdot 2^2 - 4} = \textcolor{red}{8} \end{aligned} \]Uttrykkene gir \( \textcolor{blue}{6} \) og \( \textcolor{red}{8}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = 2}\text{,} \) som i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. \( f \) er altså ikke kontinuerlig i \( {x = 2}\text{.} \)

2. Avgjør om funksjonen er deriverbar Der funksjonen skifter uttrykk, er den deriverbar bare når uttrykkene gir samme verdi og har samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Her har uttrykkene samme derivert i \( {x = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x^3 - 2})' &= 3x^2\text{, som gir } 12 \\ (\textcolor{red}{3x^2 - 4})' &= 6x\text{, som gir } 12 \end{aligned} \]Men det holder ikke. Verdiene er ulike, så grafen har et sprang og ingen tangent i \( {x = 2}\text{.} \) Påstanden er derfor usann.

Påstanden sier at en slik funksjon kan ha en omvendt funksjon. Da holder det med ett eksempel.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike verdier av \( x \) gir ulike verdier av \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]

En kontinuerlig funksjon som både minker og vokser på ett og samme intervall, snur et sted og får noen verdier to ganger. Men definisjonsmengden kan bestå av to deler.

2. Finn et eksempel Vi velger \( {f(x) = x^2} \) med \( {D_f = \textcolor{blue}{[-2, -1]} \cup \textcolor{red}{[3, 4]}}\text{.} \) På \( {\textcolor{blue}{[-2, -1]}} \) minker \( f \) fra 4 til 1, og på \( \textcolor{red}{[3, 4]} \) vokser den fra 9 til 16: \[ V_f = \textcolor{blue}{[1, 4]} \cup \textcolor{red}{[9, 16]} \]

De to delene av verdimengden har ingen felles verdier, så hver verdi av \( y \) kommer fra bare én \( x\text{.} \) Funksjonen har derfor en omvendt funksjon, selv om den både minker og vokser. Påstanden er sann.