Eksamensoppgaver etter tema

Vi regner ut hva modellen gir i månedene i tabellen og sammenligner med tallene som er registrert. I GeoGebra lager vi en eksponentiell regresjon av punktene og ser at den gir \( K\text{.} \)

1. Finn månedsnumrene i tabellen \( x \) er antall måneder etter desember 2022, så januar 2024 er \( {x = 13}\text{.} \) Månedene i tabellen er da: \[ x = 1, \ 5, \ 10, \ 14, \ 20 \text{ og } 22 \]

2. Sammenlign modellen med tabellen Modellen er startverdien \( 27{,}8 \) ganget med vekstfaktoren \( 1{,}2 \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Vi regner ut \( \textcolor{blue}{K(x)} \) med kalkulator og setter den ved siden av de registrerte tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Registrert} & \textcolor{blue}{K(x)} \\ \hline 1 & 29 & \textcolor{blue}{33{,}4} \\ 5 & 93 & \textcolor{blue}{69{,}2} \\ 10 & 164 & \textcolor{blue}{172{,}1} \\ 14 & 284 & \textcolor{blue}{356{,}9} \\ 20 & 1035 & \textcolor{blue}{1065{,}8} \\ 22 & 1657 & \textcolor{blue}{1534{,}7} \end{array} \]

Modellen følger den raske veksten fra omtrent 30 til omtrent 1600 tilfeller i måneden, og de registrerte tallene ligger dels over og dels under modellen. Avvikene er små sammenlignet med veksten, så \( K \) er en god modell for perioden.

1. Lag en eksponentiell regresjon Vi lager en liste med punktene og bruker eksponentiell regresjon med RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{,} \) på samme måte som den logistiske regresjonen i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx 27{,}809 \cdot 1{,}1987^x}\text{.} \) Avrundet er det \( {27{,}8 \cdot 1{,}2^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går tett forbi punktene. \( K \) er altså en god modell.

Linjen går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(4) \) og \( K(21)\text{,} \) og finner stigningstallet mellom punktene.

1. Regn ut de to modellverdiene Vi setter inn i modellen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{K(4)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^4 \approx \textcolor{blue}{57{,}65} \\ \textcolor{red}{K(21)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{21} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{K(21)} - \textcolor{blue}{K(4)}}{21 - 4} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ a \approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{blue}{57{,}65}}{17} \approx 71{,}8 \]

3. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. \( K(x) \) er antall tilfeller som registreres i måned \( x\text{.} \) Stigningstallet forteller at dette antallet økte med i gjennomsnitt omtrent 72 tilfeller per måned fra april 2023 til september 2024.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x (K(21) - K(4))/(21 - 4)

CAS gir stigningstallet \( {\approx 71{,}84}\text{.} \) Antall registrerte tilfeller i måneden økte altså med i gjennomsnitt omtrent 72 per måned fra april 2023 til september 2024.

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022. Vi setter derfor \( {x = 29} \) inn i modellen.

1. Finn månedsnummeret for mai 2025 Desember 2024 er 24 måneder etter desember 2022, og mai 2025 kommer 5 måneder senere: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]

2. Regn ut modellverdien Modellen er startverdien ganget med vekstfaktoren én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]Ifølge modellen blir det registrert omtrent 5499 tilfeller i mai 2025.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K(29) \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x K(29)

CAS gir \( {K(29) \approx 5499{,}2}\text{,} \) altså omtrent 5499 tilfeller.

I 2010 er \( {x = 0}\text{.} \) Vi kan regne ut \( P(0)\text{,} \) eller lese startverdien av modellen og av grafen.

1. Regn ut verdien i 2010 Den første måten er å regne ut \( P(0)\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{.} \) Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ a^0 = 1 \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{0{,}85^0} + 600 \\ P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{1} + 600 = 4200 \end{aligned} \]

2. Les av startverdien Den andre måten er å lese av modellen. Den er et eksponentielt ledd \( {\textcolor{blue}{3600} \cdot 0{,}85^x} \) pluss et fast antall \( \textcolor{green}{600}\text{.} \) Det eksponentielle leddet starter på \( \textcolor{blue}{3600} \) og ganges med vekstfaktoren \( 0{,}85 \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2010 har det ikke gått noe år ennå, så antallet er: \[ \textcolor{blue}{3600} + \textcolor{green}{600} = 4200 \]

1. Regn ut og les av grafen Vi skriver inn modellen, regner ut \( P(0) \) og finner punktet der grafen skjærer \( y \)-aksen med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 s = P(0) A = Skjæring(P, yAkse)

Regningen gir \( {s = 4200}\text{,} \) og grafen skjærer \( y \)-aksen i \( {A = (0, 4200)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Stigningstallet er endringen i antallet delt på endringen i \( x\text{.} \) Det er den gjennomsnittlige vekstfarten fra 2014 til 2024.

1. Regn ut de to funksjonsverdiene Vi setter inn \( {x = 4} \) og \( {x = 14}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(4) &= 3600 \cdot 0{,}85^4 + 600 \\ P(4) &\approx \textcolor{red}{2479{,}22} \\ P(14) &= 3600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 \\ P(14) &\approx \textcolor{red}{969{,}97} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{P(14) - P(4)}}{\textcolor{blue}{14 - 4}} \\ a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{969{,}97 - 2479{,}22}}{\textcolor{blue}{10}} \approx -150{,}9 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( {x = 4} \) er 2014 og \( {x = 14} \) er 2024. Fra 2014 til 2024 gikk antallet som abonnerte på papirutgaven, ned med i gjennomsnitt omtrent 151 personer per år.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( P \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 (P(14) - P(4))/(14 - 4)

CAS gir \( {-150{,}9252}\text{.} \) Fra 2014 til 2024 gikk antallet abonnenter ned med i gjennomsnitt omtrent 151 personer per år.

Den momentane vekstfarten er den deriverte, stigningstallet til tangenten i \( {x = 10}\text{.} \) Med kalkulator finner vi den omtrent som gjennomsnittlig vekstfart over et svært lite intervall.

1. Bruk definisjonen av den deriverte Den deriverte er stigningstallet \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) når \( \Delta x \) går mot \( 0\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

Med en svært liten \( {\Delta x = \textcolor{blue}{0{,}001}} \) får vi et godt anslag, som i videoen Eksamen vår 2019 - opg 5a: \[ P'(10) \approx \dfrac{P(10 + \textcolor{blue}{0{,}001}) - P(10)}{\textcolor{blue}{0{,}001}} \]

2. Regn ut med kalkulator Vi regner med alle desimalene kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} P(10{,}001) &\approx 1308{,}6327 \\ P(10) &\approx 1308{,}7479 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} P'(10) &\approx \dfrac{1308{,}6327 - 1308{,}7479}{\textcolor{blue}{0{,}001}} \\ P'(10) &\approx -115{,}2 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med to desimaler blir telleren \( {1308{,}63 - 1308{,}75 = -0{,}12}\text{,} \) og svaret \( {-120}\text{.} \) Vi trenger fire desimaler, fordi vi deler på \( 0{,}001\text{.} \)

3. Tolk svaret \( {x = 10} \) er 2020. I 2020 gikk antallet som abonnerte på papirutgaven, ned med omtrent 115 personer per år.

1. Deriver i CAS Vi definerer \( P \) i CAS og regner ut \( P'(10) \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 P'(10)

CAS gir \( {P'(10) \approx -115{,}1849}\text{.} \) I 2020 gikk antallet abonnenter ned med omtrent 115 personer per år.

Begge modellene gir antallet abonnenter år for år. Vi lager en modell for den digitale utgaven og sammenligner de to antallene for hvert år fra 2019.

1. Modeller den digitale utgaven Antallet øker med 5,5 % hvert år, så vekstfaktoren er \( {1 + 0{,}055 = \textcolor{red}{1{,}055}}\text{.} \) Etter noen år er antallet startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i antall år: \[ \text{verdi} = \textcolor{blue}{\text{startverdi}} \cdot \textcolor{red}{V}^{\text{antall år}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Vekstfaktor.

Startverdien er \( \textcolor{blue}{1000} \) i 2019. Med \( x \) år etter 2010 er 2019 \( {x = 9}\text{,} \) og antall år etter 2019 er \( {x - 9}\text{:} \) \[ D(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{1{,}055}^{x - 9} \]

2. Sammenlign år for år Vi regner ut \( P(x) \) og \( D(x) \) for hvert år fra 2019 med kalkulatoren, med én desimal: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \text{År} & x & P(x) & D(x) \\ \hline 2019 & 9 & 1433{,}8 & 1000{,}0 \\ 2020 & 10 & 1308{,}7 & 1055{,}0 \\ 2021 & 11 & 1202{,}4 & 1113{,}0 \\ \textcolor{green}{2022} & 12 & 1112{,}1 & \textcolor{green}{1174{,}2} \end{array} \]Til og med 2021 abonnerte flest på papirutgaven. I \( \textcolor{green}{2022} \) abonnerte for første gang flere på den digitale utgaven.

1. Regn ut verdiene i CAS Vi definerer \( P \) og \( D \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut verdiene for 2021 (\( {x = 11} \)) og 2022 (\( {x = 12} \)) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 D(x) := 1000*1.055^(x - 9) P(11) D(11) P(12) D(12)

I 2021 abonnerte omtrent 1202 på papir og 1113 digitalt, og i 2022 omtrent 1112 på papir og 1174 digitalt. Papirutgaven går ned og den digitale opp hvert år, så papirutgaven hadde flest også før 2021, og 2022 er det første året med flere digitale abonnenter.

Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra med punktene fra tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Kjør potensregresjon Vi lager en liste med punktene fra tabellen, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker potensregresjon med RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, på samme måte som regresjonen i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

2. Les av modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ K(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{.} \) Grafen til \( K \) går nær alle de fem punktene.

I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet, og lufttrykket ganges med en fast vekstfaktor for hver kilometer. Vi finner vekstfaktoren til Ari fra prosenten, og den til Lisa fra halveringen.

1. Finn modellen til Ari Når lufttrykket minker med 12 % per km, er vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{v} = 1 - 0{,}12 = \textcolor{blue}{0{,}88} \]

Lufttrykket ved havet, 1000 hPa, ganges med vekstfaktoren én gang per kilometer. Med \( x \) km over havet er lufttrykket i hPa: \[ A(x) = 1000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}88}^x \]

2. Finn modellen til Lisa Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = 1000 \cdot \textcolor{red}{w}^x}\text{.} \) Etter 5,5 km er lufttrykket halvert, fra 1000 til 500 hPa: \[ 1000 \cdot \textcolor{red}{w}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler på 1000 og opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{,} \) slik at \( \textcolor{red}{w} \) står alene, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{w}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{red}{w} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{red}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ L(x) \approx 1000 \cdot \textcolor{red}{0{,}8816}^x \]Den er det samme som \( {1000 \cdot 0{,}5^{x/5{,}5}}\text{,} \) der \( \dfrac{x}{5{,}5} \) er antall halveringer.

1. Lag modellene med regresjon Modellen til Ari går gjennom \( (0, 1000) \) og \( (1, 880)\text{,} \) fordi 12 % av 1000 er 120. Modellen til Lisa går gjennom \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{.} \) Vi bruker RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x} \) gjennom punktene:

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 1000), (1, 880)} A(x) = RegEksp(l2) l3 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l3)

GeoGebra gir \( {A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x} \) og \( {L(x) \approx 1000 \cdot 0{,}8816^x}\text{.} \)

Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Egg blir hardkokte så lenge vannet koker ved minst 85 °C. Vi finner lufttrykket der kokepunktet er 85 °C med modellen \( K\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt, med modellene til Ari og Lisa.

1. Finn lufttrykket ved 85 grader I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx 7{,}562 \cdot x^{0{,}3804} \]

Vi setter \( {K(x) = 85} \) og deler på 7,562: \[ \begin{aligned} 7{,}562 \cdot x^{0{,}3804} &= 85 \\ x^{0{,}3804} &= \dfrac{85}{7{,}562} \end{aligned} \]

Vi opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{0{,}3804}\text{,} \) slik at \( x \) står alene, som i videoen Potenser og røtter: \[ x = \left(\dfrac{85}{7{,}562}\right)^{1/0{,}3804} \approx 578{,}5 \]Ved omtrent 578,5 hPa koker vannet ved 85 °C. Er lufttrykket lavere, koker vannet ved under 85 °C.

2. Finn høyden med modellene I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A(x)} &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ \textcolor{red}{L(x)} &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Vi prøver oss fram med kalkulatoren og ser når lufttrykket blir 578,5 hPa: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{A(x)} & \textcolor{red}{L(x)} \\ \hline 4{,}2 & \textcolor{blue}{584{,}6} & \textcolor{red}{589{,}0} \\ 4{,}3 & \textcolor{blue}{577{,}1} & \textcolor{red}{581{,}7} \\ 4{,}4 & \textcolor{blue}{569{,}8} & \textcolor{red}{574{,}4} \end{array} \]

Med modellen til Ari er lufttrykket 578,5 hPa mellom 4,2 og 4,3 km over havet, nærmest 4,3. Med modellen til Lisa er det mellom 4,3 og 4,4 km, nærmest 4,3. Begge modellene gir altså omtrent 4,3 km.

1. Løs likningene i CAS I a) lagret vi modellen som \( K\text{.} \) Vi skriver modellene til Ari og Lisa inn i Algebrafeltet og løser likningene med NLøs i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x L(x) = 1000*0.5^(x/5.5) NLøs(K(x) = 85, x = 500) NLøs(A(x) = 578.3375, x = 4) NLøs(L(x) = 578.3375, x = 4)

CAS gir lufttrykket 578,3375 hPa, og høyden 4,2837 km med modellen til Ari og 4,3451 km med modellen til Lisa. Begge er omtrent 4,3 km.