Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

programmering

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

8 oppgaver i 1T om programmering

Oppgavene

1T vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Kristian er kunstner. Han arbeider med et prosjekt der han skal lage en serie med figurer ved å lime kuler på pinner.
Ovenfor ser du de fire først figurene i serien. For å lage figur 4 har Kristian brukt 7 pinner og 12 kuler.
Tenk deg at Kristian skal lage de 50 første figurene i denne serien.
Lag et program som beregner og skriver ut hvor mange kuler han vil trenge, og hvor mange pinner han vil trenge.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Vi finner hvor mange pinner og kuler figur nummer \( n \) har. Så lar vi en løkke gå gjennom figur 1 til 50 og legge sammen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne antallet i figur \( n\text{,} \) som i steg 1, og på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Finn antallet i hver figur Figur \( n \) har \( n \) loddrette pinner og \( {n - 1} \) vannrette pinner: \[ \text{pinner} = n + (n - 1) = \textcolor{blue}{2n - 1} \]
Det sitter en kule der hver loddrett pinne krysser en vannrett pinne. Det er \( n \) kuler på hver av de \( {n - 1} \) vannrette pinnene: \[ \text{kuler} = \textcolor{red}{n(n - 1)} \]
Kontroll: Figur 4 gir \( {2 \cdot 4 - 1 = 7} \) pinner og \( {4 \cdot 3 = 12} \) kuler, som i oppgaven.
2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 starter med 0 kuler og 0 pinner. Løkka i linje 4 går gjennom figur 1 til 50, fordi \( \texttt{range(1, 51)} \) stopper før 51, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.
Linje 5 legger til kulene \( {\textcolor{red}{n(n - 1)}} \) i figur \( n\text{,} \) og linje 6 pinnene \( {\textcolor{blue}{2n - 1}}\text{.} \) Programmet regner altså ut: \[ \begin{aligned} \text{kuler} &= \textcolor{red}{0 + 2 + 6 + \dots + 2450} \\ \text{pinner} &= \textcolor{blue}{1 + 3 + 5 + \dots + 99} \end{aligned} \]
Linje 8 og 9 skriver ut svarene: Kristian trenger \( 41\,650 \) kuler og \( 2500 \) pinner.

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

3 poeng

Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.
Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.
Vis løsning på oppgave 6

Svar

Programmet skriver ut femkanttallene opp til 60, og hvert nytt skall har 3 kuler mer enn det forrige:
1, 5, 12, 22, 35 og 51‾‾Differansen øker med 3‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{1,\ 5,\ 12,\ 22,\ 35 \text{ og } 51}} \\ &\underline{\underline{\text{Differansen øker med } 3}} \end{aligned}
Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 08:02
Vi tenker som datamaskinen og går gjennom programmet linje for linje. Så ser vi hvordan figurene vokser, og kobler det til differansen i programmet.
1. Følg programmet linje for linje 2:09 Linje 1 og 2 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 1} \) og \( {\textcolor{red}{\texttt{differanse}} = 4}\text{.} \) Så lenge \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} \le 60}\text{,} \) skriver linje 5 ut tallet, linje 6 legger differansen til tallet, og linje 7 legger 3 til differansen.
I første runde skrives 1 ut, \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) blir \( {1 + 4 = 5}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) blir \( {4 + 3 = 7}\text{.} \) Vi fører hver runde i en tabell: \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Skrives ut} & \textcolor{blue}{\texttt{tall}} & \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \\ \hline 1 & 5 & 7 \\ 5 & 12 & 10 \\ 12 & 22 & 13 \\ 22 & 35 & 16 \\ 35 & 51 & 19 \\ 51 & 70 & 22 \end{array} \]Nå er \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 70}\text{,} \) som er større enn 60, så løkka stopper før 70 blir skrevet ut.
2. Gjør rede for sammenhengen 5:49 Figurene viser femkanttallene 1, 5, 12 og 22, de samme tallene som programmet skriver ut. Hver figur er den forrige med et nytt skall av kuler utenpå: \[ 1 \xrightarrow{+\textcolor{red}{4}} 5 \xrightarrow{+\textcolor{red}{7}} 12 \xrightarrow{+\textcolor{red}{10}} 22 \]
Hvert skall har 3 kuler mer enn det forrige: \[ \textcolor{red}{4} \xrightarrow{+3} \textcolor{red}{7} \xrightarrow{+3} \textcolor{red}{10} \]Det nye skallet dekker tre av sidene i femkanten, og hver av dem blir én kule lengre.
Det er sammenhengen Siri har oppdaget. \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) er femkanttallet, og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) er antall kuler i neste skall. Den starter på 4 og øker med 3 for hver figur, og derfor legger linje 7 til 3.

1T høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Maria tegner en likesidet trekant. Hun deler trekanten i flere og flere små likesidede trekanter og fargelegger et mønster. Figurene nedenfor viser hvordan hun arbeider.
Tenk deg at Maria fortsetter å dele opp trekanten og fargelegge etter samme mønster.

Oppgave 4a)

Sett opp en algoritme Maria kan bruke for å finne summen av arealene av de 100 første trekantene som vil bli grå.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Med A A som arealet Maria starter med: start med summen 0, og legg til A⋅14n {A \cdot \dfrac{1}{4^n}} for hver n n fra 1 til 100, så summen blir
S100=A(14+142+⋯+14100)‾‾ \underline{\underline{S_{100} = A\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \dots + \dfrac{1}{4^{100}}\right)}}
Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 04:57
Vi finner arealet av de første grå trekantene og ser hvilket mønster de følger. Så skriver vi opp summen av de 100 første.
Metode: For hånd
1. Regn ut de første grå arealene 1:18 Vi kaller arealet av trekanten Maria starter med, \( A\text{.} \) Når hun deler en trekant, får hun fire like store trekanter, så hver av dem har \( \dfrac{1}{4} \) av arealet. Den første grå trekanten er én av fire i den store trekanten: \[ T_1 = A \cdot \dfrac{1}{4} \]
Den andre grå trekanten er én av fire i den øverste trekanten, som har arealet \( {A \cdot \dfrac{1}{4}}\text{:} \) \[ T_2 = A \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = A \cdot \dfrac{1}{4^2} \]På samme måte er \( {T_3 = A \cdot \dfrac{1}{4^3}}\text{.} \)
2. Følg mønsteret 3:21 For hver ny grå trekant ganger vi med \( \dfrac{1}{4} \) én gang til. Eksponenten er nummeret til trekanten, så den grå trekanten nummer \( \textcolor{red}{n} \) har arealet: \[ T_{\textcolor{red}{n}} = A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{n}}} \]
3. Sett opp summen 3:53 Summen av de 100 første grå trekantene er: \[ \begin{aligned} S_{100} &= A \cdot \dfrac{1}{4} + A \cdot \dfrac{1}{4^2} \\ &\quad + \dots + A \cdot \dfrac{1}{4^{100}} \\ S_{100} &= \textcolor{darkorange}{A}\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \dots + \dfrac{1}{4^{100}}\right) \end{aligned} \]Vi har satt \( \textcolor{darkorange}{A} \) utenfor parentesen, fordi den står i alle leddene.
Som algoritme i steg: Start med summen 0. For hver \( \textcolor{red}{n} \) fra 1 til 100 legger vi \( {A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{n}}}} \) til summen. Til slutt er summen \( S_{100}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Ta utgangspunkt i algoritmen og lag et program som regner ut summen av arealene dersom arealet av den likesidede trekanten hun starter med er 36.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 04:59
Vi bruker algoritmen fra a): den grå trekanten nummer \( n \) har arealet \( {A \cdot \dfrac{1}{4^n}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi lar en løkke gå gjennom de 100 grå trekantene, regner ut arealet av hver og legger det til summen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne arealet av trekant nummer \( n\text{,} \) som i a), og på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje 1:21 Programmet står i svaret. Linje 1 setter startarealet \( {A = 36}\text{,} \) og linje 3 setter summen til 0 før vi har lagt til noe.
Løkka i linje 5 går gjennom \( {i = 0, 1, 2, \dots, 99}\text{,} \) altså 100 ganger. Fordi \( i \) starter på 0, er trekantens nummer \( {\textcolor{red}{i + 1}}\text{.} \) Linje 6 regner derfor ut arealet av den grå trekanten nummer \( {\textcolor{red}{i + 1}}\text{:} \) \[ \texttt{areal} = A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{i + 1}}} \]Linje 7 legger arealet til summen, og linje 9 skriver ut summen.
2. Kjør programmet 4:32 Programmet skriver ut \( 11{,}999999999999998\text{.} \) Hver ny trekant legger til mindre og mindre, så summen kommer nærmere og nærmere 12 uten å nå det. Summen av arealene er altså omtrent 12.

1T vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

2 poeng

Siri har laget programmet nedenfor.
Hva finner Siri ut når hun kjører programmet? Hvilken verdi skrives ut?
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Programmet finner den minste verdien til f(x)=x2+2x−15, {f(x) = x^2 + 2x - 15}\text{,} altså y y -verdien til bunnpunktet. Det skriver ut
−16‾‾ \underline{\underline{-16}}
Vi går gjennom programmet linje for linje, slik datamaskinen gjør, og holder styr på \( x \) og \( \texttt{verdi} \) i en tabell.
1. Les programmet Linje 1 og 2 definerer funksjonen \( {f(x) = x^2 + 2x - 15}\text{.} \) Linje 4 og 5 starter med \( {x = -5} \) og \( {\texttt{verdi} = f(-5) = 0}\text{.} \)
Løkka i linje 7 går så lenge \( {x \le 5}\text{.} \) Linje 9 og 10 bytter ut \( \texttt{verdi} \) med \( f(x) \) når \( f(x) \) er mindre, og linje 12 øker \( x \) med \( 1\text{.} \) Vi tenker som datamaskinen, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.
2. Gå gjennom løkka For hver \( x \) fra \( {-5} \) til \( 5 \) regner vi ut \( f(x) \) og ser hva \( \texttt{verdi} \) blir: \[ \begin{array}{r|r|r} x & f(x) & \texttt{verdi} \\ \hline -5 & 0 & 0 \\ -4 & -7 & -7 \\ -3 & -12 & -12 \\ -2 & -15 & -15 \\ \textcolor{red}{-1} & \textcolor{red}{-16} & \textcolor{red}{-16} \\ 0 & -15 & -16 \\ 1 & -12 & -16 \\ 2 & -7 & -16 \\ 3 & 0 & -16 \\ 4 & 9 & -16 \\ 5 & 20 & -16 \end{array} \]Når \( x \) blir \( 6\text{,} \) stopper løkka, og linje 14 skriver ut \( {\texttt{verdi} = -16}\text{.} \)
3. Tolk resultatet \( \texttt{verdi} \) er den minste verdien \( f(x) \) får for heltallene fra \( {-5} \) til \( 5\text{.} \) Grafen til \( f \) er en parabel som er symmetrisk om bunnpunktet. Tabellen viser at \( {f(-5) = f(3) = 0}\text{,} \) så bunnpunktet ligger midt mellom: \[ x = \dfrac{-5 + 3}{2} = \textcolor{red}{-1} \]Det er et av tallene programmet prøver. Den minste verdien, \( {\textcolor{red}{-16}}\text{,} \) er derfor \( y \)-verdien til bunnpunktet \( {(-1, -16)}\text{.} \)

1T vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

5 poeng

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
Du skal lage et program som beregner og skriver ut hvor mange små grønne kvadrater det vil være i hver av de 20 første figurene.

Oppgave 4a)

Sett opp en algoritme du kan bruke for å lage programmet.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
For n=1,2,…,20: {n = 1, 2, \ldots, 20}\text{:} regn ut og skriv ut antall kvadrater i figur n, n\text{,}
(n+1)2‾‾ \underline{\underline{(n + 1)^2}}
Vi finner hvor mange kvadrater figur \( n \) har. Så kan algoritmen la \( n \) gå fra 1 til 20 og regne ut antallet for hver figur.
Metode: For hånd
1. Finn antallet i hver figur Vi følger figurene og danner et mønster, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Figur \( n \) har et kvadrat med \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) ruter øverst, en trapp med \( {\textcolor{red}{n + 1}} \) ruter på skrå nedover og en søyle med \( \textcolor{green}{n} \) ruter til høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{n^2} + \textcolor{red}{(n + 1)} + \textcolor{green}{n} &= n^2 + 2n + 1 \\ &= (n + 1)^2 \end{aligned} \]Det siste er første kvadratsetning baklengs, \( {a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2} \) med \( {a = n} \) og \( {b = 1}\text{,} \) som i videoen Kvadratsetningene.
Kontroll: Figur 1, 2 og 3 gir \( {2^2 = 4}\text{,} \) \( {3^2 = 9} \) og \( {4^2 = 16} \) kvadrater, som på figurene.
2. Skriv algoritmen Trinn 1: Start med figur nummer \( {n = 1}\text{.} \) Trinn 2: Regn ut antall kvadrater i figur \( n\text{,} \) \( {(n + 1)^2}\text{.} \) Trinn 3: Skriv ut \( n \) og antallet. Trinn 4: Øk \( n \) med 1, og gå tilbake til trinn 2 så lenge \( {n \le 20}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Ta utgangspunkt i algoritmen fra oppgave a) og lag programmet.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Vi bruker algoritmen fra a): figur \( n \) har \( {(n + 1)^2} \) kvadrater.
Vi lar en for-løkke gå gjennom figur 1 til 20 og skriver ut \( {(n + 1)^2} \) for hver figur.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne antallet i figur \( n\text{,} \) som i a), og på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Løkka i linje 1 går gjennom figur 1 til 20, fordi \( \texttt{range(1, 21)} \) stopper før 21, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.
Linje 2 regner ut antall kvadrater i figur \( n\text{,} \) \( {\textcolor{red}{(n + 1)^2}}\text{,} \) og linje 3 skriver det ut. Utskriften går fra 4 kvadrater i figur 1 til 441 i figur 20.
Tenk deg at du har 1 000 000 1\,000\,000 små kvadrater. Du starter med å lage figur 1 og fortsetter så med å lage figur 2, figur 3 osv.

Oppgave 4c)

Lag et program som du kan bruke for å finne ut hvor mange figurer du kan lage, og hvor mange små kvadrater du har igjen når du har laget alle figurene.
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Vi trekker fra kvadratene til figur 1, figur 2 og så videre, så lenge det er nok kvadrater igjen til neste figur. Det gjør en while-løkke.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese en while-løkke på papir, og på å følge den noen runder for hånd.
Metode: Med Python
1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 starter med \( 1\,000\,000 \) kvadrater, og i linje 2 er \( \texttt{n} \) nummeret på figuren vi skal lage. Løkka i linje 4 går så lenge vi har minst \( {\textcolor{red}{(n + 1)^2}} \) kvadrater igjen, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.
Linje 5 trekker fra kvadratene til figur \( n\text{,} \) og linje 6 går videre til neste figur. Når løkka stopper, er \( \texttt{n} \) den første figuren vi ikke har nok kvadrater til, så vi har laget \( {n - 1} \) figurer.
2. Les av utskriften Linje 8 og 9 skriver ut at vi kan lage 142 figurer og har \( 15\,017 \) kvadrater igjen. Figur 143 trenger \( {144^2 = 20\,736} \) kvadrater, og det er flere enn vi har igjen.

1T høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

n! n! leses som «n n fakultet» og er produktet av de naturlige tallene fra og med 1 til og med n. n\text{.} Se eksemplene nedenfor.
1!=12!=1⋅23!=1⋅2⋅34!=1⋅2⋅3⋅45!=1⋅2⋅3⋅4⋅5… \begin{aligned} 1! &= 1 \\ 2! &= 1 \cdot 2 \\ 3! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \\ 4! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \\ 5! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \\ \ldots & \end{aligned}

Oppgave 4a)

Lag et program som kan regne ut n! n! for et gitt naturlig tall n. n\text{.} Bruk programmet til å regne ut 5!, 5!\text{,} 10! 10! og 15! 15!
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Vi starter med \( 1 \) og ganger med \( 1, 2, 3, \ldots, n \) etter tur i en løkke.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut små fakulteter som \( {5! = 120} \) for hånd.
Metode: Med Python
1. Gang sammen tallene i en løkke Programmet står i svaret. Linje 1 går gjennom tallene \( {n = 5}\text{,} \) \( 10 \) og \( 15\text{.} \) For hvert av dem starter linje 2 produktet på \( 1\text{,} \) og løkka i linje 3 går gjennom \( {\textcolor{blue}{i} = 1, 2, \ldots, n}\text{,} \) fordi \( {\texttt{range(1, n + 1)}} \) stopper før \( {n + 1}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.
Linje 4 ganger produktet med \( \textcolor{blue}{i}\text{,} \) én faktor om gangen. Programmet regner altså ut: \[ n! = \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \ldots \cdot \textcolor{blue}{n} \]
Linje 5 skriver ut svaret. Vil du regne ut \( n! \) for et annet tall, skriver du det inn i lista i linje 1.
Kontroll: \( {5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120}\text{,} \) som i utskriften.
100! 100! er et produkt av 100 faktorer, 1⋅2⋅3⋅4⋅…⋅99⋅100 {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100}

Oppgave 4b)

Gjør rede for hvilke faktorer som gjør at det er 24 nuller i slutten av tallet 100! 100!
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Multiplene 5,10,…,100 5, 10, \ldots, 100 gir 20 femmere og 25, 50, 75 og 100 én ekstra hver, og sammen med toere fra partallene blir de
20+4=24 faktorer 10‾‾ \underline{\underline{20 + 4 = 24 \text{ faktorer } 10}}
Hver null i slutten kommer av en faktor \( {10 = 2 \cdot 5}\text{,} \) så vi teller faktorene 2 og 5 i \( 100!\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn faktorene som gir en femmer Annethvert tall er et partall, så det er mange flere faktorer \( \textcolor{blue}{2} \) enn \( \textcolor{red}{5}\text{.} \) Antallet nuller er derfor antallet faktorer \( \textcolor{red}{5}\text{.} \)
Faktorene \( 5, 10, 15, \ldots, 100 \) er delelige med \( 5\text{.} \) Det er \[ \dfrac{100}{5} = 20 \]slike faktorer, og hver av dem gir én faktor \( \textcolor{red}{5}\text{.} \)
2. Tell de som gir to femmere \( 25\text{,} \) \( 50\text{,} \) \( 75 \) og \( 100 \) er delelige med \( {25 = \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{red}{5}}\text{,} \) så hver av dem gir én faktor \( \textcolor{red}{5} \) til. Til sammen: \[ 20 + 4 = 24 \]Hver femmer blir en tier sammen med en toer fra et partall, for eksempel \( {2 \cdot 5 = 10} \) og \( {4 \cdot 25 = 100}\text{.} \) Derfor ender \( 100! \) på 24 nuller.

1T vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

2 poeng

Ada har laget programmet nedenfor.
Hvilken verdi skrives ut når Ada kjører programmet, og hva forteller denne verdien?
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Programmet skriver ut 2.0. Det er den gjennomsnittlige vekstfarten til f f fra x=0 {x = 0} til x=5: {x = 5}\text{:}
f(5)−f(0)5−0=2‾‾ \underline{\underline{\dfrac{f(5) - f(0)}{5 - 0} = 2}}
Vi går gjennom programmet linje for linje og regner ut \( v\text{.} \) Uttrykket i linje 7 er endringen i \( f(x) \) delt på endringen i \( x\text{.} \)
1. Les programmet Linje 1 og 2 definerer funksjonen: \[ f(x) = x^2 - 3x + 7 \]Linje 4 og 5 setter \( {a = 0} \) og \( {b = 5}\text{,} \) og linje 7 regner ut: \[ v = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{f(5) - f(0)}{5 - 0} \]
2. Regn ut verdien Vi setter inn i \( f\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(\textcolor{red}{5}) &= 5^2 - 3 \cdot 5 + 7 = \textcolor{red}{17} \\ f(\textcolor{blue}{0}) &= 0^2 - 3 \cdot 0 + 7 = \textcolor{blue}{7} \end{aligned} \]
Det gir: \[ v = \dfrac{\textcolor{red}{17} - \textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{0}} = \dfrac{10}{5} = 2 \]Python skriver svaret på en deling som et desimaltall, så linje 9 skriver ut 2.0.
3. Tolk verdien Den gjennomsnittlige vekstfarten til \( f \) fra \( {x = a} \) til \( {x = b} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Det er akkurat det linje 7 regner ut. Verdien 2 er altså stigningstallet til linja gjennom \( (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{blue}{7}) \) og \( (\textcolor{red}{5}, \textcolor{red}{17})\text{:} \) fra \( {x = 0} \) til \( {x = 5} \) øker \( f(x) \) i gjennomsnitt med 2 når \( x \) øker med 1.

1T vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

I denne oppgaven skal du arbeide med summer av oddetall.
S1=1S2=1+3S3=1+3+5S4=1+3+5+7S5=1+3+5+7+9S6=1+3+5+7+9+11… \begin{aligned} S_1 &= 1 \\ S_2 &= 1 + 3 \\ S_3 &= 1 + 3 + 5 \\ S_4 &= 1 + 3 + 5 + 7 \\ S_5 &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 \\ S_6 &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 \\ \ldots & \end{aligned}

Oppgave 4a)

Lag et program som summerer og skriver ut summene S1,S2,S3…S20 S_1, S_2, S_3 \ldots S_{20}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Hver sum er den forrige summen pluss neste oddetall. Vi lar en løkke gå gjennom \( {n = 1} \) til 20, legger til oddetall nummer \( n \) og skriver ut summen hver gang.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første summene selv.
Metode: Med Python
1. Finn en formel for oddetallene Oddetallene \( 1, 3, 5, 7, \ldots \) øker med 2 hver gang, så oddetall nummer \( n \) er: \[ \textcolor{blue}{2n - 1} \]For eksempel er oddetall nummer 6 lik \( {2 \cdot 6 - 1 = 11}\text{,} \) som er det siste leddet i \( S_6\text{.} \)
2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 starter med summen 0. Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 1} \) til 20, fordi \( \texttt{range(1, 21)} \) stopper før 21, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.
Linje 4 legger oddetall nummer \( n\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{2n - 1}}\text{,} \) til \( \textcolor{red}{\texttt{summen}}\text{,} \) og linje 5 skriver ut \( \textcolor{red}{S_n}\text{.} \) Programmet regner altså ut: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{S_1} &= 0 + \textcolor{blue}{1} = 1 \\ \textcolor{red}{S_2} &= 1 + \textcolor{blue}{3} = 4 \\ \textcolor{red}{S_3} &= 4 + \textcolor{blue}{5} = 9 \end{aligned} \]og så videre til \( {S_{20} = 400}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Beskriv sammenhengen du oppdager når du ser på summene som er skrevet ut. Bruk figuren nedenfor til å argumentere for at sammenhengen må være riktig.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Summen av de n n første oddetallene er kvadrattallet n2, n^2\text{,} fordi hvert nytt oddetall er et lag som gjør kvadratet i figuren én kule større på hver side:
Sn=1+3+…+(2n−1)=n2‾‾ \underline{\underline{S_n = 1 + 3 + \ldots + (2n - 1) = n^2}}
Vi bruker summene programmet i a) skriver ut. Selv om du ikke fikk til a), kan du regne ut de første summene selv.
Summene som skrives ut, er kvadrattall. Figuren viser hvorfor: hvert nytt oddetall er en vinkel av kuler som gjør kvadratet én kule større på hver side.
Metode: For hånd
1. Beskriv sammenhengen Programmet i a) skriver ut: \[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots,\ 400 \]Det er kvadrattallene \( 1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 20^2\text{.} \) Summen av de \( n \) første oddetallene er altså \( n^2\text{:} \) \[ S_n = 1 + 3 + \ldots + (2n - 1) = n^2 \]
2. Argumenter med figuren Figuren er bygd opp av vinkler rundt kula nede til venstre. Hver figur er den forrige med et nytt lag utenpå, slik som skallene i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Lagene har 1, 3, 5, 7 og 9 kuler: \[ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2 \]
Lag nummer \( n \) legger en ny rad med \( n \) kuler oppå kvadratet med \( {n - 1} \) kuler på hver side, og en ny kolonne med \( {n - 1} \) kuler til høyre for det. Det er \[ n + (n - 1) = \textcolor{blue}{2n - 1} \]kuler, som er oddetall nummer \( n\text{.} \) Etter \( n \) lag har vi lagt sammen de \( n \) første oddetallene, og fått et kvadrat med \( {n \cdot n = n^2} \) kuler. Derfor må \( {S_n = n^2}\text{.} \)