Eksamensoppgaver etter tema

Dette er en tredjegradslikning. Vi gjetter oss fram til én løsning, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.

1. Gjett én løsning 0:17 Vi kaller venstre side \( P(x)\text{.} \) Dette er del 1, så en av løsningene er nok et lite heltall. Vi prøver \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(1) &= 1^3 - 7 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 + 16 \\ P(1) &= 1 - 7 - 10 + 16 = 0 \end{aligned} \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ P(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{P(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {P(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon 1:30 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -6x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-7x^2 + x^2 = -6x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-10x} \) og \( 16\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-6x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-6x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-6x} \\ \textcolor{magenta}{-6x} \cdot (x - 1) &= -6x^2 + 6x \\ -(-6x^2 + 6x) &= \textcolor{magenta}{6x^2 - 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 6x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x^2}} & {}- 10x & {}+ 16 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{6x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 6x} & \\ \hline & & -16x & {}+ 16 \end{array} \end{array} \]\( {-6x^2} \) strykes mot \( 6x^2\text{,} \) \( {-10x - 6x = -16x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 16\text{.} \) Linja \( {-16x + 16} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-16x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-16x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-16} \\ \textcolor{blue}{-16} \cdot (x - 1) &= -16x + 16 \\ -(-16x + 16) &= \textcolor{blue}{16x - 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 6x} \textcolor{blue}{{}- 16} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x^2}} & {}- 10x & {}+ 16 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{6x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 6x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-16x}} & {}+ 16 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{16x}} & \textcolor{blue}{{}- 16} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-16x} \) strykes mot \( 16x\text{,} \) og \( {16 - 16 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 7x^2 - 10x + 16 \\ &= (x - 1)(x^2 - 6x - 16) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen 4:10 Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 1} \) gir \( {x = 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 6x - 16 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-6}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-16}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-6}) = 6}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{6 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-6})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-16})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \dfrac{6 \pm 10}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{16}{2} = 8} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \)

Vi bruker nullpunktene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafene har ingen tall på aksene. Vi ser derfor på hvor grafen skjærer \( y \)-aksen, og på om nullpunktene er positive eller negative.

1. Finn skjæringspunktet med y-aksen 0:25 Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= 0^3 - 7 \cdot 0^2 - 10 \cdot 0 + 16 \\ f(0) &= \textcolor{blue}{16} \end{aligned} \]

Grafen skjærer altså \( y \)-aksen i et positivt tall, over \( x \)-aksen. A og B skjærer \( y \)-aksen under \( x \)-aksen, så de kan ikke være grafen til \( f\text{.} \)

2. Bruk nullpunktene fra a) 1:48 Nullpunktene til \( f \) er løsningene av \( {f(x) = 0}\text{,} \) og den likningen løste vi i a): \[ x = \textcolor{red}{-2}, \quad x = 1 \quad \text{og} \quad x = 8 \]Det er \( \textcolor{red}{\text{ett negativt}} \) og to positive nullpunkter.

C har ett nullpunkt til venstre for \( y \)-aksen og to til høyre. D har to nullpunkter til venstre for \( y \)-aksen, så D kan ikke være grafen til \( f\text{.} \) Bare C passer.