Eksamensoppgaver etter tema

Lineær nedgang betyr at bestanden går ned med like mange par hvert år. Vi finner den rette linja gjennom punktene \( (0, 9000) \) og \( (9, 2500)\text{.} \)

1. Finn stigningstallet og konstantleddet En lineær modell har stigningstallet \( \textcolor{red}{a} \) og konstantleddet \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) som er verdien når \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{9000}}\text{.} \) Stigningstallet er endringen i bestanden delt på antall år fra 2013 til 2022: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{2500 - 9000}{9 - 0} \\ \textcolor{red}{a} &= -\dfrac{6500}{9} \approx \textcolor{red}{-722{,}2} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ f(x) \approx \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} \]

2. Forklar hva modellen forteller Stigningstallet forteller at bestanden går ned med omtrent 722 par hvert år. Vi finner når den blir \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -722{,}2x + 9000 &= 0 \\ x &= \dfrac{9000}{722{,}2} \approx 12{,}5 \end{aligned} \]Ifølge modellen er vipa borte omtrent 12,5 år etter 2013, altså mellom 2025 og 2026. Etter det gir modellen negative tall, så den kan bare brukes fram til da.

1. Lag modellen med regresjon Vi lager en liste med de to punktene, bruker lineær regresjon med RegLin og finner nullpunktet med Nullpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} f(x) = RegLin(l1) N = Nullpunkt(f)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx -722{,}2222x + 9000} \) og nullpunktet \( {N \approx (12{,}4615,\ 0)}\text{.} \) Bestanden går ned med omtrent 722 par hvert år og er borte mellom 2025 og 2026.

Eksponentiell nedgang betyr at bestanden går ned med samme prosent hvert år. Modellen har formen \( {9000 \cdot v^x}\text{,} \) og vekstfaktoren \( v \) finner vi fra tallet for 2022.

1. Finn vekstfaktoren En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{v} \) én gang per år. I 2013 er bestanden \( \textcolor{blue}{9000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{v}^x \]

I 2022 er \( {x = 9} \) og bestanden 2500. Vi setter opp likningen som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{v}^9 = 2500 \]

Vi deler med 9000 og tar niende rot, som er det samme som å opphøye i \( \dfrac{1}{9}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{v}^9 &= \dfrac{2500}{9000} \\ \textcolor{red}{v} &= \sqrt[9]{\dfrac{2500}{9000}} \approx \textcolor{red}{0{,}8673} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x \]

2. Forklar hva modellen forteller Vekstfaktoren er mindre enn 1, så bestanden går ned. Nedgangen per år er 1 minus vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor: \[ 1 - 0{,}8673 = 0{,}1327 = 13{,}27\,\% \]Bestanden går ned med omtrent 13,3 % hvert år.

Hvert år forsvinner færre par, fordi 13,3 % av en mindre bestand er færre par. Bestanden blir mindre og mindre, men \( {9000 \cdot 0{,}8673^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så ifølge modellen dør vipa aldri helt ut.

1. Lag modellen med regresjon Vi lager en liste med de to punktene og bruker eksponentiell regresjon med RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} g(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {g(x) \approx 9000 \cdot 0{,}8673^x}\text{.} \) Bestanden går ned med omtrent 13,3 % hvert år og blir aldri helt borte.

Vi sammenligner punktene på grafene til \( p \) og \( q \) og ser hvor grafen til \( q \) flater ut. Så finner vi \( p \) fra de to punktene, og \( q \) fra \( p\text{.} \)

1. Gjør rede for antakelsene Hvert punkt på \( q \) ligger 2000 over punktet på \( p\text{:} \) \( {7000 + 2000 = 9000} \) og \( {500 + 2000 = 2500}\text{.} \) Derfor er \[ q(x) = \textcolor{red}{p(x)} + \textcolor{blue}{2000} \]

Egil antar for det første at bestanden stabiliserer seg på \( \textcolor{blue}{2000} \) par. Når \( \textcolor{red}{p(x)} \) går mot \( 0\text{,} \) nærmer \( q(x) \) seg den stiplede linja \( {y = 2000}\text{.} \)

For det andre antar han at det bare er parene over 2000 som blir færre, og at de blir færre med samme prosent hvert år. Det er denne delen \( \textcolor{red}{p(x)} \) beskriver.

For det tredje passer modellen med tallene: \( {q(0) = 9000} \) i 2013 og \( {q(9) = 2500} \) i 2022.

2. Bestem modellene Modellen \( p \) er eksponentiell, starter på 7000 og har en vekstfaktor \( w\text{:} \) \[ p(x) = 7000 \cdot w^x \]

Punktet \( (9, 500) \) gir: \[ 7000 \cdot w^9 = 500 \]

Vi deler med 7000 og tar niende rot, som i b): \[ \begin{aligned} w^9 &= \dfrac{500}{7000} \\ w &= \sqrt[9]{\dfrac{500}{7000}} \approx 0{,}7459 \end{aligned} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{p(x)} &\approx \textcolor{red}{7000 \cdot 0{,}7459^x} \\ q(x) &\approx \textcolor{red}{7000 \cdot 0{,}7459^x} + \textcolor{blue}{2000} \end{aligned} \]Vekstfaktoren \( 0{,}7459 \) betyr at antall par over 2000 går ned med omtrent 25,4 % hvert år, som i videoen Vekstfaktor.

1. Lag modellene med regresjon Punktene på \( q \) ligger 2000 over punktene på \( p\text{.} \) Vi finner derfor \( p \) med RegEksp gjennom de to punktene, legger til 2000 og tegner linja \( {y = 2000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 7000), (9, 500)} p(x) = RegEksp(l2) q(x) = p(x) + 2000 h: y = 2000

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x \\ q(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x + 2000 \end{aligned} \]Den grå grafen er \( p \) og den blå er \( q\text{.} \) Grafen til \( q \) nærmer seg linja \( {y = 2000}\text{,} \) og det er den stabile bestanden Egil antar.

Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b), c) og d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Lag en liste med punktene Vi skriver lengdene i kolonne A og vektene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør potensregresjon Potensregresjon finner de tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegPot(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}999583}}\text{.} \) Grafen til \( F \) går nær alle de seks punktene.

I b), c) og d) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {a \approx 0{,}01} \) og \( {b \approx 3}\text{.} \) Regner vi videre med dem, blir stigningstallet i b) omtrent 218 i stedet for 210, og vekstfarten i c) 300 i stedet for 289.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Stigningstallet til linja gjennom to punkter på grafen er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( F(75) \) og \( F(95) \) først.

1. Regn ut funksjonsverdiene I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996} \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{75}} \) og \( {x = \textcolor{red}{95}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{75}) &\approx 0{,}009657 \cdot \textcolor{blue}{75}^{2{,}9996} \\ &\approx \textcolor{blue}{4067{,}0} \\ F(\textcolor{red}{95}) &\approx 0{,}009657 \cdot \textcolor{red}{95}^{2{,}9996} \\ &\approx \textcolor{red}{8264{,}6} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8264{,}6} - \textcolor{blue}{4067{,}0}}{\textcolor{red}{95} - \textcolor{blue}{75}} \\ &\approx 209{,}9\,\text{g/cm} \end{aligned} \]

Vekten er i gram og lengden i centimeter, så stigningstallet er gram per centimeter. Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram for hver centimeter fisken blir lengre.

1. Regn ut stigningstallet I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi skriver stigningstallet inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: s = (F(95) - F(75)) / (95 - 75)

GeoGebra gir \( {s \approx 209{,}8548}\text{.} \) Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den momentane vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer modellen med potensregelen og setter inn \( {x = 100}\text{.} \)

1. Deriver modellen Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten, altså den deriverte, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

I a) fant vi \( {F(x) \approx \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}}} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Konstanten \( \textcolor{blue}{a} \) blir stående, så: \[ F'(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot x^{\textcolor{red}{b} - 1} \]

2. Sett inn lengden Vi ganger først sammen konstantene og setter så inn \( {x = 100}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} &\approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot \textcolor{red}{2{,}9996} \\ &\approx 0{,}028967 \\ F'(100) &\approx 0{,}028967 \cdot 100^{1{,}9996} \\ &\approx 289{,}1\,\text{g/cm} \end{aligned} \]

Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter den blir lengre.

1. Regn ut den deriverte I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra. Vi skriver den deriverte i \( {x = 100} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d = F'(100)

GeoGebra gir \( {F'(100) \approx 289{,}1038}\text{.} \) Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når lengden øker med 20 %, ganges den med \( 1{,}2\text{.} \) Vi ser hva det gjør med vekten i modellen.

1. Sett inn den nye lengden En økning på 20 % gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}20 = \textcolor{green}{1{,}2}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. En fisk som er \( x \) cm lang, blir altså \( \textcolor{green}{1{,}2}x \) cm lang.

I a) fant vi \( {F(x) \approx a \cdot x^b}\text{.} \) Siden \( {(\textcolor{green}{1{,}2} \cdot x)^b = \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot x^b}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{green}{1{,}2}x) &= a \cdot (\textcolor{green}{1{,}2}x)^b \\ F(\textcolor{green}{1{,}2}x) &= \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot a \cdot x^b = \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot F(x) \end{aligned} \]Vekten ganges med \( \textcolor{green}{1{,}2}^b\text{,} \) uansett hvor lang fisken er.

2. Regn ut økningen Med \( {b \approx 2{,}9996} \) fra a) er vekstfaktoren for vekten: \[ 1{,}2^{2{,}9996} \approx 1{,}7279 \]

Økningen er vekstfaktoren minus 1: \[ 1{,}7279 - 1 = 0{,}7279 = 72{,}79\,\% \]Vekten øker altså med omtrent 72,8 %.

1. Sammenlign to vekter Vi tar en fisk som er 100 cm, og en som er 20 % lengre, og deler vektene på hverandre:

Skriv inn i GeoGebra: k = F(1.2*100) / F(100)

GeoGebra gir \( {k \approx 1{,}7279}\text{,} \) så vekten øker med omtrent 72,8 %. Kalkulatorruten viser at det gjelder for alle lengder.

Vi regner ut hva modellen gir i månedene i tabellen og sammenligner med tallene som er registrert. I GeoGebra lager vi en eksponentiell regresjon av punktene og ser at den gir \( K\text{.} \)

1. Finn månedsnumrene i tabellen \( x \) er antall måneder etter desember 2022, så januar 2024 er \( {x = 13}\text{.} \) Månedene i tabellen er da: \[ x = 1, \ 5, \ 10, \ 14, \ 20 \text{ og } 22 \]

2. Sammenlign modellen med tabellen Modellen er startverdien \( 27{,}8 \) ganget med vekstfaktoren \( 1{,}2 \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Vi regner ut \( \textcolor{blue}{K(x)} \) med kalkulator og setter den ved siden av de registrerte tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Registrert} & \textcolor{blue}{K(x)} \\ \hline 1 & 29 & \textcolor{blue}{33{,}4} \\ 5 & 93 & \textcolor{blue}{69{,}2} \\ 10 & 164 & \textcolor{blue}{172{,}1} \\ 14 & 284 & \textcolor{blue}{356{,}9} \\ 20 & 1035 & \textcolor{blue}{1065{,}8} \\ 22 & 1657 & \textcolor{blue}{1534{,}7} \end{array} \]

Modellen følger den raske veksten fra omtrent 30 til omtrent 1600 tilfeller i måneden, og de registrerte tallene ligger dels over og dels under modellen. Avvikene er små sammenlignet med veksten, så \( K \) er en god modell for perioden.

1. Lag en eksponentiell regresjon Vi lager en liste med punktene og bruker eksponentiell regresjon med RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{,} \) på samme måte som den logistiske regresjonen i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx 27{,}809 \cdot 1{,}1987^x}\text{.} \) Avrundet er det \( {27{,}8 \cdot 1{,}2^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går tett forbi punktene. \( K \) er altså en god modell.

Linjen går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(4) \) og \( K(21)\text{,} \) og finner stigningstallet mellom punktene.

1. Regn ut de to modellverdiene Vi setter inn i modellen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{K(4)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^4 \approx \textcolor{blue}{57{,}65} \\ \textcolor{red}{K(21)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{21} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{K(21)} - \textcolor{blue}{K(4)}}{21 - 4} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ a \approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{blue}{57{,}65}}{17} \approx 71{,}8 \]

3. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. \( K(x) \) er antall tilfeller som registreres i måned \( x\text{.} \) Stigningstallet forteller at dette antallet økte med i gjennomsnitt omtrent 72 tilfeller per måned fra april 2023 til september 2024.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x (K(21) - K(4))/(21 - 4)

CAS gir stigningstallet \( {\approx 71{,}84}\text{.} \) Antall registrerte tilfeller i måneden økte altså med i gjennomsnitt omtrent 72 per måned fra april 2023 til september 2024.

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022. Vi setter derfor \( {x = 29} \) inn i modellen.

1. Finn månedsnummeret for mai 2025 Desember 2024 er 24 måneder etter desember 2022, og mai 2025 kommer 5 måneder senere: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]

2. Regn ut modellverdien Modellen er startverdien ganget med vekstfaktoren én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]Ifølge modellen blir det registrert omtrent 5499 tilfeller i mai 2025.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K(29) \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x K(29)

CAS gir \( {K(29) \approx 5499{,}2}\text{,} \) altså omtrent 5499 tilfeller.

I 2010 er \( {x = 0}\text{.} \) Vi kan regne ut \( P(0)\text{,} \) eller lese startverdien av modellen og av grafen.

1. Regn ut verdien i 2010 Den første måten er å regne ut \( P(0)\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{.} \) Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ a^0 = 1 \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{0{,}85^0} + 600 \\ P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{1} + 600 = 4200 \end{aligned} \]

2. Les av startverdien Den andre måten er å lese av modellen. Den er et eksponentielt ledd \( {\textcolor{blue}{3600} \cdot 0{,}85^x} \) pluss et fast antall \( \textcolor{green}{600}\text{.} \) Det eksponentielle leddet starter på \( \textcolor{blue}{3600} \) og ganges med vekstfaktoren \( 0{,}85 \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2010 har det ikke gått noe år ennå, så antallet er: \[ \textcolor{blue}{3600} + \textcolor{green}{600} = 4200 \]

1. Regn ut og les av grafen Vi skriver inn modellen, regner ut \( P(0) \) og finner punktet der grafen skjærer \( y \)-aksen med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 s = P(0) A = Skjæring(P, yAkse)

Regningen gir \( {s = 4200}\text{,} \) og grafen skjærer \( y \)-aksen i \( {A = (0, 4200)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Stigningstallet er endringen i antallet delt på endringen i \( x\text{.} \) Det er den gjennomsnittlige vekstfarten fra 2014 til 2024.

1. Regn ut de to funksjonsverdiene Vi setter inn \( {x = 4} \) og \( {x = 14}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(4) &= 3600 \cdot 0{,}85^4 + 600 \\ P(4) &\approx \textcolor{red}{2479{,}22} \\ P(14) &= 3600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 \\ P(14) &\approx \textcolor{red}{969{,}97} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{P(14) - P(4)}}{\textcolor{blue}{14 - 4}} \\ a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{969{,}97 - 2479{,}22}}{\textcolor{blue}{10}} \approx -150{,}9 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( {x = 4} \) er 2014 og \( {x = 14} \) er 2024. Fra 2014 til 2024 gikk antallet som abonnerte på papirutgaven, ned med i gjennomsnitt omtrent 151 personer per år.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( P \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 (P(14) - P(4))/(14 - 4)

CAS gir \( {-150{,}9252}\text{.} \) Fra 2014 til 2024 gikk antallet abonnenter ned med i gjennomsnitt omtrent 151 personer per år.

Den momentane vekstfarten er den deriverte, stigningstallet til tangenten i \( {x = 10}\text{.} \) Med kalkulator finner vi den omtrent som gjennomsnittlig vekstfart over et svært lite intervall.

1. Bruk definisjonen av den deriverte Den deriverte er stigningstallet \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) når \( \Delta x \) går mot \( 0\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

Med en svært liten \( {\Delta x = \textcolor{blue}{0{,}001}} \) får vi et godt anslag, som i videoen Eksamen vår 2019 - opg 5a: \[ P'(10) \approx \dfrac{P(10 + \textcolor{blue}{0{,}001}) - P(10)}{\textcolor{blue}{0{,}001}} \]

2. Regn ut med kalkulator Vi regner med alle desimalene kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} P(10{,}001) &\approx 1308{,}6327 \\ P(10) &\approx 1308{,}7479 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} P'(10) &\approx \dfrac{1308{,}6327 - 1308{,}7479}{\textcolor{blue}{0{,}001}} \\ P'(10) &\approx -115{,}2 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med to desimaler blir telleren \( {1308{,}63 - 1308{,}75 = -0{,}12}\text{,} \) og svaret \( {-120}\text{.} \) Vi trenger fire desimaler, fordi vi deler på \( 0{,}001\text{.} \)

3. Tolk svaret \( {x = 10} \) er 2020. I 2020 gikk antallet som abonnerte på papirutgaven, ned med omtrent 115 personer per år.

1. Deriver i CAS Vi definerer \( P \) i CAS og regner ut \( P'(10) \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 P'(10)

CAS gir \( {P'(10) \approx -115{,}1849}\text{.} \) I 2020 gikk antallet abonnenter ned med omtrent 115 personer per år.

Begge modellene gir antallet abonnenter år for år. Vi lager en modell for den digitale utgaven og sammenligner de to antallene for hvert år fra 2019.

1. Modeller den digitale utgaven Antallet øker med 5,5 % hvert år, så vekstfaktoren er \( {1 + 0{,}055 = \textcolor{red}{1{,}055}}\text{.} \) Etter noen år er antallet startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i antall år: \[ \text{verdi} = \textcolor{blue}{\text{startverdi}} \cdot \textcolor{red}{V}^{\text{antall år}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Vekstfaktor.

Startverdien er \( \textcolor{blue}{1000} \) i 2019. Med \( x \) år etter 2010 er 2019 \( {x = 9}\text{,} \) og antall år etter 2019 er \( {x - 9}\text{:} \) \[ D(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{1{,}055}^{x - 9} \]

2. Sammenlign år for år Vi regner ut \( P(x) \) og \( D(x) \) for hvert år fra 2019 med kalkulatoren, med én desimal: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \text{År} & x & P(x) & D(x) \\ \hline 2019 & 9 & 1433{,}8 & 1000{,}0 \\ 2020 & 10 & 1308{,}7 & 1055{,}0 \\ 2021 & 11 & 1202{,}4 & 1113{,}0 \\ \textcolor{green}{2022} & 12 & 1112{,}1 & \textcolor{green}{1174{,}2} \end{array} \]Til og med 2021 abonnerte flest på papirutgaven. I \( \textcolor{green}{2022} \) abonnerte for første gang flere på den digitale utgaven.

1. Regn ut verdiene i CAS Vi definerer \( P \) og \( D \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut verdiene for 2021 (\( {x = 11} \)) og 2022 (\( {x = 12} \)) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 D(x) := 1000*1.055^(x - 9) P(11) D(11) P(12) D(12)

I 2021 abonnerte omtrent 1202 på papir og 1113 digitalt, og i 2022 omtrent 1112 på papir og 1174 digitalt. Papirutgaven går ned og den digitale opp hvert år, så papirutgaven hadde flest også før 2021, og 2022 er det første året med flere digitale abonnenter.

Med katetene 8 m finner vi hypotenusene med Pytagoras. Da gir de 100 m gjerde lengden \( y\text{,} \) og arealet er rektangelet pluss de to trekantene.

1. Finn hypotenusen Trekantene er rettvinklede med begge katetene \( 8 \) m. Pytagoras' setning gir hypotenusen \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras): \[ \textcolor{red}{h} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} \approx \textcolor{red}{11{,}31} \]

2. Finn y fra gjerdet Gjerdet går langs grunnlinja \( {8 + y + 8}\text{,} \) toppen \( y\text{,} \) de to loddrette linjene \( {8 + 8} \) og de to hypotenusene \( 2\textcolor{red}{h}\text{,} \) til sammen 100 m: \[ \begin{aligned} 4 \cdot 8 + 2y + 2\textcolor{red}{h} &= 100 \\ 2y &= 68 - 2\textcolor{red}{h} \\ \textcolor{blue}{y} &\approx \textcolor{blue}{22{,}69} \end{aligned} \]

3. Regn ut arealet Arealet er rektangelet \( {8 \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, hver \( {\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8}\text{.} \) Lengdene er i meter, så arealet blir i kvadratmeter: \[ \begin{aligned} A &\approx 8 \cdot \textcolor{blue}{22{,}69} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \\ A &\approx 181{,}5 + 64 = 245{,}5 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi regner ut hypotenusen \( h\text{,} \) lengden \( y \) fra gjerdet og arealet i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: h := sqrt(8^2 + 8^2) y := (100 - 4*8 - 2*h)/2 8*y + 2*1/2*8^2

CAS gir \( {h = 8\sqrt{2}}\text{,} \) \( {y = 34 - 8\sqrt{2}} \) og arealet \( {\approx 245{,}4903\,\text{m}^2}\text{.} \)

Vi regner ut arealet for flere lengder \( x \) av katetene, på samme måte som i a), og ser i en tabell hvor arealet er størst.

1. Finn y og arealet Med katetene \( x \) gir Pytagoras' setning hypotenusene \( {\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}\,x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras). Gjerdet gir da \( {4x + 2y + 2\sqrt{2}\,x = 100}\text{,} \) og: \[ \textcolor{blue}{y} = \dfrac{100 - 4x - 2\sqrt{2}\,x}{2} \]

Arealet er rektangelet \( {x \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x = x^2}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{A} = x \cdot \textcolor{blue}{y} + x^2 \]

2. Lag en tabell Vi regner ut \( \textcolor{blue}{y} \) og \( \textcolor{red}{A} \) for \( {x = 2, 4, \ldots, 12}\text{:} \) \[ \begin{array}{r|rr} x & \textcolor{blue}{y} & \textcolor{red}{A} \\ \hline 2 & 43{,}17 & 90{,}3 \\ 4 & 36{,}34 & 161{,}4 \\ 6 & 29{,}51 & 213{,}1 \\ 8 & 22{,}69 & 245{,}5 \\ 10 & 15{,}86 & 258{,}6 \\ 12 & 9{,}03 & 252{,}4 \end{array} \]I tabellen øker arealet fram til \( {x = 10} \) og synker etterpå, så det er størst når katetene er omtrent 10 m.

1. Lag punktene med Følge I Algebrafeltet er \( y \) navnet på andreaksen, så vi kaller lengden \( y \) for \( y_1\text{.} \) Med Følge lager vi punktene \( (x, A) \) for \( {x = 2, 4, \ldots, 12}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: y_1(x) = (100 - 4x - 2*sqrt(2)*x)/2 l1 = Følge((k, k*y_1(k) + k^2), k, 2, 12, 2)

Punktet for \( {x = 10} \) ligger høyest, med \( {A \approx 258{,}6}\text{,} \) så arealet er størst når katetene er omtrent 10 m.

Vi uttrykker \( y \) ved \( x \) fra de 100 m gjerde, og setter det inn i arealet, som er rektangelet pluss de to trekantene.

1. Uttrykk y ved x Hypotenusene er \( {\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}\,x}\text{.} \) Gjerdet langs alle linjestykkene er 100 m: \[ \begin{aligned} 4x + 2y + 2\sqrt{2}\,x &= 100 \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x} \end{aligned} \]

2. Sett opp arealet Arealet er rektangelet \( {x \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, hver \( {\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x}\text{,} \) slik arealet settes opp som et uttrykk i \( x \) i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\left(\textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x}\right) + x^2 \\ A(x) &= 50x - 2x^2 - \sqrt{2}\,x^2 + x^2 \\ A(x) &= 50x - (1 + \sqrt{2})x^2 \end{aligned} \]Med \( {1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414} \) er \( {A(x) \approx 50x - 2{,}414x^2}\text{.} \)

Kontroll: \( {A(8) \approx 245{,}5}\text{,} \) det samme som i a).

Vi bruker modellen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er størst i toppunktet til \( A\text{,} \) der den deriverte er \( 0\text{.} \)

1. Deriver modellen I c) fant vi modellen \[ A(x) = \textcolor{red}{50x} \textcolor{blue}{{}- (1 + \sqrt{2})x^2} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Ledd for ledd blir \( \textcolor{red}{50x} \) derivert \( \textcolor{red}{50}\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{-(1 + \sqrt{2})x^2}} \) blir \( {\textcolor{blue}{-2(1 + \sqrt{2})x}}\text{:} \) \[ A'(x) = \textcolor{red}{50} \textcolor{blue}{{}- 2(1 + \sqrt{2})x} \]

2. Sett den deriverte lik null I toppunktet er \( {A'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50 - 2(1 + \sqrt{2})x &= 0 \\ x &= \dfrac{25}{1 + \sqrt{2}} \\ x &\approx 10{,}36 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) i \( A(x) \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt. Da er arealet \( {A(10{,}36) \approx 258{,}9\,\text{m}^2}\text{.} \)

1. Finn toppunktet på grafen Vi tegner modellen og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 50x - (1 + sqrt(2))x^2 T = Ekstremalpunkt(A)

Toppunktet er \( {T \approx (10{,}3553,\ 258{,}8835)}\text{.} \) Arealet er størst, omtrent \( 258{,}9\,\text{m}^2\text{,} \) når katetene er omtrent \( 10{,}36 \) m.

Vi bruker uttrykket for \( y \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gjelder for de verdiene av \( x \) der figuren finnes. Da må både katetene \( x \) og lengden \( y \) være større enn \( 0\text{.} \)

1. Krev at y er positiv I c) fant vi at gjerdet gir \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x} \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - (2 + \sqrt{2})x} \end{aligned} \]

Lengden \( \textcolor{blue}{y} \) må være større enn \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{50 - (2 + \sqrt{2})x} > 0 \]

Vi flytter leddet med \( x \) over og deler på det positive tallet \( {2 + \sqrt{2}}\text{,} \) så tegnet snus ikke, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \begin{aligned} (2 + \sqrt{2})x &< 50 \\ x &< \textcolor{red}{\dfrac{50}{2 + \sqrt{2}}} \approx \textcolor{red}{14{,}64} \end{aligned} \]

2. Krev at x er positiv Katetene må også være større enn \( 0\text{.} \) For \( {x = 0} \) er det ingen trekanter, og i den øvre grensen er \( {\textcolor{blue}{y} = 0} \) og ikke noe rektangel, så endepunktene er ikke med: \[ 0 < x < \textcolor{red}{\dfrac{50}{2 + \sqrt{2}}} \]

1. Løs ulikheten i CAS Vi løser \( {y > 0} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(50 - (2 + sqrt(2))*x > 0, x)

CAS gir \( {x < 14{,}6447}\text{.} \) Katetene må også være større enn \( 0\text{,} \) så modellen gjelder for \( {0 < x < 14{,}6}\text{.} \)

Vi regner ut hva modellen gir for antallene i tabellen, og sammenligner med overskuddet kantinen fikk. I GeoGebra lager vi en andregradsregresjon av punktene og ser at den gir \( O\text{.} \)

1. Sammenlign modellen med tabellen Vi setter antallene i tabellen inn i modellen med kalkulator. For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

Vi setter alle verdiene ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{blue}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{blue}{1427{,}02} \\ 130 & 2300 & \textcolor{blue}{2337{,}22} \\ 160 & 3050 & \textcolor{blue}{3085{,}42} \\ 175 & 3365 & \textcolor{blue}{3398{,}77} \\ 190 & 3720 & \textcolor{blue}{3671{,}62} \\ 220 & 4140 & \textcolor{blue}{4095{,}82} \\ 235 & 4175 & \textcolor{blue}{4247{,}17} \end{array} \]

Avviket er størst for 235 bagetter, \( {4247{,}17 - 4175 = 72{,}17} \) kroner, og det er under 2 % av overskuddet. Modellen følger også at overskuddet øker stadig langsommere. \( O \) er derfor en god modell.

1. Lag en andregradsregresjon Vi lager en liste med punktene, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker regresjon med et andregradspolynom, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Regresjonen finner andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx -0{,}0903x^2 + 51{,}0367x \\ &\quad - 2776{,}9766 \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler er det \( O(x)\text{,} \) og grafen går tett forbi alle punktene. \( O \) er altså en god modell.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Overskuddet er størst i toppunktet til \( O\text{,} \) der \( {O'(x) = 0}\text{.} \) Antall bagetter er et helt tall, så vi sammenligner de to hele tallene på hver side av toppunktet.

1. Deriver og sett lik null Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \( {-0{,}09x^2} \) blir \( {-0{,}18x}\text{,} \) \( 51{,}04x \) blir \( 51{,}04\text{,} \) og konstanten blir 0: \[ O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04 \]

I toppunktet er \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}18x + 51{,}04 &= 0 \\ x &= \dfrac{51{,}04}{0{,}18} \approx 283{,}56 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt.

2. Sjekk hele bagetter Kantinen kan ikke selge \( 283{,}56 \) bagetter, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{283}) &= \textcolor{blue}{4459{,}33} \\ O(\textcolor{red}{284}) &= \textcolor{red}{4459{,}34} \end{aligned} \]\( \textcolor{red}{284} \) bagetter gir størst overskudd, \( \textcolor{red}{4459{,}34} \) kroner. Forskjellen er bare 1 øre.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og regner ut \( O(283) \) og \( O(284)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Ekstremalpunkt(O) o_1 = O(283) o_2 = O(284)

Toppunktet er \( {T \approx (283{,}5556,\ 4459{,}3578)}\text{,} \) og \( {O(284) = 4459{,}34} \) er større enn \( {O(283) = 4459{,}33}\text{.} \) 284 bagetter gir størst overskudd.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Stigningstallet til linja gjennom to punkter er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200) \) først.

1. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter \( {x = \textcolor{blue}{100}} \) og \( {x = \textcolor{red}{200}} \) inn i modellen med kalkulator: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{100}) &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \\ O(\textcolor{red}{200}) &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{O(200)} - \textcolor{blue}{O(100)}}{\textcolor{red}{200} - \textcolor{blue}{100}} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{100} \\ a &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( x \) er antall bagetter og \( O(x) \) overskuddet i kroner, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( O \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 (O(200) - O(100)) / (200 - 100)

CAS gir \( 24{,}04\text{.} \) Fra 100 til 200 bagetter øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Den momentane vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer \( O \) og setter inn \( {x = 235}\text{.} \)

1. Deriver modellen Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten, altså den deriverte, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{-0{,}09x^2} + \textcolor{red}{51{,}04x} \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Vi deriverer ledd for ledd. \( {\textcolor{blue}{-0{,}09x^2}} \) derivert blir \( {-0{,}09 \cdot 2x = \textcolor{blue}{\underline{-0{,}18x}}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}04x} \) derivert blir \( \textcolor{red}{\underline{51{,}04}}\text{,} \) og konstanten blir \( \underline{0}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(x) = \textcolor{blue}{-0{,}18x} + \textcolor{red}{51{,}04} \]

2. Sett inn antallet Vi setter inn \( {x = 235}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O'(235) &= -0{,}18 \cdot 235 + 51{,}04 \\ O'(235) &= -42{,}3 + 51{,}04 = 8{,}74 \end{aligned} \]

Når kantinen selger 235 bagetter i uka, øker overskuddet med omtrent 8,74 kroner for hver ekstra bagett. Overskuddet øker fortsatt, men langsomt, fordi vi nærmer oss toppunktet.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( O \) i CAS og deriverer med \( O'(x)\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 O'(x) O'(235)

CAS gir \( {O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04} \) og \( {O'(235) = 8{,}74}\text{.} \) Ved 235 bagetter øker overskuddet med omtrent 8,74 kroner per ekstra bagett.

Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra med punktene fra tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Kjør potensregresjon Vi lager en liste med punktene fra tabellen, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker potensregresjon med RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, på samme måte som regresjonen i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

2. Les av modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ K(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{.} \) Grafen til \( K \) går nær alle de fem punktene.

I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet, og lufttrykket ganges med en fast vekstfaktor for hver kilometer. Vi finner vekstfaktoren til Ari fra prosenten, og den til Lisa fra halveringen.

1. Finn modellen til Ari Når lufttrykket minker med 12 % per km, er vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{v} = 1 - 0{,}12 = \textcolor{blue}{0{,}88} \]

Lufttrykket ved havet, 1000 hPa, ganges med vekstfaktoren én gang per kilometer. Med \( x \) km over havet er lufttrykket i hPa: \[ A(x) = 1000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}88}^x \]

2. Finn modellen til Lisa Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = 1000 \cdot \textcolor{red}{w}^x}\text{.} \) Etter 5,5 km er lufttrykket halvert, fra 1000 til 500 hPa: \[ 1000 \cdot \textcolor{red}{w}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler på 1000 og opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{,} \) slik at \( \textcolor{red}{w} \) står alene, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{w}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{red}{w} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{red}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ L(x) \approx 1000 \cdot \textcolor{red}{0{,}8816}^x \]Den er det samme som \( {1000 \cdot 0{,}5^{x/5{,}5}}\text{,} \) der \( \dfrac{x}{5{,}5} \) er antall halveringer.

1. Lag modellene med regresjon Modellen til Ari går gjennom \( (0, 1000) \) og \( (1, 880)\text{,} \) fordi 12 % av 1000 er 120. Modellen til Lisa går gjennom \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{.} \) Vi bruker RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x} \) gjennom punktene:

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 1000), (1, 880)} A(x) = RegEksp(l2) l3 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l3)

GeoGebra gir \( {A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x} \) og \( {L(x) \approx 1000 \cdot 0{,}8816^x}\text{.} \)

Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Egg blir hardkokte så lenge vannet koker ved minst 85 °C. Vi finner lufttrykket der kokepunktet er 85 °C med modellen \( K\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt, med modellene til Ari og Lisa.

1. Finn lufttrykket ved 85 grader I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx 7{,}562 \cdot x^{0{,}3804} \]

Vi setter \( {K(x) = 85} \) og deler på 7,562: \[ \begin{aligned} 7{,}562 \cdot x^{0{,}3804} &= 85 \\ x^{0{,}3804} &= \dfrac{85}{7{,}562} \end{aligned} \]

Vi opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{0{,}3804}\text{,} \) slik at \( x \) står alene, som i videoen Potenser og røtter: \[ x = \left(\dfrac{85}{7{,}562}\right)^{1/0{,}3804} \approx 578{,}5 \]Ved omtrent 578,5 hPa koker vannet ved 85 °C. Er lufttrykket lavere, koker vannet ved under 85 °C.

2. Finn høyden med modellene I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A(x)} &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ \textcolor{red}{L(x)} &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Vi prøver oss fram med kalkulatoren og ser når lufttrykket blir 578,5 hPa: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{A(x)} & \textcolor{red}{L(x)} \\ \hline 4{,}2 & \textcolor{blue}{584{,}6} & \textcolor{red}{589{,}0} \\ 4{,}3 & \textcolor{blue}{577{,}1} & \textcolor{red}{581{,}7} \\ 4{,}4 & \textcolor{blue}{569{,}8} & \textcolor{red}{574{,}4} \end{array} \]

Med modellen til Ari er lufttrykket 578,5 hPa mellom 4,2 og 4,3 km over havet, nærmest 4,3. Med modellen til Lisa er det mellom 4,3 og 4,4 km, nærmest 4,3. Begge modellene gir altså omtrent 4,3 km.

1. Løs likningene i CAS I a) lagret vi modellen som \( K\text{.} \) Vi skriver modellene til Ari og Lisa inn i Algebrafeltet og løser likningene med NLøs i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x L(x) = 1000*0.5^(x/5.5) NLøs(K(x) = 85, x = 500) NLøs(A(x) = 578.3375, x = 4) NLøs(L(x) = 578.3375, x = 4)

CAS gir lufttrykket 578,3375 hPa, og høyden 4,2837 km med modellen til Ari og 4,3451 km med modellen til Lisa. Begge er omtrent 4,3 km.