Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

likningssett

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

4 oppgaver i 1T om likningssett

Oppgavene

1T vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

4 poeng

Gitt likningssystemet
[−x2+4=yx−y=2] \left[ \begin{aligned} -x^2 + 4 &= y \\ x - y &= 2 \end{aligned} \right]

Oppgave 2a)

Løs likningssystemet ved regning.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Likningssystemet har to løsninger:
x=−3 og y=−5‾‾x=2 og y=0‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{x = -3 \text{ og } y = -5}} \\ &\underline{\underline{x = 2 \text{ og } y = 0}} \end{aligned}
Den nederste likningen gir \( y \) uttrykt ved \( x\text{.} \) Vi setter det inn i den øverste, så får vi en andregradslikning med bare \( x\text{.} \)
1. Løs den nederste likningen for y Vi flytter \( y \) og \( 2 \) over i den nederste likningen: \[ \begin{aligned} x - y &= 2 \\ y &= \textcolor{darkorange}{x - 2} \end{aligned} \]
2. Sett inn i den øverste likningen Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{x - 2}} \) inn for \( y\text{,} \) som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ -x^2 + 4 = \textcolor{darkorange}{x - 2} \]
Vi samler alt på venstre side og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -x^2 - x + 6 &= 0 \\ x^2 + x - 6 &= 0 \end{aligned} \]
3. Løs andregradslikningen Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = 2} \) eller \( {x = -3}\text{.} \)
4. Finn y-verdiene Vi setter \( x \) inn i \( {y = \textcolor{darkorange}{x - 2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= 2: & y &= 2 - 2 = 0 \\ x &= -3: & y &= -3 - 2 = -5 \end{aligned} \]
Kontroll: Begge punktene passer i den øverste likningen: \( {-2^2 + 4 = -4 + 4 = 0} \) og \( {-(-3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5}\text{.} \)

Oppgave 2b)

Løs likningssystemet grafisk.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Grafene skjærer hverandre i (−3,−5) {(-3, -5)} og (2,0): (2, 0)\text{:}
x=−3 og y=−5‾‾x=2 og y=0‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{x = -3 \text{ og } y = -5}} \\ &\underline{\underline{x = 2 \text{ og } y = 0}} \end{aligned}
Vi skriver begge likningene på formen \( {y = \ldots}\text{,} \) tegner grafene i samme koordinatsystem og leser av skjæringspunktene.
1. Skriv likningene som funksjoner Den øverste likningen er en parabel. Den nederste skriver vi om til en rett linje ved å flytte \( y \) og \( 2 \) over: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-x^2 + 4} \\ y &= \textcolor{blue}{x - 2} \end{aligned} \]
2. Lag en verditabell Vi regner ut \( y \) for noen verdier av \( x\text{:} \) \[ \begin{array}{r|rr} x & \textcolor{red}{-x^2 + 4} & \textcolor{blue}{x - 2} \\ \hline -3 & -5 & -5 \\ -2 & 0 & -4 \\ -1 & 3 & -3 \\ 0 & 4 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -5 & 1 \end{array} \]
3. Tegn grafene og les av Vi tegner punktene og trekker grafene gjennom dem. Parabelen har toppunktet \( (0, 4)\text{,} \) og linja har stigningstall \( 1\text{:} \)
Grafene skjærer hverandre i to punkter. Der har begge likningene samme \( x \) og \( y\text{,} \) så skjæringspunktene er løsningene: \[ (-3, -5) \quad \text{og} \quad (2, 0) \]Det ser vi i verditabellen også: for \( {x = -3} \) og \( {x = 2} \) gir de to uttrykkene samme verdi.

1T høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

I dag er Abid, Therese og Harald til sammen 68 år. Therese er 17 år eldre enn Abid.
Om tre år vil Abid være dobbelt så gammel som Harald.
Hvor gamle er Abid, Therese og Harald i dag?
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Abid er 21 a˚r‾‾Therese er 38 a˚r‾‾Harald er 9 a˚r‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Abid er 21 år}}} \\ &\underline{\underline{\text{Therese er 38 år}}} \\ &\underline{\underline{\text{Harald er 9 år}}} \end{aligned}
Oppgave 2 - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 06:29
Vi har tre ukjente, så vi setter opp tre likninger. Så skriver vi alle tre aldrene med Abids alder og løser.
Metode: For hånd
1. Sett opp tre likninger 0:12 Vi kaller alderen til Abid \( \textcolor{blue}{A}\text{,} \) til Therese \( \textcolor{red}{T} \) og til Harald \( \textcolor{green}{H}\text{.} \) Opplysningene gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{T} + \textcolor{green}{H} &= 68 \\ \textcolor{red}{T} &= \textcolor{blue}{A} + 17 \\ \textcolor{blue}{A} + 3 &= 2(\textcolor{green}{H} + 3) \end{aligned} \]Om tre år er både Abid og Harald tre år eldre, derfor står \( {+3} \) på begge sider i den siste likningen.
2. Skriv H med A 1:44 Vi ganger ut parentesen i den siste likningen og løser for \( \textcolor{green}{H}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + 3 &= 2\textcolor{green}{H} + 6 \\ \textcolor{blue}{A} - 3 &= 2\textcolor{green}{H} \\ \textcolor{green}{H} &= \dfrac{\textcolor{blue}{A} - 3}{2} \end{aligned} \]
3. Sett inn i den første likningen 2:56 Vi setter \( {\textcolor{red}{T} = \textcolor{red}{A + 17}} \) og \( {\textcolor{green}{H} = \textcolor{green}{\dfrac{A - 3}{2}}} \) inn i den første likningen, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden. Da står bare \( A \) igjen: \[ \textcolor{blue}{A} + (\textcolor{red}{A + 17}) + \textcolor{green}{\dfrac{A - 3}{2}} = 68 \]
Vi slår sammen \( {A + A = 2A}\text{,} \) trekker fra 17 på begge sider og ganger så alle ledd med 2: \[ \begin{aligned} 2A + \dfrac{A - 3}{2} &= 51 \\ 4A + A - 3 &= 102 \\ 5A &= 105 \\ A &= 21 \end{aligned} \]
4. Finn alderen til Therese og Harald 5:45 Vi setter \( {A = 21} \) inn i uttrykkene for \( \textcolor{red}{T} \) og \( \textcolor{green}{H}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= 21 + 17 = 38 \\ \textcolor{green}{H} &= \dfrac{21 - 3}{2} = 9 \end{aligned} \]
Kontroll: \( {21 + 38 + 9 = 68}\text{,} \) og om tre år er Abid 24 og Harald 12, så Abid er dobbelt så gammel.

1T vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

En butikk selger små og store sekker med hundemat. De små sekkene veier 4,5 kg, og de store veier 12 kg.
En dag solgte butikken 80 sekker. Sekkene veide til sammen 720 kg.
Hvor mange små og hvor mange store sekker solgte butikken denne dagen?
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Butikken solgte
32 sma˚ og 48 store sekker‾‾ \underline{\underline{32 \text{ små og } 48 \text{ store sekker}}}
Vi har to ukjente, antall små og antall store sekker. Opplysningene om antallet og vekten gir to likninger, som vi løser med innsetting.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningssettet La \( \textcolor{blue}{x} \) være antall små sekker og \( \textcolor{red}{y} \) antall store sekker. Antall sekker og vekten gir to likninger, som i videoen Oppgave 1 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{y} &= 80 \\ 4{,}5\textcolor{blue}{x} + 12\textcolor{red}{y} &= 720 \end{aligned} \]
2. Løs med innsetting Den øverste likningen gir \( {\textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{80 - y}}\text{.} \) Vi setter det inn i den nederste, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ 4{,}5(\textcolor{blue}{80 - y}) + 12\textcolor{red}{y} = 720 \]
Vi ganger ut parentesen og samler leddene med \( y\text{:} \) \[ \begin{aligned} 360 - 4{,}5y + 12y &= 720 \\ 7{,}5y &= 360 \\ y &= 48 \end{aligned} \]Da er \( {x = 80 - 48 = 32}\text{.} \)
Kontroll: \( {32 + 48 = 80} \) sekker. \( {4{,}5 \cdot 32 = 144} \) og \( {12 \cdot 48 = 576}\text{,} \) til sammen \( 720 \) kg.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningssettet i CAS Vi skriver begge likningene inn i Løs, som i videoen Oppgave 1 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: Løs({x + y = 80, 4.5x + 12y = 720}, {x, y})
CAS gir \( {x = 32} \) og \( {y = 48}\text{.} \) Butikken solgte 32 små og 48 store sekker.

1T høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

3 poeng

Du får vite følgende om en tredjegradsfunksjon f f gitt ved
f(x)=a⋅x3+b⋅x2+c⋅x+d f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d
• Grafen til f f går gjennom punktet (2,6). (2, 6)\text{.} • Punktet (−2,8) {(-2, 8)} er et toppunkt på grafen til f. f\text{.} • Tangenten til grafen til f f i punktet (3,f(3)) (3, f(3)) har stigningstall 4.
Bruk opplysningene ovenfor til å bestemme a, a\text{,} b, b\text{,} c c og d. d\text{.}
Vis løsning på oppgave 5

Svar

a=0,15,b=0,175‾‾c=−1,1,d=6,3‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{a = 0{,}15, \quad b = 0{,}175}} \\ &\underline{\underline{c = -1{,}1, \quad d = 6{,}3}} \end{aligned}
Opplysningene gir fire likninger: to for punktene på grafen og to for den deriverte, som er \( 0 \) i toppunktet og \( 4 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Vi løser likningssettet.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp fire likninger Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd, og konstanten \( d \) blir \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]
Grafen går gjennom \( (2, 6) \) og toppunktet \( {(-2, 8)}\text{,} \) der den deriverte er \( 0\text{.} \) Stigningstallet til tangenten i \( {x = 3} \) er \( f'(3)\text{,} \) som i videoen Tangentlinje. Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(2)} &= \textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{f(-2)} &= \textcolor{red}{8} \\ \textcolor{red}{f'(-2)} &= \textcolor{red}{0} & \textcolor{green}{f'(3)} &= \textcolor{green}{4} \end{aligned} \]
Plugger vi inn i \( f(x) \) og \( f'(x)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{8a + 4b + 2c + d} &= \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{-8a + 4b - 2c + d} &= \textcolor{red}{8} \\ \textcolor{red}{12a - 4b + c} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{green}{27a + 6b + c} &= \textcolor{green}{4} \end{aligned} \]
2. Fjern d og c Vi trekker den andre likningen fra den første, så \( d \) forsvinner, og den tredje fra den fjerde, så \( c \) forsvinner: \[ \begin{aligned} 16a + 4c &= -2 \\ 15a + 10b &= 4 \end{aligned} \]
Den tredje likningen gir \( {c = 4b - 12a}\text{.} \) Setter vi det inn i \( {16a + 4c = -2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 16a + 4(4b - 12a) &= -2 \\ -32a + 16b &= -2 \\ b &= 2a - \dfrac{1}{8} \end{aligned} \]
3. Løs for a og b Vi setter \( {b = 2a - \dfrac{1}{8}} \) inn i \( {15a + 10b = 4}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 15a + 10\left(2a - \dfrac{1}{8}\right) &= 4 \\ 35a &= 5{,}25 \\ a &= 0{,}15 \end{aligned} \]Det gir \( {b = 2 \cdot 0{,}15 - 0{,}125 = 0{,}175}\text{.} \)
4. Finn c og d Vi setter \( a \) og \( b \) inn i \( {c = 4b - 12a} \) og i den første likningen: \[ \begin{aligned} c &= 4 \cdot 0{,}175 - 12 \cdot 0{,}15 = -1{,}1 \\ d &= 6 - 8a - 4b - 2c \\ d &= 6 - 1{,}2 - 0{,}7 + 2{,}2 = 6{,}3 \end{aligned} \]
Kontroll: \( {f'(x) = 0{,}45x^2 + 0{,}35x - 1{,}1} \) gir \( {f'(-3) = 1{,}9 > 0} \) og \( {f'(0) = -1{,}1 < 0}\text{,} \) så grafen går fra å stige til å synke i \( {x = -2}\text{:} \) et toppunkt.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningssettet i CAS Vi definerer \( f \) i CAS og løser de fire likningene for \( a\text{,} \) \( b\text{,} \) \( c \) og \( d \) med Løs:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d Løs({f(2) = 6, f(-2) = 8, f'(-2) = 0, f'(3) = 4}, {a, b, c, d})
CAS gir \( {a = \dfrac{3}{20} = 0{,}15}\text{,} \) \( {b = \dfrac{7}{40} = 0{,}175}\text{,} \) \( {c = -\dfrac{11}{10} = -1{,}1} \) og \( {d = \dfrac{63}{10} = 6{,}3}\text{.} \)