Eksamensoppgaver etter tema

En identitet stemmer for alle \( x\text{.} \) Vi ganger ut venstre side og krever at tallene foran \( x^2\text{,} \) foran \( x \) og konstantleddene er like på begge sider.

1. Gang ut venstre side Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Ganger vi med \( a\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} a(x + b)^2 &= a(x^2 + 2bx + b^2) \\ a(x + b)^2 &= \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{2ab}x + \textcolor{green}{ab^2} \end{aligned} \]

2. Sammenlign leddene Skal likningen stemme for alle \( x\text{,} \) må leddene med \( x^2\text{,} \) leddene med \( x \) og konstantleddene være like på hver side, som når vi faktoriserer baklengs i videoen Kvadratsetningene: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{2ab}x + \textcolor{green}{ab^2} = \textcolor{blue}{1}x^2 + \textcolor{red}{8}x + \textcolor{green}{c} \]

Det gir tre likninger, som vi løser ovenfra og ned: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{2 \cdot 1 \cdot b} &= \textcolor{red}{8}, \quad \text{så } b = 4 \\ \textcolor{green}{c} &= \textcolor{green}{1 \cdot 4^2} = 16 \end{aligned} \]

Kontroll: Første kvadratsetning gir \( {(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16}\text{.} \)

Vi ganger ut høyre side og ser at den blir lik venstre side. Da er likningen sann for alle \( x\text{,} \) og det er det \( {x = x} \) betyr.

1. Gang ut høyre side Tredje kvadratsetning, konjugatsetningen, forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Med \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}} \) får vi: \[ (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{2})(\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{2}) = \textcolor{blue}{x}^2 - \textcolor{red}{2}^2 = x^2 - 4 \]Høyre side er altså det samme uttrykket som venstre side.

2. Forklar hva CAS-svaret betyr Likningen sier altså bare at \( {x^2 - 4 = x^2 - 4}\text{,} \) og det stemmer uansett hvilket tall vi setter inn for \( x\text{.} \) Setter vi inn for eksempel \( {x = 3}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3^2 - 4 &= 5 \\ (3 + 2)(3 - 2) &= 5 \end{aligned} \]

Når CAS svarer \( {x = x}\text{,} \) betyr det at alle \( x \) er løsninger. En likning som er sann for alle verdier av variabelen, kalles en identitet.

Vi skriver arealet av det store kvadratet på to måter: som side ganger side, og som summen av de tre delene. De to uttrykkene er like for alle \( s \) og \( t\text{.} \)

1. Skriv arealet på to måter Det store kvadratet har siden \( {s + t}\text{,} \) så arealet er: \[ (s + t)^2 \]

Delene er det lille kvadratet \( {\textcolor{red}{s \cdot s}}\text{,} \) det blå rektangelet \( {\textcolor{blue}{s \cdot t}} \) og det grønne rektangelet \( {\textcolor{green}{t \cdot (s + t)}}\text{.} \) Til sammen er arealet: \[ \textcolor{red}{s^2} + \textcolor{blue}{st} + \textcolor{green}{t(s + t)} \]

2. Sett uttrykkene lik hverandre Begge uttrykkene er arealet av det samme kvadratet, så de er like for alle \( s \) og \( t\text{:} \) \[ (s + t)^2 = \textcolor{red}{s^2} + \textcolor{blue}{st} + \textcolor{green}{t(s + t)} \]

Ganger vi ut parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} (s + t)^2 &= \textcolor{red}{s^2} + \textcolor{blue}{st} + \textcolor{green}{st + t^2} \\ (s + t)^2 &= s^2 + 2st + t^2 \end{aligned} \]Dette er første kvadratsetning, som i videoen Kvadratsetningene.

Andre svar er også riktige, for eksempel identiteten før parentesen er ganget ut.

Vi regner ut arealet av det grønne området på to måter: som hele kvadratet minus det hvite kvadratet, og som summen av de to grønne rektanglene. De to uttrykkene er like.

1. Trekk det hvite fra hele kvadratet Hele kvadratet har siden \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) og det hvite kvadratet har siden \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Det grønne arealet er da: \[ A = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]

2. Legg sammen de grønne rektanglene Det venstre rektangelet er \( {\textcolor{darkorange}{a - b}} \) bredt og \( \textcolor{blue}{a} \) høyt, og det øverst til høyre er \( \textcolor{red}{b} \) bredt og \( {\textcolor{darkorange}{a - b}} \) høyt: \[ A = \textcolor{darkorange}{(a - b)} \cdot \textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{darkorange}{(a - b)} \]

Begge leddene har faktoren \( {\textcolor{darkorange}{a - b}}\text{,} \) så vi setter den utenfor parentesen: \[ A = \textcolor{darkorange}{(a - b)}(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \]

3. Sett uttrykkene lik hverandre Begge uttrykkene er det samme grønne arealet. Det gir identiteten: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \]Det er tredje kvadratsetning, konjugatsetningen, som i videoen Kvadratsetningene.