Eksamensoppgaver etter tema

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet. Vi ser derfor på tangenten der \( {x = 4}\text{.} \)

1. Les av tangenten Den rette linjen tangerer grafen i punktet \( (4, 0)\text{,} \) så \( f'(4) \) er stigningstallet til linjen, som i videoen Tangentlinje. Stigningstrekanten viser at linjen går \( \textcolor{blue}{1} \) bortover og \( \textcolor{red}{5} \) oppover: \[ f'(4) = \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{1}} = 5 \]

At \( {f'(4) = 5}\text{,} \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Når \( f \) er en andregradsfunksjon, er grafen til \( f' \) en rett linje. Vi finner den fra to punkter: i bunnpunktet er \( f' \) lik \( 0\text{,} \) og i \( {x = 4} \) er den \( 5\text{.} \)

1. Skriv opp den deriverte Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

En andregradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^2 + bx + c}\text{.} \) Med potensregelen blir \( {(ax^2)' = 2ax} \) og \( {(bx)' = b}\text{,} \) og konstanten \( c \) har derivert \( 0\text{.} \) Den deriverte er derfor en rett linje: \[ f'(x) = 2ax + b \]

2. Finn linja gjennom to punkter I bunnpunktet er tangenten vannrett, og fra a) vet vi at \( {f'(4) = 5}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(\textcolor{blue}{-1}) = \textcolor{blue}{0} \quad \text{og} \quad f'(\textcolor{red}{4}) = \textcolor{red}{5} \]Grafen til \( f' \) går derfor gjennom \( {(\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{blue}{0})} \) og \( (\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{5})\text{.} \)

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{0}}{\textcolor{red}{4} - (\textcolor{blue}{-1})} = \dfrac{5}{5} = 1 \]

Da er \( {2a = 1}\text{,} \) så \( {f'(x) = x + b}\text{.} \) Setter vi inn \( {f'(-1) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 + b &= 0 \\ b &= 1 \end{aligned} \]

Kontroll: \( {f'(4) = 4 + 1 = 5}\text{,} \) som i a).

Farten er \( x\text{,} \) så vi setter \( {x = 50} \) inn i \( U(x)\text{.} \)

1. Sett inn farten Med \( {x = \textcolor{blue}{50}} \) regner vi ut leddene hver for seg: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{50}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{50}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{50}^2 + 50 \\ U(50) &= 108 + 18{,}5 + 50 = 176{,}5 \end{aligned} \]Bilen slipper ut \( 176{,}5 \) gram CO₂ per kilometer.

1. Regn ut i CAS Vi skriver funksjonen inn i CAS med \( {:=} \) og regner ut \( U(50) \) med knappen ≈, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) := 5400/x + 0.0074x^2 + 50 U(50)

CAS gir \( {U(50) = 176{,}5}\text{.} \) Bilen slipper ut \( 176{,}5 \) gram CO₂ per kilometer.

Minst utslipp er bunnpunktet til \( U\text{.} \) Med kalkulator finner vi det der den deriverte er \( 0\text{,} \) og i GeoGebra med Min.

1. Deriver funksjonen Vi skriver \( {\dfrac{5400}{x} = 5400 \cdot x^{-1}}\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{,} \) også \( {n = -1}\text{.} \) Hvis du er usikker på potensregelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd. \( {\textcolor{blue}{5400x^{-1}}} \) derivert blir: \[ 5400 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \textcolor{blue}{\underline{-\dfrac{5400}{x^2}}} \]

\( \textcolor{red}{0{,}0074x^2} \) derivert blir \( {0{,}0074 \cdot 2x = \textcolor{red}{\underline{0{,}0148x}}}\text{,} \) og konstanten \( 50 \) blir \( \underline{0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ U'(x) = \textcolor{blue}{-\dfrac{5400}{x^2}} + \textcolor{red}{0{,}0148x} \]Du kan også derivere brøken med kvotientregelen, som i videoen Tangentlinje.

2. Sett den deriverte lik null I bunnpunktet er \( {U'(x) = 0}\text{:} \) \[ -\dfrac{5400}{x^2} + 0{,}0148x = 0 \]

Vi flytter brøken over og ganger begge sider med \( x^2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}0148x^3 &= 5400 \\ x^3 &= \dfrac{5400}{0{,}0148} \\ x &= \sqrt[3]{\dfrac{5400}{0{,}0148}} \approx 71{,}46 \end{aligned} \]

3. Vis at det er et bunnpunkt Vi sjekker fortegnet til \( U'(x) \) på hver side: \[ \begin{aligned} U'(60) &= -1{,}5 + 0{,}888 \approx -0{,}61 \\ U'(80) &\approx -0{,}844 + 1{,}184 \approx 0{,}34 \end{aligned} \]Utslippet synker før \( {x \approx 71{,}46} \) og stiger etter, så det er minst der.

4. Regn ut utslippet Vi setter \( x \) inn i \( U(x) \) med alle desimalene fra kalkulatoren, ledd for ledd: \[ \begin{aligned} \dfrac{5400}{71{,}4569} &\approx 75{,}57 \\ 0{,}0074 \cdot 71{,}4569^2 &\approx 37{,}79 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} U(71{,}4569) &\approx 75{,}57 + 37{,}79 + 50 \\ U(71{,}4569) &\approx 163{,}36 \end{aligned} \]Minst utslipp får bilen ved omtrent \( 71{,}5 \) km/h, og da er utslippet omtrent \( 163{,}4 \) gram CO₂ per kilometer.

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi tegner grafen til \( U \) for \( {30 < x < 110} \) og finner bunnpunktet med Min, slik du finner et toppunkt med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5400/x + 0.0074x^2 + 50, 30 < x < 110 Min(U, 30, 110)

Bunnpunktet er \( {A \approx (71{,}4569,\ 163{,}3551)}\text{.} \) Minst utslipp får bilen ved omtrent \( 71{,}5 \) km/h, og da er utslippet omtrent \( 163{,}4 \) gram CO₂ per kilometer.

Vi finner hvor mange kilometer bilen kjører, og ganger med utslippet per kilometer ved 90 km/h.

1. Finn strekningen 20 minutter er \( {\dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}} \) time. Strekningen er fart ganger tid, \( {s = v \cdot t}\text{:} \) \[ s = 90\,\text{km/h} \cdot \dfrac{1}{3}\,\text{h} = \textcolor{blue}{30\,\text{km}} \]

2. Regn ut utslippet Ved \( 90 \) km/h er utslippet per kilometer: \[ \begin{aligned} U(90) &= \dfrac{5400}{90} + 0{,}0074 \cdot 90^2 + 50 \\ U(90) &= 60 + 59{,}94 + 50 = \textcolor{red}{169{,}94} \end{aligned} \]

Gram per kilometer ganger kilometer gir gram: \[ \textcolor{red}{169{,}94\,\text{g/km}} \cdot \textcolor{blue}{30\,\text{km}} = 5098{,}2\,\text{g} \]Det er omtrent \( 5{,}1 \) kg CO₂.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( U \) og strekningen \( s \) i CAS, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og ganger:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) := 5400/x + 0.0074x^2 + 50 s := 90*20/60 U(90)*s

CAS gir \( {s = 30} \) og \( {U(90) \cdot s = 5098{,}2}\text{.} \) Bilen slipper ut \( 5098{,}2 \) gram CO₂.

Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b), c) og d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Lag en liste med punktene Vi skriver lengdene i kolonne A og vektene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør potensregresjon Potensregresjon finner de tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegPot(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}999583}}\text{.} \) Grafen til \( F \) går nær alle de seks punktene.

I b), c) og d) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {a \approx 0{,}01} \) og \( {b \approx 3}\text{.} \) Regner vi videre med dem, blir stigningstallet i b) omtrent 218 i stedet for 210, og vekstfarten i c) 300 i stedet for 289.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Stigningstallet til linja gjennom to punkter på grafen er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( F(75) \) og \( F(95) \) først.

1. Regn ut funksjonsverdiene I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996} \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{75}} \) og \( {x = \textcolor{red}{95}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{75}) &\approx 0{,}009657 \cdot \textcolor{blue}{75}^{2{,}9996} \\ &\approx \textcolor{blue}{4067{,}0} \\ F(\textcolor{red}{95}) &\approx 0{,}009657 \cdot \textcolor{red}{95}^{2{,}9996} \\ &\approx \textcolor{red}{8264{,}6} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8264{,}6} - \textcolor{blue}{4067{,}0}}{\textcolor{red}{95} - \textcolor{blue}{75}} \\ &\approx 209{,}9\,\text{g/cm} \end{aligned} \]

Vekten er i gram og lengden i centimeter, så stigningstallet er gram per centimeter. Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram for hver centimeter fisken blir lengre.

1. Regn ut stigningstallet I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi skriver stigningstallet inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: s = (F(95) - F(75)) / (95 - 75)

GeoGebra gir \( {s \approx 209{,}8548}\text{.} \) Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den momentane vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer modellen med potensregelen og setter inn \( {x = 100}\text{.} \)

1. Deriver modellen Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten, altså den deriverte, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

I a) fant vi \( {F(x) \approx \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}}} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Konstanten \( \textcolor{blue}{a} \) blir stående, så: \[ F'(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot x^{\textcolor{red}{b} - 1} \]

2. Sett inn lengden Vi ganger først sammen konstantene og setter så inn \( {x = 100}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} &\approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot \textcolor{red}{2{,}9996} \\ &\approx 0{,}028967 \\ F'(100) &\approx 0{,}028967 \cdot 100^{1{,}9996} \\ &\approx 289{,}1\,\text{g/cm} \end{aligned} \]

Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter den blir lengre.

1. Regn ut den deriverte I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra. Vi skriver den deriverte i \( {x = 100} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d = F'(100)

GeoGebra gir \( {F'(100) \approx 289{,}1038}\text{.} \) Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når lengden øker med 20 %, ganges den med \( 1{,}2\text{.} \) Vi ser hva det gjør med vekten i modellen.

1. Sett inn den nye lengden En økning på 20 % gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}20 = \textcolor{green}{1{,}2}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. En fisk som er \( x \) cm lang, blir altså \( \textcolor{green}{1{,}2}x \) cm lang.

I a) fant vi \( {F(x) \approx a \cdot x^b}\text{.} \) Siden \( {(\textcolor{green}{1{,}2} \cdot x)^b = \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot x^b}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{green}{1{,}2}x) &= a \cdot (\textcolor{green}{1{,}2}x)^b \\ F(\textcolor{green}{1{,}2}x) &= \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot a \cdot x^b = \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot F(x) \end{aligned} \]Vekten ganges med \( \textcolor{green}{1{,}2}^b\text{,} \) uansett hvor lang fisken er.

2. Regn ut økningen Med \( {b \approx 2{,}9996} \) fra a) er vekstfaktoren for vekten: \[ 1{,}2^{2{,}9996} \approx 1{,}7279 \]

Økningen er vekstfaktoren minus 1: \[ 1{,}7279 - 1 = 0{,}7279 = 72{,}79\,\% \]Vekten øker altså med omtrent 72,8 %.

1. Sammenlign to vekter Vi tar en fisk som er 100 cm, og en som er 20 % lengre, og deler vektene på hverandre:

Skriv inn i GeoGebra: k = F(1.2*100) / F(100)

GeoGebra gir \( {k \approx 1{,}7279}\text{,} \) så vekten øker med omtrent 72,8 %. Kalkulatorruten viser at det gjelder for alle lengder.

\( ABCD \) er et rektangel, så \( C \) ligger rett over \( B\text{.} \) Bredden er derfor \( 3\text{,} \) og høyden er \( f(3)\text{.} \)

1. Finn bredden og høyden 0:25 \( A \) ligger i origo og \( B \) i \( (3, 0)\text{,} \) så bredden er \( \textcolor{blue}{3}\text{.} \) Alle vinklene i et rektangel er \( 90^\circ\text{,} \) så \( C \) ligger rett over \( B\text{,} \) på grafen til \( f\text{.} \) Høyden er derfor: \[ \textcolor{red}{f(3)} = \dfrac{10}{3^2 + 3} = \dfrac{10}{12} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} \]

2. Regn ut arealet 1:12 Arealet av et rektangel er bredde ganger høyde: \[ T = \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2} \]

1. Regn ut i CAS 0:55 Vi definerer \( f \) i CAS med \( {:=} \) og regner ut bredden \( b\text{,} \) høyden \( h \) og arealet \( {b \cdot h}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 10/(x^2+3), x>0 b := 3 h := f(3) A := b*h

CAS gir høyden \( {h = \dfrac{5}{6}} \) og arealet \( \dfrac{5}{2}\text{.} \)

Når \( B \) ligger i \( (x, 0)\text{,} \) er bredden \( x \) og høyden \( f(x)\text{.} \) Vi lager en funksjon for arealet og finner toppunktet.

1. Sett opp arealfunksjonen 0:22 Arealet er bredde ganger høyde, så: \[ \begin{aligned} A(x) &= x \cdot f(x) \\ A(x) &= x \cdot \dfrac{10}{x^2 + 3} = \dfrac{10x}{x^2 + 3} \end{aligned} \]Her er \( A(x) \) arealet, og \( {x > 0}\text{.} \)

2. Deriver med kvotientregelen Arealet er størst der \( {A'(x) = 0}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{10x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{10} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 3}) - \textcolor{red}{10x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 3})^2} \\ A'(x) &= \dfrac{30 - 10x^2}{(x^2 + 3)^2} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Nevneren er alltid positiv, så \( {A'(x) = 0} \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 30 - 10x^2 &= 0 \\ x^2 &= 3 \\ x &= \sqrt{3} \end{aligned} \]Vi tar bare den positive løsningen, fordi \( {x > 0}\text{.} \)

For \( {x < \sqrt{3}} \) er telleren positiv, og for \( {x > \sqrt{3}} \) er den negativ. Arealet vokser altså fram til \( {x = \sqrt{3}} \) og avtar etterpå, så det er størst der, og \( B \) må ligge i \( (\sqrt{3}, 0)\text{.} \)

1. Finn toppunktet til arealet 1:17 Vi skriver inn \( f\text{,} \) arealet \( {A(x) = x \cdot f(x)} \) og finner toppunktet med Maks. Siden \( {x > 0}\text{,} \) starter vi like over 0 og slutter på et stort tall:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = 10/(x^2+3), x>0 A(x) = x*f(x) T = Maks(A, 0.01, 10000)

Toppunktet er \( {T \approx (1{,}7321,\ 2{,}8868)}\text{,} \) så arealet er størst når \( {x \approx 1{,}73}\text{.} \) \( B \) ligger på \( x \)-aksen, så \( {B \approx (1{,}73,\ 0)}\text{.} \)

Tangenten er en rett linje gjennom \( (0, 23)\text{.} \) Stigningstallet er den deriverte i punktet der linja rører parabelen, så vi finner det punktet først.

1. Skriv opp formen til tangenten 1:03 En rett linje har stigningstallet \( \textcolor{red}{a} \) og skjærer \( y \)-aksen i \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) som i videoen Tangentlinje: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Tangenten går gjennom \( (0, 23)\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{23}}\text{.} \)

2. Finn stigningstallet med den deriverte 1:27 Vi kaller \( x \)-verdien der tangenten rører parabelen, for \( \textcolor{green}{t}\text{.} \) Der er stigningstallet lik den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Konstanten 20 har derivert 0, så: \[ p'(x) = -\dfrac{2}{12}x = -\dfrac{1}{6}x \]Stigningstallet er altså \( {\textcolor{red}{a} = -\dfrac{1}{6}\textcolor{green}{t}}\text{.} \)

3. Finn punktet der tangenten rører parabelen 4:34 I \( {x = \textcolor{green}{t}} \) har parabelen og tangenten samme \( y \)-verdi: \[ -\dfrac{1}{12}\textcolor{green}{t}^2 + 20 = -\dfrac{1}{6}\textcolor{green}{t} \cdot \textcolor{green}{t} + \textcolor{blue}{23} \]

Vi samler leddene med \( t^2 \) på venstre side og tallene på høyre side: \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{12}t^2 + \dfrac{1}{6}t^2 &= 23 - 20 \\ \dfrac{1}{12}t^2 &= 3 \\ t^2 &= 36 \end{aligned} \]Det gir \( {t = 6} \) eller \( {t = -6}\text{.} \) Tangenten på figuren rører parabelen til høyre for \( y \)-aksen, så \( {\textcolor{green}{t} = \textcolor{green}{6}}\text{.} \)

4. Sett sammen tangenten 7:43 Stigningstallet er: \[ \textcolor{red}{a} = -\dfrac{1}{6} \cdot \textcolor{green}{6} = -1 \]Med \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{23}} \) blir tangenten \( {y = -x + 23}\text{.} \)

Vanlig feil: ✗ \( {a = 6}\text{,} \) fordi tangenten rører i \( {x = 6}\text{.} \) ✓ \( {a = -\dfrac{1}{6} \cdot 6 = -1}\text{.} \)

Vi bruker tangenten \( {y = -x + 23} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Kameraet ser ikke det som ligger under tangenten, fordi taket er i veien. Tyven er skjult mellom veggen og punktet der tangenten treffer bakken.

1. Se hva kameraet ser 1:23 Lys går i rette linjer. Kameraet står i \( (0, 23)\text{,} \) og tangenten er linja som så vidt går klar av taket. Til høyre for veggen ser kameraet bare det som ligger over tangenten, så en tyv på bakken er skjult fram til tangenten treffer bakken.

2. Finn der tangenten treffer bakken 3:00 Bakken er \( x \)-aksen, så vi setter \( {y = 0} \) i tangenten: \[ \begin{aligned} 0 &= -x + 23 \\ x &= \textcolor{red}{23} \end{aligned} \]

3. Finn veggen 3:30 Veggen står der parabelen treffer bakken, altså der \( {p(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{12}x^2 + 20 &= 0 \\ \dfrac{1}{12}x^2 &= 20 \\ x^2 &= 240 \\ x &= \sqrt{240} \approx \textcolor{blue}{15{,}49} \end{aligned} \]Vi ser på veggen til høyre, så \( x \) er positiv.

4. Regn ut avstanden 4:47 Tyven er skjult fra veggen og ut til der tangenten treffer bakken: \[ \textcolor{red}{23} - \textcolor{blue}{15{,}49} \approx 7{,}5 \]

Merk – Tyvens høyde: Står tyven oppreist, blir han sett før. Tangenten synker 1 meter for hver meter bortover, så en tyv som er \( h \) meter høy, kan bevege seg omtrent \( {7{,}5 - h} \) meter fra veggen.

Vi løser volumformelen for \( h \) og finner høyden for hver radius. Så setter vi \( r \) og \( h \) inn i formelen for overflaten.

Merk – Boksen har ikke lokk: Tegningen ser ut som en lukket sylinder, men formelen for overflaten har bare én \( \pi r^2\text{,} \) altså bare bunnen. En lukket sylinder har \( {2\pi r^2 + 2\pi r h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Her er det formelen i oppgaven som gjelder.

1. Finn høyden Vi deler begge sider av volumformelen på \( \pi r^2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi r^2 h &= 450 \\ h &= \dfrac{450}{\pi r^2} \end{aligned} \]

Vi setter inn radiusene med kalkulator: \[ \begin{aligned} r = \textcolor{blue}{4}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2} \approx \textcolor{red}{8{,}952} \\ r = \textcolor{blue}{6}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{6}^2} \approx \textcolor{red}{3{,}979} \\ r = \textcolor{blue}{8}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{8}^2} \approx \textcolor{red}{2{,}238} \end{aligned} \]

2. Finn overflaten Vi setter \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{red}{h} \) inn i \( {O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{8{,}952} \approx 275{,}3 \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{6}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{3{,}979} \approx 263{,}1 \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{8}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{2{,}238} \approx 313{,}6 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Bruk alle desimalene til \( h \) fra kalkulatoren. Med \( {h = 9{,}0} \) blir overflaten for \( {r = 4} \) omtrent \( 276{,}5\text{,} \) ikke \( 275{,}3\text{.} \) Tallet \( 462{,}6 \) i oppgaven er også regnet med alle desimalene.

1. Regn ut i CAS Vi definerer høyden og overflaten som funksjoner av \( r \) og setter inn alle radiusene på en gang med en liste:

Skriv inn i GeoGebra: h(r) := 450/(pi*r^2) O(r) := pi*r^2 + 2*pi*r*h(r) h({2, 4, 6, 8}) O({2, 4, 6, 8})

CAS gir de samme høydene og overflatene som med kalkulator, og også de to tallene i oppgaven for \( {r = 2}\text{.} \)

Vi setter uttrykket for \( h \) fra volumformelen inn i formelen for overflaten. Da får vi \( O \) som en funksjon av \( r \) alene.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Fra volumformelen er \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{450}{\pi r^2}}}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen for overflaten, slik arealet settes opp som en funksjon i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} O(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{red}{\dfrac{450}{\pi r^2}} \\ O(r) &= \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \end{aligned} \]Vi forkorter \( \pi \) og én \( r\text{,} \) og \( {2 \cdot 450 = 900}\text{.} \) Radien må være positiv, så \( {r > 0}\text{.} \)

2. Lag en verditabell og tegn grafen Vi regner ut \( O(r) \) for noen verdier av \( r\text{,} \) avrundet til hele tall: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 1 & 903 \\ 2 & 463 \\ 3 & 328 \\ 4 & 275 \\ 5 & 259 \\ 6 & 263 \\ 8 & 314 \\ 10 & 404 \end{array} \]

Vi tegner punktene og trekker en glatt kurve gjennom dem:

Overflaten er stor for små \( r\text{,} \) blir minst rundt \( {r = 5} \) og vokser igjen for store \( r\text{.} \)

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen med \( x \) for radien og en definisjonsmengde:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = pi*x^2 + 900/x, 0 < x < 12

Grafen viser at overflaten er minst når radien er litt over 5 cm.

Vi bruker funksjonen fra b), \( {O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Minst overflate er bunnpunktet til \( O\text{.} \) Med kalkulator finner vi det der den deriverte er \( 0\text{,} \) og i GeoGebra med Min.

1. Deriver funksjonen Vi skriver \( {\dfrac{900}{r} = 900 \cdot r^{-1}}\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser. Potensregelen forteller oss at: \[ (r^n)' = n \cdot r^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{,} \) også \( {n = -1}\text{.} \) Hvis du er usikker på potensregelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd. \( \textcolor{blue}{\pi r^2} \) derivert blir \( \textcolor{blue}{\underline{2\pi r}}\text{,} \) og \( {\textcolor{red}{900r^{-1}}} \) derivert blir: \[ 900 \cdot (-1) \cdot r^{-2} = \textcolor{red}{\underline{-\dfrac{900}{r^2}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(r) = \textcolor{blue}{2\pi r} - \textcolor{red}{\dfrac{900}{r^2}} \]Du kan også derivere brøken med kvotientregelen, som i videoen Tangentlinje.

2. Sett den deriverte lik null I bunnpunktet er \( {O'(r) = 0}\text{:} \) \[ 2\pi r - \dfrac{900}{r^2} = 0 \]

Vi flytter brøken over, ganger begge sider med \( r^2 \) og deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi r^3 &= 900 \\ r^3 &= \dfrac{450}{\pi} \\ r &= \sqrt[3]{\dfrac{450}{\pi}} \approx 5{,}2322 \end{aligned} \]

3. Vis at det er et bunnpunkt Vi sjekker fortegnet til \( O'(r) \) på hver side: \[ \begin{aligned} O'(5) &= 10\pi - 36 \approx -4{,}6 \\ O'(6) &= 12\pi - 25 \approx 12{,}7 \end{aligned} \]Overflaten minker før \( {r \approx 5{,}2322} \) og øker etter, så den er minst der.

4. Regn ut overflaten Vi setter \( r \) inn i \( O(r) \) med alle desimalene fra kalkulatoren, ledd for ledd: \[ \begin{aligned} \pi \cdot 5{,}2322^2 &\approx 86{,}00 \\ \dfrac{900}{5{,}2322} &\approx 172{,}01 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O \approx 86{,}00 + 172{,}01 \approx 258{,}0 \]Minst overflate får boksen med radius omtrent \( 5{,}2 \) cm, og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi tegner grafen fra b) og finner bunnpunktet med Min, slik du finner et toppunkt med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = pi*x^2 + 900/x, 0 < x < 12 A = Min(O, 1, 12)

Bunnpunktet er \( {A \approx (5{,}2322,\ 258{,}0158)}\text{.} \) Minst overflate får boksen med radius omtrent \( 5{,}2 \) cm, og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

I 2010 er \( {x = 0}\text{.} \) Vi kan regne ut \( P(0)\text{,} \) eller lese startverdien av modellen og av grafen.

1. Regn ut verdien i 2010 Den første måten er å regne ut \( P(0)\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{.} \) Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ a^0 = 1 \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{0{,}85^0} + 600 \\ P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{1} + 600 = 4200 \end{aligned} \]

2. Les av startverdien Den andre måten er å lese av modellen. Den er et eksponentielt ledd \( {\textcolor{blue}{3600} \cdot 0{,}85^x} \) pluss et fast antall \( \textcolor{green}{600}\text{.} \) Det eksponentielle leddet starter på \( \textcolor{blue}{3600} \) og ganges med vekstfaktoren \( 0{,}85 \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2010 har det ikke gått noe år ennå, så antallet er: \[ \textcolor{blue}{3600} + \textcolor{green}{600} = 4200 \]

1. Regn ut og les av grafen Vi skriver inn modellen, regner ut \( P(0) \) og finner punktet der grafen skjærer \( y \)-aksen med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 s = P(0) A = Skjæring(P, yAkse)

Regningen gir \( {s = 4200}\text{,} \) og grafen skjærer \( y \)-aksen i \( {A = (0, 4200)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Stigningstallet er endringen i antallet delt på endringen i \( x\text{.} \) Det er den gjennomsnittlige vekstfarten fra 2014 til 2024.

1. Regn ut de to funksjonsverdiene Vi setter inn \( {x = 4} \) og \( {x = 14}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(4) &= 3600 \cdot 0{,}85^4 + 600 \\ P(4) &\approx \textcolor{red}{2479{,}22} \\ P(14) &= 3600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 \\ P(14) &\approx \textcolor{red}{969{,}97} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{P(14) - P(4)}}{\textcolor{blue}{14 - 4}} \\ a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{969{,}97 - 2479{,}22}}{\textcolor{blue}{10}} \approx -150{,}9 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( {x = 4} \) er 2014 og \( {x = 14} \) er 2024. Fra 2014 til 2024 gikk antallet som abonnerte på papirutgaven, ned med i gjennomsnitt omtrent 151 personer per år.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( P \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 (P(14) - P(4))/(14 - 4)

CAS gir \( {-150{,}9252}\text{.} \) Fra 2014 til 2024 gikk antallet abonnenter ned med i gjennomsnitt omtrent 151 personer per år.

Den momentane vekstfarten er den deriverte, stigningstallet til tangenten i \( {x = 10}\text{.} \) Med kalkulator finner vi den omtrent som gjennomsnittlig vekstfart over et svært lite intervall.

1. Bruk definisjonen av den deriverte Den deriverte er stigningstallet \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) når \( \Delta x \) går mot \( 0\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

Med en svært liten \( {\Delta x = \textcolor{blue}{0{,}001}} \) får vi et godt anslag, som i videoen Eksamen vår 2019 - opg 5a: \[ P'(10) \approx \dfrac{P(10 + \textcolor{blue}{0{,}001}) - P(10)}{\textcolor{blue}{0{,}001}} \]

2. Regn ut med kalkulator Vi regner med alle desimalene kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} P(10{,}001) &\approx 1308{,}6327 \\ P(10) &\approx 1308{,}7479 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} P'(10) &\approx \dfrac{1308{,}6327 - 1308{,}7479}{\textcolor{blue}{0{,}001}} \\ P'(10) &\approx -115{,}2 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med to desimaler blir telleren \( {1308{,}63 - 1308{,}75 = -0{,}12}\text{,} \) og svaret \( {-120}\text{.} \) Vi trenger fire desimaler, fordi vi deler på \( 0{,}001\text{.} \)

3. Tolk svaret \( {x = 10} \) er 2020. I 2020 gikk antallet som abonnerte på papirutgaven, ned med omtrent 115 personer per år.

1. Deriver i CAS Vi definerer \( P \) i CAS og regner ut \( P'(10) \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 P'(10)

CAS gir \( {P'(10) \approx -115{,}1849}\text{.} \) I 2020 gikk antallet abonnenter ned med omtrent 115 personer per år.

Begge modellene gir antallet abonnenter år for år. Vi lager en modell for den digitale utgaven og sammenligner de to antallene for hvert år fra 2019.

1. Modeller den digitale utgaven Antallet øker med 5,5 % hvert år, så vekstfaktoren er \( {1 + 0{,}055 = \textcolor{red}{1{,}055}}\text{.} \) Etter noen år er antallet startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i antall år: \[ \text{verdi} = \textcolor{blue}{\text{startverdi}} \cdot \textcolor{red}{V}^{\text{antall år}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Vekstfaktor.

Startverdien er \( \textcolor{blue}{1000} \) i 2019. Med \( x \) år etter 2010 er 2019 \( {x = 9}\text{,} \) og antall år etter 2019 er \( {x - 9}\text{:} \) \[ D(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{1{,}055}^{x - 9} \]

2. Sammenlign år for år Vi regner ut \( P(x) \) og \( D(x) \) for hvert år fra 2019 med kalkulatoren, med én desimal: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \text{År} & x & P(x) & D(x) \\ \hline 2019 & 9 & 1433{,}8 & 1000{,}0 \\ 2020 & 10 & 1308{,}7 & 1055{,}0 \\ 2021 & 11 & 1202{,}4 & 1113{,}0 \\ \textcolor{green}{2022} & 12 & 1112{,}1 & \textcolor{green}{1174{,}2} \end{array} \]Til og med 2021 abonnerte flest på papirutgaven. I \( \textcolor{green}{2022} \) abonnerte for første gang flere på den digitale utgaven.

1. Regn ut verdiene i CAS Vi definerer \( P \) og \( D \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut verdiene for 2021 (\( {x = 11} \)) og 2022 (\( {x = 12} \)) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 D(x) := 1000*1.055^(x - 9) P(11) D(11) P(12) D(12)

I 2021 abonnerte omtrent 1202 på papir og 1113 digitalt, og i 2022 omtrent 1112 på papir og 1174 digitalt. Papirutgaven går ned og den digitale opp hvert år, så papirutgaven hadde flest også før 2021, og 2022 er det første året med flere digitale abonnenter.

Med katetene 8 m finner vi hypotenusene med Pytagoras. Da gir de 100 m gjerde lengden \( y\text{,} \) og arealet er rektangelet pluss de to trekantene.

1. Finn hypotenusen Trekantene er rettvinklede med begge katetene \( 8 \) m. Pytagoras' setning gir hypotenusen \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras): \[ \textcolor{red}{h} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} \approx \textcolor{red}{11{,}31} \]

2. Finn y fra gjerdet Gjerdet går langs grunnlinja \( {8 + y + 8}\text{,} \) toppen \( y\text{,} \) de to loddrette linjene \( {8 + 8} \) og de to hypotenusene \( 2\textcolor{red}{h}\text{,} \) til sammen 100 m: \[ \begin{aligned} 4 \cdot 8 + 2y + 2\textcolor{red}{h} &= 100 \\ 2y &= 68 - 2\textcolor{red}{h} \\ \textcolor{blue}{y} &\approx \textcolor{blue}{22{,}69} \end{aligned} \]

3. Regn ut arealet Arealet er rektangelet \( {8 \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, hver \( {\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8}\text{.} \) Lengdene er i meter, så arealet blir i kvadratmeter: \[ \begin{aligned} A &\approx 8 \cdot \textcolor{blue}{22{,}69} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \\ A &\approx 181{,}5 + 64 = 245{,}5 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi regner ut hypotenusen \( h\text{,} \) lengden \( y \) fra gjerdet og arealet i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: h := sqrt(8^2 + 8^2) y := (100 - 4*8 - 2*h)/2 8*y + 2*1/2*8^2

CAS gir \( {h = 8\sqrt{2}}\text{,} \) \( {y = 34 - 8\sqrt{2}} \) og arealet \( {\approx 245{,}4903\,\text{m}^2}\text{.} \)

Vi regner ut arealet for flere lengder \( x \) av katetene, på samme måte som i a), og ser i en tabell hvor arealet er størst.

1. Finn y og arealet Med katetene \( x \) gir Pytagoras' setning hypotenusene \( {\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}\,x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras). Gjerdet gir da \( {4x + 2y + 2\sqrt{2}\,x = 100}\text{,} \) og: \[ \textcolor{blue}{y} = \dfrac{100 - 4x - 2\sqrt{2}\,x}{2} \]

Arealet er rektangelet \( {x \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x = x^2}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{A} = x \cdot \textcolor{blue}{y} + x^2 \]

2. Lag en tabell Vi regner ut \( \textcolor{blue}{y} \) og \( \textcolor{red}{A} \) for \( {x = 2, 4, \ldots, 12}\text{:} \) \[ \begin{array}{r|rr} x & \textcolor{blue}{y} & \textcolor{red}{A} \\ \hline 2 & 43{,}17 & 90{,}3 \\ 4 & 36{,}34 & 161{,}4 \\ 6 & 29{,}51 & 213{,}1 \\ 8 & 22{,}69 & 245{,}5 \\ 10 & 15{,}86 & 258{,}6 \\ 12 & 9{,}03 & 252{,}4 \end{array} \]I tabellen øker arealet fram til \( {x = 10} \) og synker etterpå, så det er størst når katetene er omtrent 10 m.

1. Lag punktene med Følge I Algebrafeltet er \( y \) navnet på andreaksen, så vi kaller lengden \( y \) for \( y_1\text{.} \) Med Følge lager vi punktene \( (x, A) \) for \( {x = 2, 4, \ldots, 12}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: y_1(x) = (100 - 4x - 2*sqrt(2)*x)/2 l1 = Følge((k, k*y_1(k) + k^2), k, 2, 12, 2)

Punktet for \( {x = 10} \) ligger høyest, med \( {A \approx 258{,}6}\text{,} \) så arealet er størst når katetene er omtrent 10 m.

Vi uttrykker \( y \) ved \( x \) fra de 100 m gjerde, og setter det inn i arealet, som er rektangelet pluss de to trekantene.

1. Uttrykk y ved x Hypotenusene er \( {\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}\,x}\text{.} \) Gjerdet langs alle linjestykkene er 100 m: \[ \begin{aligned} 4x + 2y + 2\sqrt{2}\,x &= 100 \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x} \end{aligned} \]

2. Sett opp arealet Arealet er rektangelet \( {x \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, hver \( {\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x}\text{,} \) slik arealet settes opp som et uttrykk i \( x \) i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\left(\textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x}\right) + x^2 \\ A(x) &= 50x - 2x^2 - \sqrt{2}\,x^2 + x^2 \\ A(x) &= 50x - (1 + \sqrt{2})x^2 \end{aligned} \]Med \( {1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414} \) er \( {A(x) \approx 50x - 2{,}414x^2}\text{.} \)

Kontroll: \( {A(8) \approx 245{,}5}\text{,} \) det samme som i a).

Vi bruker modellen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er størst i toppunktet til \( A\text{,} \) der den deriverte er \( 0\text{.} \)

1. Deriver modellen I c) fant vi modellen \[ A(x) = \textcolor{red}{50x} \textcolor{blue}{{}- (1 + \sqrt{2})x^2} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Ledd for ledd blir \( \textcolor{red}{50x} \) derivert \( \textcolor{red}{50}\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{-(1 + \sqrt{2})x^2}} \) blir \( {\textcolor{blue}{-2(1 + \sqrt{2})x}}\text{:} \) \[ A'(x) = \textcolor{red}{50} \textcolor{blue}{{}- 2(1 + \sqrt{2})x} \]

2. Sett den deriverte lik null I toppunktet er \( {A'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50 - 2(1 + \sqrt{2})x &= 0 \\ x &= \dfrac{25}{1 + \sqrt{2}} \\ x &\approx 10{,}36 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) i \( A(x) \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt. Da er arealet \( {A(10{,}36) \approx 258{,}9\,\text{m}^2}\text{.} \)

1. Finn toppunktet på grafen Vi tegner modellen og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 50x - (1 + sqrt(2))x^2 T = Ekstremalpunkt(A)

Toppunktet er \( {T \approx (10{,}3553,\ 258{,}8835)}\text{.} \) Arealet er størst, omtrent \( 258{,}9\,\text{m}^2\text{,} \) når katetene er omtrent \( 10{,}36 \) m.

Vi bruker uttrykket for \( y \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gjelder for de verdiene av \( x \) der figuren finnes. Da må både katetene \( x \) og lengden \( y \) være større enn \( 0\text{.} \)

1. Krev at y er positiv I c) fant vi at gjerdet gir \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x} \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - (2 + \sqrt{2})x} \end{aligned} \]

Lengden \( \textcolor{blue}{y} \) må være større enn \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{50 - (2 + \sqrt{2})x} > 0 \]

Vi flytter leddet med \( x \) over og deler på det positive tallet \( {2 + \sqrt{2}}\text{,} \) så tegnet snus ikke, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \begin{aligned} (2 + \sqrt{2})x &< 50 \\ x &< \textcolor{red}{\dfrac{50}{2 + \sqrt{2}}} \approx \textcolor{red}{14{,}64} \end{aligned} \]

2. Krev at x er positiv Katetene må også være større enn \( 0\text{.} \) For \( {x = 0} \) er det ingen trekanter, og i den øvre grensen er \( {\textcolor{blue}{y} = 0} \) og ikke noe rektangel, så endepunktene er ikke med: \[ 0 < x < \textcolor{red}{\dfrac{50}{2 + \sqrt{2}}} \]

1. Løs ulikheten i CAS Vi løser \( {y > 0} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(50 - (2 + sqrt(2))*x > 0, x)

CAS gir \( {x < 14{,}6447}\text{.} \) Katetene må også være større enn \( 0\text{,} \) så modellen gjelder for \( {0 < x < 14{,}6}\text{.} \)

Vi regner ut hva modellen gir for antallene i tabellen, og sammenligner med overskuddet kantinen fikk. I GeoGebra lager vi en andregradsregresjon av punktene og ser at den gir \( O\text{.} \)

1. Sammenlign modellen med tabellen Vi setter antallene i tabellen inn i modellen med kalkulator. For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

Vi setter alle verdiene ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{blue}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{blue}{1427{,}02} \\ 130 & 2300 & \textcolor{blue}{2337{,}22} \\ 160 & 3050 & \textcolor{blue}{3085{,}42} \\ 175 & 3365 & \textcolor{blue}{3398{,}77} \\ 190 & 3720 & \textcolor{blue}{3671{,}62} \\ 220 & 4140 & \textcolor{blue}{4095{,}82} \\ 235 & 4175 & \textcolor{blue}{4247{,}17} \end{array} \]

Avviket er størst for 235 bagetter, \( {4247{,}17 - 4175 = 72{,}17} \) kroner, og det er under 2 % av overskuddet. Modellen følger også at overskuddet øker stadig langsommere. \( O \) er derfor en god modell.

1. Lag en andregradsregresjon Vi lager en liste med punktene, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker regresjon med et andregradspolynom, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Regresjonen finner andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx -0{,}0903x^2 + 51{,}0367x \\ &\quad - 2776{,}9766 \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler er det \( O(x)\text{,} \) og grafen går tett forbi alle punktene. \( O \) er altså en god modell.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Overskuddet er størst i toppunktet til \( O\text{,} \) der \( {O'(x) = 0}\text{.} \) Antall bagetter er et helt tall, så vi sammenligner de to hele tallene på hver side av toppunktet.

1. Deriver og sett lik null Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \( {-0{,}09x^2} \) blir \( {-0{,}18x}\text{,} \) \( 51{,}04x \) blir \( 51{,}04\text{,} \) og konstanten blir 0: \[ O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04 \]

I toppunktet er \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}18x + 51{,}04 &= 0 \\ x &= \dfrac{51{,}04}{0{,}18} \approx 283{,}56 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt.

2. Sjekk hele bagetter Kantinen kan ikke selge \( 283{,}56 \) bagetter, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{283}) &= \textcolor{blue}{4459{,}33} \\ O(\textcolor{red}{284}) &= \textcolor{red}{4459{,}34} \end{aligned} \]\( \textcolor{red}{284} \) bagetter gir størst overskudd, \( \textcolor{red}{4459{,}34} \) kroner. Forskjellen er bare 1 øre.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og regner ut \( O(283) \) og \( O(284)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Ekstremalpunkt(O) o_1 = O(283) o_2 = O(284)

Toppunktet er \( {T \approx (283{,}5556,\ 4459{,}3578)}\text{,} \) og \( {O(284) = 4459{,}34} \) er større enn \( {O(283) = 4459{,}33}\text{.} \) 284 bagetter gir størst overskudd.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Stigningstallet til linja gjennom to punkter er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200) \) først.

1. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter \( {x = \textcolor{blue}{100}} \) og \( {x = \textcolor{red}{200}} \) inn i modellen med kalkulator: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{100}) &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \\ O(\textcolor{red}{200}) &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{O(200)} - \textcolor{blue}{O(100)}}{\textcolor{red}{200} - \textcolor{blue}{100}} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{100} \\ a &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( x \) er antall bagetter og \( O(x) \) overskuddet i kroner, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( O \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 (O(200) - O(100)) / (200 - 100)

CAS gir \( 24{,}04\text{.} \) Fra 100 til 200 bagetter øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Den momentane vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer \( O \) og setter inn \( {x = 235}\text{.} \)

1. Deriver modellen Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten, altså den deriverte, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{-0{,}09x^2} + \textcolor{red}{51{,}04x} \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Vi deriverer ledd for ledd. \( {\textcolor{blue}{-0{,}09x^2}} \) derivert blir \( {-0{,}09 \cdot 2x = \textcolor{blue}{\underline{-0{,}18x}}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}04x} \) derivert blir \( \textcolor{red}{\underline{51{,}04}}\text{,} \) og konstanten blir \( \underline{0}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(x) = \textcolor{blue}{-0{,}18x} + \textcolor{red}{51{,}04} \]

2. Sett inn antallet Vi setter inn \( {x = 235}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O'(235) &= -0{,}18 \cdot 235 + 51{,}04 \\ O'(235) &= -42{,}3 + 51{,}04 = 8{,}74 \end{aligned} \]

Når kantinen selger 235 bagetter i uka, øker overskuddet med omtrent 8,74 kroner for hver ekstra bagett. Overskuddet øker fortsatt, men langsomt, fordi vi nærmer oss toppunktet.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( O \) i CAS og deriverer med \( O'(x)\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 O'(x) O'(235)

CAS gir \( {O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04} \) og \( {O'(235) = 8{,}74}\text{.} \) Ved 235 bagetter øker overskuddet med omtrent 8,74 kroner per ekstra bagett.