Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

cosinussetningen

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

6 oppgaver i 1T om cosinussetningen

Oppgavene

1T vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

5 poeng

Oppgave 7a)

Bruk trekanten ovenfor til å vise at sin⁡30∘=12 {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} og at cos⁡30∘=32 {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
Høyden deler trekanten i to trekanter med sidene 2, 23 2\sqrt{3} og 4, så
sin⁡30∘=12ogcos⁡30∘=32‾‾ \underline{\underline{\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \quad \text{og} \quad \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}}
Høyden deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi viser at trekanten er likesidet, så vi kjenner alle sidene i den høyre halvdelen, og bruker definisjonene av sinus og cosinus.
1. Vis at trekanten er likesidet Trekanten har to sider som er 4, så den er symmetrisk om høyden. Vinkelen på venstre side av høyden er derfor også \( 30^\circ\text{,} \) og toppvinkelen er: \[ 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \]
Vinklene ved grunnlinja er like store: \[ \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \]Alle vinklene er \( 60^\circ\text{,} \) så trekanten er likesidet, og grunnlinja er også 4.
2. Finn sidene i den halve trekanten Høyden deler grunnlinja på midten, så den korte kateten i den høyre halvdelen er \( \textcolor{red}{2}\text{.} \) Hypotenusen er \( \textcolor{blue}{4}\text{,} \) og høyden \( h \) finner vi med Pytagoras' setning: \[ \begin{aligned} h^2 + \textcolor{red}{2}^2 &= \textcolor{blue}{4}^2 \\ h^2 &= 16 - 4 = 12 \\ h &= \sqrt{12} = \textcolor{green}{2\sqrt{3}} \end{aligned} \]
3. Bruk definisjonene av sinus og cosinus Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( \theta \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \sin \theta &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \\ \cos \theta &= \dfrac{\textcolor{green}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Vi gjør det samme som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der trekanten gir \( \sin 45^\circ\text{.} \)
Mot vinkelen \( 30^\circ \) står kateten \( \textcolor{red}{2}\text{,} \) og inntil den står høyden \( \textcolor{green}{2\sqrt{3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{4}} = \dfrac{1}{2} \\ \cos 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{green}{2\sqrt{3}}}{\textcolor{blue}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Oppgave 7b)

Bestem arealet av trekanten nedenfor.
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
A=103‾‾ \underline{\underline{A = 10\sqrt{3}}}
Vi bruker \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).
Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi arealet med arealsetningen.
1. Bruk arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{\theta} \) mellom dem er: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{10\sqrt{3}}} \) og \( {\textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{,} \) og fra a) vet vi at \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{10\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ A &= \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = 10\sqrt{3} \end{aligned} \]

Oppgave 7c)

Bestem omkretsen av trekanten nedenfor.
Vis løsning på oppgave 7c
Svar
O=18+103‾‾ \underline{\underline{O = 18 + 10\sqrt{3}}}
Vi bruker \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).
Vi mangler den tredje siden. Den står mot vinkelen \( 30^\circ\text{,} \) som ligger mellom de to sidene vi kjenner, så vi finner den med cosinussetningen.
1. Finn den tredje siden Cosinussetningen forteller oss at siden \( a\text{,} \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom sidene \( \textcolor{blue}{b} \) og \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) er gitt ved: \[ a^2 = \textcolor{blue}{b}^2 + \textcolor{red}{c}^2 - 2\textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{c} \cdot \cos \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{10\sqrt{3}}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a^2 &= \textcolor{blue}{4}^2 + (\textcolor{red}{10\sqrt{3}})^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{10\sqrt{3}} \cdot \cos \textcolor{green}{30^\circ} \end{aligned} \]
Fra a) vet vi at \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{.} \) Siden \( {(10\sqrt{3})^2 = 100 \cdot 3 = 300} \) og \( {\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} a^2 &= 16 + 300 - 80\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ a^2 &= 316 - 120 = 196 \\ a &= \sqrt{196} = 14 \end{aligned} \]
2. Legg sammen sidene Omkretsen er summen av de tre sidene: \[ O = 4 + 10\sqrt{3} + 14 = 18 + 10\sqrt{3} \]

1T vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

5 poeng

Gitt figuren ovenfor.

Oppgave 2a)

Bruk trigonometri til å bestemme lengden av sidekanten AB. AB\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Avrundet til to desimaler:
AB≈1,93‾‾ \underline{\underline{AB \approx 1{,}93}}
I trekant \( ABC \) kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi den tredje siden \( AB \) med cosinussetningen.
Metode: Med kalkulator
1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss hvor lang en side er, når vi kjenner de to andre sidene og vinkelen mellom dem. I trekant \( ABC \) står \( AB \) mot vinkelen \( \textcolor{green}{C} \) mellom \( \textcolor{blue}{AC} \) og \( \textcolor{red}{CB}\text{:} \) \[ \begin{aligned} AB^2 &= \textcolor{blue}{AC}^2 + \textcolor{red}{CB}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AC} \cdot \textcolor{red}{CB} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} & \textcolor{red}{CB} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{green}{C} &= \textcolor{green}{105^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i cosinussetningen, får vi: \[ \begin{aligned} AB^2 &= (\textcolor{blue}{\sqrt{2}})^2 + \textcolor{red}{1}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \cos \textcolor{green}{105^\circ} \\ AB^2 &\approx 2 + 1 + 0{,}7321 = 3{,}7321 \end{aligned} \]Siden \( \cos 105^\circ \) er negativ, blir det siste leddet positivt.
Vi tar kvadratroten, fordi en lengde er positiv: \[ AB \approx \sqrt{3{,}7321} \approx 1{,}93 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi skriver cosinussetningen inn i CAS, med gradtegn på vinkelen, og regner ut med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: AB := sqrt(sqrt(2)^2 + 1^2 - 2*sqrt(2)*1*cos(105°)) AB
CAS gir \( {AB = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}9319}\text{,} \) altså \( {AB \approx 1{,}93}\text{.} \)

Oppgave 2b)

Bruk trigonometri til å bestemme arealet av trekanten ABD. ABD\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til to desimaler er arealet av trekant ABD ABD
T≈1,47‾‾ \underline{\underline{T \approx 1{,}47}}
Linja \( AC \) deler trekant \( ABD \) i trekantene \( ACD \) og \( ACB\text{.} \) Vi finner \( DC \) med sinussetningen og legger sammen arealene av de to trekantene.
Metode: Med kalkulator
1. Finn vinklene i trekant ACD Vinklene \( ACD \) og \( ACB \) ligger inntil hverandre langs linja \( DB\text{,} \) så de er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle ACD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \]I trekant \( ACD \) er vinklene da \( 45^\circ\text{,} \) \( 60^\circ \) og \( 75^\circ\text{.} \)
2. Finn DC med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at forholdet mellom en side og sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant. I trekant \( ACD \) står \( \textcolor{red}{DC} \) mot vinkelen \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen \( \textcolor{blue}{D}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{DC}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{D}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{45^\circ} & \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} & \textcolor{blue}{D} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i sinussetningen, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{DC}}{\sin \textcolor{red}{45^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{2}}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} \\ DC &= \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 1{,}1547 \end{aligned} \]
3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Vi deler figuren i to trekanter og legger sammen, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.
I trekant \( ACD \) er vinkelen mellom \( AC \) og \( DC \) lik \( 75^\circ\text{,} \) og i trekant \( ACB \) er vinkelen mellom \( AC \) og \( CB \) lik \( 105^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ACD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1{,}1547 \cdot \sin 75^\circ \\ T_{ACD} &\approx 0{,}7887 \\ T_{ACB} &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \sin 105^\circ \\ T_{ACB} &\approx 0{,}6830 \end{aligned} \]
Til sammen: \[ T_{ABD} \approx 0{,}7887 + 0{,}6830 \approx 1{,}47 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vinkelen \( ACD \) er \( {180^\circ - 105^\circ = 75^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( DC \) med sinussetningen og legger sammen arealene med arealsetningen i CAS:
Skriv inn i GeoGebra: DC := sqrt(2)*sin(45°)/sin(60°) T := 1/2*sqrt(2)*DC*sin(75°) + 1/2*sqrt(2)*1*sin(105°) T
CAS gir \( {DC = \dfrac{2}{3}\sqrt{3}} \) og \( {T \approx 1{,}4717}\text{,} \) så arealet av trekant \( ABD \) er omtrent \( 1{,}47\text{.} \)

1T vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

6 poeng

Oppgave 5a)

Bruk den likesidede trekanten ovenfor til å vise at sin⁡30∘=cos⁡60∘=12 {\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}}
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
I den halve trekanten er hypotenusen 2, og den korte kateten 1 står mot 30∘ 30^\circ og inntil 60∘: 60^\circ\text{:}
sin⁡30∘=cos⁡60∘=12‾‾ \underline{\underline{\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}}}
Høyden deler den likesidede trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi finner vinklene og sidene i den ene halvdelen og bruker definisjonene av sinus og cosinus.
1. Finn vinklene og sidene Alle vinklene i en likesidet trekant er like store, og vinkelsummen er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]Trekanten er symmetrisk om høyden, så høyden deler toppvinkelen i to. Hver halvdel har derfor vinklene \( 60^\circ\text{,} \) \( 30^\circ \) og \( 90^\circ\text{.} \)
Høyden deler også grunnlinja på midten, så den korte kateten er \( \textcolor{red}{1}\text{.} \) Hypotenusen er en side i den likesidede trekanten, \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \)
2. Bruk definisjonene av sinus og cosinus Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( v \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \sin v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \\ \cos v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.
Kateten \( \textcolor{red}{1} \) er motstående katet til \( 30^\circ \) og hosliggende katet til \( 60^\circ\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \\ \cos 60^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \end{aligned} \]Begge er \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Vi gjør det samme som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der trekanten gir \( \sin 45^\circ\text{.} \)

Oppgave 5b)

Gitt en trekant ABC ABC der AB=10, {AB = 10}\text{,} AC=6 {AC = 6} og ∠A=30∘ {\angle A = 30^\circ}
Bestem arealet av trekanten.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Arealet av trekanten er
T=15‾‾ \underline{\underline{T = 15}}
Vi bruker \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).
Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi arealet med arealsetningen.
1. Bruk arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{b} \) og \( \textcolor{red}{c} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom dem er: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.
Her er \( {\textcolor{blue}{b} = AC = \textcolor{blue}{6}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = AB = \textcolor{red}{10}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{,} \) og fra a) vet vi at \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{10} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 15 \end{aligned} \]

Oppgave 5c)

Gitt en trekant PQR PQR der PQ=8, {PQ = 8}\text{,} PR=3 {PR = 3} og ∠P=60∘ {\angle P = 60^\circ}
Bestem lengden av siden QR. QR\text{.}
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
QR=7‾‾ \underline{\underline{QR = 7}}
Vi bruker \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).
Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, og skal finne siden som står mot vinkelen. Da bruker vi cosinussetningen.
1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss hvor lang en side er når vi kjenner de to andre sidene og vinkelen mellom dem. I trekant \( PQR \) står \( QR \) mot vinkelen \( \textcolor{green}{P} \) mellom \( \textcolor{blue}{PQ} \) og \( \textcolor{red}{PR}\text{:} \) \[ \begin{aligned} QR^2 &= \textcolor{blue}{PQ}^2 + \textcolor{red}{PR}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{PQ} \cdot \textcolor{red}{PR} \cdot \cos \textcolor{green}{P} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{PQ} &= \textcolor{blue}{8} & \textcolor{red}{PR} &= \textcolor{red}{3} & \textcolor{green}{P} &= \textcolor{green}{60^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn og bruker \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), får vi: \[ \begin{aligned} QR^2 &= \textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{3}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \cos \textcolor{green}{60^\circ} \\ QR^2 &= 64 + 9 - 48 \cdot \dfrac{1}{2} = 49 \\ QR &= \sqrt{49} = 7 \end{aligned} \]

1T vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

En tolvkant er innskrevet i en sirkel. Se figuren ovenfor. Tolvkanten er satt sammen av tolv like store likebeinte trekanter. Arealet av tolvkanten er 120.

Oppgave 3a)

Bestem diameter i sirkelen. Gi svaret eksakt.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Radien er 210, 2\sqrt{10}\text{,} så diameteren er
d=410‾‾ \underline{\underline{d = 4\sqrt{10}}}
Hver av de tolv trekantene har to sider lik radien \( r \) og vinkelen \( 30^\circ \) mellom dem. Vi skriver arealet med arealsetningen, setter det lik 120 og løser for \( r\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp arealet med arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem er: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
I hver trekant er begge sidene radien, \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Tolv slike trekanter har til sammen arealet \( 120\text{:} \) \[ 12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = 120 \]
2. Finn radien og diameteren Siden \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) og \( {12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 3}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3r^2 &= 120 \\ r^2 &= 40 \\ r &= \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \end{aligned} \]Radien er positiv, så vi tar bare den positive roten, og \( {\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}}\text{.} \)
Diameteren er to ganger radien: \[ d = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs i CAS Vi skriver arealet av tolvkanten som en funksjon av \( r \) og løser likningen med Løs:
Skriv inn i GeoGebra: A(r) := 12*1/2*r*r*sin(30°) Løs(A(r) = 120, r)
CAS gir \( {r = \pm 2\sqrt{10}}\text{.} \) Radien er positiv, så \( {r = 2\sqrt{10}} \) og \( {d = 2r = 4\sqrt{10}}\text{.} \)

Oppgave 3b)

Bestem omkretsen av tolvkanten. Gi svaret eksakt.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Omkretsen er omtrent 39,29, 39{,}29\text{,} og eksakt kan den skrives på to måter:
O=1280−403‾‾O=2415−245‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{O = 12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}}}} \\ &\underline{\underline{O = 24\sqrt{15} - 24\sqrt{5}}} \end{aligned}
Vi bruker radien fra a), \( {r = 2\sqrt{10}}\text{,} \) altså \( {r^2 = 40}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Hver side i tolvkanten står mot vinkelen \( 30^\circ \) i en av trekantene. Vi finner siden med cosinussetningen og ganger med 12.
Metode: Med kalkulator
1. Finn siden med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden \( s \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) er gitt ved: \[ s^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{blue}{b} \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}} \) med \( {r^2 = 40}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Med \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) får vi: \[ \begin{aligned} s^2 &= \textcolor{blue}{40} + \textcolor{blue}{40} - 2 \cdot \textcolor{blue}{40} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ s^2 &= 80 - 40\sqrt{3} \\ s &= \sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \end{aligned} \]
2. Finn omkretsen Tolvkanten har tolv like sider: \[ O = 12s = 12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \approx 39{,}29 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi setter inn radien fra a), finner siden med cosinussetningen og ganger med 12:
Skriv inn i GeoGebra: r := 2*sqrt(10) s := sqrt(r^2 + r^2 - 2*r*r*cos(30°)) O := 12*s O
CAS skriver omkretsen som \( {24\sqrt{15} - 24\sqrt{5} \approx 39{,}29}\text{.} \) Det er det samme tallet som \( {12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}}}\text{,} \) fordi \( {s = 2\sqrt{15} - 2\sqrt{5}} \) og \( {\sqrt{75} = 5\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (2\sqrt{15} - 2\sqrt{5})^2 &= 60 - 8\sqrt{75} + 20 \\ &= 80 - 40\sqrt{3} \end{aligned} \]

1T høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

4 poeng

Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor.
Læreren har delt klassen i grupper og gitt hver gruppe noen opplysninger i tillegg til informasjonen som kan leses ut fra figuren.

Oppgave 6a)

Gruppen til Isabel har fått vite at AD=6,0, {AD = 6{,}0}\text{,} BC=10,0 {BC = 10{,}0} og at diagonalen AC=16,4 {AC = 16{,}4}
Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Med cosinussetningen og arealsetningen, avrundet til én desimal:
T≈58,5‾‾ \underline{\underline{T \approx 58{,}5}}
Diagonalen \( AC \) deler firkanten i trekantene \( ABC \) og \( ACD\text{.} \) I begge kjenner vi alle sidene, så vi finner en vinkel med cosinussetningen og arealet med arealsetningen.
Metode: Med kalkulator
1. Finn vinkel B med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at i trekant \( ABC \) står \( \textcolor{green}{AC} \) mot vinkel \( B\text{,} \) mellom \( \textcolor{blue}{AB} \) og \( \textcolor{red}{BC}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{AC}^2 &= \textcolor{blue}{AB}^2 + \textcolor{red}{BC}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{BC} \cdot \cos B \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AB} &= \textcolor{blue}{8{,}0} & \textcolor{red}{BC} &= \textcolor{red}{10{,}0} \\ \textcolor{green}{AC} &= \textcolor{green}{16{,}4} \end{aligned} \]
Vi løser for \( \cos B\text{,} \) som i videoen Oppgave 12B + C (Cosinussetningen + Arealsetningen): \[ \begin{aligned} \cos B &= \dfrac{\textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{10}^2 - \textcolor{green}{16{,}4}^2}{2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{10}} \\ \cos B &= -0{,}656 \\ B &\approx 131{,}00^\circ \end{aligned} \]
2. Finn vinkel D på samme måte I trekant \( ACD \) står \( AC \) mot vinkel \( D\text{,} \) mellom \( {AD = 6{,}0} \) og \( {DC = 12{,}0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \cos D &= \dfrac{6^2 + 12^2 - 16{,}4^2}{2 \cdot 6 \cdot 12} \\ \cos D &\approx -0{,}6178 \\ D &\approx 128{,}15^\circ \end{aligned} \]
3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.
Vinkel \( B \) ligger mellom sidene \( 8{,}0 \) og \( 10{,}0\text{,} \) og vinkel \( D \) mellom \( 6{,}0 \) og \( 12{,}0\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 131{,}00^\circ \\ T_{ABC} &\approx 30{,}19 \\ T_{ACD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin 128{,}15^\circ \\ T_{ACD} &\approx 28{,}31 \end{aligned} \]
Til sammen: \[ T \approx 30{,}19 + 28{,}31 \approx 58{,}5 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi løser cosinussetningen for vinklene med \( \texttt{arccosd}\text{,} \) som gir vinkelen i grader, og legger sammen arealene med arealsetningen:
Skriv inn i GeoGebra: B := arccosd((8^2 + 10^2 - 16.4^2)/(2*8*10)) D := arccosd((6^2 + 12^2 - 16.4^2)/(2*6*12)) 1/2*8*10*sin(B) + 1/2*6*12*sin(D)
CAS gir \( {B \approx 130{,}9955^\circ}\text{,} \) \( {D \approx 128{,}154^\circ} \) og arealet \( {\approx 58{,}4991}\text{,} \) altså omtrent \( 58{,}5\text{.} \)

Oppgave 6b)

Gruppen til Anniken har fått vite at ∠A=62,5∘, {\angle A = 62{,}5^\circ}\text{,} ∠C=38,3∘, {\angle C = 38{,}3^\circ}\text{,} ∠ABD=45,5∘ {\angle ABD = 45{,}5^\circ} og ∠CBD=85,5∘ {\angle CBD = 85{,}5^\circ}
Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Med vinkelsummen, sinussetningen og arealsetningen, avrundet til én desimal:
T≈58,5‾‾ \underline{\underline{T \approx 58{,}5}}
Diagonalen \( BD \) deler firkanten i trekantene \( ABD \) og \( BCD\text{.} \) I begge kjenner vi én side og to vinkler, så vi finner en side til med sinussetningen og arealet med arealsetningen.
Metode: Med kalkulator
1. Finn de manglende vinklene Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle ADB &= 180^\circ - 62{,}5^\circ - 45{,}5^\circ \\ \angle ADB &= 72{,}0^\circ \\ \angle BDC &= 180^\circ - 38{,}3^\circ - 85{,}5^\circ \\ \angle BDC &= 56{,}2^\circ \end{aligned} \]
2. Finn AD og BC med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at en side delt på sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant: \[ \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{B}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.
I trekant \( ABD \) står \( \textcolor{red}{AD} \) mot \( {\textcolor{red}{\angle ABD} = \textcolor{red}{45{,}5^\circ}}\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{8{,}0}} \) står mot \( {\textcolor{blue}{\angle ADB} = \textcolor{blue}{72{,}0^\circ}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{AD} = \dfrac{\textcolor{blue}{8{,}0} \cdot \sin \textcolor{red}{45{,}5^\circ}}{\sin \textcolor{blue}{72{,}0^\circ}} \approx 5{,}9996 \]
I trekant \( BCD \) står \( BC \) mot \( {\angle BDC = 56{,}2^\circ}\text{,} \) og \( {DC = 12{,}0} \) står mot \( {\angle CBD = 85{,}5^\circ}\text{:} \) \[ BC = \dfrac{12{,}0 \cdot \sin 56{,}2^\circ}{\sin 85{,}5^\circ} \approx 10{,}0026 \]
3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Vi deler firkanten i to trekanter og legger sammen, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.
Vinkel \( A \) ligger mellom \( AB \) og \( AD\text{,} \) og vinkel \( C \) mellom \( DC \) og \( BC\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 8{,}0 \cdot 5{,}9996 \cdot \sin 62{,}5^\circ \\ T_{ABD} &\approx 21{,}29 \\ T_{BCD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 12{,}0 \cdot 10{,}0026 \cdot \sin 38{,}3^\circ \\ T_{BCD} &\approx 37{,}20 \end{aligned} \]
Til sammen: \[ T \approx 21{,}29 + 37{,}20 \approx 58{,}5 \]
Merk – Avrundede vinkler: Vinklene er gitt med én desimal, så trekantene passer ikke helt sammen: \( AD \) og \( BC \) blir ikke helt \( 6{,}0 \) og \( 10{,}0\text{,} \) og de to trekantene gir litt ulik lengde for diagonalen \( BD \) (\( 7{,}461 \) og \( 7{,}460 \)). Arealet blir likevel \( 58{,}5 \) med én desimal, det samme som gruppen til Isabel får.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vinkelsummen gir \( {\angle ADB = 72^\circ} \) og \( {\angle BDC = 56{,}2^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( AD \) og \( BC \) med sinussetningen og legger sammen arealene med arealsetningen, med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: AD := 8*sin(45.5°)/sin(72°) BC := 12*sin(56.2°)/sin(85.5°) 1/2*8*AD*sin(62.5°) + 1/2*12*BC*sin(38.3°)
CAS gir \( {AD \approx 5{,}9996}\text{,} \) \( {BC \approx 10{,}0026} \) og arealet \( {\approx 58{,}4836}\text{,} \) altså omtrent \( 58{,}5\text{.} \)

1T vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

Du får vite følgende om en trekant ABC ABC • AB AB er 8 • ∠A=120∘ {\angle A = 120^\circ} • Arealet av trekanten er 43 4\sqrt{3}
Bestem lengdene av sidene AC AC og BC BC eksakt.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

AC=2ogBC=221‾‾ \underline{\underline{AC = 2 \quad \text{og} \quad BC = 2\sqrt{21}}}
Vi kjenner \( AB\text{,} \) vinkel \( A \) og arealet. Arealsetningen gir da \( AC\text{,} \) og når vi har to sider og vinkelen mellom dem, gir cosinussetningen \( BC\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn AC med arealsetningen Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{AB} \) og \( \textcolor{red}{AC} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{AC} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
Her er \( {\textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{8}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{120^\circ}} \) og \( {T = 4\sqrt{3}}\text{.} \) Sinus er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, så den eksakte verdien er \( {\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{AC} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= 4\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} \cdot \textcolor{red}{AC} &= 4\sqrt{3} \\ \textcolor{red}{AC} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]
2. Finn BC med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden \( BC\text{,} \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{A}\text{,} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} BC^2 &= \textcolor{blue}{AB}^2 + \textcolor{red}{AC}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{AC} \cdot \cos \textcolor{green}{A} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Den eksakte verdien er \( {\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{8}} \) og \( {\textcolor{red}{AC} = \textcolor{red}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} BC^2 &= \textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{2}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ BC^2 &= 64 + 4 + 16 = 84 \\ BC &= \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21} \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi løser arealsetningen for \( AC \) med Løs, og regner ut \( BC \) med cosinussetningen, med gradtegn på vinkelen:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(1/2*8*AC*sin(120°) = 4*sqrt(3), AC) BC := sqrt(8^2 + 2^2 - 2*8*2*cos(120°))
CAS gir \( {AC = 2} \) og \( {BC = 2\sqrt{21}}\text{.} \)