Eksamensoppgaver etter tema

Den nederste likningen gir \( y \) uttrykt ved \( x\text{.} \) Vi setter det inn i den øverste, så får vi en andregradslikning med bare \( x\text{.} \)

1. Løs den nederste likningen for y Vi flytter \( y \) og \( 2 \) over i den nederste likningen: \[ \begin{aligned} x - y &= 2 \\ y &= \textcolor{darkorange}{x - 2} \end{aligned} \]

2. Sett inn i den øverste likningen Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{x - 2}} \) inn for \( y\text{,} \) som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ -x^2 + 4 = \textcolor{darkorange}{x - 2} \]

Vi samler alt på venstre side og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -x^2 - x + 6 &= 0 \\ x^2 + x - 6 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = 2} \) eller \( {x = -3}\text{.} \)

4. Finn y-verdiene Vi setter \( x \) inn i \( {y = \textcolor{darkorange}{x - 2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= 2: & y &= 2 - 2 = 0 \\ x &= -3: & y &= -3 - 2 = -5 \end{aligned} \]

Kontroll: Begge punktene passer i den øverste likningen: \( {-2^2 + 4 = -4 + 4 = 0} \) og \( {-(-3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5}\text{.} \)

Vi skriver begge likningene på formen \( {y = \ldots}\text{,} \) tegner grafene i samme koordinatsystem og leser av skjæringspunktene.

1. Skriv likningene som funksjoner Den øverste likningen er en parabel. Den nederste skriver vi om til en rett linje ved å flytte \( y \) og \( 2 \) over: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-x^2 + 4} \\ y &= \textcolor{blue}{x - 2} \end{aligned} \]

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( y \) for noen verdier av \( x\text{:} \) \[ \begin{array}{r|rr} x & \textcolor{red}{-x^2 + 4} & \textcolor{blue}{x - 2} \\ \hline -3 & -5 & -5 \\ -2 & 0 & -4 \\ -1 & 3 & -3 \\ 0 & 4 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -5 & 1 \end{array} \]

3. Tegn grafene og les av Vi tegner punktene og trekker grafene gjennom dem. Parabelen har toppunktet \( (0, 4)\text{,} \) og linja har stigningstall \( 1\text{:} \)

Grafene skjærer hverandre i to punkter. Der har begge likningene samme \( x \) og \( y\text{,} \) så skjæringspunktene er løsningene: \[ (-3, -5) \quad \text{og} \quad (2, 0) \]Det ser vi i verditabellen også: for \( {x = -3} \) og \( {x = 2} \) gir de to uttrykkene samme verdi.

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet. Vi ser derfor på tangenten der \( {x = 4}\text{.} \)

1. Les av tangenten Den rette linjen tangerer grafen i punktet \( (4, 0)\text{,} \) så \( f'(4) \) er stigningstallet til linjen, som i videoen Tangentlinje. Stigningstrekanten viser at linjen går \( \textcolor{blue}{1} \) bortover og \( \textcolor{red}{5} \) oppover: \[ f'(4) = \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{1}} = 5 \]

At \( {f'(4) = 5}\text{,} \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Når \( f \) er en andregradsfunksjon, er grafen til \( f' \) en rett linje. Vi finner den fra to punkter: i bunnpunktet er \( f' \) lik \( 0\text{,} \) og i \( {x = 4} \) er den \( 5\text{.} \)

1. Skriv opp den deriverte Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

En andregradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^2 + bx + c}\text{.} \) Med potensregelen blir \( {(ax^2)' = 2ax} \) og \( {(bx)' = b}\text{,} \) og konstanten \( c \) har derivert \( 0\text{.} \) Den deriverte er derfor en rett linje: \[ f'(x) = 2ax + b \]

2. Finn linja gjennom to punkter I bunnpunktet er tangenten vannrett, og fra a) vet vi at \( {f'(4) = 5}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(\textcolor{blue}{-1}) = \textcolor{blue}{0} \quad \text{og} \quad f'(\textcolor{red}{4}) = \textcolor{red}{5} \]Grafen til \( f' \) går derfor gjennom \( {(\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{blue}{0})} \) og \( (\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{5})\text{.} \)

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{0}}{\textcolor{red}{4} - (\textcolor{blue}{-1})} = \dfrac{5}{5} = 1 \]

Da er \( {2a = 1}\text{,} \) så \( {f'(x) = x + b}\text{.} \) Setter vi inn \( {f'(-1) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 + b &= 0 \\ b &= 1 \end{aligned} \]

Kontroll: \( {f'(4) = 4 + 1 = 5}\text{,} \) som i a).

Tangenten er en rett linje gjennom \( (0, 23)\text{.} \) Stigningstallet er den deriverte i punktet der linja rører parabelen, så vi finner det punktet først.

1. Skriv opp formen til tangenten 1:03 En rett linje har stigningstallet \( \textcolor{red}{a} \) og skjærer \( y \)-aksen i \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) som i videoen Tangentlinje: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Tangenten går gjennom \( (0, 23)\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{23}}\text{.} \)

2. Finn stigningstallet med den deriverte 1:27 Vi kaller \( x \)-verdien der tangenten rører parabelen, for \( \textcolor{green}{t}\text{.} \) Der er stigningstallet lik den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Konstanten 20 har derivert 0, så: \[ p'(x) = -\dfrac{2}{12}x = -\dfrac{1}{6}x \]Stigningstallet er altså \( {\textcolor{red}{a} = -\dfrac{1}{6}\textcolor{green}{t}}\text{.} \)

3. Finn punktet der tangenten rører parabelen 4:34 I \( {x = \textcolor{green}{t}} \) har parabelen og tangenten samme \( y \)-verdi: \[ -\dfrac{1}{12}\textcolor{green}{t}^2 + 20 = -\dfrac{1}{6}\textcolor{green}{t} \cdot \textcolor{green}{t} + \textcolor{blue}{23} \]

Vi samler leddene med \( t^2 \) på venstre side og tallene på høyre side: \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{12}t^2 + \dfrac{1}{6}t^2 &= 23 - 20 \\ \dfrac{1}{12}t^2 &= 3 \\ t^2 &= 36 \end{aligned} \]Det gir \( {t = 6} \) eller \( {t = -6}\text{.} \) Tangenten på figuren rører parabelen til høyre for \( y \)-aksen, så \( {\textcolor{green}{t} = \textcolor{green}{6}}\text{.} \)

4. Sett sammen tangenten 7:43 Stigningstallet er: \[ \textcolor{red}{a} = -\dfrac{1}{6} \cdot \textcolor{green}{6} = -1 \]Med \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{23}} \) blir tangenten \( {y = -x + 23}\text{.} \)

Vanlig feil: ✗ \( {a = 6}\text{,} \) fordi tangenten rører i \( {x = 6}\text{.} \) ✓ \( {a = -\dfrac{1}{6} \cdot 6 = -1}\text{.} \)

Vi bruker tangenten \( {y = -x + 23} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Kameraet ser ikke det som ligger under tangenten, fordi taket er i veien. Tyven er skjult mellom veggen og punktet der tangenten treffer bakken.

1. Se hva kameraet ser 1:23 Lys går i rette linjer. Kameraet står i \( (0, 23)\text{,} \) og tangenten er linja som så vidt går klar av taket. Til høyre for veggen ser kameraet bare det som ligger over tangenten, så en tyv på bakken er skjult fram til tangenten treffer bakken.

2. Finn der tangenten treffer bakken 3:00 Bakken er \( x \)-aksen, så vi setter \( {y = 0} \) i tangenten: \[ \begin{aligned} 0 &= -x + 23 \\ x &= \textcolor{red}{23} \end{aligned} \]

3. Finn veggen 3:30 Veggen står der parabelen treffer bakken, altså der \( {p(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{12}x^2 + 20 &= 0 \\ \dfrac{1}{12}x^2 &= 20 \\ x^2 &= 240 \\ x &= \sqrt{240} \approx \textcolor{blue}{15{,}49} \end{aligned} \]Vi ser på veggen til høyre, så \( x \) er positiv.

4. Regn ut avstanden 4:47 Tyven er skjult fra veggen og ut til der tangenten treffer bakken: \[ \textcolor{red}{23} - \textcolor{blue}{15{,}49} \approx 7{,}5 \]

Merk – Tyvens høyde: Står tyven oppreist, blir han sett før. Tangenten synker 1 meter for hver meter bortover, så en tyv som er \( h \) meter høy, kan bevege seg omtrent \( {7{,}5 - h} \) meter fra veggen.

Med katetene 8 m finner vi hypotenusene med Pytagoras. Da gir de 100 m gjerde lengden \( y\text{,} \) og arealet er rektangelet pluss de to trekantene.

1. Finn hypotenusen Trekantene er rettvinklede med begge katetene \( 8 \) m. Pytagoras' setning gir hypotenusen \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras): \[ \textcolor{red}{h} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} \approx \textcolor{red}{11{,}31} \]

2. Finn y fra gjerdet Gjerdet går langs grunnlinja \( {8 + y + 8}\text{,} \) toppen \( y\text{,} \) de to loddrette linjene \( {8 + 8} \) og de to hypotenusene \( 2\textcolor{red}{h}\text{,} \) til sammen 100 m: \[ \begin{aligned} 4 \cdot 8 + 2y + 2\textcolor{red}{h} &= 100 \\ 2y &= 68 - 2\textcolor{red}{h} \\ \textcolor{blue}{y} &\approx \textcolor{blue}{22{,}69} \end{aligned} \]

3. Regn ut arealet Arealet er rektangelet \( {8 \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, hver \( {\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8}\text{.} \) Lengdene er i meter, så arealet blir i kvadratmeter: \[ \begin{aligned} A &\approx 8 \cdot \textcolor{blue}{22{,}69} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \\ A &\approx 181{,}5 + 64 = 245{,}5 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi regner ut hypotenusen \( h\text{,} \) lengden \( y \) fra gjerdet og arealet i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: h := sqrt(8^2 + 8^2) y := (100 - 4*8 - 2*h)/2 8*y + 2*1/2*8^2

CAS gir \( {h = 8\sqrt{2}}\text{,} \) \( {y = 34 - 8\sqrt{2}} \) og arealet \( {\approx 245{,}4903\,\text{m}^2}\text{.} \)

Vi regner ut arealet for flere lengder \( x \) av katetene, på samme måte som i a), og ser i en tabell hvor arealet er størst.

1. Finn y og arealet Med katetene \( x \) gir Pytagoras' setning hypotenusene \( {\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}\,x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras). Gjerdet gir da \( {4x + 2y + 2\sqrt{2}\,x = 100}\text{,} \) og: \[ \textcolor{blue}{y} = \dfrac{100 - 4x - 2\sqrt{2}\,x}{2} \]

Arealet er rektangelet \( {x \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x = x^2}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{A} = x \cdot \textcolor{blue}{y} + x^2 \]

2. Lag en tabell Vi regner ut \( \textcolor{blue}{y} \) og \( \textcolor{red}{A} \) for \( {x = 2, 4, \ldots, 12}\text{:} \) \[ \begin{array}{r|rr} x & \textcolor{blue}{y} & \textcolor{red}{A} \\ \hline 2 & 43{,}17 & 90{,}3 \\ 4 & 36{,}34 & 161{,}4 \\ 6 & 29{,}51 & 213{,}1 \\ 8 & 22{,}69 & 245{,}5 \\ 10 & 15{,}86 & 258{,}6 \\ 12 & 9{,}03 & 252{,}4 \end{array} \]I tabellen øker arealet fram til \( {x = 10} \) og synker etterpå, så det er størst når katetene er omtrent 10 m.

1. Lag punktene med Følge I Algebrafeltet er \( y \) navnet på andreaksen, så vi kaller lengden \( y \) for \( y_1\text{.} \) Med Følge lager vi punktene \( (x, A) \) for \( {x = 2, 4, \ldots, 12}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: y_1(x) = (100 - 4x - 2*sqrt(2)*x)/2 l1 = Følge((k, k*y_1(k) + k^2), k, 2, 12, 2)

Punktet for \( {x = 10} \) ligger høyest, med \( {A \approx 258{,}6}\text{,} \) så arealet er størst når katetene er omtrent 10 m.

Vi uttrykker \( y \) ved \( x \) fra de 100 m gjerde, og setter det inn i arealet, som er rektangelet pluss de to trekantene.

1. Uttrykk y ved x Hypotenusene er \( {\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}\,x}\text{.} \) Gjerdet langs alle linjestykkene er 100 m: \[ \begin{aligned} 4x + 2y + 2\sqrt{2}\,x &= 100 \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x} \end{aligned} \]

2. Sett opp arealet Arealet er rektangelet \( {x \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, hver \( {\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x}\text{,} \) slik arealet settes opp som et uttrykk i \( x \) i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\left(\textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x}\right) + x^2 \\ A(x) &= 50x - 2x^2 - \sqrt{2}\,x^2 + x^2 \\ A(x) &= 50x - (1 + \sqrt{2})x^2 \end{aligned} \]Med \( {1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414} \) er \( {A(x) \approx 50x - 2{,}414x^2}\text{.} \)

Kontroll: \( {A(8) \approx 245{,}5}\text{,} \) det samme som i a).

Vi bruker modellen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er størst i toppunktet til \( A\text{,} \) der den deriverte er \( 0\text{.} \)

1. Deriver modellen I c) fant vi modellen \[ A(x) = \textcolor{red}{50x} \textcolor{blue}{{}- (1 + \sqrt{2})x^2} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Ledd for ledd blir \( \textcolor{red}{50x} \) derivert \( \textcolor{red}{50}\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{-(1 + \sqrt{2})x^2}} \) blir \( {\textcolor{blue}{-2(1 + \sqrt{2})x}}\text{:} \) \[ A'(x) = \textcolor{red}{50} \textcolor{blue}{{}- 2(1 + \sqrt{2})x} \]

2. Sett den deriverte lik null I toppunktet er \( {A'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50 - 2(1 + \sqrt{2})x &= 0 \\ x &= \dfrac{25}{1 + \sqrt{2}} \\ x &\approx 10{,}36 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) i \( A(x) \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt. Da er arealet \( {A(10{,}36) \approx 258{,}9\,\text{m}^2}\text{.} \)

1. Finn toppunktet på grafen Vi tegner modellen og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 50x - (1 + sqrt(2))x^2 T = Ekstremalpunkt(A)

Toppunktet er \( {T \approx (10{,}3553,\ 258{,}8835)}\text{.} \) Arealet er størst, omtrent \( 258{,}9\,\text{m}^2\text{,} \) når katetene er omtrent \( 10{,}36 \) m.

Vi bruker uttrykket for \( y \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gjelder for de verdiene av \( x \) der figuren finnes. Da må både katetene \( x \) og lengden \( y \) være større enn \( 0\text{.} \)

1. Krev at y er positiv I c) fant vi at gjerdet gir \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x} \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - (2 + \sqrt{2})x} \end{aligned} \]

Lengden \( \textcolor{blue}{y} \) må være større enn \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{50 - (2 + \sqrt{2})x} > 0 \]

Vi flytter leddet med \( x \) over og deler på det positive tallet \( {2 + \sqrt{2}}\text{,} \) så tegnet snus ikke, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \begin{aligned} (2 + \sqrt{2})x &< 50 \\ x &< \textcolor{red}{\dfrac{50}{2 + \sqrt{2}}} \approx \textcolor{red}{14{,}64} \end{aligned} \]

2. Krev at x er positiv Katetene må også være større enn \( 0\text{.} \) For \( {x = 0} \) er det ingen trekanter, og i den øvre grensen er \( {\textcolor{blue}{y} = 0} \) og ikke noe rektangel, så endepunktene er ikke med: \[ 0 < x < \textcolor{red}{\dfrac{50}{2 + \sqrt{2}}} \]

1. Løs ulikheten i CAS Vi løser \( {y > 0} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(50 - (2 + sqrt(2))*x > 0, x)

CAS gir \( {x < 14{,}6447}\text{.} \) Katetene må også være større enn \( 0\text{,} \) så modellen gjelder for \( {0 < x < 14{,}6}\text{.} \)

Grafen er en parabel med nullpunktene \( {-3} \) og \( 4\text{.} \) Vi skriver \( f(x) \) med nullpunktene som faktorer, og finner tallet foran fra punktet \( (0, 24)\text{.} \)

1. Skriv opp funksjonen med nullpunktene En andregradsfunksjon med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives som: \[ f(x) = \textcolor{green}{a}(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]Hvis du er usikker på denne formen, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Fra figuren er \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{-3}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{4}}\text{.} \) Plugger vi dem inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{green}{a}(x + \textcolor{darkorange}{3})(x - \textcolor{magenta}{4}) \]

2. Finn tallet foran Grafen går gjennom \( (0, 24)\text{,} \) så \( {f(0) = 24}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a}(0 + 3)(0 - 4) &= 24 \\ -12\textcolor{green}{a} &= 24 \\ \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{-2} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} f(x) &= \textcolor{green}{-2}(x + 3)(x - 4) \\ f(x) &= -2(x^2 - x - 12) \\ f(x) &= -2x^2 + 2x + 24 \end{aligned} \]

Kontroll: Toppunktet ligger midt mellom nullpunktene, i \( {x = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og \( {f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{49}{2}}\text{.} \) Det passer med figuren, der toppen er litt over 24.

Vi bruker \( {f(x) = -2x^2 + 2x + 24} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi samler alt på én side, faktoriserer med abc-formelen og ser i et fortegnsskjema hvor uttrykket er positivt.

1. Samle alt på én side I a) fant vi: \[ f(x) = -2x^2 + 2x + 24 \]

Ulikheten blir da: \[ \begin{aligned} -2x^2 + 2x + 24 &> 12 \\ -2x^2 + 2x + 12 &> 0 \end{aligned} \]

Vi deler på \( {-2}\text{.} \) Når vi deler en ulikhet på et negativt tall, snur ulikhetstegnet: \[ x^2 - x - 6 < 0 \]

2. Faktoriser med abc-formelen Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Minus ganger minus gir pluss, så \( {-\textcolor{red}{b} = -(\textcolor{red}{-1}) = 1}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{1 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \textcolor{darkorange}{3}} \) og \( {x = \textcolor{magenta}{-2}}\text{.} \)

Med nullpunktene kan vi faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - x - 6 = (\textcolor{magenta}{x + 2})(\textcolor{darkorange}{x - 3}) \]

3. Sett opp et fortegnsskjema Faktoren \( {\textcolor{magenta}{x + 2}} \) skifter fortegn i \( {x = -2}\text{,} \) og \( {\textcolor{darkorange}{x - 3}} \) i \( {x = 3}\text{.} \) Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "x^2 - x - 6", "expr": "x^2 - x - 6"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

Produktet er negativt mellom nullpunktene. Ulikheten har \( {<}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ -2 < x < 3 \]