Eksamensoppgaver etter tema

Ingen av trekantene er rettvinklet. Vi lager derfor to rettvinklede trekanter ved å trekke en linje fra \( D \) vinkelrett ned på \( AC\text{.} \)

1. Lag to rettvinklede trekanter 0:30 Vi kaller punktet der linja fra \( D \) treffer \( AC\text{,} \) for \( M\text{.} \) I trekant \( DMC \) er vinklene \( 90^\circ \) og \( 30^\circ\text{,} \) så vinkelen ved \( D \) er: \[ 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]Hele vinkelen ved \( D \) er \( 120^\circ\text{,} \) så vinkelen \( ADM \) er \( {120^\circ - 60^\circ = 60^\circ}\text{,} \) og vinkelen ved \( A \) er \( 30^\circ\text{.} \)

Trekantene \( AMD \) og \( CMD \) har de samme vinklene og den felles siden \( DM\text{,} \) så de er like store, som speilbilder av hverandre. Derfor er \( {AM = MC}\text{.} \)

2. Finn MC med cosinus 2:10 Definisjonen av cosinus forteller oss at: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{green}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

I trekant \( DMC \) er \( \textcolor{green}{MC} \) hosliggende katet til vinkelen \( 30^\circ\text{,} \) og hypotenusen er \( {\textcolor{blue}{DC} = \textcolor{blue}{\sqrt{3}}}\text{.} \) Vi løser for \( \textcolor{green}{MC} \) og bruker at \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{MC} &= \cos 30^\circ \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{MC} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

3. Legg sammen de to delene 3:20 Siden \( {AM = \textcolor{green}{MC} = \dfrac{3}{2}}\text{,} \) er: \[ AC = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 3 \]

Alternativ metode: Sinussetningen I trekant \( ACD \) er vinkelen ved \( A \) lik \( {180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ}\text{.} \) Sinussetningen gir, som i videoen Sinussetningen: \[ \begin{aligned} \dfrac{AC}{\sin 120^\circ} &= \dfrac{DC}{\sin 30^\circ} \\ AC &= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} \\ AC &= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}} = 3 \end{aligned} \]Den er raskest når du kjenner sinussetningen godt.

Vi bruker \( {AC = 3} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i trekantene \( ACD \) og \( ABC\text{.} \) Vi finner arealet av hver med arealsetningen og legger sammen.

1. Finn vinkel B med sinussetningen 0:49 Sinussetningen forteller oss at forholdet mellom en side og sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant. I trekant \( ABC \) står \( \textcolor{red}{CB} \) mot vinkelen \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen \( \textcolor{blue}{B}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{CB}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{B}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{CB} &= \textcolor{red}{\sqrt{6}} & \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{45^\circ} & \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{3} \end{aligned} \]

Løser vi for \( \sin \textcolor{blue}{B} \) og bruker at \( {\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{blue}{B} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3} \cdot \sin \textcolor{red}{45^\circ}}{\textcolor{red}{\sqrt{6}}} \\ \sin B &= \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {B = 60^\circ}\text{.} \)

Merk – To mulige trekanter: \( \sin 120^\circ \) er også \( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{,} \) så målene passer med to trekanter. Med \( {B = 120^\circ} \) blir \( {AB = \dfrac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}}\text{,} \) og firkanten får arealet \( \dfrac{9}{4}\text{.} \) Figuren viser at vinkelen ved \( B \) er spiss, så vi bruker \( {B = 60^\circ}\text{.} \)

2. Finn arealet av trekant ACD 4:27 Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

I trekant \( ACD \) er vinkelen \( \textcolor{green}{30^\circ} \) ved \( C \) mellom \( {\textcolor{blue}{AC} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{DC} = \textcolor{red}{\sqrt{3}}}\text{:} \) \[ T_{ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \]

3. Finn AB med høyden fra C Vi trekker en linje fra \( C \) vinkelrett ned på \( AB\text{,} \) slik vi gjorde i a), og kaller fotpunktet \( E\text{.} \) I de to rettvinklede trekantene er \( {AC = 3} \) og \( {CB = \sqrt{6}} \) hypotenusene. Med \( {\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) og \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) blir: \[ \begin{aligned} AE &= 3 \cdot \cos 45^\circ = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ EB &= \sqrt{6} \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned} \]Det gir: \[ AB = AE + EB = \dfrac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \]

4. Legg sammen arealene 5:27 I trekant \( ABC \) er vinkelen \( 45^\circ \) ved \( A \) mellom \( AC \) og \( AB\text{.} \) Arealsetningen gir: \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ T_{ABC} &= \dfrac{3(6 + 2\sqrt{3})}{8} = \dfrac{9 + 3\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

Til sammen: \[ \begin{aligned} T_{ABCD} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{4} + \dfrac{9 + 3\sqrt{3}}{4} \\ T_{ABCD} &= \dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS 6:00 Sinussetningen i trekant \( ABC \) gir \( {\sin B = \dfrac{3 \cdot \sin 45^\circ}{\sqrt{6}}}\text{.} \) Med \( {B = 60^\circ} \) er vinkelen ved \( C \) lik \( {180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( \sin B \) og de to arealene med arealsetningen i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: s := 3*sin(45°)/sqrt(6) A1 := 1/2*3*sqrt(3)*sin(30°) A2 := 1/2*3*sqrt(6)*sin(75°) A := A1 + A2

CAS gir \( {s = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) så \( {B = 60^\circ}\text{,} \) og arealet \( {\dfrac{3}{4}(2\sqrt{3} + 3)}\text{,} \) som er det samme som \( {\dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4}}\text{.} \)

Vi finner arealet av de første grå trekantene og ser hvilket mønster de følger. Så skriver vi opp summen av de 100 første.

1. Regn ut de første grå arealene 1:18 Vi kaller arealet av trekanten Maria starter med, \( A\text{.} \) Når hun deler en trekant, får hun fire like store trekanter, så hver av dem har \( \dfrac{1}{4} \) av arealet. Den første grå trekanten er én av fire i den store trekanten: \[ T_1 = A \cdot \dfrac{1}{4} \]

Den andre grå trekanten er én av fire i den øverste trekanten, som har arealet \( {A \cdot \dfrac{1}{4}}\text{:} \) \[ T_2 = A \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = A \cdot \dfrac{1}{4^2} \]På samme måte er \( {T_3 = A \cdot \dfrac{1}{4^3}}\text{.} \)

2. Følg mønsteret 3:21 For hver ny grå trekant ganger vi med \( \dfrac{1}{4} \) én gang til. Eksponenten er nummeret til trekanten, så den grå trekanten nummer \( \textcolor{red}{n} \) har arealet: \[ T_{\textcolor{red}{n}} = A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{n}}} \]

3. Sett opp summen 3:53 Summen av de 100 første grå trekantene er: \[ \begin{aligned} S_{100} &= A \cdot \dfrac{1}{4} + A \cdot \dfrac{1}{4^2} \\ &\quad + \dots + A \cdot \dfrac{1}{4^{100}} \\ S_{100} &= \textcolor{darkorange}{A}\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \dots + \dfrac{1}{4^{100}}\right) \end{aligned} \]Vi har satt \( \textcolor{darkorange}{A} \) utenfor parentesen, fordi den står i alle leddene.

Som algoritme i steg: Start med summen 0. For hver \( \textcolor{red}{n} \) fra 1 til 100 legger vi \( {A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{n}}}} \) til summen. Til slutt er summen \( S_{100}\text{.} \)

Vi bruker algoritmen fra a): den grå trekanten nummer \( n \) har arealet \( {A \cdot \dfrac{1}{4^n}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi lar en løkke gå gjennom de 100 grå trekantene, regner ut arealet av hver og legger det til summen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne arealet av trekant nummer \( n\text{,} \) som i a), og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje 1:21 Programmet står i svaret. Linje 1 setter startarealet \( {A = 36}\text{,} \) og linje 3 setter summen til 0 før vi har lagt til noe.

Løkka i linje 5 går gjennom \( {i = 0, 1, 2, \dots, 99}\text{,} \) altså 100 ganger. Fordi \( i \) starter på 0, er trekantens nummer \( {\textcolor{red}{i + 1}}\text{.} \) Linje 6 regner derfor ut arealet av den grå trekanten nummer \( {\textcolor{red}{i + 1}}\text{:} \) \[ \texttt{areal} = A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{i + 1}}} \]Linje 7 legger arealet til summen, og linje 9 skriver ut summen.

2. Kjør programmet 4:32 Programmet skriver ut \( 11{,}999999999999998\text{.} \) Hver ny trekant legger til mindre og mindre, så summen kommer nærmere og nærmere 12 uten å nå det. Summen av arealene er altså omtrent 12.

\( ABCD \) er et rektangel, så \( C \) ligger rett over \( B\text{.} \) Bredden er derfor \( 3\text{,} \) og høyden er \( f(3)\text{.} \)

1. Finn bredden og høyden 0:25 \( A \) ligger i origo og \( B \) i \( (3, 0)\text{,} \) så bredden er \( \textcolor{blue}{3}\text{.} \) Alle vinklene i et rektangel er \( 90^\circ\text{,} \) så \( C \) ligger rett over \( B\text{,} \) på grafen til \( f\text{.} \) Høyden er derfor: \[ \textcolor{red}{f(3)} = \dfrac{10}{3^2 + 3} = \dfrac{10}{12} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} \]

2. Regn ut arealet 1:12 Arealet av et rektangel er bredde ganger høyde: \[ T = \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2} \]

1. Regn ut i CAS 0:55 Vi definerer \( f \) i CAS med \( {:=} \) og regner ut bredden \( b\text{,} \) høyden \( h \) og arealet \( {b \cdot h}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 10/(x^2+3), x>0 b := 3 h := f(3) A := b*h

CAS gir høyden \( {h = \dfrac{5}{6}} \) og arealet \( \dfrac{5}{2}\text{.} \)

Når \( B \) ligger i \( (x, 0)\text{,} \) er bredden \( x \) og høyden \( f(x)\text{.} \) Vi lager en funksjon for arealet og finner toppunktet.

1. Sett opp arealfunksjonen 0:22 Arealet er bredde ganger høyde, så: \[ \begin{aligned} A(x) &= x \cdot f(x) \\ A(x) &= x \cdot \dfrac{10}{x^2 + 3} = \dfrac{10x}{x^2 + 3} \end{aligned} \]Her er \( A(x) \) arealet, og \( {x > 0}\text{.} \)

2. Deriver med kvotientregelen Arealet er størst der \( {A'(x) = 0}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{10x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{10} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 3}) - \textcolor{red}{10x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 3})^2} \\ A'(x) &= \dfrac{30 - 10x^2}{(x^2 + 3)^2} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Nevneren er alltid positiv, så \( {A'(x) = 0} \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 30 - 10x^2 &= 0 \\ x^2 &= 3 \\ x &= \sqrt{3} \end{aligned} \]Vi tar bare den positive løsningen, fordi \( {x > 0}\text{.} \)

For \( {x < \sqrt{3}} \) er telleren positiv, og for \( {x > \sqrt{3}} \) er den negativ. Arealet vokser altså fram til \( {x = \sqrt{3}} \) og avtar etterpå, så det er størst der, og \( B \) må ligge i \( (\sqrt{3}, 0)\text{.} \)

1. Finn toppunktet til arealet 1:17 Vi skriver inn \( f\text{,} \) arealet \( {A(x) = x \cdot f(x)} \) og finner toppunktet med Maks. Siden \( {x > 0}\text{,} \) starter vi like over 0 og slutter på et stort tall:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = 10/(x^2+3), x>0 A(x) = x*f(x) T = Maks(A, 0.01, 10000)

Toppunktet er \( {T \approx (1{,}7321,\ 2{,}8868)}\text{,} \) så arealet er størst når \( {x \approx 1{,}73}\text{.} \) \( B \) ligger på \( x \)-aksen, så \( {B \approx (1{,}73,\ 0)}\text{.} \)

Tangenten er en rett linje gjennom \( (0, 23)\text{.} \) Stigningstallet er den deriverte i punktet der linja rører parabelen, så vi finner det punktet først.

1. Skriv opp formen til tangenten 1:03 En rett linje har stigningstallet \( \textcolor{red}{a} \) og skjærer \( y \)-aksen i \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) som i videoen Tangentlinje: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Tangenten går gjennom \( (0, 23)\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{23}}\text{.} \)

2. Finn stigningstallet med den deriverte 1:27 Vi kaller \( x \)-verdien der tangenten rører parabelen, for \( \textcolor{green}{t}\text{.} \) Der er stigningstallet lik den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Konstanten 20 har derivert 0, så: \[ p'(x) = -\dfrac{2}{12}x = -\dfrac{1}{6}x \]Stigningstallet er altså \( {\textcolor{red}{a} = -\dfrac{1}{6}\textcolor{green}{t}}\text{.} \)

3. Finn punktet der tangenten rører parabelen 4:34 I \( {x = \textcolor{green}{t}} \) har parabelen og tangenten samme \( y \)-verdi: \[ -\dfrac{1}{12}\textcolor{green}{t}^2 + 20 = -\dfrac{1}{6}\textcolor{green}{t} \cdot \textcolor{green}{t} + \textcolor{blue}{23} \]

Vi samler leddene med \( t^2 \) på venstre side og tallene på høyre side: \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{12}t^2 + \dfrac{1}{6}t^2 &= 23 - 20 \\ \dfrac{1}{12}t^2 &= 3 \\ t^2 &= 36 \end{aligned} \]Det gir \( {t = 6} \) eller \( {t = -6}\text{.} \) Tangenten på figuren rører parabelen til høyre for \( y \)-aksen, så \( {\textcolor{green}{t} = \textcolor{green}{6}}\text{.} \)

4. Sett sammen tangenten 7:43 Stigningstallet er: \[ \textcolor{red}{a} = -\dfrac{1}{6} \cdot \textcolor{green}{6} = -1 \]Med \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{23}} \) blir tangenten \( {y = -x + 23}\text{.} \)

Vanlig feil: ✗ \( {a = 6}\text{,} \) fordi tangenten rører i \( {x = 6}\text{.} \) ✓ \( {a = -\dfrac{1}{6} \cdot 6 = -1}\text{.} \)

Vi bruker tangenten \( {y = -x + 23} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Kameraet ser ikke det som ligger under tangenten, fordi taket er i veien. Tyven er skjult mellom veggen og punktet der tangenten treffer bakken.

1. Se hva kameraet ser 1:23 Lys går i rette linjer. Kameraet står i \( (0, 23)\text{,} \) og tangenten er linja som så vidt går klar av taket. Til høyre for veggen ser kameraet bare det som ligger over tangenten, så en tyv på bakken er skjult fram til tangenten treffer bakken.

2. Finn der tangenten treffer bakken 3:00 Bakken er \( x \)-aksen, så vi setter \( {y = 0} \) i tangenten: \[ \begin{aligned} 0 &= -x + 23 \\ x &= \textcolor{red}{23} \end{aligned} \]

3. Finn veggen 3:30 Veggen står der parabelen treffer bakken, altså der \( {p(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{12}x^2 + 20 &= 0 \\ \dfrac{1}{12}x^2 &= 20 \\ x^2 &= 240 \\ x &= \sqrt{240} \approx \textcolor{blue}{15{,}49} \end{aligned} \]Vi ser på veggen til høyre, så \( x \) er positiv.

4. Regn ut avstanden 4:47 Tyven er skjult fra veggen og ut til der tangenten treffer bakken: \[ \textcolor{red}{23} - \textcolor{blue}{15{,}49} \approx 7{,}5 \]

Merk – Tyvens høyde: Står tyven oppreist, blir han sett før. Tangenten synker 1 meter for hver meter bortover, så en tyv som er \( h \) meter høy, kan bevege seg omtrent \( {7{,}5 - h} \) meter fra veggen.

Dette er en tredjegradslikning. Vi gjetter oss fram til én løsning, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.

1. Gjett én løsning 0:17 Vi kaller venstre side \( P(x)\text{.} \) Dette er del 1, så en av løsningene er nok et lite heltall. Vi prøver \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(1) &= 1^3 - 7 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 + 16 \\ P(1) &= 1 - 7 - 10 + 16 = 0 \end{aligned} \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ P(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{P(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {P(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon 1:30 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -6x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-7x^2 + x^2 = -6x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-10x} \) og \( 16\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-6x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-6x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-6x} \\ \textcolor{magenta}{-6x} \cdot (x - 1) &= -6x^2 + 6x \\ -(-6x^2 + 6x) &= \textcolor{magenta}{6x^2 - 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 6x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x^2}} & {}- 10x & {}+ 16 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{6x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 6x} & \\ \hline & & -16x & {}+ 16 \end{array} \end{array} \]\( {-6x^2} \) strykes mot \( 6x^2\text{,} \) \( {-10x - 6x = -16x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 16\text{.} \) Linja \( {-16x + 16} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-16x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-16x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-16} \\ \textcolor{blue}{-16} \cdot (x - 1) &= -16x + 16 \\ -(-16x + 16) &= \textcolor{blue}{16x - 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 6x} \textcolor{blue}{{}- 16} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x^2}} & {}- 10x & {}+ 16 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{6x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 6x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-16x}} & {}+ 16 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{16x}} & \textcolor{blue}{{}- 16} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-16x} \) strykes mot \( 16x\text{,} \) og \( {16 - 16 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 7x^2 - 10x + 16 \\ &= (x - 1)(x^2 - 6x - 16) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen 4:10 Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 1} \) gir \( {x = 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 6x - 16 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-6}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-16}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-6}) = 6}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{6 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-6})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-16})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \dfrac{6 \pm 10}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{16}{2} = 8} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \)

Vi bruker nullpunktene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafene har ingen tall på aksene. Vi ser derfor på hvor grafen skjærer \( y \)-aksen, og på om nullpunktene er positive eller negative.

1. Finn skjæringspunktet med y-aksen 0:25 Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= 0^3 - 7 \cdot 0^2 - 10 \cdot 0 + 16 \\ f(0) &= \textcolor{blue}{16} \end{aligned} \]

Grafen skjærer altså \( y \)-aksen i et positivt tall, over \( x \)-aksen. A og B skjærer \( y \)-aksen under \( x \)-aksen, så de kan ikke være grafen til \( f\text{.} \)

2. Bruk nullpunktene fra a) 1:48 Nullpunktene til \( f \) er løsningene av \( {f(x) = 0}\text{,} \) og den likningen løste vi i a): \[ x = \textcolor{red}{-2}, \quad x = 1 \quad \text{og} \quad x = 8 \]Det er \( \textcolor{red}{\text{ett negativt}} \) og to positive nullpunkter.

C har ett nullpunkt til venstre for \( y \)-aksen og to til høyre. D har to nullpunkter til venstre for \( y \)-aksen, så D kan ikke være grafen til \( f\text{.} \) Bare C passer.

Høyden deler den likesidede trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi finner vinklene og sidene i den ene halvdelen og bruker definisjonene av sinus og cosinus.

1. Finn vinklene og sidene Alle vinklene i en likesidet trekant er like store, og vinkelsummen er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]Trekanten er symmetrisk om høyden, så høyden deler toppvinkelen i to. Hver halvdel har derfor vinklene \( 60^\circ\text{,} \) \( 30^\circ \) og \( 90^\circ\text{.} \)

Høyden deler også grunnlinja på midten, så den korte kateten er \( \textcolor{red}{1}\text{.} \) Hypotenusen er en side i den likesidede trekanten, \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \)

2. Bruk definisjonene av sinus og cosinus Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( v \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \sin v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \\ \cos v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Kateten \( \textcolor{red}{1} \) er motstående katet til \( 30^\circ \) og hosliggende katet til \( 60^\circ\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \\ \cos 60^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \end{aligned} \]Begge er \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Vi gjør det samme som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der trekanten gir \( \sin 45^\circ\text{.} \)

Vi bruker \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi arealet med arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{b} \) og \( \textcolor{red}{c} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom dem er: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{b} = AC = \textcolor{blue}{6}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = AB = \textcolor{red}{10}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{,} \) og fra a) vet vi at \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{10} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 15 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, og skal finne siden som står mot vinkelen. Da bruker vi cosinussetningen.

1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss hvor lang en side er når vi kjenner de to andre sidene og vinkelen mellom dem. I trekant \( PQR \) står \( QR \) mot vinkelen \( \textcolor{green}{P} \) mellom \( \textcolor{blue}{PQ} \) og \( \textcolor{red}{PR}\text{:} \) \[ \begin{aligned} QR^2 &= \textcolor{blue}{PQ}^2 + \textcolor{red}{PR}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{PQ} \cdot \textcolor{red}{PR} \cdot \cos \textcolor{green}{P} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{PQ} &= \textcolor{blue}{8} & \textcolor{red}{PR} &= \textcolor{red}{3} & \textcolor{green}{P} &= \textcolor{green}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), får vi: \[ \begin{aligned} QR^2 &= \textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{3}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \cos \textcolor{green}{60^\circ} \\ QR^2 &= 64 + 9 - 48 \cdot \dfrac{1}{2} = 49 \\ QR &= \sqrt{49} = 7 \end{aligned} \]