Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

62 oppgaver i 1T · viser 11–20

Oppgavene

1T vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

5 poeng

Gitt figuren ovenfor.

Oppgave 2a)

Bruk trigonometri til å bestemme lengden av sidekanten AB. AB\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Avrundet til to desimaler:
AB≈1,93‾‾ \underline{\underline{AB \approx 1{,}93}}
I trekant \( ABC \) kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi den tredje siden \( AB \) med cosinussetningen.
Metode: Med kalkulator
1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss hvor lang en side er, når vi kjenner de to andre sidene og vinkelen mellom dem. I trekant \( ABC \) står \( AB \) mot vinkelen \( \textcolor{green}{C} \) mellom \( \textcolor{blue}{AC} \) og \( \textcolor{red}{CB}\text{:} \) \[ \begin{aligned} AB^2 &= \textcolor{blue}{AC}^2 + \textcolor{red}{CB}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AC} \cdot \textcolor{red}{CB} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} & \textcolor{red}{CB} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{green}{C} &= \textcolor{green}{105^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i cosinussetningen, får vi: \[ \begin{aligned} AB^2 &= (\textcolor{blue}{\sqrt{2}})^2 + \textcolor{red}{1}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \cos \textcolor{green}{105^\circ} \\ AB^2 &\approx 2 + 1 + 0{,}7321 = 3{,}7321 \end{aligned} \]Siden \( \cos 105^\circ \) er negativ, blir det siste leddet positivt.
Vi tar kvadratroten, fordi en lengde er positiv: \[ AB \approx \sqrt{3{,}7321} \approx 1{,}93 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi skriver cosinussetningen inn i CAS, med gradtegn på vinkelen, og regner ut med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: AB := sqrt(sqrt(2)^2 + 1^2 - 2*sqrt(2)*1*cos(105°)) AB
CAS gir \( {AB = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}9319}\text{,} \) altså \( {AB \approx 1{,}93}\text{.} \)

Oppgave 2b)

Bruk trigonometri til å bestemme arealet av trekanten ABD. ABD\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til to desimaler er arealet av trekant ABD ABD
T≈1,47‾‾ \underline{\underline{T \approx 1{,}47}}
Linja \( AC \) deler trekant \( ABD \) i trekantene \( ACD \) og \( ACB\text{.} \) Vi finner \( DC \) med sinussetningen og legger sammen arealene av de to trekantene.
Metode: Med kalkulator
1. Finn vinklene i trekant ACD Vinklene \( ACD \) og \( ACB \) ligger inntil hverandre langs linja \( DB\text{,} \) så de er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle ACD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \]I trekant \( ACD \) er vinklene da \( 45^\circ\text{,} \) \( 60^\circ \) og \( 75^\circ\text{.} \)
2. Finn DC med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at forholdet mellom en side og sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant. I trekant \( ACD \) står \( \textcolor{red}{DC} \) mot vinkelen \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen \( \textcolor{blue}{D}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{DC}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{D}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{45^\circ} & \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} & \textcolor{blue}{D} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i sinussetningen, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{DC}}{\sin \textcolor{red}{45^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{2}}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} \\ DC &= \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 1{,}1547 \end{aligned} \]
3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Vi deler figuren i to trekanter og legger sammen, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.
I trekant \( ACD \) er vinkelen mellom \( AC \) og \( DC \) lik \( 75^\circ\text{,} \) og i trekant \( ACB \) er vinkelen mellom \( AC \) og \( CB \) lik \( 105^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ACD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1{,}1547 \cdot \sin 75^\circ \\ T_{ACD} &\approx 0{,}7887 \\ T_{ACB} &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \sin 105^\circ \\ T_{ACB} &\approx 0{,}6830 \end{aligned} \]
Til sammen: \[ T_{ABD} \approx 0{,}7887 + 0{,}6830 \approx 1{,}47 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vinkelen \( ACD \) er \( {180^\circ - 105^\circ = 75^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( DC \) med sinussetningen og legger sammen arealene med arealsetningen i CAS:
Skriv inn i GeoGebra: DC := sqrt(2)*sin(45°)/sin(60°) T := 1/2*sqrt(2)*DC*sin(75°) + 1/2*sqrt(2)*1*sin(105°) T
CAS gir \( {DC = \dfrac{2}{3}\sqrt{3}} \) og \( {T \approx 1{,}4717}\text{,} \) så arealet av trekant \( ABD \) er omtrent \( 1{,}47\text{.} \)

1T vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

6 poeng

Vipa er en kritisk truet fugleart i Norge.
I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.
A˚rVipebestand(par)2013900020222500 \begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Vipebestand} \\ & \text{(par)} \\ \hline 2013 & 9000 \\ 2022 & 2500 \end{array}
Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.
La x x være antall år etter 2013.

Oppgave 3a)

Lag en modell f f som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Med stigningstallet avrundet til én desimal går bestanden ned med omtrent 722 par per år og er borte mellom 2025 og 2026:
f(x)≈−722,2x+9000‾‾ \underline{\underline{f(x) \approx -722{,}2x + 9000}}
Lineær nedgang betyr at bestanden går ned med like mange par hvert år. Vi finner den rette linja gjennom punktene \( (0, 9000) \) og \( (9, 2500)\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Finn stigningstallet og konstantleddet En lineær modell har stigningstallet \( \textcolor{red}{a} \) og konstantleddet \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) som er verdien når \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{9000}}\text{.} \) Stigningstallet er endringen i bestanden delt på antall år fra 2013 til 2022: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{2500 - 9000}{9 - 0} \\ \textcolor{red}{a} &= -\dfrac{6500}{9} \approx \textcolor{red}{-722{,}2} \end{aligned} \]
Det gir modellen: \[ f(x) \approx \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} \]
2. Forklar hva modellen forteller Stigningstallet forteller at bestanden går ned med omtrent 722 par hvert år. Vi finner når den blir \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -722{,}2x + 9000 &= 0 \\ x &= \dfrac{9000}{722{,}2} \approx 12{,}5 \end{aligned} \]Ifølge modellen er vipa borte omtrent 12,5 år etter 2013, altså mellom 2025 og 2026. Etter det gir modellen negative tall, så den kan bare brukes fram til da.
Metode: Med GeoGebra
1. Lag modellen med regresjon Vi lager en liste med de to punktene, bruker lineær regresjon med RegLin og finner nullpunktet med Nullpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} f(x) = RegLin(l1) N = Nullpunkt(f)
GeoGebra gir \( {f(x) \approx -722{,}2222x + 9000} \) og nullpunktet \( {N \approx (12{,}4615,\ 0)}\text{.} \) Bestanden går ned med omtrent 722 par hvert år og er borte mellom 2025 og 2026.

Oppgave 3b)

Lag en modell g g som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Med vekstfaktoren avrundet til fire desimaler går bestanden ned med omtrent 13,3 % per år og blir aldri helt borte:
g(x)≈9000⋅0,8673x‾‾ \underline{\underline{g(x) \approx 9000 \cdot 0{,}8673^x}}
Eksponentiell nedgang betyr at bestanden går ned med samme prosent hvert år. Modellen har formen \( {9000 \cdot v^x}\text{,} \) og vekstfaktoren \( v \) finner vi fra tallet for 2022.
Metode: Med kalkulator
1. Finn vekstfaktoren En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{v} \) én gang per år. I 2013 er bestanden \( \textcolor{blue}{9000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{v}^x \]
I 2022 er \( {x = 9} \) og bestanden 2500. Vi setter opp likningen som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{v}^9 = 2500 \]
Vi deler med 9000 og tar niende rot, som er det samme som å opphøye i \( \dfrac{1}{9}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{v}^9 &= \dfrac{2500}{9000} \\ \textcolor{red}{v} &= \sqrt[9]{\dfrac{2500}{9000}} \approx \textcolor{red}{0{,}8673} \end{aligned} \]
Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x \]
2. Forklar hva modellen forteller Vekstfaktoren er mindre enn 1, så bestanden går ned. Nedgangen per år er 1 minus vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor: \[ 1 - 0{,}8673 = 0{,}1327 = 13{,}27\,\% \]Bestanden går ned med omtrent 13,3 % hvert år.
Hvert år forsvinner færre par, fordi 13,3 % av en mindre bestand er færre par. Bestanden blir mindre og mindre, men \( {9000 \cdot 0{,}8673^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så ifølge modellen dør vipa aldri helt ut.
Metode: Med GeoGebra
1. Lag modellen med regresjon Vi lager en liste med de to punktene og bruker eksponentiell regresjon med RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} g(x) = RegEksp(l1)
GeoGebra gir \( {g(x) \approx 9000 \cdot 0{,}8673^x}\text{.} \) Bestanden går ned med omtrent 13,3 % hvert år og blir aldri helt borte.
Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.
Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen p. p\text{.} Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen q. q\text{.} Nedenfor ser du grafene til de to modellene.

Oppgave 3c)

Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen q. q\text{.} Bestem p(x) p(x) og q(x). q(x)\text{.}
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Egil antar at bestanden stabiliserer seg på 2000 par, og at parene over 2000 blir færre med en fast prosent hvert år (vekstfaktoren avrundet til fire desimaler):
p(x)≈7000⋅0,7459x‾‾q(x)≈7000⋅0,7459x+2000‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{p(x) \approx 7000 \cdot 0{,}7459^x}} \\ &\underline{\underline{q(x) \approx 7000 \cdot 0{,}7459^x + 2000}} \end{aligned}
Vi sammenligner punktene på grafene til \( p \) og \( q \) og ser hvor grafen til \( q \) flater ut. Så finner vi \( p \) fra de to punktene, og \( q \) fra \( p\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Gjør rede for antakelsene Hvert punkt på \( q \) ligger 2000 over punktet på \( p\text{:} \) \( {7000 + 2000 = 9000} \) og \( {500 + 2000 = 2500}\text{.} \) Derfor er \[ q(x) = \textcolor{red}{p(x)} + \textcolor{blue}{2000} \]
Egil antar for det første at bestanden stabiliserer seg på \( \textcolor{blue}{2000} \) par. Når \( \textcolor{red}{p(x)} \) går mot \( 0\text{,} \) nærmer \( q(x) \) seg den stiplede linja \( {y = 2000}\text{.} \)
For det andre antar han at det bare er parene over 2000 som blir færre, og at de blir færre med samme prosent hvert år. Det er denne delen \( \textcolor{red}{p(x)} \) beskriver.
For det tredje passer modellen med tallene: \( {q(0) = 9000} \) i 2013 og \( {q(9) = 2500} \) i 2022.
2. Bestem modellene Modellen \( p \) er eksponentiell, starter på 7000 og har en vekstfaktor \( w\text{:} \) \[ p(x) = 7000 \cdot w^x \]
Punktet \( (9, 500) \) gir: \[ 7000 \cdot w^9 = 500 \]
Vi deler med 7000 og tar niende rot, som i b): \[ \begin{aligned} w^9 &= \dfrac{500}{7000} \\ w &= \sqrt[9]{\dfrac{500}{7000}} \approx 0{,}7459 \end{aligned} \]
Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{p(x)} &\approx \textcolor{red}{7000 \cdot 0{,}7459^x} \\ q(x) &\approx \textcolor{red}{7000 \cdot 0{,}7459^x} + \textcolor{blue}{2000} \end{aligned} \]Vekstfaktoren \( 0{,}7459 \) betyr at antall par over 2000 går ned med omtrent 25,4 % hvert år, som i videoen Vekstfaktor.
Metode: Med GeoGebra
1. Lag modellene med regresjon Punktene på \( q \) ligger 2000 over punktene på \( p\text{.} \) Vi finner derfor \( p \) med RegEksp gjennom de to punktene, legger til 2000 og tegner linja \( {y = 2000}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 7000), (9, 500)} p(x) = RegEksp(l2) q(x) = p(x) + 2000 h: y = 2000
GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x \\ q(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x + 2000 \end{aligned} \]Den grå grafen er \( p \) og den blå er \( q\text{.} \) Grafen til \( q \) nærmer seg linja \( {y = 2000}\text{,} \) og det er den stabile bestanden Egil antar.

1T vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Kristian er kunstner. Han arbeider med et prosjekt der han skal lage en serie med figurer ved å lime kuler på pinner.
Ovenfor ser du de fire først figurene i serien. For å lage figur 4 har Kristian brukt 7 pinner og 12 kuler.
Tenk deg at Kristian skal lage de 50 første figurene i denne serien.
Lag et program som beregner og skriver ut hvor mange kuler han vil trenge, og hvor mange pinner han vil trenge.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Vi finner hvor mange pinner og kuler figur nummer \( n \) har. Så lar vi en løkke gå gjennom figur 1 til 50 og legge sammen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne antallet i figur \( n\text{,} \) som i steg 1, og på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Finn antallet i hver figur Figur \( n \) har \( n \) loddrette pinner og \( {n - 1} \) vannrette pinner: \[ \text{pinner} = n + (n - 1) = \textcolor{blue}{2n - 1} \]
Det sitter en kule der hver loddrett pinne krysser en vannrett pinne. Det er \( n \) kuler på hver av de \( {n - 1} \) vannrette pinnene: \[ \text{kuler} = \textcolor{red}{n(n - 1)} \]
Kontroll: Figur 4 gir \( {2 \cdot 4 - 1 = 7} \) pinner og \( {4 \cdot 3 = 12} \) kuler, som i oppgaven.
2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 starter med 0 kuler og 0 pinner. Løkka i linje 4 går gjennom figur 1 til 50, fordi \( \texttt{range(1, 51)} \) stopper før 51, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.
Linje 5 legger til kulene \( {\textcolor{red}{n(n - 1)}} \) i figur \( n\text{,} \) og linje 6 pinnene \( {\textcolor{blue}{2n - 1}}\text{.} \) Programmet regner altså ut: \[ \begin{aligned} \text{kuler} &= \textcolor{red}{0 + 2 + 6 + \dots + 2450} \\ \text{pinner} &= \textcolor{blue}{1 + 3 + 5 + \dots + 99} \end{aligned} \]
Linje 8 og 9 skriver ut svarene: Kristian trenger \( 41\,650 \) kuler og \( 2500 \) pinner.

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Løs ulikheten
x2+4x−5<0 x^2 + 4x - 5 < 0
Vis løsning på oppgave 1

Svar

Ulikheten gjelder for
−5<x<1‾‾ \underline{\underline{-5 < x < 1}}
Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 05:54
Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer. Så ser vi i et fortegnsskjema hvor uttrykket er negativt.
1. Finn nullpunktene med abc-formelen 0:19 Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]
Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-5})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{-4 \pm 6}{2} \end{aligned} \]
Det gir nullpunktene: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-4 + 6}{2} = \textcolor{darkorange}{1} \\ x_2 &= \dfrac{-4 - 6}{2} = \textcolor{magenta}{-5} \end{aligned} \]
2. Lag et fortegnsskjema 2:40 Med nullpunktene kan vi faktorisere uttrykket, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]
Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{1}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{-5}}\text{.} \) Vi kaller venstre side \( P(x)\text{,} \) så ulikheten blir: \[ P(x) = (\textcolor{darkorange}{x - 1})(\textcolor{magenta}{x + 5}) < 0 \]
Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{x - 1}} \) skifter fortegn i \( {x = 1}\text{,} \) og \( {\textcolor{magenta}{x + 5}} \) i \( {x = -5}\text{.} \) Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-5, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 5}", "expr": "x + 5"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x - 1)(x + 5)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)
Produktet er negativt mellom nullpunktene. Ulikheten har \( {<}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ -5 < x < 1 \]

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Bestem nullpunktene til funksjonen f f gitt ved
f(x)=x3−5x2−8x+12 f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Funksjonen har tre nullpunkter:
x=−2,x=1ogx=6‾‾ \underline{\underline{x = -2, \quad x = 1 \quad \text{og} \quad x = 6}}
Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 07:25
Dette er en tredjegradsfunksjon. Vi prøver oss fram til ett nullpunkt, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.
1. Prøv små heltall 0:00 Nullpunktene er der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Dette er del 1, så ett av nullpunktene er nok et lite heltall. Vi prøver \( {x = 1}\text{:} \) \[ f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0 \]
Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {f(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.
2. Del med polynomdivisjon 1:38 Vi deler \( f(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -4x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-5x^2 + x^2 = -4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-8x} \) og \( 12\text{.} \)
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-4x} \\ \textcolor{magenta}{-4x} \cdot (x - 1) &= -4x^2 + 4x \\ -(-4x^2 + 4x) &= \textcolor{magenta}{4x^2 - 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & -12x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( {-4x^2} \) strykes mot \( 4x^2\text{,} \) \( {-8x - 4x = -12x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 12\text{.} \) Linja \( {-12x + 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-12x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-12x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-12} \\ \textcolor{blue}{-12} \cdot (x - 1) &= -12x + 12 \\ -(-12x + 12) &= \textcolor{blue}{12x - 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \textcolor{blue}{{}- 12} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-12x}} & {}+ 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{12x}} & \textcolor{blue}{{}- 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-12x} \) strykes mot \( 12x\text{,} \) og \( {12 - 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 5x^2 - 8x + 12 \\ &= (x - 1)(x^2 - 4x - 12) \end{aligned} \]
3. Løs andregradslikningen 5:04 Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 1} \) gir \( {x = 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 4x - 12 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-4}) = 4}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{12}{2} = 6} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \)

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

En rasjonal funksjon f f er gitt ved
f(x)=2x+6x2+4 f(x) = \dfrac{2x + 6}{x^2 + 4}
Hvilke av påstandene nedenfor er riktige? Husk å begrunne svarene dine.
Påstand 1 Grafen til f f har nøyaktig ett nullpunkt.
Påstand 2 Grafen til f f har ingen vertikale asymptoter.
Påstand 3 Grafen til f f skjærer aldri y y -aksen.
Påstand 4 Grafen til f f har horisontal asymptote y=2. {y = 2}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Grafen skjærer y y -aksen i (0,32), {\left(0, \dfrac{3}{2}\right)}\text{,} og den horisontale asymptoten er y=0: {y = 0}\text{:}
Pa˚stand 1 og 2 er riktige‾‾Pa˚stand 3 og 4 er feil‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Påstand 1 og 2 er riktige}}} \\ &\underline{\underline{\text{Påstand 3 og 4 er feil}}} \end{aligned}
Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 05:34
Vi tar påstandene én for én. Alle handler om telleren \( {\textcolor{blue}{2x + 6}} \) eller nevneren \( {\textcolor{red}{x^2 + 4}}\text{,} \) så vi ser hva som skjer med dem.
1. Avgjør påstand 1 0:09 Nullpunktene finner vi ved å sette \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0 \) og nevneren ikke er det: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{2x + 6}}{\textcolor{red}{x^2 + 4}} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \textcolor{blue}{2x + 6} = 0 \]
Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2x &= -6 \\ x &= -3 \end{aligned} \]Der er nevneren \( {(-3)^2 + 4 = 13}\text{,} \) så \( {x = -3} \) er det eneste nullpunktet. Påstand 1 er riktig.
2. Avgjør påstand 2 2:00 En vertikal asymptote kan vi bare få der nevneren er \( 0\text{.} \) Et tall i annen er aldri negativt, så: \[ \textcolor{red}{x^2 + 4} \ge 0 + 4 = 4 \]Nevneren blir altså aldri \( 0\text{,} \) og grafen har ingen vertikale asymptoter. Påstand 2 er riktig.
3. Avgjør påstand 3 3:18 Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \]Grafen skjærer \( y \)-aksen i \( {\left(0, \dfrac{3}{2}\right)}\text{,} \) så påstand 3 er feil.
4. Avgjør påstand 4 4:34 Når telleren har lavere grad enn nevneren, er den horisontale asymptoten \( {y = 0}\text{.} \) Her har telleren \( {\textcolor{blue}{2x + 6}} \) grad 1, og nevneren \( {\textcolor{red}{x^2 + 4}} \) har grad 2: \[ \text{grad } \textcolor{blue}{1} < \text{grad } \textcolor{red}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 0 \]Når \( x \) blir stor, positiv eller negativ, vokser nevneren mye raskere enn telleren, så brøken går mot \( 0\text{.} \) Asymptoten er \( {y = 0}\text{,} \) ikke \( {y = 2}\text{,} \) så påstand 4 er feil.

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

2 poeng

For fem år siden vant Oskar i Lotto. Han satte pengene i banken og har fått 4,5 % rente per år. I dag har han 250 000 kroner på kontoen.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan vi bruke for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto?
1)250 000⋅0,95552)250 0001,04553)250 000⋅1,04554)250 000⋅0,955−55)250 0000,95556)250 000⋅1,045−5 \begin{aligned} \text{1)} &\quad 250\,000 \cdot 0{,}955^5 \\ \text{2)} &\quad \dfrac{250\,000}{1{,}045^5} \\ \text{3)} &\quad 250\,000 \cdot 1{,}045^5 \\ \text{4)} &\quad 250\,000 \cdot 0{,}955^{-5} \\ \text{5)} &\quad \dfrac{250\,000}{0{,}955^5} \\ \text{6)} &\quad 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5} \end{aligned}
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Gevinsten er V=250 0001,0455, {V = \dfrac{250\,000}{1{,}045^5}}\text{,} så vi kan bruke
uttrykk 2 og uttrykk 6‾‾ \underline{\underline{\text{uttrykk 2 og uttrykk 6}}}
Oppgave 4 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 05:29
Vi ser først hvilke uttrykk som er like. Så setter vi opp en likning for beløpet Oskar vant, og ser hvilke uttrykk som passer.
1. Se hvilke uttrykk som er like 0:17 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.
Derfor er uttrykk 4 og 5 like, og uttrykk 2 og 6 like: \[ \begin{aligned} 250\,000 \cdot \textcolor{darkorange}{0{,}955^{-5}} &= \dfrac{250\,000}{\textcolor{darkorange}{0{,}955^5}} \\ 250\,000 \cdot \textcolor{blue}{1{,}045^{-5}} &= \dfrac{250\,000}{\textcolor{blue}{1{,}045^5}} \end{aligned} \]
2. Sett opp en likning 1:21 En rente på 4,5 % gir vekstfaktoren: \[ 1 + 0{,}045 = \textcolor{blue}{1{,}045} \]
Hvert år ganges beløpet med \( \textcolor{blue}{1{,}045}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Kaller vi gevinsten \( \textcolor{red}{V}\text{,} \) har den etter fem år vokst til: \[ \textcolor{red}{V} \cdot \textcolor{blue}{1{,}045}^5 = 250\,000 \]
3. Løs for gevinsten 4:41 Vi deler begge sider på \( \textcolor{blue}{1{,}045}^5\text{:} \) \[ \textcolor{red}{V} = \dfrac{250\,000}{\textcolor{blue}{1{,}045}^5} \]Det er uttrykk 2, og fra steg 1 vet vi at uttrykk 6 er det samme.
De andre passer ikke. Uttrykk 3 regner fem år fram i tid, og \( 0{,}955 \) i uttrykk 1, 4 og 5 er vekstfaktoren for en nedgang på 4,5 %.

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

5 poeng

Oppgave 5a)

Bruk trekanten ovenfor til å vise at sin⁡45∘=12 {\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}}
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
De spisse vinklene er 45∘, 45^\circ\text{,} katetene 1 1 og hypotenusen 2, \sqrt{2}\text{,} så
sin⁡45∘=12‾‾ \underline{\underline{\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}}}
Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 03:24
Trekanten er rettvinklet og har to like lange kateter. Vi finner vinklene og hypotenusen, og bruker definisjonen av sinus.
1. Finn vinklene 0:30 Katetene er like lange, så de to andre vinklene er like store. Vi kaller dem \( \textcolor{green}{v}\text{.} \) Summen av vinklene i en trekant er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} 90^\circ + \textcolor{green}{v} + \textcolor{green}{v} &= 180^\circ \\ 2\textcolor{green}{v} &= 90^\circ \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]
2. Finn hypotenusen 2:00 Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{red}{k_1}^2 + \textcolor{red}{k_2}^2 = \textcolor{blue}{h}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Oppgave 3B (Pytagoras).
Begge katetene er \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{1}^2 + \textcolor{red}{1}^2 &= \textcolor{blue}{h}^2 \\ \textcolor{blue}{h}^2 &= 2 \\ \textcolor{blue}{h} &= \sqrt{2} \end{aligned} \]
3. Bruk definisjonen av sinus 2:46 Definisjonen av sinus forteller oss at: \[ \sin \textcolor{green}{v} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.
Mot vinkelen \( \textcolor{green}{45^\circ} \) står en katet som er \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og hypotenusen er \( \textcolor{blue}{\sqrt{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \sin \textcolor{green}{45^\circ} = \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{\sqrt{2}}} \]
Gitt en trekant ABC ABC der AB=32, {AB = 3\sqrt{2}}\text{,} AC=8 {AC = 8} og ∠A=45∘ {\angle A = 45^\circ}

Oppgave 5b)

Bestem arealet av trekanten.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Arealet av trekant ABC ABC er
T=12‾‾ \underline{\underline{T = 12}}
Oppgave 5B - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 02:30
Vi bruker \( {\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).
Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi arealet med arealsetningen.
1. Bruk arealsetningen 1:00 Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3\sqrt{2}}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{8}} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{45^\circ}}\text{,} \) og fra a) vet vi at \( {\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{8} \cdot \sin \textcolor{green}{45^\circ} \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\textcolor{darkorange}{\sqrt{2}} \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{darkorange}{\sqrt{2}}} \end{aligned} \]
Vi stryker \( \textcolor{darkorange}{\sqrt{2}} \) mot \( \textcolor{darkorange}{\sqrt{2}}\text{:} \) \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 = 12 \]
Gitt en trekant PQR PQR der PQ=32, {PQ = 3\sqrt{2}}\text{,} PR=8 {PR = 8} og ∠P=140∘ {\angle P = 140^\circ}

Oppgave 5c)

Hvilken av trekantene ABC ABC og PQR PQR har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Sidene er like lange, og sin⁡140∘<sin⁡45∘, {\sin 140^\circ < \sin 45^\circ}\text{,} så
trekant ABC har størst areal‾‾ \underline{\underline{\text{trekant } ABC \text{ har størst areal}}}
Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 07:54
Vi bruker arealsetningen og arealet \( 12 \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Trekantene har like lange sider rundt vinkelen. Da er det sinus til vinkelen som avgjør hvilken som har størst areal.
1. Sammenlign arealene 1:13 Arealsetningen gir begge arealene med de samme to sidene, \( 3\sqrt{2} \) og \( 8\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin \textcolor{blue}{45^\circ} \\ T_{PQR} &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin \textcolor{red}{140^\circ} \end{aligned} \]Alt er likt bortsett fra sinusverdien, så trekanten med størst sinusverdi har størst areal.
2. Sammenlign sinusverdiene 2:21 Grafen til sinus fra \( 0^\circ \) til \( 180^\circ \) er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) og jo lenger fra \( 90^\circ \) vi går, desto mindre blir sinusverdien:
Vinklene ligger så langt fra \( 90^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} 90^\circ - \textcolor{blue}{45^\circ} &= 45^\circ \\ \textcolor{red}{140^\circ} - 90^\circ &= 50^\circ \end{aligned} \]\( \textcolor{red}{140^\circ} \) ligger lengst fra \( 90^\circ\text{,} \) så \( {\sin \textcolor{red}{140^\circ} < \sin \textcolor{blue}{45^\circ}}\text{.} \) Dermed er \( {T_{PQR} < T_{ABC} = 12}\text{.} \)
Alternativ metode: Sinus til en stump vinkel Mange lærebøker bruker at \( {\sin(180^\circ - v) = \sin v}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \sin 140^\circ &= \sin(180^\circ - 140^\circ) \\ \sin 140^\circ &= \sin 40^\circ \end{aligned} \]Sinus vokser fra \( 0^\circ \) til \( 90^\circ\text{,} \) så \( {\sin 40^\circ < \sin 45^\circ}\text{.} \) Regelen er rask når du husker den, og grafen viser hvorfor den stemmer.

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

3 poeng

Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.
Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.
Vis løsning på oppgave 6

Svar

Programmet skriver ut femkanttallene opp til 60, og hvert nytt skall har 3 kuler mer enn det forrige:
1, 5, 12, 22, 35 og 51‾‾Differansen øker med 3‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{1,\ 5,\ 12,\ 22,\ 35 \text{ og } 51}} \\ &\underline{\underline{\text{Differansen øker med } 3}} \end{aligned}
Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 08:02
Vi tenker som datamaskinen og går gjennom programmet linje for linje. Så ser vi hvordan figurene vokser, og kobler det til differansen i programmet.
1. Følg programmet linje for linje 2:09 Linje 1 og 2 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 1} \) og \( {\textcolor{red}{\texttt{differanse}} = 4}\text{.} \) Så lenge \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} \le 60}\text{,} \) skriver linje 5 ut tallet, linje 6 legger differansen til tallet, og linje 7 legger 3 til differansen.
I første runde skrives 1 ut, \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) blir \( {1 + 4 = 5}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) blir \( {4 + 3 = 7}\text{.} \) Vi fører hver runde i en tabell: \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Skrives ut} & \textcolor{blue}{\texttt{tall}} & \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \\ \hline 1 & 5 & 7 \\ 5 & 12 & 10 \\ 12 & 22 & 13 \\ 22 & 35 & 16 \\ 35 & 51 & 19 \\ 51 & 70 & 22 \end{array} \]Nå er \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 70}\text{,} \) som er større enn 60, så løkka stopper før 70 blir skrevet ut.
2. Gjør rede for sammenhengen 5:49 Figurene viser femkanttallene 1, 5, 12 og 22, de samme tallene som programmet skriver ut. Hver figur er den forrige med et nytt skall av kuler utenpå: \[ 1 \xrightarrow{+\textcolor{red}{4}} 5 \xrightarrow{+\textcolor{red}{7}} 12 \xrightarrow{+\textcolor{red}{10}} 22 \]
Hvert skall har 3 kuler mer enn det forrige: \[ \textcolor{red}{4} \xrightarrow{+3} \textcolor{red}{7} \xrightarrow{+3} \textcolor{red}{10} \]Det nye skallet dekker tre av sidene i femkanten, og hver av dem blir én kule lengre.
Det er sammenhengen Siri har oppdaget. \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) er femkanttallet, og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) er antall kuler i neste skall. Den starter på 4 og øker med 3 for hver figur, og derfor legger linje 7 til 3.

1T høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

8 poeng

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.
LengdeVekt(cm)(gram)501190703320805070100961012016 08013021 590 \begin{array}{r|r} \text{Lengde} & \text{Vekt} \\ \text{(cm)} & \text{(gram)} \\ \hline 50 & 1190 \\ 70 & 3320 \\ 80 & 5070 \\ 100 & 9610 \\ 120 & 16\,080 \\ 130 & 21\,590 \end{array}
Sammenhengen kan beskrives med en modell F F gitt på formen
F(x)=a⋅xb F(x) = a \cdot x^b
der F(x) F(x) gram er vekten til en fisk som er x x centimeter lang.

Oppgave 1a)

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene a a og b. b\text{.} Tegn grafen til F. F\text{.}
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med a a avrundet til fire gjeldende siffer og b b til fire desimaler (grafen står i GeoGebra-bildet nedenfor):
a≈0,009657 og b≈2,9996‾‾F(x)≈0,009657⋅x2,9996‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{a \approx 0{,}009657 \text{ og } b \approx 2{,}9996}} \\ &\underline{\underline{F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996}}} \end{aligned}
Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b), c) og d) med modellen i svaret, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Lag en liste med punktene Vi skriver lengdene i kolonne A og vektene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør potensregresjon Potensregresjon finner de tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegPot(l1)
Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}999583}}\text{.} \) Grafen til \( F \) går nær alle de seks punktene.
I b), c) og d) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.
Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {a \approx 0{,}01} \) og \( {b \approx 3}\text{.} \) Regner vi videre med dem, blir stigningstallet i b) omtrent 218 i stedet for 210, og vekstfarten i c) 300 i stedet for 289.

Oppgave 1b)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (75,F(75)) (75, F(75)) og (95,F(95)). (95, F(95))\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til hele gram per centimeter. Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter:
ΔyΔx≈210 g/cm‾‾ \underline{\underline{\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \approx 210\,\text{g/cm}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Stigningstallet til linja gjennom to punkter på grafen er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( F(75) \) og \( F(95) \) først.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut funksjonsverdiene I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996} \]
Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{75}} \) og \( {x = \textcolor{red}{95}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{75}) &\approx 0{,}009657 \cdot \textcolor{blue}{75}^{2{,}9996} \\ &\approx \textcolor{blue}{4067{,}0} \\ F(\textcolor{red}{95}) &\approx 0{,}009657 \cdot \textcolor{red}{95}^{2{,}9996} \\ &\approx \textcolor{red}{8264{,}6} \end{aligned} \]
2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8264{,}6} - \textcolor{blue}{4067{,}0}}{\textcolor{red}{95} - \textcolor{blue}{75}} \\ &\approx 209{,}9\,\text{g/cm} \end{aligned} \]
Vekten er i gram og lengden i centimeter, så stigningstallet er gram per centimeter. Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram for hver centimeter fisken blir lengre.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut stigningstallet I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi skriver stigningstallet inn i Algebrafeltet:
Skriv inn i GeoGebra: s = (F(95) - F(75)) / (95 - 75)
GeoGebra gir \( {s \approx 209{,}8548}\text{.} \) Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter.

Oppgave 1c)

Bestem den momentane vekstfarten når x=100. {x = 100}\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Avrundet til hele gram per centimeter. Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter:
F′(100)≈289 g/cm‾‾ \underline{\underline{F'(100) \approx 289\,\text{g/cm}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Den momentane vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer modellen med potensregelen og setter inn \( {x = 100}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten, altså den deriverte, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
I a) fant vi \( {F(x) \approx \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}}} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Konstanten \( \textcolor{blue}{a} \) blir stående, så: \[ F'(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot x^{\textcolor{red}{b} - 1} \]
2. Sett inn lengden Vi ganger først sammen konstantene og setter så inn \( {x = 100}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} &\approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot \textcolor{red}{2{,}9996} \\ &\approx 0{,}028967 \\ F'(100) &\approx 0{,}028967 \cdot 100^{1{,}9996} \\ &\approx 289{,}1\,\text{g/cm} \end{aligned} \]
Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter den blir lengre.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut den deriverte I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra. Vi skriver den deriverte i \( {x = 100} \) inn i Algebrafeltet:
Skriv inn i GeoGebra: d = F'(100)
GeoGebra gir \( {F'(100) \approx 289{,}1038}\text{.} \) Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter.

Oppgave 1d)

Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med 20 % ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Avrundet til én desimal øker vekten med omtrent
72,8 %‾‾ \underline{\underline{72{,}8\,\%}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Når lengden øker med 20 %, ganges den med \( 1{,}2\text{.} \) Vi ser hva det gjør med vekten i modellen.
Metode: Med kalkulator
1. Sett inn den nye lengden En økning på 20 % gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}20 = \textcolor{green}{1{,}2}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. En fisk som er \( x \) cm lang, blir altså \( \textcolor{green}{1{,}2}x \) cm lang.
I a) fant vi \( {F(x) \approx a \cdot x^b}\text{.} \) Siden \( {(\textcolor{green}{1{,}2} \cdot x)^b = \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot x^b}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{green}{1{,}2}x) &= a \cdot (\textcolor{green}{1{,}2}x)^b \\ F(\textcolor{green}{1{,}2}x) &= \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot a \cdot x^b = \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot F(x) \end{aligned} \]Vekten ganges med \( \textcolor{green}{1{,}2}^b\text{,} \) uansett hvor lang fisken er.
2. Regn ut økningen Med \( {b \approx 2{,}9996} \) fra a) er vekstfaktoren for vekten: \[ 1{,}2^{2{,}9996} \approx 1{,}7279 \]
Økningen er vekstfaktoren minus 1: \[ 1{,}7279 - 1 = 0{,}7279 = 72{,}79\,\% \]Vekten øker altså med omtrent 72,8 %.
Metode: Med GeoGebra
1. Sammenlign to vekter Vi tar en fisk som er 100 cm, og en som er 20 % lengre, og deler vektene på hverandre:
Skriv inn i GeoGebra: k = F(1.2*100) / F(100)
GeoGebra gir \( {k \approx 1{,}7279}\text{,} \) så vekten øker med omtrent 72,8 %. Kalkulatorruten viser at det gjelder for alle lengder.