Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

vekstfaktor

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

15 oppgaver i 1P om vekstfaktor · viser 1–10

Oppgavene

1P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

1 poeng

Prisen for en vare settes opp med 10 %. 10\,\%\text{.} Litt senere settes prisen ned igjen med 10 %. 10\,\%\text{.}
Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.
Vis løsning på oppgave 6

Svar

Siden 1,10⋅0,90=0,99, {1{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99}\text{,} koster varen 1 % 1\,\% mindre:
Mindre enn før‾‾ \underline{\underline{\text{Mindre enn før}}}
Prisen endres to ganger med en prosent, så vi bruker vekstfaktorer. Ganger vi dem sammen, ser vi hvor stor del av den opprinnelige prisen varen koster nå.
1. Finn vekstfaktorene Vekstfaktoren er det prisen ganges med: \[ \begin{aligned} \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \\ \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er \( {p = 10} \) begge gangene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V_1} &= 1 + 0{,}10 = \textcolor{blue}{1{,}10} \\ \textcolor{red}{V_2} &= 1 - 0{,}10 = \textcolor{red}{0{,}90} \end{aligned} \]
2. Gang vekstfaktorene sammen Vi kaller den opprinnelige prisen \( P\text{.} \) Etter begge endringene er prisen: \[ P \cdot \textcolor{blue}{1{,}10} \cdot \textcolor{red}{0{,}90} = P \cdot 0{,}99 \]Varen koster nå \( 99\,\% \) av den opprinnelige prisen, altså \( 1\,\% \) mindre.
Grunnen er at nedgangen er \( 10\,\% \) av en høyere pris enn økningen var: \( 100 \) kroner blir \( 110 \) kroner, og \( 10\,\% \) av \( 110 \) er \( 11\text{,} \) så prisen ender på \( 99 \) kroner.

1P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

2 poeng

Christoffer har kjøpt ny båt. Båtens verdi er 850 000 850\,000 kroner. Anta at verdien vil falle med 20 % 20\,\% det første året og så med 6 % 6\,\% per år de neste fem årene.
Sett opp et uttrykk som kan brukes for å regne ut båtens verdi etter seks år.
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Båtens verdi i kroner etter seks år:
850 000⋅0,80⋅0,945‾‾ \underline{\underline{850\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}94^5}}
Verdien faller med en fast prosent hvert år, så vi ganger med en vekstfaktor én gang per år. Det første året har en annen vekstfaktor enn de fem neste.
1. Finn vekstfaktorene Når verdien faller med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Det første året faller verdien med \( 20\,\%\text{,} \) og de neste fem årene med \( 6\,\% \) per år: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V_1} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{blue}{0{,}80} \\ \textcolor{red}{V_2} &= 1 - 0{,}06 = \textcolor{red}{0{,}94} \end{aligned} \]
2. Gang med vekstfaktorene Etter det første året er verdien \( {850\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}}\text{.} \) Hvert av de fem neste årene ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}94}\text{,} \) og fem ganger er det samme som å opphøye i \( 5\text{:} \) \[ \underbrace{\textcolor{red}{0{,}94} \cdot \textcolor{red}{0{,}94} \cdot \ldots \cdot \textcolor{red}{0{,}94}}_{5 \text{ faktorer}} = \textcolor{red}{0{,}94}^5 \]Vi ganger altså verdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor.
Verdien etter seks år er derfor: \[ 850\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} \cdot \textcolor{red}{0{,}94}^5 \]

1P høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Lukas har kjøpt et deksel til mobilen. Dekselet kostet 200 kroner inkludert merverdiavgift. Merverdiavgiften er 25 %. 25\,\%\text{.}
Hvor mye betalte Lukas i merverdiavgift?
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Lukas betalte i merverdiavgift:
40 kroner‾‾ \underline{\underline{40 \text{ kroner}}}
200 kroner er prisen med merverdiavgift, og avgiften er \( 25\,\% \) av prisen uten avgift. Vi finner derfor prisen uten avgift med vekstfaktoren, og avgiften er forskjellen.
1. Finn vekstfaktoren Når en pris øker med \( p\,\%\text{,} \) ganger vi den med vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Merverdiavgiften legger \( 25\,\% \) til prisen, så \( {p = 25}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{V} = 1 + 0{,}25 = \textcolor{blue}{1{,}25} \]
2. Finn prisen uten avgift Vi kaller prisen uten merverdiavgift \( \textcolor{red}{x}\text{.} \) Ganget med vekstfaktoren blir den 200 kroner: \[ \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{1{,}25} = 200 \]
Vi deler med \( \textcolor{blue}{1{,}25} \) på begge sider, og ganger så teller og nevner med 4, slik at nevneren blir et helt tall: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x} &= \dfrac{200}{\textcolor{blue}{1{,}25}} = \dfrac{200 \cdot 4}{1{,}25 \cdot 4} \\ \textcolor{red}{x} &= \dfrac{800}{5} = \textcolor{red}{160} \end{aligned} \]
3. Trekk fra prisen uten avgift Merverdiavgiften er forskjellen mellom prisen med og uten avgift: \[ 200 - \textcolor{red}{160} = 40 \text{ kroner} \]
Kontroll: \( 25\,\% \) av \( 160 \) kroner er \( {\dfrac{160}{4} = 40} \) kroner, og \( {160 + 40 = 200}\text{.} \)

1P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

Verdien av en aksje har gått ned med 23 %. 23\,\%\text{.} Hvor mange prosent må verdien øke med for at aksjen skal ha samme verdi som før nedgangen?
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Avrundet til én desimal må verdien øke med:
Omtrent 29,9 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 29{,}9\,\%}}
Etter nedgangen er verdien lavere, og økningen tilbake regnes av den lavere verdien. Vi bruker vekstfaktorer og finner den som får verdien tilbake.
Metode: For hånd
1. Finn vekstfaktoren for nedgangen Når en verdi går ned med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er \( {p = 23}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{V_1} = 1 - 0{,}23 = \textcolor{red}{0{,}77} \]
2. Finn vekstfaktoren tilbake Vi kaller vekstfaktoren for økningen \( \textcolor{blue}{V_2}\text{.} \) Etter begge endringene skal aksjen ha samme verdi som før, så produktet av vekstfaktorene er 1: \[ \textcolor{red}{0{,}77} \cdot \textcolor{blue}{V_2} = 1 \]
Vi deler med \( \textcolor{red}{0{,}77} \) på begge sider: \[ \textcolor{blue}{V_2} = \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}77}} \approx 1{,}2987 = 1 + 0{,}2987 \]Det er en økning på omtrent \( 29{,}9\,\%\text{,} \) altså mer enn de \( 23\,\% \) verdien gikk ned.
Kontroll: En aksje til 100 kroner faller til 77 kroner, og \( {77 \cdot 1{,}2987 \approx 100}\text{.} \)

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

3 poeng

Lars har spart penger i flere år. Han har nå 120 000 120\,000 kroner. Pengene står på en konto i banken. Lars vil fortsette å spare og har en plan. Han har laget programmet nedenfor.
Hva forteller programmet om planen til Lars?
Hva vil verdiene som skrives ut, fortelle Lars?
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Lars setter inn 24 000 24\,000 kroner hvert år og får 5,8 % 5{,}8\,\% rente til han har minst én million kroner, og utskriften viser:
Antall a˚r det tar‾‾Beløpet han da har‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Antall år det tar}}} \\ &\underline{\underline{\text{Beløpet han da har}}} \end{aligned}
Vi går gjennom programmet linje for linje, slik datamaskinen gjør. Så ser vi hva som skjer med kontoen hvert år, og når løkka stopper.
1. Les startverdiene Linje 1 til 4 gir startverdiene: Lars har \( 120\,000 \) kroner på kontoen, sparebeløpet er \( \textcolor{blue}{24\,000} \) kroner, vekstfaktoren er \( \textcolor{red}{1{,}058} \) og telleren for år starter på \( 0\text{.} \)
For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er: \[ \textcolor{red}{1{,}058} = 1 + 0{,}058 = 1 + \dfrac{5{,}8}{100} \]Kontoen gir altså \( 5{,}8\,\% \) rente.
2. Les hva løkka gjør Vi går gjennom løkka linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Hver runde er ett år, fordi linje 11 legger \( 1 \) til året. Linje 8 setter inn \( \textcolor{blue}{24\,000} \) kroner, og linje 9 ganger det som står på kontoen, med \( \textcolor{red}{1{,}058}\text{:} \) \[ \text{ny konto} = (\text{konto} + \textcolor{blue}{24\,000}) \cdot \textcolor{red}{1{,}058} \]Sparebeløpet settes inn før renten legges til, så det får rente det samme året.
Linje 6 gjentar dette så lenge kontoen har mindre enn \( 1\,000\,000 \) kroner. Planen er altså å sette inn \( 24\,000 \) kroner hvert år, med \( 5{,}8\,\% \) rente, til Lars har minst én million kroner.
3. Tolk utskriften Løkka stopper første gang kontoen har \( 1\,000\,000 \) kroner eller mer. Linje 13 skriver da ut året, altså hvor mange år Lars må spare før han har én million kroner. Linje 14 skriver ut hvor mye han da har på kontoen, som er minst én million kroner.

1P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Tabellen nedenfor viser antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.
Ma˚nedAntall registrertetilfellerJanuar 202329Mai 202393Oktober 2023164Februar 2024284August 20241035Oktober 20241657 \begin{array}{r|r} \text{Måned} & \begin{array}{c} \text{Antall registrerte} \\ \text{tilfeller} \end{array} \\ \hline \text{Januar 2023} & 29 \\ \text{Mai 2023} & 93 \\ \text{Oktober 2023} & 164 \\ \text{Februar 2024} & 284 \\ \text{August 2024} & 1035 \\ \text{Oktober 2024} & 1657 \end{array}
La x x være antall måneder etter desember 2022. Det vil si at x=1 {x = 1} tilsvarer januar 2023, x=3 {x = 3} tilsvarer mars 2023, og så videre.

Oppgave 1a)

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen K K gitt ved
K(x)=27,8⋅1,2x K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x
er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Modellverdiene ligger nær tallene i tabellen, og eksponentiell regresjon gir 27,809⋅1,1987x, {27{,}809 \cdot 1{,}1987^x}\text{,} som avrundet er K(x): K(x)\text{:}
K er en god modell‾‾ \underline{\underline{K \text{ er en god modell}}}
Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( K(x) \) for månedene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi eksponentiell regresjon på punktene.
Metode: Med kalkulator
1. Finn x for månedene i tabellen Desember 2022 er \( {x = 0}\text{,} \) og desember 2023 er \( {x = 12}\text{.} \) Februar 2024 er derfor \( {x = 12 + 2 = 14}\text{.} \) Slik får vi: \[ \begin{array}{l|r} \text{Måned} & x \\ \hline \text{Januar 2023} & 1 \\ \text{Mai 2023} & 5 \\ \text{Oktober 2023} & 10 \\ \text{Februar 2024} & 14 \\ \text{August 2024} & 20 \\ \text{Oktober 2024} & 22 \end{array} \]
2. Regn ut modellverdiene For mai 2023 er \( {x = 5}\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \textcolor{red}{K(5)} = 27{,}8 \cdot 1{,}2^5 \approx \textcolor{red}{69{,}2} \]
Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{K(x)} \) for alle seks månedene, avrundet til hele tilfeller, og setter verdiene ved siden av de \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{\text{Registrert}} & \textcolor{red}{K(x)} \\ \hline 1 & \textcolor{blue}{29} & \textcolor{red}{33} \\ 5 & \textcolor{blue}{93} & \textcolor{red}{69} \\ 10 & \textcolor{blue}{164} & \textcolor{red}{172} \\ 14 & \textcolor{blue}{284} & \textcolor{red}{357} \\ 20 & \textcolor{blue}{1035} & \textcolor{red}{1066} \\ 22 & \textcolor{blue}{1657} & \textcolor{red}{1535} \end{array} \]
3. Vurder modellen De \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene vokser fra \( \textcolor{blue}{29} \) til \( \textcolor{blue}{1657}\text{,} \) til mer enn \( 50 \) ganger så mange. \( \textcolor{red}{\text{Modellverdiene}} \) følger den veksten hele veien, og ingen av dem bommer med mer enn omtrent en firedel av det registrerte tallet. Derfor er \( K \) en god modell for perioden.
Metode: Med GeoGebra
1. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x} \) som går så nær punktene som mulig, der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren. Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)
GeoGebra gir \( {f(x) \approx \textcolor{blue}{27{,}809} \cdot \textcolor{red}{1{,}1987}^x}\text{.} \) Avrundet til én desimal er det \( {\textcolor{blue}{27{,}8} \cdot \textcolor{red}{1{,}2}^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( K \) en god modell.

Oppgave 1b)

Gi en praktisk tolkning av tallet 1,2 1{,}2 i modellen.
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
1,2 1{,}2 er vekstfaktoren i modellen, og antallet øker med:
20 % per ma˚ned‾‾ \underline{\underline{20\,\% \text{ per måned}}}
Tallet \( 1{,}2 \) er vekstfaktoren i modellen. Vi gjør den om til en prosent.
Metode: For hånd
1. Tolk vekstfaktoren For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er: \[ 1{,}2 = 1 + 0{,}20 = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{20}}{100} \]Hver måned ganges antallet med \( 1{,}2\text{.} \) Ifølge modellen øker antall registrerte tilfeller altså med \( \textcolor{red}{20}\,\% \) per måned.

Oppgave 1c)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (4,K(4)) (4, K(4)) og (21,K(21)). (21, K(21))\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Ifølge modellen økte antallet tilfeller per måned i gjennomsnitt med omtrent 72 72 hver måned fra april 2023 til september 2024 (stigningstallet avrundet til én desimal):
a≈71,8‾‾ \underline{\underline{a \approx 71{,}8}}
Linja går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.
Metode: For hånd
1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Her er punktene \( (\textcolor{blue}{4}, \textcolor{red}{K(4)}) \) og \( (\textcolor{blue}{21}, \textcolor{red}{K(21)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} K(\textcolor{blue}{4}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{4}} \approx \textcolor{red}{57{,}65} \\ K(\textcolor{blue}{21}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{21}} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{red}{57{,}65}}{\textcolor{blue}{21} - \textcolor{blue}{4}} \\ a &\approx \dfrac{1221{,}29}{17} \approx 71{,}8 \end{aligned} \]
2. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. Fra april 2023 til september 2024 økte antall registrerte tilfeller per måned altså i gjennomsnitt med omtrent \( 72 \) for hver måned, ifølge modellen.

Oppgave 1d)

Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Ifølge modellen, avrundet til et helt antall:
Omtrent 5499 tilfeller‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 5499 \text{ tilfeller}}}
Vi finner \( x \) for mai 2025 og setter inn i modellen.
Metode: For hånd
1. Finn x for mai 2025 Desember 2024 er \( 24 \) måneder etter desember 2022, og mai 2025 er \( 5 \) måneder etter det: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]
2. Sett inn i modellen Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall måneder, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]

1P høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Lisa driver en butikk. Butikken skal begynne å selge et nytt produkt 1. januar 2025. Lisa håper å selge 1000 enheter av produktet i januar. Hun håper også at salget av produktet vil øke hver måned.
Lisa har laget de to programmene nedenfor.
Program 1
Program 2

Oppgave 4a)

Gi en praktisk tolkning av koden Lisa bruker i linje 7 i hvert av programmene.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Linje 7 bestemmer hvor mye salget øker fra en måned til den neste:
Program 1: 4 % mer hver ma˚ned‾‾Program 2: 40 flere hver ma˚ned‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Program 1: } 4\,\% \text{ mer hver måned}}} \\ &\underline{\underline{\text{Program 2: } 40 \text{ flere hver måned}}} \end{aligned}
Variabelen \( e \) er salget i en måned, og den starter på 1000 i januar. Linje 7 regner ut salget neste måned fra salget denne måneden, så vi leser hva linja gjør med \( e\text{.} \)
1. Les linje 7 i program 1 I program 1 ganger linje 7 salget med \( \textcolor{blue}{1{,}04} \) hver måned. Det er en vekstfaktor. Når noe øker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er: \[ \textcolor{blue}{1{,}04} = 1 + 0{,}04 = 1 + \dfrac{4}{100} \]Salget øker altså med \( 4\,\% \) fra en måned til den neste.
2. Les linje 7 i program 2 I program 2 legger linje 7 til \( \textcolor{red}{40} \) hver måned. Salget øker altså med \( \textcolor{red}{40} \) enheter fra en måned til den neste, like mye hver gang.

Oppgave 4b)

Hva vil verdiene som skrives ut fortelle Lisa?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Verdiene er hvor mange enheter Lisa selger til sammen i 2025, med 4 % 4\,\% økning per måned (program 1) og 40 40 flere per måned (program 2):
t=salget i hele 2025‾‾ \underline{\underline{t = \text{salget i hele 2025}}}
Vi bruker tolkningen av linje 7 fra a).
Vi følger løkka og ser hva den legger til i \( t \) hver gang, og hvor mange ganger den kjører.
1. Følg løkka Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 til 3 setter salget i januar til \( {e = 1000}\text{,} \) totalen til \( {\textcolor{red}{t} = 0} \) og måneden til \( {\textcolor{blue}{m} = 1}\text{.} \)
Løkka i linje 5 kjører så lenge \( {\textcolor{blue}{m} \le 12}\text{,} \) altså for \( {\textcolor{blue}{m} = 1, 2, \dots, 12}\text{:} \) én gang for hver måned fra januar til desember. Hver gang legger linje 6 salget den måneden til \( \textcolor{red}{t}\text{,} \) linje 7 regner ut salget neste måned, og linje 8 går til neste måned.
2. Tolk utskriften Når løkka stopper, er salget i hver måned fra januar til desember lagt sammen i \( \textcolor{red}{t}\text{,} \) og linje 10 skriver det ut: \[ \textcolor{red}{t} = e_{\text{jan}} + e_{\text{feb}} + \dots + e_{\text{des}} \]Verdien er altså hvor mange enheter Lisa selger til sammen i 2025: med \( 4\,\% \) økning per måned i program 1, og med \( 40 \) flere enheter per måned i program 2.

1P høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Funksjonen P P gitt ved
P(x)=3600⋅0,85x+600 P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600
er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis x x år etter 2010.

Oppgave 1a)

Vis hvordan du på to ulike måter kan finne ut hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven i 2010.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Begge måtene gir at det i 2010 abonnerte:
4200 personer‾‾ \underline{\underline{4200\,\text{personer}}}
I 2010 er \( {x = 0}\text{.} \) Vi kan regne ut \( P(0)\text{,} \) eller lese startverdien av modellen og av grafen.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut P(0) Den første måten er å regne ut \( P(0)\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{.} \) Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ a^0 = 1 \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.
Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{0{,}85^0} + 600 \\ P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{1} + 600 = 4200 \end{aligned} \]
2. Les av startverdien Den andre måten er å lese av modellen. Den er et eksponentielt ledd \( {\textcolor{blue}{3600} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}^x} \) pluss et fast antall \( \textcolor{green}{600}\text{.} \) Det eksponentielle leddet starter på \( \textcolor{blue}{3600} \) og ganges med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{0{,}85} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2010 har det ikke gått noe år ennå, så antallet er: \[ \textcolor{blue}{3600} + \textcolor{green}{600} = 4200 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut og les av grafen Vi skriver inn modellen, regner ut \( P(0) \) og finner punktet der grafen skjærer y-aksen med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 s = P(0) A = Skjæring(P, yAkse)
Regningen gir \( {s = 4200}\text{,} \) og grafen skjærer y-aksen i \( {A = (0, 4200)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Oppgave 1b)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (4,P(4)) (4, P(4)) og (14,P(14)). (14, P(14))\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Med stigningstallet avrundet til én desimal gikk antallet abonnenter på papirutgaven ned med i gjennomsnitt omtrent 151 personer per år fra 2014 til 2024:
Stigningstallet≈−150,9‾‾ \underline{\underline{\text{Stigningstallet} \approx -150{,}9}}
Stigningstallet er endringen i \( P \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( P(4) \) og \( P(14)\text{,} \) og deler forskjellen på de \( 10 \) årene mellom dem.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut de to verdiene Vi setter inn \( {x = 4} \) og \( {x = 14} \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{4}) &= 3600 \cdot 0{,}85^{\textcolor{blue}{4}} + 600 \\ &\approx \textcolor{red}{2479{,}22} \\ P(\textcolor{blue}{14}) &= 3600 \cdot 0{,}85^{\textcolor{blue}{14}} + 600 \\ &\approx \textcolor{red}{969{,}97} \end{aligned} \]
2. Finn stigningstallet Stigningstallet til linja gjennom to punkter er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]
Med punktene \( (\textcolor{blue}{4}, \textcolor{red}{P(4)}) \) og \( (\textcolor{blue}{14}, \textcolor{red}{P(14)}) \) får vi: \[ a \approx \dfrac{\textcolor{red}{969{,}97} - \textcolor{red}{2479{,}22}}{\textcolor{blue}{14} - \textcolor{blue}{4}} \approx -150{,}9 \]
3. Tolk stigningstallet \( {x = 4} \) er 2014, og \( {x = 14} \) er 2024. Antallet som abonnerte på papirutgaven, gikk altså ned med i gjennomsnitt omtrent \( 151 \) personer per år fra 2014 til 2024.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg linja gjennom punktene Vi lager de to punktene og legger en rett linje gjennom dem med RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 A = (4, P(4)) B = (14, P(14)) f(x) = RegLin({A, B})
Linja gjennom punktene er: \[ y \approx -150{,}9252x + 3082{,}9232 \]Stigningstallet er altså omtrent \( {-150{,}9}\text{:} \) antallet gikk ned med omtrent \( 151 \) personer per år fra 2014 til 2024.
I 2019 abonnerte 1000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % 5{,}5\,\% hvert år fra 2019 til 2024.

Oppgave 1c)

Hvilket år var det for første gang flere personer som abonnerte på den digitale utgaven av avisen enn på papirutgaven?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
I 2022 abonnerte for første gang flere på den digitale utgaven enn på papirutgaven, omtrent 1174 mot 1112:
2022‾‾ \underline{\underline{2022}}
Begge modellene gir antallet abonnenter år for år. Vi lager en modell for den digitale utgaven og sammenligner de to antallene for hvert år fra 2019.
Metode: Med kalkulator
1. Modeller den digitale utgaven Antallet øker med \( 5{,}5\,\% \) hvert år, så vekstfaktoren er \( {1 + 0{,}055 = \textcolor{red}{1{,}055}}\text{.} \) Etter noen år er antallet startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i antall år: \[ \text{verdi} = \textcolor{blue}{\text{startverdi}} \cdot \textcolor{red}{V}^{\text{antall år}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Vekstfaktor.
Startverdien er \( \textcolor{blue}{1000} \) i 2019. Med \( x \) år etter 2010 er 2019 \( {x = 9}\text{,} \) og antall år etter 2019 er \( {x - 9}\text{:} \) \[ D(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{1{,}055}^{x - 9} \]
2. Sammenlign år for år Vi regner ut \( P(x) \) og \( D(x) \) for hvert år fra 2019 med kalkulatoren, med én desimal: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \text{År} & x & P(x) & D(x) \\ \hline 2019 & 9 & 1433{,}8 & 1000{,}0 \\ 2020 & 10 & 1308{,}7 & 1055{,}0 \\ 2021 & 11 & 1202{,}4 & 1113{,}0 \\ \textcolor{green}{2022} & 12 & 1112{,}1 & \textcolor{green}{1174{,}2} \end{array} \]Til og med 2021 abonnerte flest på papirutgaven. I \( \textcolor{green}{2022} \) abonnerte for første gang flere på den digitale utgaven.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut verdiene i CAS Vi definerer \( P \) og \( D \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut verdiene for 2021 (\( {x = 11} \)) og 2022 (\( {x = 12} \)) med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 D(x) := 1000*1.055^(x - 9) P(11) D(11) P(12) D(12)
I 2021 abonnerte omtrent 1202 på papir og 1113 digitalt, og i 2022 omtrent 1112 på papir og 1174 digitalt. Papirutgaven går ned og den digitale opp hvert år, så papirutgaven hadde flest også før 2021, og 2022 er det første året med flere digitale abonnenter.

1P høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

2 poeng

Prisen for en vare ble satt opp med 10 % 10\,\% i juni og med 20 % 20\,\% i august. I oktober ble prisen satt ned med 30 %. 30\,\%\text{.}
Vil varen nå koste mer, mindre eller like mye som den gjorde før prisen ble satt opp første gang? Husk å begrunne svaret ditt.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Siden 1,10⋅1,20⋅0,70=0,924, {1{,}10 \cdot 1{,}20 \cdot 0{,}70 = 0{,}924}\text{,} koster varen 7,6 % 7{,}6\,\% mindre:
Mindre enn før‾‾ \underline{\underline{\text{Mindre enn før}}}
Prisen endres tre ganger, og hver endring regnes av prisen slik den er da. Vi ganger derfor sammen vekstfaktorene og ser om produktet blir større eller mindre enn 1.
Metode: For hånd
1. Finn vekstfaktorene Vekstfaktoren er det prisen ganges med: \[ \begin{aligned} \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \\ \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
For de tre endringene er: \[ \begin{aligned} \text{Juni: } & 1 + 0{,}10 = \textcolor{blue}{1{,}10} \\ \text{August: } & 1 + 0{,}20 = \textcolor{blue}{1{,}20} \\ \text{Oktober: } & 1 - 0{,}30 = \textcolor{red}{0{,}70} \end{aligned} \]
2. Gang vekstfaktorene sammen Vi kaller prisen før juni \( P\text{.} \) Etter oktober er prisen: \[ P \cdot \textcolor{blue}{1{,}10} \cdot \textcolor{blue}{1{,}20} \cdot \textcolor{red}{0{,}70} = P \cdot 0{,}924 \]Varen koster nå \( 92{,}4\,\% \) av prisen før, altså \( 7{,}6\,\% \) mindre.
Grunnen er at nedgangen på \( 30\,\% \) regnes av en pris som allerede er satt opp to ganger: \( 100 \) kroner blir \( 110\text{,} \) så \( 132\text{,} \) og til slutt \( {132 \cdot 0{,}70 = 92{,}40} \) kroner.

1P høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

For 8 måneder siden hadde Isabel 290 000 290\,000 følgere på Snapchat. I dag har hun 340 000 340\,000 følgere.

Oppgave 5a)

Sett opp et uttrykk for en funksjon f f som beskriver utviklingen dersom antallet følgere har økt med samme antall hver måned. Gjør rede for valg av funksjon.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Med x x måneder etter at hun hadde 290 000 290\,000 følgere, øker antallet med 6250 6250 hver måned:
f(x)=6250x+290 000‾‾ \underline{\underline{f(x) = 6250x + 290\,000}}
Når antallet øker med like mange hver måned, er utviklingen lineær. Vi finner økningen per måned og startverdien fra de to tellingene.
Metode: Med kalkulator
1. Velg funksjon Når antallet øker med det samme hver måned, er endringen per måned fast, og da er funksjonen lineær: \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) økningen per måned og \( \textcolor{blue}{b} \) antallet når \( {x = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp.
2. Finn a og b Vi lar \( x \) være antall måneder etter at hun hadde \( \textcolor{blue}{290\,000} \) følgere, så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{290\,000}}\text{.} \) På 8 måneder økte antallet med \( {340\,000 - 290\,000 = 50\,000}\text{,} \) så per måned er økningen: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{50\,000}{8} = \textcolor{red}{6250} \]
Det gir: \[ f(x) = \textcolor{red}{6250}x + \textcolor{blue}{290\,000} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Bruk lineær regresjon Vi legger de to tellingene i en liste og bruker RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 290000), (8, 340000)} f(x) = RegLin(l1)
GeoGebra gir \( {y = 6250x + 290\,000}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Oppgave 5b)

Sett opp et uttrykk for en funksjon g g som beskriver utviklingen dersom antallet følgere har økt med samme prosent hver måned. Gjør rede for valg av funksjon.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Med x x måneder etter at hun hadde 290 000 290\,000 følgere og vekstfaktoren avrundet til fire desimaler, øker antallet med omtrent 2,0 % 2{,}0\,\% hver måned:
g(x)≈290 000⋅1,0201x‾‾ \underline{\underline{g(x) \approx 290\,000 \cdot 1{,}0201^x}}
Når antallet øker med samme prosent hver måned, ganges det med den samme vekstfaktoren hver måned, og utviklingen er eksponentiell. Vi finner vekstfaktoren fra de to tellingene.
Metode: Med kalkulator
1. Velg funksjon Når antallet øker med samme prosent hver måned, ganger vi med den samme vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Med \( x \) måneder etter at hun hadde \( \textcolor{blue}{290\,000} \) følgere, er startverdien \( \textcolor{blue}{290\,000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]
2. Finn vekstfaktoren I dag er \( {x = 8}\text{,} \) og antallet er \( 340\,000\text{.} \) Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^8 = 340\,000 \]
Vi deler med \( \textcolor{blue}{290\,000} \) på begge sider og tar åttende rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^8 &= \dfrac{340\,000}{290\,000} = \dfrac{34}{29} \\ \textcolor{red}{k} &= \left( \dfrac{34}{29} \right)^{1/8} \approx \textcolor{red}{1{,}0201} \end{aligned} \]
Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{1{,}0201}^x \]Siden \( {\textcolor{red}{1{,}0201} = 1 + 0{,}0201}\text{,} \) øker antallet med omtrent \( 2{,}0\,\% \) hver måned.
Metode: Med GeoGebra
1. Bruk eksponentiell regresjon Vi bruker eksponentiell regresjon på de to tellingene, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{,} \) der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 290000), (8, 340000)} g(x) = RegEksp(l1)
GeoGebra gir \( {g(x) \approx 290\,000 \cdot 1{,}0201^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator.