Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

prosent

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

25 oppgaver i 1P om prosent · viser 1–10

Oppgavene

1P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

1 poeng

En bonde har 60 sauer. 80 % 80\,\% av sauene skal slaktes. Hvor mange sauer skal slaktes?
Vis løsning på oppgave 1

Svar

48 sauer skal slaktes‾‾ \underline{\underline{48 \text{ sauer skal slaktes}}}
Vi skal finne \( 80\,\% \) av \( 60\text{.} \) «Av» betyr ganget med, så vi skriver prosenten som en brøk og ganger den med antall sauer.
1. Skriv prosenten som en brøk Formelen for prosent av et tall forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{\text{tall}} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \textcolor{red}{\text{tall}} \]Akkurat denne oppgaven er løst på samme måte i videoen Regler og Formler med Prosent.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{80}} \) og \( {\textcolor{red}{\text{tall}} = \textcolor{red}{60}}\text{.} \) Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \textcolor{blue}{80}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{60} = \dfrac{\textcolor{blue}{80}}{100} \cdot \textcolor{red}{60} \]
Vi forkorter brøken med \( 20\text{:} \) \[ \dfrac{80}{100} = \dfrac{80 : 20}{100 : 20} = \dfrac{4}{5} \]
2. Gang brøken med antall sauer Når vi ganger en brøk med et helt tall, ganger vi telleren med tallet og beholder nevneren: \[ \dfrac{4}{5} \cdot \textcolor{red}{60} = \dfrac{4 \cdot \textcolor{red}{60}}{5} = \dfrac{240}{5} = 48 \]

1P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

1 poeng

Prisen for en vare settes opp med 10 %. 10\,\%\text{.} Litt senere settes prisen ned igjen med 10 %. 10\,\%\text{.}
Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.
Vis løsning på oppgave 6

Svar

Siden 1,10⋅0,90=0,99, {1{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99}\text{,} koster varen 1 % 1\,\% mindre:
Mindre enn før‾‾ \underline{\underline{\text{Mindre enn før}}}
Prisen endres to ganger med en prosent, så vi bruker vekstfaktorer. Ganger vi dem sammen, ser vi hvor stor del av den opprinnelige prisen varen koster nå.
1. Finn vekstfaktorene Vekstfaktoren er det prisen ganges med: \[ \begin{aligned} \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \\ \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er \( {p = 10} \) begge gangene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V_1} &= 1 + 0{,}10 = \textcolor{blue}{1{,}10} \\ \textcolor{red}{V_2} &= 1 - 0{,}10 = \textcolor{red}{0{,}90} \end{aligned} \]
2. Gang vekstfaktorene sammen Vi kaller den opprinnelige prisen \( P\text{.} \) Etter begge endringene er prisen: \[ P \cdot \textcolor{blue}{1{,}10} \cdot \textcolor{red}{0{,}90} = P \cdot 0{,}99 \]Varen koster nå \( 99\,\% \) av den opprinnelige prisen, altså \( 1\,\% \) mindre.
Grunnen er at nedgangen er \( 10\,\% \) av en høyere pris enn økningen var: \( 100 \) kroner blir \( 110 \) kroner, og \( 10\,\% \) av \( 110 \) er \( 11\text{,} \) så prisen ender på \( 99 \) kroner.

1P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

2 poeng

Christoffer har kjøpt ny båt. Båtens verdi er 850 000 850\,000 kroner. Anta at verdien vil falle med 20 % 20\,\% det første året og så med 6 % 6\,\% per år de neste fem årene.
Sett opp et uttrykk som kan brukes for å regne ut båtens verdi etter seks år.
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Båtens verdi i kroner etter seks år:
850 000⋅0,80⋅0,945‾‾ \underline{\underline{850\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}94^5}}
Verdien faller med en fast prosent hvert år, så vi ganger med en vekstfaktor én gang per år. Det første året har en annen vekstfaktor enn de fem neste.
1. Finn vekstfaktorene Når verdien faller med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Det første året faller verdien med \( 20\,\%\text{,} \) og de neste fem årene med \( 6\,\% \) per år: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V_1} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{blue}{0{,}80} \\ \textcolor{red}{V_2} &= 1 - 0{,}06 = \textcolor{red}{0{,}94} \end{aligned} \]
2. Gang med vekstfaktorene Etter det første året er verdien \( {850\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}}\text{.} \) Hvert av de fem neste årene ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}94}\text{,} \) og fem ganger er det samme som å opphøye i \( 5\text{:} \) \[ \underbrace{\textcolor{red}{0{,}94} \cdot \textcolor{red}{0{,}94} \cdot \ldots \cdot \textcolor{red}{0{,}94}}_{5 \text{ faktorer}} = \textcolor{red}{0{,}94}^5 \]Vi ganger altså verdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor.
Verdien etter seks år er derfor: \[ 850\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} \cdot \textcolor{red}{0{,}94}^5 \]

1P vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

I september 2025 satte Norges Bank ned styringsrenten fra 4,25 % 4{,}25\,\% til 4 %. 4\,\%\text{.}

Oppgave 2a)

Hvor mange prosentpoeng ble styringsrenten satt ned med?
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
0,25 prosentpoeng‾‾ \underline{\underline{0{,}25 \text{ prosentpoeng}}}
Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosenttall. Vi trekker den nye renten fra den gamle.
Metode: For hånd
1. Trekk fra den nye renten Den gamle renten er \( \textcolor{blue}{4{,}25\,\%}\text{,} \) og den nye er \( 4\,\%\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{4{,}25\,\%} - 4\,\% = \textcolor{red}{0{,}25} \text{ prosentpoeng} \]

Oppgave 2b)

Hvor mange prosent ble styringsrenten satt ned med?
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til én desimal:
Satt ned med omtrent 5,9 %‾‾ \underline{\underline{\text{Satt ned med omtrent } 5{,}9\,\%}}
Nå skal vi finne hvor stor endringen er sammenlignet med den gamle renten. Vi deler endringen på den gamle renten.
Metode: For hånd
1. Del endringen på den gamle renten Hvor mange prosent noe endres med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Her er endringen \( {4{,}25 - 4 = \textcolor{red}{0{,}25}} \) prosentpoeng, og den gamle renten er \( \textcolor{blue}{4{,}25}\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0{,}25}}{\textcolor{blue}{4{,}25}} \cdot 100\,\% \approx 5{,}88\,\% \]

1P høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Lukas har kjøpt et deksel til mobilen. Dekselet kostet 200 kroner inkludert merverdiavgift. Merverdiavgiften er 25 %. 25\,\%\text{.}
Hvor mye betalte Lukas i merverdiavgift?
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Lukas betalte i merverdiavgift:
40 kroner‾‾ \underline{\underline{40 \text{ kroner}}}
200 kroner er prisen med merverdiavgift, og avgiften er \( 25\,\% \) av prisen uten avgift. Vi finner derfor prisen uten avgift med vekstfaktoren, og avgiften er forskjellen.
1. Finn vekstfaktoren Når en pris øker med \( p\,\%\text{,} \) ganger vi den med vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Merverdiavgiften legger \( 25\,\% \) til prisen, så \( {p = 25}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{V} = 1 + 0{,}25 = \textcolor{blue}{1{,}25} \]
2. Finn prisen uten avgift Vi kaller prisen uten merverdiavgift \( \textcolor{red}{x}\text{.} \) Ganget med vekstfaktoren blir den 200 kroner: \[ \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{1{,}25} = 200 \]
Vi deler med \( \textcolor{blue}{1{,}25} \) på begge sider, og ganger så teller og nevner med 4, slik at nevneren blir et helt tall: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x} &= \dfrac{200}{\textcolor{blue}{1{,}25}} = \dfrac{200 \cdot 4}{1{,}25 \cdot 4} \\ \textcolor{red}{x} &= \dfrac{800}{5} = \textcolor{red}{160} \end{aligned} \]
3. Trekk fra prisen uten avgift Merverdiavgiften er forskjellen mellom prisen med og uten avgift: \[ 200 - \textcolor{red}{160} = 40 \text{ kroner} \]
Kontroll: \( 25\,\% \) av \( 160 \) kroner er \( {\dfrac{160}{4} = 40} \) kroner, og \( {160 + 40 = 200}\text{.} \)

1P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

7 poeng

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.
LengdeVekt(cm)(gram)501190703320805070100961012016 08013021 590 \begin{array}{r|r} \text{Lengde} & \text{Vekt} \\ \text{(cm)} & \text{(gram)} \\ \hline 50 & 1190 \\ 70 & 3320 \\ 80 & 5070 \\ 100 & 9610 \\ 120 & 16\,080 \\ 130 & 21\,590 \end{array}
Sammenhengen kan beskrives med en modell F F gitt på formen
F(x)=a⋅xb F(x) = a \cdot x^b
der F(x) F(x) gram er vekten til en fisk som er x x centimeter lang.

Oppgave 1a)

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene a a og b. b\text{.} Tegn grafen til F. F\text{.}
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med a a avrundet til fire gjeldende siffer og b b til fire desimaler, og med grafen i GeoGebra-bildet:
a≈0,009657 og b≈2,9996‾‾F(x)≈0,009657⋅x2,9996‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{a \approx 0{,}009657 \text{ og } b \approx 2{,}9996}} \\ &\underline{\underline{F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996}}} \end{aligned}
Tabellen har seks punkter, og modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{.} \) Vi finner \( a \) og \( b \) med potensregresjon i GeoGebra, som også tegner grafen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) til d) med modellen i svaret, med kalkulator. Du kan også se at \( b \) må være nær 3: når lengden dobles fra 50 til 100 cm, blir vekten \( {\dfrac{9610}{1190} \approx 8{,}1} \) ganger så stor, og \( {2^3 = 8}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( a \) og \( b \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(50, 1190), (70, 3320), (80, 5070), (100, 9610), (120, 16080), (130, 21590)} F(x) = RegPot(l1)
2. Les av a og b Med seks desimaler gir GeoGebra: \[ F(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}999583}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Grafen til \( F \) er kurven i skjermbildet.
I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.
Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {a \approx 0{,}01} \) og \( {b \approx 3}\text{.} \) Regner vi videre med dem, blir stigningstallet i c) omtrent 218 i stedet for 210. Vis derfor flere desimaler i GeoGebra.

Oppgave 1b)

Hvor lang er en fisk som veier 11,5 kg 11{,}5\,\text{kg} ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til hele centimeter er fisken:
Omtrent 106 cm‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 106\,\text{cm}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Modellen gir vekten i gram, så vi gjør om 11,5 kg til gram og løser likningen \( {F(x) = 11\,500}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} \]
Fisken veier \( {11{,}5\,\text{kg} = 11\,500\,\text{g}}\text{,} \) så vi setter \( {F(x) = 11\,500}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} = 11\,500 \]
2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{0{,}009657} \) på begge sider: \[ x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} = \dfrac{11\,500}{\textcolor{blue}{0{,}009657}} \approx 1\,190\,846 \]
For å få \( x \) alene opphøyer vi begge sider i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ x \approx 1\,190\,846^{1/\textcolor{red}{2{,}9996}} \approx 106{,}06 \]Siden \( {\textcolor{red}{b} \approx 3}\text{,} \) er dette nesten tredjeroten: \( {\sqrt[3]{1\,190\,846} \approx 106{,}0}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet Med \( F \) fra a) i GeoGebra tegner vi linja \( {y = 11\,500} \) og finner skjæringspunktet med grafen til \( F\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: h: y = 11500 S = Skjæring(F, h)
Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (106{,}06,\ 11\,500)}\text{,} \) så fisken er omtrent 106 cm lang.

Oppgave 1c)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (75,F(75)) \big(75, F(75)\big) og (95,F(95)). \big(95, F(95)\big)\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Mellom 75 og 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter, avrundet til hele gram per centimeter:
ΔyΔx≈210 g/cm‾‾ \underline{\underline{\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \approx 210\,\text{g/cm}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi regner ut vekten for en fisk på 75 cm og en på 95 cm med modellen. Stigningstallet er endringen i vekt delt på endringen i lengde.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut vekten for begge lengdene I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996} \]
Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{F(75)} &\approx 0{,}009657 \cdot 75^{2{,}9996} \\ \textcolor{blue}{F(75)} &\approx \textcolor{blue}{4067{,}0} \\ \textcolor{red}{F(95)} &\approx 0{,}009657 \cdot 95^{2{,}9996} \\ \textcolor{red}{F(95)} &\approx \textcolor{red}{8264{,}6} \end{aligned} \]
2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{F(95)} - \textcolor{blue}{F(75)}}{95 - 75} \]
Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8264{,}6} - \textcolor{blue}{4067{,}0}}{20} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{4197{,}6}{20} \approx 209{,}9 \end{aligned} \]
3. Tolk svaret Vekten er i gram og lengden i centimeter, så stigningstallet er i gram per centimeter. Når en fisk er mellom 75 og 95 cm lang, øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram for hver centimeter fisken blir lengre.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut stigningstallet I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi skriver stigningstallet inn i Algebrafeltet:
Skriv inn i GeoGebra: s = (F(95) - F(75)) / (95 - 75)
GeoGebra gir \( {s \approx 209{,}8548}\text{.} \) Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter.

Oppgave 1d)

Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med 20 % 20\,\% ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Vekten ganges med 1,2b≈1,7279 {1{,}2^b \approx 1{,}7279} for alle lengder. Avrundet til én desimal øker den med:
Omtrent 72,8 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 72{,}8\,\%}}
Vi bruker \( b \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Når lengden øker med \( 20\,\%\text{,} \) ganges den med 1,2. Vi ser hva det gjør med vekten i modellen.
Metode: For hånd
1. Gang lengden med 1,2 En økning på \( 20\,\% \) gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}20 = \textcolor{red}{1{,}2}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Den nye lengden er \( \textcolor{red}{1{,}2}x\text{.} \)
Når et produkt opphøyes i en potens, opphøyes hver faktor, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (p \cdot q)^n = p^n \cdot q^n \]
Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{red}{1{,}2}x) &= a \cdot (\textcolor{red}{1{,}2}x)^b \\ F(\textcolor{red}{1{,}2}x) &= \textcolor{red}{1{,}2}^b \cdot a \cdot x^b = \textcolor{red}{1{,}2}^b \cdot F(x) \end{aligned} \]Vekten ganges altså med \( \textcolor{red}{1{,}2}^b\text{,} \) uansett hvor lang fisken er.
2. Finn vekstfaktoren for vekten Med \( {b \approx 2{,}9996} \) fra a) får vi: \[ \textcolor{red}{1{,}2}^{2{,}9996} \approx 1{,}7279 = 1 + 0{,}7279 \]Vekten øker altså med omtrent \( 72{,}8\,\%\text{.} \)

1P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

2 poeng

Teksten nedenfor er hentet fra nrk.no.
14. april 2025 kl. 13:48 PERSONLIG ØKONOMI Nordmenn skylder nesten 57 milliarder i betalingsanmerkninger Nordmenns beløp i utestående betalingsanmerkninger har økt med rett over 7 prosent sammenlignet med samme tidspunkt i fjor.
Nå skylder 229.963 nordmenn 57 milliarder kroner i betalingsanmerkninger, skriver Experian i en pressemelding.
Antallet personer som skylder penger, er om lag det samme som i fjor, og utgjør 4,8 prosent av landets befolkning over 18 år. Men hver av disse skylder altså litt mer i gjennomsnitt.
Kilde: NRK. (2025, 14. april). Nordmenn skylder nesten 57 milliarder i betalingsanmerkninger. nrk.no.

Oppgave 3a)

Hvor mye skylder hver person som har utestående betalingsanmerkninger, i gjennomsnitt?
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Avrundet til nærmeste tusen kroner skylder hver person i gjennomsnitt:
Omtrent 248 000 kroner‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 248\,000 \text{ kroner}}}
Vi deler det samlede beløpet på antall personer.
Metode: For hånd
1. Del beløpet på antall personer Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{blue}{\text{antall}}} \]
NRK skriver «229.963» med punktum mellom tusenene, så det er \( \textcolor{blue}{229\,963} \) personer. De skylder 57 milliarder kroner, altså \( \textcolor{red}{57\,000\,000\,000} \) kroner: \[ \dfrac{\textcolor{red}{57\,000\,000\,000}}{\textcolor{blue}{229\,963}} \approx 247\,866 \]Hver av dem skylder i gjennomsnitt omtrent 248 000 kroner. Beløpet er avrundet i artikkelen, så vi avrunder svaret til nærmeste tusen kroner.

Oppgave 3b)

Omtrent hvor mange personer i Norge er over 18 år?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Avrundet til nærmeste hundre tusen er antallet:
Omtrent 4,8 millioner‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 4{,}8 \text{ millioner}}}
De \( 229\,963 \) personene er \( 4{,}8\,\% \) av alle over 18 år. Vi kjenner delen og prosenten, og skal finne det hele.
Metode: For hånd
1. Sett opp likningen Prosent av et tall finner vi med: \[ a\,\% \text{ av } \textcolor{red}{\text{tall}} = \dfrac{a}{100} \cdot \textcolor{red}{\text{tall}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Vi kaller antall personer over 18 år \( \textcolor{red}{N}\text{.} \) Her er \( {a = 4{,}8}\text{,} \) og \( 4{,}8\,\% \) av \( \textcolor{red}{N} \) er \( 229\,963\text{:} \) \[ \dfrac{4{,}8}{100} \cdot \textcolor{red}{N} = 0{,}048 \cdot \textcolor{red}{N} = 229\,963 \]
2. Løs likningen Vi deler med \( 0{,}048 \) på begge sider: \[ \textcolor{red}{N} = \dfrac{229\,963}{0{,}048} \approx 4\,790\,896 \]Prosenten er oppgitt med én desimal, så svaret er omtrent 4,8 millioner.

1P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

Verdien av en aksje har gått ned med 23 %. 23\,\%\text{.} Hvor mange prosent må verdien øke med for at aksjen skal ha samme verdi som før nedgangen?
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Avrundet til én desimal må verdien øke med:
Omtrent 29,9 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 29{,}9\,\%}}
Etter nedgangen er verdien lavere, og økningen tilbake regnes av den lavere verdien. Vi bruker vekstfaktorer og finner den som får verdien tilbake.
Metode: For hånd
1. Finn vekstfaktoren for nedgangen Når en verdi går ned med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er \( {p = 23}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{V_1} = 1 - 0{,}23 = \textcolor{red}{0{,}77} \]
2. Finn vekstfaktoren tilbake Vi kaller vekstfaktoren for økningen \( \textcolor{blue}{V_2}\text{.} \) Etter begge endringene skal aksjen ha samme verdi som før, så produktet av vekstfaktorene er 1: \[ \textcolor{red}{0{,}77} \cdot \textcolor{blue}{V_2} = 1 \]
Vi deler med \( \textcolor{red}{0{,}77} \) på begge sider: \[ \textcolor{blue}{V_2} = \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}77}} \approx 1{,}2987 = 1 + 0{,}2987 \]Det er en økning på omtrent \( 29{,}9\,\%\text{,} \) altså mer enn de \( 23\,\% \) verdien gikk ned.
Kontroll: En aksje til 100 kroner faller til 77 kroner, og \( {77 \cdot 1{,}2987 \approx 100}\text{.} \)

1P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

4 poeng

Breddegrader angir hvor langt nord eller sør et sted ligger i forhold til ekvator.
Ekvator ligger på 0∘ 0^\circ bredde. Nordpolen ligger på 90∘ 90^\circ nordlig bredde, og Sydpolen ligger på 90∘ 90^\circ sørlig bredde. Det er altså 180∘ 180^\circ mellom Nord- og Sydpolen.
En breddegrad er delt inn i 60 bueminutter. Avstanden mellom hvert bueminutt tilsvarer omtrent en nautisk mil. En nautisk mil er 1852 meter.

Oppgave 6a)

Vis at avstanden mellom hver breddegrad er omtrent 111,12 111{,}12 kilometer.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Siden 60⋅1852 m=111 120 m, {60 \cdot 1852\,\text{m} = 111\,120\,\text{m}}\text{,} er avstanden mellom hver breddegrad omtrent:
111,12 km‾‾ \underline{\underline{111{,}12\,\text{km}}}
En breddegrad er 60 bueminutter, og hvert bueminutt er omtrent én nautisk mil. Vi ganger derfor 60 med 1852 meter og gjør om til kilometer.
Metode: For hånd
1. Gang bueminuttene med en nautisk mil Hvert av de \( \textcolor{blue}{60} \) bueminuttene er omtrent \( \textcolor{red}{1852} \) meter: \[ \textcolor{blue}{60} \cdot \textcolor{red}{1852}\,\text{m} = 111\,120\,\text{m} \]
2. Gjør om til kilometer Kilo betyr 1000, så \( {1\,\text{km} = 1000\,\text{m}}\text{,} \) som på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter. Vi deler med 1000: \[ \begin{aligned} 111\,120\,\text{m} &= \dfrac{111\,120}{1000}\,\text{km} \\ 111\,120\,\text{m} &= 111{,}12\,\text{km} \end{aligned} \]

Oppgave 6b)

Bruk svaret fra oppgave a) til å bestemme en tilnærmet verdi for omkretsen av jorden.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Omkretsen er 40 003,2 40\,003{,}2 km, altså omtrent:
40 000 km‾‾ \underline{\underline{40\,000\,\text{km}}}
Avstanden per breddegrad, \( 111{,}12 \) km, står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).
Fra Nordpolen til Sydpolen er det \( 180^\circ\text{,} \) og det er halve veien rundt jorden. Vi ganger derfor gradene rundt hele jorden med avstanden per grad.
Metode: For hånd
1. Gang gradene med avstanden per grad En hel runde rundt jorden over begge polene er \( {2 \cdot 180^\circ = \textcolor{red}{360^\circ}}\text{,} \) og hver grad er \( \textcolor{blue}{111{,}12} \) km: \[ O \approx \textcolor{red}{360} \cdot \textcolor{blue}{111{,}12}\,\text{km} = 40\,003{,}2\,\text{km} \]Omkretsen av jorden er altså omtrent 40 000 km.
Oslo ligger på breddegrad 59,9∘, 59{,}9^\circ\text{,} og Trondheim ligger på breddegrad 63,4∘. 63{,}4^\circ\text{.} De to byene ligger omtrent på samme lengdegrad.

Oppgave 6c)

Hvor stor prosentandel utgjør avstanden mellom Oslo og Trondheim av hele omkretsen av jorden?
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Avrundet til to desimaler utgjør avstanden:
Omtrent 0,97 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 0{,}97\,\%}}
Vi bruker avstanden per breddegrad fra a) og omkretsen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Byene ligger på samme lengdegrad, så avstanden mellom dem går rett nordover langs lengdegraden. Den er forskjellen i breddegrad ganger avstanden per grad.
Metode: For hånd
1. Finn avstanden mellom byene Forskjellen i breddegrad er: \[ 63{,}4^\circ - 59{,}9^\circ = \textcolor{red}{3{,}5^\circ} \]
Hver grad er \( \textcolor{blue}{111{,}12} \) km, så avstanden er: \[ \textcolor{red}{3{,}5} \cdot \textcolor{blue}{111{,}12}\,\text{km} = \textcolor{green}{388{,}92}\,\text{km} \]
2. Del på omkretsen Hvor mange prosent en del er av det hele, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{green}{\text{del}}}{\text{hel}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
I b) fant vi omkretsen \( 40\,003{,}2 \) km: \[ \dfrac{\textcolor{green}{388{,}92}}{40\,003{,}2} \cdot 100\,\% \approx 0{,}97\,\% \]Det er det samme som \( {\dfrac{3{,}5}{360} \cdot 100\,\%}\text{,} \) fordi både avstanden og omkretsen er antall grader ganger 111,12 km.

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

1 poeng

En sjokoladeplate koster 40 kroner i en butikk og 60 kroner på en bensinstasjon.
Hvor mange prosent dyrere er sjokoladeplaten på bensinstasjonen?
Vis løsning på oppgave 1

Svar

På bensinstasjonen er sjokoladeplaten:
50 % dyrere‾‾ \underline{\underline{50\,\% \text{ dyrere}}}
Vi sammenligner prisen på bensinstasjonen med prisen i butikken. Vi deler derfor endringen i pris på butikkprisen, som er den gamle prisen.
1. Finn endringen i pris Formelen for hvor mange prosent dyrere noe er, forteller oss at: \[ \text{prosent dyrere} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Akkurat denne oppgaven er løst på samme måte i videoen Regler og Formler med Prosent.
Platen er dyrere på bensinstasjonen enn i butikken, så den gamle prisen er butikkprisen, \( \textcolor{blue}{40} \) kroner. Endringen er ny pris minus gammel pris: \[ \textcolor{red}{\text{endring}} = 60 - \textcolor{blue}{40} = \textcolor{red}{20} \]
2. Del på den gamle prisen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \text{prosent dyrere} = \dfrac{\textcolor{red}{20}}{\textcolor{blue}{40}} \cdot 100\,\% \]
Vi forkorter brøken med \( 20 \) og ganger med \( 100\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{20}{40} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{2} \cdot 100\,\% = 50\,\% \]