Eksamensoppgaver etter tema

Tabellen har seks punkter, og modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{.} \) Vi finner \( a \) og \( b \) med potensregresjon i GeoGebra, som også tegner grafen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) til d) med modellen i svaret, med kalkulator. Du kan også se at \( b \) må være nær 3: når lengden dobles fra 50 til 100 cm, blir vekten \( {\dfrac{9610}{1190} \approx 8{,}1} \) ganger så stor, og \( {2^3 = 8}\text{.} \)

1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( a \) og \( b \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(50, 1190), (70, 3320), (80, 5070), (100, 9610), (120, 16080), (130, 21590)} F(x) = RegPot(l1)

2. Les av a og b Med seks desimaler gir GeoGebra: \[ F(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}999583}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Grafen til \( F \) er kurven i skjermbildet.

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {a \approx 0{,}01} \) og \( {b \approx 3}\text{.} \) Regner vi videre med dem, blir stigningstallet i c) omtrent 218 i stedet for 210. Vis derfor flere desimaler i GeoGebra.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gir vekten i gram, så vi gjør om 11,5 kg til gram og løser likningen \( {F(x) = 11\,500}\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} \]

Fisken veier \( {11{,}5\,\text{kg} = 11\,500\,\text{g}}\text{,} \) så vi setter \( {F(x) = 11\,500}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} = 11\,500 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{0{,}009657} \) på begge sider: \[ x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} = \dfrac{11\,500}{\textcolor{blue}{0{,}009657}} \approx 1\,190\,846 \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi begge sider i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ x \approx 1\,190\,846^{1/\textcolor{red}{2{,}9996}} \approx 106{,}06 \]Siden \( {\textcolor{red}{b} \approx 3}\text{,} \) er dette nesten tredjeroten: \( {\sqrt[3]{1\,190\,846} \approx 106{,}0}\text{.} \)

1. Finn skjæringspunktet Med \( F \) fra a) i GeoGebra tegner vi linja \( {y = 11\,500} \) og finner skjæringspunktet med grafen til \( F\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = 11500 S = Skjæring(F, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (106{,}06,\ 11\,500)}\text{,} \) så fisken er omtrent 106 cm lang.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut vekten for en fisk på 75 cm og en på 95 cm med modellen. Stigningstallet er endringen i vekt delt på endringen i lengde.

1. Regn ut vekten for begge lengdene I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996} \]

Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{F(75)} &\approx 0{,}009657 \cdot 75^{2{,}9996} \\ \textcolor{blue}{F(75)} &\approx \textcolor{blue}{4067{,}0} \\ \textcolor{red}{F(95)} &\approx 0{,}009657 \cdot 95^{2{,}9996} \\ \textcolor{red}{F(95)} &\approx \textcolor{red}{8264{,}6} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{F(95)} - \textcolor{blue}{F(75)}}{95 - 75} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8264{,}6} - \textcolor{blue}{4067{,}0}}{20} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{4197{,}6}{20} \approx 209{,}9 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Vekten er i gram og lengden i centimeter, så stigningstallet er i gram per centimeter. Når en fisk er mellom 75 og 95 cm lang, øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram for hver centimeter fisken blir lengre.

1. Regn ut stigningstallet I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi skriver stigningstallet inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: s = (F(95) - F(75)) / (95 - 75)

GeoGebra gir \( {s \approx 209{,}8548}\text{.} \) Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter.

Vi bruker \( b \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når lengden øker med \( 20\,\%\text{,} \) ganges den med 1,2. Vi ser hva det gjør med vekten i modellen.

1. Gang lengden med 1,2 En økning på \( 20\,\% \) gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}20 = \textcolor{red}{1{,}2}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Den nye lengden er \( \textcolor{red}{1{,}2}x\text{.} \)

Når et produkt opphøyes i en potens, opphøyes hver faktor, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (p \cdot q)^n = p^n \cdot q^n \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{red}{1{,}2}x) &= a \cdot (\textcolor{red}{1{,}2}x)^b \\ F(\textcolor{red}{1{,}2}x) &= \textcolor{red}{1{,}2}^b \cdot a \cdot x^b = \textcolor{red}{1{,}2}^b \cdot F(x) \end{aligned} \]Vekten ganges altså med \( \textcolor{red}{1{,}2}^b\text{,} \) uansett hvor lang fisken er.

2. Finn vekstfaktoren for vekten Med \( {b \approx 2{,}9996} \) fra a) får vi: \[ \textcolor{red}{1{,}2}^{2{,}9996} \approx 1{,}7279 = 1 + 0{,}7279 \]Vekten øker altså med omtrent \( 72{,}8\,\%\text{.} \)

Modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{,} \) som er en potensfunksjon. Vi bruker potensregresjon på punktene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, og med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {7{,}56 \cdot x^{0{,}38}}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir høyden i c) omtrent \( 4{,}2 \) km med Aris modell i stedet for \( 4{,}3 \) km. Vis derfor fire desimaler i GeoGebra.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet og minker med en fast prosent per km. Vi finner vekstfaktoren for Ari og for Lisa.

1. Lag Aris modell Lufttrykket minker med \( 12\,\% \) per km. Når noe minker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {V = 1 - 0{,}12 = \textcolor{red}{0{,}88}}\text{.} \) Ved havet er lufttrykket \( \textcolor{blue}{1000} \) hPa, og for hver km ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}88}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ A(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}88}^x \]

2. Lag Lisas modell Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^x}\text{.} \) Etter \( 5{,}5 \) km er lufttrykket halvert, altså \( 500 \) hPa. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{1000} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{c}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{green}{c} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{green}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir: \[ L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x \]

1. Lag modellene Aris modell skriver vi rett inn. For Lisas modell bruker vi eksponentiell regresjon på punktene \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x l2 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l2)

GeoGebra gir \( {L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator. De to grafene ligger nesten oppå hverandre.

Vi bruker modellen fra a) og modellene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et egg blir hardkokt når vannet koker ved minst \( 85\,^\circ\text{C}\text{.} \) Vi finner lufttrykket der kokepunktet er \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt.

1. Finn lufttrykket I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]

Kokepunktet skal være \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) så vi setter \( {K(x) = 85}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} = 85 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{7{,}562} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} &= \dfrac{85}{\textcolor{blue}{7{,}562}} \approx 11{,}2404 \\ x &\approx 11{,}2404^{1/\textcolor{red}{0{,}3804}} \approx \textcolor{green}{578{,}5} \end{aligned} \]Ved lavere lufttrykk koker vannet ved lavere temperatur, så lufttrykket må være minst omtrent \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa.

2. Finn høyden I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} A(x) &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ L(x) &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Med \( {x = 4} \) er lufttrykket omtrent 600 hPa i begge modellene. Vi regner videre med kalkulatoren for hver tiendedel km: \[ \begin{array}{r|r|r} x & A(x) & L(x) \\ \hline 4{,}0 & 599{,}7 & 604{,}1 \\ 4{,}1 & 592{,}1 & 596{,}5 \\ 4{,}2 & 584{,}6 & 589{,}0 \\ 4{,}3 & 577{,}1 & 581{,}7 \\ 4{,}4 & 569{,}8 & 574{,}4 \\ 4{,}5 & 562{,}6 & 567{,}2 \end{array} \]Ifølge Aris modell kommer lufttrykket ned til \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa mellom \( 4{,}2 \) og \( 4{,}3 \) km, nærmest \( 4{,}3\text{.} \) Ifølge Lisas modell skjer det mellom \( 4{,}3 \) og \( 4{,}4 \) km, også nærmest \( 4{,}3\text{.} \)

1. Finn lufttrykket Med \( K \) fra a) tegner vi linja \( {y = 85} \) og finner skjæringspunktet med grafen, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 85 P = Skjæring(K, g)

Lufttrykket er førstekoordinaten til \( P\text{,} \) omtrent \( 578{,}34 \) hPa.

2. Finn høyden Med \( A \) og \( L \) fra b) tegner vi linja \( {y = x(P)} \) og finner skjæringspunktene med de to grafene:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = x(P) S = Skjæring(A, h) T = Skjæring(L, h)

Ifølge Aris modell er høyden \( 4{,}28 \) km (punktet \( S \)), og ifølge Lisas \( 4{,}35 \) km (punktet \( T \)). Begge er omtrent \( 4{,}3 \) km.