Eksamensoppgaver etter tema

Energien øker med både antall liter og antall grader vannet varmes opp. Vi ganger derfor energien per liter og grad med literne og med gradene.

1. Gang sammen Det kreves \( \textcolor{blue}{4184}\,\text{J} \) for hver liter og hver grad, så energien er: \[ E = \textcolor{blue}{4184}\,\text{J} \cdot \textcolor{green}{\text{liter}} \cdot \textcolor{red}{\text{grader}} \]

Her er det \( \textcolor{green}{100} \) liter, og vannet varmes opp \( {70 - 10 = \textcolor{red}{60}} \) grader: \[ \begin{aligned} E &= \textcolor{blue}{4184} \cdot \textcolor{green}{100} \cdot \textcolor{red}{60}\,\text{J} \\ E &= 25\,104\,000\,\text{J} \end{aligned} \]

Vi skriver energien på standardform, som i videoen Hva er Standardform?, med to desimaler: \[ \begin{aligned} E &= 2{,}5104 \cdot 10^7\,\text{J} \\ E &\approx 2{,}51 \cdot 10^7\,\text{J} \end{aligned} \]

Vi setter inn \( {T = 40} \) i formelen og finner liter per minutt. Så ganger vi med de 10 minuttene.

1. Sett inn temperaturen Med \( {T = \textcolor{red}{40}} \) gir formelen: \[ V = \dfrac{\textcolor{red}{40} - 10}{4} = \dfrac{30}{4} = \textcolor{green}{7{,}5} \]Martin bruker \( \textcolor{green}{7{,}5} \) liter fra varmtvannstanken per minutt.

2. Gang med tiden På \( 10 \) minutter blir det: \[ \textcolor{green}{7{,}5}\,\text{L/min} \cdot 10\,\text{min} = \textcolor{green}{75\,\text{L}} \]

Vi bruker de 75 literne fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vannet fra tanken er varmet opp fra 10 °C til 70 °C. Vi regner som i a), med 75 liter i stedet for 100.

1. Regn ut energien I b) fant vi at Martin bruker \( \textcolor{green}{75} \) liter fra tanken. Hver liter er varmet opp \( {70 - 10 = \textcolor{red}{60}} \) grader, og det kreves \( \textcolor{blue}{4184}\,\text{J} \) for hver liter og hver grad: \[ \begin{aligned} E &= \textcolor{blue}{4184} \cdot \textcolor{green}{75} \cdot \textcolor{red}{60}\,\text{J} \\ E &= 18\,828\,000\,\text{J} \\ E &\approx 1{,}88 \cdot 10^7\,\text{J} \end{aligned} \]

Vi bruker energien fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi gjør om energien fra joule til kilowattimer, og ganger med prisen per kilowattime.

1. Gjør om til kilowattimer I c) fant vi at energien er \( 18\,828\,000\,\text{J}\text{.} \) Siden \( {1\,\text{kWh} = 3\,600\,000\,\text{J}}\text{,} \) deler vi med \( 3\,600\,000\text{:} \) \[ \dfrac{18\,828\,000\,\text{J}}{3\,600\,000\,\text{J/kWh}} = \textcolor{blue}{5{,}23\,\text{kWh}} \]

2. Gang med prisen Strømmen koster \( \textcolor{red}{134} \) øre per kWh: \[ \begin{aligned} \text{Pris} &= \textcolor{blue}{5{,}23}\,\text{kWh} \cdot \textcolor{red}{134}\,\text{øre/kWh} \\ \text{Pris} &= 700{,}82\,\text{øre} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 7{,}01 \) kroner.

Grunnflaten er et kvadrat med sider like lange som høyden. Vi skriver derfor volumet med bare \( h \) og løser likningen der volumet er 9.

1. Skriv volumet med høyden Volumformelen fra oppgaven forteller oss at: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot h \]

Grunnflaten er et kvadrat, og arealet av et kvadrat er side ganger side, som for et rektangel i videoen Areal og Omkrets. Sidene er like lange som høyden \( h\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{G} = \textcolor{blue}{h \cdot h} = \textcolor{blue}{h^2} \]

Plugger vi dette inn i volumformelen, får vi: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{h^2} \cdot h = \dfrac{h^3}{3} \]

2. Løs likningen Volumet er \( 9\,\text{dm}^3\text{:} \) \[ \dfrac{h^3}{3} = 9 \]

Vi ganger med 3 på begge sider. Tallet som opphøyd i tredje blir 27, er 3, fordi \( {3 \cdot 3 \cdot 3 = 27}\text{:} \) \[ \begin{aligned} h^3 &= 27 \\ h &= 3 \end{aligned} \]Volumet er i kubikkdesimeter, så høyden er i desimeter.

Kontroll: \( {G = 3 \cdot 3 = 9\,\text{dm}^2}\text{,} \) og \( {V = \dfrac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 = 9\,\text{dm}^3}\text{.} \)

Vi bruker uttrykket for volumet fra a).

Før vi starter, må vi vite hva proporsjonale størrelser er. Så sammenligner vi to pyramider, der den ene er dobbelt så høy som den andre.

1. Skriv opp hva proporsjonal betyr Volumet og høyden er proporsjonale hvis volumet er høyden ganget med et fast tall \( k\text{:} \) \[ V = k \cdot h \]Da er \( {\dfrac{V}{h} = k} \) det samme for alle pyramidene, og dobbel høyde gir dobbelt volum.

2. Sammenlign to pyramider I a) fant vi at: \[ V = \dfrac{h^3}{3} \]

Vi regner ut volumet for høyden \( \textcolor{blue}{3} \) dm og den dobbelte, \( \textcolor{red}{6} \) dm: \[ \begin{aligned} h &= \textcolor{blue}{3} & V &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}^3}{3} = \dfrac{27}{3} = \textcolor{blue}{9} \\ h &= \textcolor{red}{6} & V &= \dfrac{\textcolor{red}{6}^3}{3} = \dfrac{216}{3} = \textcolor{red}{72} \end{aligned} \]

Dobbel høyde gir \( {\dfrac{\textcolor{red}{72}}{\textcolor{blue}{9}} = 8} \) ganger så stort volum, ikke dobbelt så stort. Dette kalles et moteksempel, og påstanden er derfor ikke riktig.

Gjerdet går rundt hele bedet: langs to lange sider, én kort side og halvsirkelen. Vi legger sammen lengdene.

1. Se hva x og y er Skissen har ingen mål, men formelen viser at \( \textcolor{red}{y} \) er de to lange sidene og \( \textcolor{blue}{x} \) den korte siden. Den korte siden er like lang som diameteren i halvsirkelen:

2. Legg sammen sidene og halvsirkelen Omkretsen er summen av alle sidene, som i videoen Areal og Omkrets. Rektangelet gir to sider \( \textcolor{red}{y} \) og én side \( \textcolor{blue}{x}\text{.} \) Den fjerde siden ligger inni bedet, der halvsirkelen begynner, så den har ikke gjerde: \[ \textcolor{red}{y} + \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} \]

Halvsirkelen er halve omkretsen av en sirkel med radius \( {r = \dfrac{x}{2}}\text{.} \) Med \( {O = 2 \cdot \pi \cdot r} \) fra oppgaven blir den: \[ \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \dfrac{x}{2} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} + \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]

Formelen for omkretsen står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Gjerdet er 12 meter, så omkretsen er 12. Vi setter inn \( {x = 1} \) i formelen og løser for \( y\text{.} \)

1. Sett inn i formelen Med \( {O = 12} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) gir formelen fra a): \[ 2 \cdot y + \textcolor{blue}{1} + \dfrac{\pi \cdot \textcolor{blue}{1}}{2} = 12 \]

2. Løs for y Vi trekker fra \( 1 \) og \( \dfrac{\pi}{2} \) på begge sider, og deler så med 2: \[ \begin{aligned} 2y &= 11 - \dfrac{\pi}{2} \approx 9{,}4292 \\ y &\approx \dfrac{9{,}4292}{2} \approx 4{,}7146 \end{aligned} \]Avrundet til én desimal er \( {y \approx 4{,}7} \) meter.

Bedet er et rektangel og en halvsirkel. Vi finner arealet av hver del og legger sammen.

1. Finn arealet av rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{red}{A_1} = 4{,}7\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = \textcolor{red}{4{,}7}\,\text{m}^2 \]

2. Finn arealet av halvsirkelen Halvsirkelen har diameter 1 m, altså radius \( {r = 0{,}5\,\text{m}}\text{.} \) Med \( {A = \pi \cdot r^2} \) fra oppgaven er en halv sirkel: \[ \textcolor{green}{A_2} = \dfrac{\pi \cdot (0{,}5\,\text{m})^2}{2} \approx \textcolor{green}{0{,}3927}\,\text{m}^2 \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{red}{A_1} + \textcolor{green}{A_2} \\ A &\approx \textcolor{red}{4{,}7} + \textcolor{green}{0{,}3927} \approx 5{,}09\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Vi bruker formelen for omkretsen fra a) og regner ut arealet som i c).

Gjerdet er alltid 12 meter, så når vi velger \( x\text{,} \) er \( y \) bestemt. Vi lager en tabell med ulike verdier av \( x\text{,} \) og regner ut \( y \) og arealet for hver av dem.

1. Skriv y og arealet med x Med \( {O = 12} \) i formelen fra a) får vi: \[ \begin{aligned} 2y &= 12 - x - \dfrac{\pi x}{2} \\ \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4} \end{aligned} \]Lengden \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv, og det er den når \( x \) er mindre enn omtrent \( 4{,}67\text{.} \)

Arealet er rektangelet, lengde ganger bredde som i videoen Areal og Omkrets, pluss halvsirkelen med radius \( \dfrac{x}{2}\text{:} \) \[ A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi}{2} \cdot \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8} \]

2. Regn ut radene i tabellen For \( {x = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi}{4} \approx \textcolor{red}{4{,}7146} \\ A &\approx 1 \cdot \textcolor{red}{4{,}7146} + \dfrac{\pi}{8} \approx 5{,}11 \end{aligned} \]Slik regner vi ut \( y \) og \( A \) for \( x \) fra 0,5 til 4,5 meter, med et halvt meters mellomrom. Tabellen står i svaret. Arealet er størst når \( x \) er mellom 3 og 4 meter. Andre valg av \( x \) gir også en riktig oversikt.

Merk – Avrunding: For \( {x = 1} \) er arealet her \( 5{,}11\,\text{m}^2\text{,} \) mens c) ga \( 5{,}09\,\text{m}^2\text{.} \) I c) var \( y \) avrundet til 4,7 m.

Vi bruker uttrykkene for \( y \) og arealet fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter uttrykket for \( y \) inn i arealet, så arealet bare avhenger av \( x\text{.} \) Så tegner vi grafen og finner toppunktet.

1. Sett opp funksjonsuttrykket I d) fant vi \( {\textcolor{red}{y} = 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}} \) og \( {A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8}}\text{.} \) Setter vi inn \( \textcolor{red}{y}\text{,} \) får vi arealet som en funksjon av \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\textcolor{red}{\left(6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}\right)} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{\pi x^2}{4} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}\right) x^2 \end{aligned} \]Her er \( x \) mellom 0 og omtrent \( 4{,}67\text{,} \) fordi \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv.

2. Tegn grafen Vi tegner punktene fra tabellen i d) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen stiger til et toppunkt mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og synker så.

3. Finn toppunktet med en finere tabell Vi regner ut \( A(x) \) rundt toppunktet, med tre desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & A(x) \\ \hline 3{,}2 & 10{,}059 \\ 3{,}3 & 10{,}079 \\ \textcolor{blue}{3{,}4} & \textcolor{blue}{10{,}080} \\ 3{,}5 & 10{,}064 \end{array} \]Det største arealet er omtrent \( \textcolor{blue}{10{,}08}\,\text{m}^2\text{,} \) når \( x \) er omtrent 3,4 meter.

1. Finn toppunktet med Maks Vi skriver inn arealfunksjonen med definisjonsmengden og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = x (12 - x - pi x / 2) / 2 + pi x^2 / 8, 0 < x < 4.67 T = Maks(A, 0, 4.67)

Toppunktet er \( {T \approx (3{,}3606,\ 10{,}0818)}\text{.} \) Det størst mulige arealet er omtrent \( 10{,}08\,\text{m}^2\text{,} \) når \( {x \approx 3{,}36} \) m.

Vi kjenner volumet og radien. Vi finner høyden fra volumformelen, og setter radien og høyden inn i formelen for overflaten.

Merk – Boksen har ikke lokk: Tegningen ser ut som en lukket sylinder, men formelen for overflaten har bare én \( \pi r^2\text{,} \) altså bare bunnen. En lukket sylinder har \( {2\pi r^2 + 2\pi r h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Her er det formelen i oppgaven som gjelder.

1. Finn et uttrykk for høyden Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate. For boksen er grunnflaten en sirkel med areal \( {\pi \cdot r^2}\text{:} \) \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \]

Med \( {V = 450} \) deler vi med \( {\pi \cdot r^2} \) på begge sider: \[ h = \dfrac{450}{\pi \cdot r^2} \]

2. Regn ut høyde og overflate For \( {r = \textcolor{blue}{4}} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2} \approx \textcolor{red}{8{,}952} \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2 + 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{8{,}952} \approx 275{,}3 \end{aligned} \]

På samme måte for \( {r = 6} \) og \( {r = 8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} r = 6\text{: } \quad h &\approx 3{,}979 & O &\approx 263{,}1 \\ r = 8\text{: } \quad h &\approx 2{,}238 & O &\approx 313{,}6 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Regn ut \( O \) med høyden slik kalkulatoren gir den, og rund av til slutt. Med \( {h = 9{,}0} \) for \( {r = 4} \) blir \( {O \approx 276{,}5} \) i stedet for \( 275{,}3\text{.} \) Tallet \( 462{,}6 \) i oppgavens tabell er regnet ut på samme måte.

Vi bruker uttrykket for høyden fra a).

Vi setter uttrykket for høyden inn i formelen for overflaten. Da blir overflaten en funksjon av radien alene, og den kan vi tegne.

1. Sett høyden inn i formelen I a) fant vi \( {h = \dfrac{450}{\pi \cdot r^2}}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen for overflaten: \[ O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \dfrac{450}{\pi \cdot r^2} \]

I det siste leddet forkorter vi \( \textcolor{darkorange}{\pi} \) og én \( \textcolor{darkorange}{r}\text{,} \) og \( {2 \cdot 450 = 900}\text{:} \) \[ 2 \cdot \textcolor{darkorange}{\pi \cdot r} \cdot \dfrac{450}{\textcolor{darkorange}{\pi \cdot r} \cdot r} = \dfrac{900}{r} \]

Overflaten i \( \text{cm}^2 \) som funksjon av radien \( r \) i cm er da: \[ O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}, \quad r > 0 \]

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( O(r) \) for noen radier med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 2 & 462{,}6 \\ 3 & 328{,}3 \\ 4 & 275{,}3 \\ 5 & 258{,}5 \\ 6 & 263{,}1 \\ 8 & 313{,}6 \\ 10 & 404{,}2 \end{array} \]

3. Tegn grafen Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Overflaten er stor for små radier, blir minst like over \( {r = 5} \) og øker igjen for større radier.

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen fra kalkulatorruten med \( {r > 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(r) = pi*r^2 + 900/r, r > 0

Grafen viser at overflaten er minst når radien er litt over \( 5\,\text{cm}\text{.} \)

Vi bruker funksjonen \( O(r) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter radien som gir minst overflate. Med kalkulator bruker vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi bunnpunktet på grafen.

1. Finn hvor overflaten er minst I b) fant vi: \[ O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \]Verditabellen i b) har \( {O(4) \approx 275{,}3}\text{,} \) \( {O(5) \approx 258{,}5} \) og \( {O(6) \approx 263{,}1}\text{.} \) Den minste overflaten ligger altså mellom \( {r = 4} \) og \( {r = 6}\text{.} \)

2. Lag en finere tabell rundt 5 Vi regner ut \( O(r) \) for hver tidels centimeter rundt \( 5\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 5{,}0 & 258{,}54 \\ 5{,}1 & 258{,}18 \\ \textcolor{red}{5{,}2} & \textcolor{red}{258{,}03} \\ 5{,}3 & 258{,}06 \\ 5{,}4 & 258{,}28 \end{array} \]Overflaten er minst ved omtrent \( {\textcolor{red}{r = 5{,}2\,\text{cm}}}\text{,} \) og da er den omtrent \( \textcolor{red}{258{,}0\,\text{cm}^2}\text{.} \)

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi finner bunnpunktet mellom \( {r = 1} \) og \( {r = 10} \) med Min, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(r) = pi*r^2 + 900/r, r > 0 B = Min(O, 1, 10)

Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}2322,\ 258{,}0158)}\text{.} \) Radien bør være omtrent \( 5{,}2\,\text{cm}\text{,} \) og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

Vi setter inn strekningen og de to gjennomsnittsfartene i formelen for tidsforskjellen, med mandagen som første gang.

1. Sett inn i formelen Formelen er: \[ t = \left( \dfrac{1}{\textcolor{blue}{v_1}} - \dfrac{1}{\textcolor{red}{v_2}} \right) \cdot \textcolor{green}{s} \cdot 60 \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_1} &= \textcolor{blue}{58} & \textcolor{red}{v_2} &= \textcolor{red}{65} & \textcolor{green}{s} &= \textcolor{green}{18} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \left( \dfrac{1}{\textcolor{blue}{58}} - \dfrac{1}{\textcolor{red}{65}} \right) \cdot \textcolor{green}{18} \cdot 60 \\ t &= \dfrac{65 - 58}{58 \cdot 65} \cdot 1080 \\ t &= \dfrac{7}{3770} \cdot 1080 \approx 2{,}005 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 2 \) minutter.

Vi kaller den laveste farten \( v\text{.} \) Da er den andre farten \( 2v\text{,} \) og formelen gir en likning for \( v\text{.} \) Så finner vi tidene ved å dele strekningen på farten.

1. Sett opp likningen Strekningen er fortsatt \( \textcolor{green}{18} \) km, og tidsforskjellen er \( 20 \) minutter. Med \( {\textcolor{blue}{v_1} = \textcolor{blue}{v}} \) og \( {\textcolor{red}{v_2} = \textcolor{red}{2v}} \) gir formelen: \[ \left( \dfrac{1}{\textcolor{blue}{v}} - \dfrac{1}{\textcolor{red}{2v}} \right) \cdot \textcolor{green}{18} \cdot 60 = 20 \]

2. Løs likningen Siden \( {\dfrac{1}{v} = \dfrac{2}{2v}}\text{,} \) er parentesen \( {\dfrac{2}{2v} - \dfrac{1}{2v} = \dfrac{1}{2v}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2v} \cdot 1080 &= 20 \\ \dfrac{540}{v} &= 20 \\ v &= \dfrac{540}{20} = 27 \end{aligned} \]Den ene dagen kjørte hun altså \( 27\,\text{km/h}\text{,} \) og den andre \( 54\,\text{km/h}\text{.} \)

3. Finn tidene Tid er strekning delt på fart, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ \begin{aligned} \dfrac{18\,\text{km}}{27\,\text{km/h}} &= \dfrac{2}{3}\,\text{h} = 40\,\text{min} \\ \dfrac{18\,\text{km}}{54\,\text{km/h}} &= \dfrac{1}{3}\,\text{h} = 20\,\text{min} \end{aligned} \]

Kontroll: \( {40 - 20 = 20} \) minutter, som i oppgaven.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen inn i CAS og løser den med Løs, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Så regner vi ut tidene i minutter:

Skriv inn i GeoGebra: Løs((1/v - 1/(2v))*18*60 = 20, v) 18/27*60 18/54*60

CAS gir \( {v = 27}\text{,} \) og kjøreturene tok \( 40 \) og \( 20 \) minutter.

Vi gjør om farten til \( x \) ved å dele på 10, og setter inn i formelen.

1. Finn x Farten er \( 70\,\text{km/h}\text{,} \) og \( x \) er farten delt på 10: \[ x = \dfrac{70}{10} = \textcolor{blue}{7} \]

2. Sett inn i formelen Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{7}} \) i \( {B = \dfrac{x^2}{2}}\text{:} \) \[ B = \dfrac{\textcolor{blue}{7}^2}{2} = \dfrac{49}{2} = 24{,}5 \]Det er de \( 24{,}5 \) meterne Viking Redningstjeneste oppgir.

Nå kjenner vi bremselengden og skal finne farten. Vi setter \( {B = 40{,}5}\text{,} \) løser likningen for \( x \) og ganger med 10.

1. Sett opp likningen Vi setter \( {B = 40{,}5} \) inn i formelen: \[ \dfrac{x^2}{2} = 40{,}5 \]

Vi ganger med \( 2 \) på begge sider: \[ x^2 = 81 \]

2. Ta kvadratroten Vi tar kvadratroten på begge sider, som i det første eksempelet i videoen Pytagoras setning. Farten er positiv, så vi bruker den positive roten: \[ x = \sqrt{81} = \textcolor{blue}{9} \]

Farten i km/h er \( x \) ganget med 10: \[ \textcolor{blue}{9} \cdot 10 = 90 \]

Kontroll: \( {\dfrac{9^2}{2} = \dfrac{81}{2} = 40{,}5}\text{,} \) som i oppgaven.

Vi gjør om tiden til sekunder og finner hvor mange runder 1500 meter er. Rundetiden er tiden delt på antall runder.

1. Gjør om tiden til sekunder Rekorden på 1500 meter er 3:27,14, altså 3 minutter og 27,14 sekunder. Ett minutt er 60 sekunder: \[ 3 \cdot 60\,\text{s} + 27{,}14\,\text{s} = \textcolor{blue}{207{,}14\,\text{s}} \]

2. Del på antall runder En runde er 400 meter, så 1500 meter er: \[ \dfrac{1500\,\text{m}}{400\,\text{m}} = \textcolor{red}{3{,}75} \text{ runder} \]

Rundetiden er tiden delt på antall runder: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{207{,}14\,\text{s}}}{\textcolor{red}{3{,}75}} \approx 55{,}24\,\text{s} \]

Strekningen er fart ganger tid. Vi gjør om farten til meter per sekund, og ganger med tiden han brukte på rekordløpet.

1. Gjør om farten Kilo betyr 1000, så \( {1\,\text{km} = 1000\,\text{m}}\text{,} \) som på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter. En time er \( 3600 \) sekunder: \[ \begin{aligned} 25{,}89\,\text{km/h} &= \dfrac{25\,890\,\text{m}}{3600\,\text{s}} \\ &\approx \textcolor{blue}{7{,}1917\,\text{m/s}} \end{aligned} \]

2. Gang med tiden Fra tabellen er tiden på 1 engelsk mil 3:43,73, altså \( {3 \cdot 60 + 43{,}73 = \textcolor{red}{223{,}73}} \) sekunder. Strekningen er fart ganger tid, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ s = v \cdot t \]

Det gir oss: \[ s \approx \textcolor{blue}{7{,}1917\,\text{m/s}} \cdot \textcolor{red}{223{,}73\,\text{s}} \approx 1609\,\text{m} \]Sekundene forkortes mot hverandre, så svaret blir i meter.

Vi finner først \( h \) med \( {a = 3} \) og \( {b = 2}\text{,} \) og setter så alt inn i Ramanujans formel.

1. Finn h Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}}\text{:} \) \[ h = \left(\dfrac{\textcolor{blue}{3} - \textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3} + \textcolor{red}{2}}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \textcolor{green}{0{,}04} \]

2. Sett inn i formelen Ramanujans formel forteller oss at: \[ O \approx \pi(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})\left(1 + \dfrac{3\textcolor{green}{h}}{10 + \sqrt{4 - 3\textcolor{green}{h}}}\right) \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}} \) og \( {\textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{0{,}04}}\text{,} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} O &\approx \pi \cdot 5 \cdot \left(1 + \dfrac{0{,}12}{10 + \sqrt{3{,}88}}\right) \\ O &\approx 15{,}865 \end{aligned} \]Her er \( {3 \cdot \textcolor{green}{0{,}04} = 0{,}12} \) og \( {4 - 0{,}12 = 3{,}88}\text{.} \)

3. Sammenlign med Mari Med tre desimaler er \( {O \approx 15{,}865\,\text{cm}}\text{,} \) det samme som Mari fant med det digitale verktøyet. Formelen er altså svært nøyaktig her.

En sirkel er en ellipse der de to halvaksene er like lange, \( {a = b = r}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen og ser om vi får omkretsen av en sirkel, \( 2\pi r\text{.} \)

1. Finn h for en sirkel Med \( {a = b = r} \) blir telleren i brøken \( 0\text{:} \) \[ h = \left(\dfrac{r - r}{r + r}\right)^2 = \left(\dfrac{0}{2r}\right)^2 = \textcolor{green}{0} \]

2. Sett inn i formelen Med \( {\textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{0}} \) blir brøken i parentesen \( {\dfrac{3 \cdot \textcolor{green}{0}}{10 + \sqrt{4}} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &\approx \pi(r + r)(1 + 0) \\ O &\approx \pi \cdot 2r = 2\pi r \end{aligned} \]Det er nettopp omkretsen av en sirkel med radius \( r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Formelen gjelder altså også for en sirkel, og der gir den det eksakte svaret.