Eksamensoppgaver etter tema

Vi leser hva funksjonene i linje 3 til 7 regner ut. Modellen \( f \) trekker fra det samme antallet hvert år, mens \( g \) ganger med det samme tallet hvert år.

1. Tolk modellen f Linje 4 gir, der \( x \) er antall år etter 2026: \[ f(x) = \textcolor{blue}{20\,000} - \textcolor{red}{300} \cdot x \]Bestanden starter på \( \textcolor{blue}{20\,000} \) individer i 2026, og ifølge \( f \) minker den med \( \textcolor{red}{300} \) individer per år.

2. Tolk modellen g I Python betyr to stjerner etter hverandre «opphøyd i», så linje 7 gir: \[ g(x) = \textcolor{blue}{20\,000} \cdot \textcolor{green}{0{,}984}^x \]Bestanden starter også på \( \textcolor{blue}{20\,000}\text{,} \) men hvert år ganges den med vekstfaktoren \( \textcolor{green}{0{,}984}\text{.} \)

Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ \textcolor{green}{0{,}984} = 1 - 0{,}016 = 1 - \dfrac{1{,}6}{100} \]Ifølge \( g \) minker bestanden med \( 1{,}6\,\% \) per år.

Vi bruker tolkningen av \( f \) og \( g \) fra a).

Programmet sammenligner de to modellene år for år i en løkke. Vi går gjennom det linje for linje og ser når løkka stopper, og hva som skrives ut.

1. Les hva løkka gjør Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 starter med \( {\textcolor{blue}{x} = 0}\text{,} \) altså 2026. Linje 9 og 10 øker \( \textcolor{blue}{x} \) med \( 1 \) så lenge den lineære modellen \( \textcolor{red}{f} \) gir minst like mange individer som den eksponentielle modellen \( \textcolor{green}{g}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{f(x)} \ge \textcolor{green}{g(x)} \]

Løkka stopper første gang \( {\textcolor{red}{f(x)} < \textcolor{green}{g(x)}}\text{.} \) Sofie vil altså finne ut hvor mange år det tar før \( \textcolor{red}{f} \) gir færre individer enn \( \textcolor{green}{g}\text{.} \)

2. Tolk utskriften Linje 13 til 15 skriver ut \( \textcolor{blue}{x}\text{,} \) \( \textcolor{red}{f(x)} \) og \( \textcolor{green}{g(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{10} \\ \textcolor{red}{f(10)} &= \textcolor{red}{17\,000} \\ \textcolor{green}{g(10)} &\approx \textcolor{green}{17\,021} \end{aligned} \]

Første gang \( \textcolor{red}{f} \) gir færre individer enn \( \textcolor{green}{g}\text{,} \) er altså \( \textcolor{blue}{10} \) år etter 2026, i 2036. Da gir \( \textcolor{red}{f} \) \( \textcolor{red}{17\,000} \) individer og \( \textcolor{green}{g} \) omtrent \( \textcolor{green}{17\,021} \) individer, avrundet til hele individer.

Lineær nedgang betyr at bestanden minker med like mange par hvert år. Vi finner konstantleddet og stigningstallet fra de to målingene.

1. Finn konstantleddet og stigningstallet En lineær modell har formen: \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{blue}{b} \) verdien når \( {x = 0}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{a} \) er hvor mye \( f \) endrer seg når \( x \) øker med \( 1\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp fra to punkter.

I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{9000}}\text{.} \) Stigningstallet er endringen i bestanden delt på antall år fra 2013 til 2022: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \dfrac{2500 - 9000}{9 - 0} = \dfrac{-6500}{9} \\ \textcolor{red}{a} &\approx \textcolor{red}{-722{,}2} \end{aligned} \]

2. Forklar hva modellen forteller Det gir modellen: \[ f(x) \approx \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} \]Ifølge modellen minker bestanden med omtrent \( 722 \) par hvert år.

Fortsetter nedgangen slik, er bestanden borte når \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} &= 0 \\ x &= \dfrac{\textcolor{blue}{9000}}{722{,}2} \approx 12{,}5 \end{aligned} \]Modellen sier at vipa er borte etter omtrent \( 12{,}5 \) år, altså mellom 2025 og 2026. Etter det gir den et negativt antall par, så den kan bare brukes fram til da.

1. Lag modellen med regresjon Vi lager en liste med de to punktene og bruker lineær regresjon, RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} f(x) = RegLin(l1)

GeoGebra gir \( {y \approx -722{,}2222x + 9000}\text{,} \) det samme som med kalkulator, så bestanden minker med omtrent \( 722 \) par per år.

Eksponentiell nedgang betyr at bestanden minker med den samme prosenten hvert år. Vi finner vekstfaktoren fra de to målingene.

1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så startverdien er \( \textcolor{blue}{9000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]

I 2022 er \( {x = 9}\text{,} \) og bestanden er \( 2500 \) par. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{k}^9 = 2500 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{9000} \) på begge sider og tar niende rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{9}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^9 &= \dfrac{2500}{9000} \\ \textcolor{red}{k} &= \left(\dfrac{2500}{9000}\right)^{1/9} \approx \textcolor{red}{0{,}8673} \end{aligned} \]

3. Forklar hva modellen forteller Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x \]Siden \( {\textcolor{red}{0{,}8673} = 1 - 0{,}1327}\text{,} \) minker bestanden med omtrent \( 13{,}3\,\% \) hvert år.

Fordi bestanden minker med en fast prosent, blir det færre par som forsvinner for hvert år. Ifølge modellen nærmer bestanden seg \( 0\text{,} \) men blir aldri helt borte.

1. Lag modellen med regresjon Vi bruker eksponentiell regresjon på de to punktene, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{,} \) der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} g(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator, så bestanden minker med omtrent \( 13{,}3\,\% \) per år.

Vi sammenligner punktene på de to grafene og ser hvor grafen til \( q \) flater ut. Så finner vi \( p \) fra de to punktene på grafen, og \( q \) fra \( p\text{.} \)

1. Les av antakelsene Punktene på \( q \) ligger \( \textcolor{green}{2000} \) over punktene på \( p\text{:} \) \[ \begin{aligned} 7000 + \textcolor{green}{2000} &= 9000 \\ 500 + \textcolor{green}{2000} &= 2500 \end{aligned} \]Grafen til \( q \) er grafen til \( p \) flyttet \( \textcolor{green}{2000} \) opp, så \( {q(x) = p(x) + \textcolor{green}{2000}}\text{.} \)

Egil antar altså at bestanden stabiliserer seg på \( \textcolor{green}{2000} \) par, der den stiplede linja ligger. Delen av bestanden over \( 2000 \) par minker med en fast prosent hvert år, slik \( p \) gjør, og modellen passer med \( 9000 \) par i 2013 og \( 2500 \) par i 2022.

2. Finn uttrykket for p Modellen \( p \) er eksponentiell og starter i \( 7000\text{,} \) så den er startverdien ganget med en vekstfaktor \( \textcolor{red}{c} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor: \[ p(x) = \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{c}^x \]

Punktet \( (9, 500) \) gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{c}^9 = 500 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{7000} \) på begge sider og tar niende rot med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{c}^9 &= \dfrac{500}{7000} \\ \textcolor{red}{c} &= \left(\dfrac{500}{7000}\right)^{1/9} \approx \textcolor{red}{0{,}7459} \end{aligned} \]

3. Skriv opp p og q Det gir: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7459}^x \\ q(x) &\approx \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7459}^x + \textcolor{green}{2000} \end{aligned} \]Siden \( {1 - \textcolor{red}{0{,}7459} = 0{,}2541}\text{,} \) minker delen over \( 2000 \) par med omtrent \( 25{,}4\,\% \) hvert år.

1. Lag p og q med regresjon Som i kalkulatorruten er \( {q(x) = p(x) + \textcolor{green}{2000}}\text{.} \) Vi bruker eksponentiell regresjon på punktene til \( p\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og legger til \( \textcolor{green}{2000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 7000), (9, 500)} p(x) = RegEksp(l2) q(x) = p(x) + 2000

GeoGebra gir det samme som med kalkulator: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x \\ q(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x + 2000 \end{aligned} \]

Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( K(x) \) for månedene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi eksponentiell regresjon på punktene.

1. Finn x for månedene i tabellen Desember 2022 er \( {x = 0}\text{,} \) og desember 2023 er \( {x = 12}\text{.} \) Februar 2024 er derfor \( {x = 12 + 2 = 14}\text{.} \) Slik får vi: \[ \begin{array}{l|r} \text{Måned} & x \\ \hline \text{Januar 2023} & 1 \\ \text{Mai 2023} & 5 \\ \text{Oktober 2023} & 10 \\ \text{Februar 2024} & 14 \\ \text{August 2024} & 20 \\ \text{Oktober 2024} & 22 \end{array} \]

2. Regn ut modellverdiene For mai 2023 er \( {x = 5}\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \textcolor{red}{K(5)} = 27{,}8 \cdot 1{,}2^5 \approx \textcolor{red}{69{,}2} \]

Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{K(x)} \) for alle seks månedene, avrundet til hele tilfeller, og setter verdiene ved siden av de \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{\text{Registrert}} & \textcolor{red}{K(x)} \\ \hline 1 & \textcolor{blue}{29} & \textcolor{red}{33} \\ 5 & \textcolor{blue}{93} & \textcolor{red}{69} \\ 10 & \textcolor{blue}{164} & \textcolor{red}{172} \\ 14 & \textcolor{blue}{284} & \textcolor{red}{357} \\ 20 & \textcolor{blue}{1035} & \textcolor{red}{1066} \\ 22 & \textcolor{blue}{1657} & \textcolor{red}{1535} \end{array} \]

3. Vurder modellen De \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene vokser fra \( \textcolor{blue}{29} \) til \( \textcolor{blue}{1657}\text{,} \) til mer enn \( 50 \) ganger så mange. \( \textcolor{red}{\text{Modellverdiene}} \) følger den veksten hele veien, og ingen av dem bommer med mer enn omtrent en firedel av det registrerte tallet. Derfor er \( K \) en god modell for perioden.

1. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x} \) som går så nær punktene som mulig, der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren. Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx \textcolor{blue}{27{,}809} \cdot \textcolor{red}{1{,}1987}^x}\text{.} \) Avrundet til én desimal er det \( {\textcolor{blue}{27{,}8} \cdot \textcolor{red}{1{,}2}^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( K \) en god modell.

Tallet \( 1{,}2 \) er vekstfaktoren i modellen. Vi gjør den om til en prosent.

1. Tolk vekstfaktoren For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ 1{,}2 = 1 + 0{,}20 = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{20}}{100} \]Hver måned ganges antallet med \( 1{,}2\text{.} \) Ifølge modellen øker antall registrerte tilfeller altså med \( \textcolor{red}{20}\,\% \) per måned.

Linja går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.

1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er punktene \( (\textcolor{blue}{4}, \textcolor{red}{K(4)}) \) og \( (\textcolor{blue}{21}, \textcolor{red}{K(21)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} K(\textcolor{blue}{4}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{4}} \approx \textcolor{red}{57{,}65} \\ K(\textcolor{blue}{21}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{21}} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{red}{57{,}65}}{\textcolor{blue}{21} - \textcolor{blue}{4}} \\ a &\approx \dfrac{1221{,}29}{17} \approx 71{,}8 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. Fra april 2023 til september 2024 økte antall registrerte tilfeller per måned altså i gjennomsnitt med omtrent \( 72 \) for hver måned, ifølge modellen.

Vi finner \( x \) for mai 2025 og setter inn i modellen.

1. Finn x for mai 2025 Desember 2024 er \( 24 \) måneder etter desember 2022, og mai 2025 er \( 5 \) måneder etter det: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]

2. Sett inn i modellen Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall måneder, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]

I 2010 er \( {x = 0}\text{.} \) Vi kan regne ut \( P(0)\text{,} \) eller lese startverdien av modellen og av grafen.

1. Regn ut P(0) Den første måten er å regne ut \( P(0)\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{.} \) Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ a^0 = 1 \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{0{,}85^0} + 600 \\ P(0) &= 3600 \cdot \textcolor{red}{1} + 600 = 4200 \end{aligned} \]

2. Les av startverdien Den andre måten er å lese av modellen. Den er et eksponentielt ledd \( {\textcolor{blue}{3600} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}^x} \) pluss et fast antall \( \textcolor{green}{600}\text{.} \) Det eksponentielle leddet starter på \( \textcolor{blue}{3600} \) og ganges med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{0{,}85} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2010 har det ikke gått noe år ennå, så antallet er: \[ \textcolor{blue}{3600} + \textcolor{green}{600} = 4200 \]

1. Regn ut og les av grafen Vi skriver inn modellen, regner ut \( P(0) \) og finner punktet der grafen skjærer y-aksen med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 s = P(0) A = Skjæring(P, yAkse)

Regningen gir \( {s = 4200}\text{,} \) og grafen skjærer y-aksen i \( {A = (0, 4200)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Stigningstallet er endringen i \( P \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( P(4) \) og \( P(14)\text{,} \) og deler forskjellen på de \( 10 \) årene mellom dem.

1. Regn ut de to verdiene Vi setter inn \( {x = 4} \) og \( {x = 14} \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{4}) &= 3600 \cdot 0{,}85^{\textcolor{blue}{4}} + 600 \\ &\approx \textcolor{red}{2479{,}22} \\ P(\textcolor{blue}{14}) &= 3600 \cdot 0{,}85^{\textcolor{blue}{14}} + 600 \\ &\approx \textcolor{red}{969{,}97} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet til linja gjennom to punkter er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]

Med punktene \( (\textcolor{blue}{4}, \textcolor{red}{P(4)}) \) og \( (\textcolor{blue}{14}, \textcolor{red}{P(14)}) \) får vi: \[ a \approx \dfrac{\textcolor{red}{969{,}97} - \textcolor{red}{2479{,}22}}{\textcolor{blue}{14} - \textcolor{blue}{4}} \approx -150{,}9 \]

3. Tolk stigningstallet \( {x = 4} \) er 2014, og \( {x = 14} \) er 2024. Antallet som abonnerte på papirutgaven, gikk altså ned med i gjennomsnitt omtrent \( 151 \) personer per år fra 2014 til 2024.

1. Legg linja gjennom punktene Vi lager de to punktene og legger en rett linje gjennom dem med RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) = 3600*0.85^x + 600 A = (4, P(4)) B = (14, P(14)) f(x) = RegLin({A, B})

Linja gjennom punktene er: \[ y \approx -150{,}9252x + 3082{,}9232 \]Stigningstallet er altså omtrent \( {-150{,}9}\text{:} \) antallet gikk ned med omtrent \( 151 \) personer per år fra 2014 til 2024.

Begge modellene gir antallet abonnenter år for år. Vi lager en modell for den digitale utgaven og sammenligner de to antallene for hvert år fra 2019.

1. Modeller den digitale utgaven Antallet øker med \( 5{,}5\,\% \) hvert år, så vekstfaktoren er \( {1 + 0{,}055 = \textcolor{red}{1{,}055}}\text{.} \) Etter noen år er antallet startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i antall år: \[ \text{verdi} = \textcolor{blue}{\text{startverdi}} \cdot \textcolor{red}{V}^{\text{antall år}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Vekstfaktor.

Startverdien er \( \textcolor{blue}{1000} \) i 2019. Med \( x \) år etter 2010 er 2019 \( {x = 9}\text{,} \) og antall år etter 2019 er \( {x - 9}\text{:} \) \[ D(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{1{,}055}^{x - 9} \]

2. Sammenlign år for år Vi regner ut \( P(x) \) og \( D(x) \) for hvert år fra 2019 med kalkulatoren, med én desimal: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \text{År} & x & P(x) & D(x) \\ \hline 2019 & 9 & 1433{,}8 & 1000{,}0 \\ 2020 & 10 & 1308{,}7 & 1055{,}0 \\ 2021 & 11 & 1202{,}4 & 1113{,}0 \\ \textcolor{green}{2022} & 12 & 1112{,}1 & \textcolor{green}{1174{,}2} \end{array} \]Til og med 2021 abonnerte flest på papirutgaven. I \( \textcolor{green}{2022} \) abonnerte for første gang flere på den digitale utgaven.

1. Regn ut verdiene i CAS Vi definerer \( P \) og \( D \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut verdiene for 2021 (\( {x = 11} \)) og 2022 (\( {x = 12} \)) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: P(x) := 3600*0.85^x + 600 D(x) := 1000*1.055^(x - 9) P(11) D(11) P(12) D(12)

I 2021 abonnerte omtrent 1202 på papir og 1113 digitalt, og i 2022 omtrent 1112 på papir og 1174 digitalt. Papirutgaven går ned og den digitale opp hvert år, så papirutgaven hadde flest også før 2021, og 2022 er det første året med flere digitale abonnenter.

Når antallet øker med like mange hver måned, er utviklingen lineær. Vi finner økningen per måned og startverdien fra de to tellingene.

1. Velg funksjon Når antallet øker med det samme hver måned, er endringen per måned fast, og da er funksjonen lineær: \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) økningen per måned og \( \textcolor{blue}{b} \) antallet når \( {x = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp.

2. Finn a og b Vi lar \( x \) være antall måneder etter at hun hadde \( \textcolor{blue}{290\,000} \) følgere, så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{290\,000}}\text{.} \) På 8 måneder økte antallet med \( {340\,000 - 290\,000 = 50\,000}\text{,} \) så per måned er økningen: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{50\,000}{8} = \textcolor{red}{6250} \]

Det gir: \[ f(x) = \textcolor{red}{6250}x + \textcolor{blue}{290\,000} \]

1. Bruk lineær regresjon Vi legger de to tellingene i en liste og bruker RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 290000), (8, 340000)} f(x) = RegLin(l1)

GeoGebra gir \( {y = 6250x + 290\,000}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Når antallet øker med samme prosent hver måned, ganges det med den samme vekstfaktoren hver måned, og utviklingen er eksponentiell. Vi finner vekstfaktoren fra de to tellingene.

1. Velg funksjon Når antallet øker med samme prosent hver måned, ganger vi med den samme vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Med \( x \) måneder etter at hun hadde \( \textcolor{blue}{290\,000} \) følgere, er startverdien \( \textcolor{blue}{290\,000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]

2. Finn vekstfaktoren I dag er \( {x = 8}\text{,} \) og antallet er \( 340\,000\text{.} \) Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^8 = 340\,000 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{290\,000} \) på begge sider og tar åttende rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^8 &= \dfrac{340\,000}{290\,000} = \dfrac{34}{29} \\ \textcolor{red}{k} &= \left( \dfrac{34}{29} \right)^{1/8} \approx \textcolor{red}{1{,}0201} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{290\,000} \cdot \textcolor{red}{1{,}0201}^x \]Siden \( {\textcolor{red}{1{,}0201} = 1 + 0{,}0201}\text{,} \) øker antallet med omtrent \( 2{,}0\,\% \) hver måned.

1. Bruk eksponentiell regresjon Vi bruker eksponentiell regresjon på de to tellingene, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{,} \) der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 290000), (8, 340000)} g(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {g(x) \approx 290\,000 \cdot 1{,}0201^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Funksjonen er et tall ganget med en vekstfaktor opphøyd i antall år. Vi ser hva hvert av tallene betyr for pengene i banken.

1. Tolk startbeløpet Vi setter inn \( {x = 0}\text{,} \) altså nå. Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot 1{,}0485^0 \\ &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot 1 = \textcolor{blue}{20\,000} \end{aligned} \]Ada har altså \( \textcolor{blue}{20\,000} \) kroner i banken nå. Det er beløpet hun starter med.

2. Tolk vekstfaktoren Hvert år ganges beløpet med \( \textcolor{red}{1{,}0485}\text{,} \) så det er vekstfaktoren. For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ \textcolor{red}{1{,}0485} = 1 + 0{,}0485 = 1 + \dfrac{4{,}85}{100} \]Beløpet øker altså med \( 4{,}85\,\% \) hvert år. Det er renten banken gir.

Programmet regner ut hvor mye \( f \) endrer seg fra start til slutt, og deler på antall år. Vi går gjennom det linje for linje.

1. Les programmet linje for linje Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 og 2 lager funksjonen \( {f(x) = 20\,000 \cdot 1{,}0485^x} \) fra oppgaven, og linje 4 og 5 setter \( {\texttt{start} = \textcolor{blue}{0}} \) og \( {\texttt{slutt} = \textcolor{red}{10}}\text{.} \)

Linje 7 regner da ut: \[ v = \dfrac{f(\textcolor{red}{10}) - f(\textcolor{blue}{0})}{\textcolor{red}{10} - \textcolor{blue}{0}} \]

2. Tolk tallet I telleren står hvor mange kroner beløpet øker med fra i dag til om \( 10 \) år. I nevneren står antall år, \( 10\text{.} \) Tallet \( v \) er altså økningen per år i gjennomsnitt de ti første årene.

Det er det samme som stigningstallet til linja gjennom punktene \( (0, f(0)) \) og \( (10, f(10))\text{:} \) endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Oppgaven ber om to måter. Vi regner ut beløpet om fem år med vekstfaktoren, og vi leser det av grafen til beløpet.

1. Regn ut beløpet Den første måten er å regne. Renten er \( 3{,}25\,\% \) per år. For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {V = 1 + 0{,}0325 = \textcolor{red}{1{,}0325}}\text{.} \) Om fem år er beløpet i dag ganget med vekstfaktoren fem ganger, som i videoen Vekstfaktor: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^5 \\ &\approx 105\,607 \cdot 1{,}173411 \\ &\approx 123\,920{,}46 \end{aligned} \]

2. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Vi lar \( x \) være antall år fra i dag, så beløpet er \( {K(x) = \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^x}\text{.} \) Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele kroner: \[ \begin{array}{r|r} x & K(x) \\ \hline 0 & 105\,607 \\ 1 & 109\,039 \\ 2 & 112\,583 \\ 3 & 116\,242 \\ 4 & 120\,020 \\ 5 & 123\,920 \end{array} \]

Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Ved \( {x = 5} \) leser vi av omtrent \( 124\,000 \) kroner, det samme som utregningen.

1. Regn ut og les av grafen Vi lar \( x \) være antall år fra i dag og skriver inn \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(5)\text{,} \) og finner punktet på grafen der \( {x = 5} \) med Skjæring mellom grafen og linja \( {x = 5}\text{,} \) som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 105607*1.0325^x s = K(5) g: x = 5 A = Skjæring(K, g)

Regningen gir \( {s \approx 123\,920{,}46}\text{,} \) og grafen og linja møtes i \( {A \approx (5,\ 123\,920{,}46)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Nå går vi fem år tilbake. Vi deler beløpet i dag på vekstfaktoren fem ganger, og vi leser det av grafen til beløpet fem år før i dag.

1. Regn ut innskuddet Den første måten er å regne. Renten på \( 3{,}25\,\% \) gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}0325 = \textcolor{red}{1{,}0325}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Vi kaller beløpet Gaute satte inn, for \( S\text{.} \) Etter fem år har det blitt beløpet i dag, som i videoen Vekstfaktor: \[ S \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^5 = \textcolor{blue}{105\,607} \]

Vi deler med \( \textcolor{red}{1{,}0325}^5 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{105\,607}}{\textcolor{red}{1{,}0325}^5} \\ S &\approx 89\,999{,}98 \end{aligned} \]Det står litt over \( 105\,607 \) kroner på kontoen i dag, så Gaute satte inn \( 90\,000 \) kroner.

Kontroll: \( {90\,000 \cdot 1{,}0325^5} \) er omtrent \( 105\,607{,}03\text{,} \) altså litt over \( 105\,607 \) kroner.

2. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Vi lar \( x \) være antall år fra i dag, så beløpet er \( {K(x) = \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^x}\text{,} \) og fem år siden er \( {x = -5}\text{.} \) Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele kroner: \[ \begin{array}{r|r} x & K(x) \\ \hline -5 & 90\,000 \\ -4 & 92\,925 \\ -3 & 95\,945 \\ -2 & 99\,063 \\ -1 & 102\,283 \\ 0 & 105\,607 \end{array} \]

Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Ved \( {x = -5} \) leser vi av omtrent \( 90\,000 \) kroner, det samme som utregningen.

1. Regn ut og les av grafen Vi lar \( x \) være antall år fra i dag og skriver inn \( K\text{.} \) Fem år siden er \( {x = -5}\text{.} \) Vi regner ut \( {K(-5)}\text{,} \) og finner punktet på grafen der \( {x = -5} \) med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 105607*1.0325^x t = K(-5) h: x = -5 B = Skjæring(K, h)

Regningen gir \( {t \approx 89\,999{,}98}\text{,} \) og grafen og linja møtes i \( {B \approx (-5,\ 89\,999{,}98)}\text{.} \) Med litt over \( 105\,607 \) kroner i dag var innskuddet \( 90\,000 \) kroner.

Modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{,} \) som er en potensfunksjon. Vi bruker potensregresjon på punktene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, og med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {7{,}56 \cdot x^{0{,}38}}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir høyden i c) omtrent \( 4{,}2 \) km med Aris modell i stedet for \( 4{,}3 \) km. Vis derfor fire desimaler i GeoGebra.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet og minker med en fast prosent per km. Vi finner vekstfaktoren for Ari og for Lisa.

1. Lag Aris modell Lufttrykket minker med \( 12\,\% \) per km. Når noe minker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {V = 1 - 0{,}12 = \textcolor{red}{0{,}88}}\text{.} \) Ved havet er lufttrykket \( \textcolor{blue}{1000} \) hPa, og for hver km ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}88}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ A(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}88}^x \]

2. Lag Lisas modell Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^x}\text{.} \) Etter \( 5{,}5 \) km er lufttrykket halvert, altså \( 500 \) hPa. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{1000} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{c}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{green}{c} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{green}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir: \[ L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x \]

1. Lag modellene Aris modell skriver vi rett inn. For Lisas modell bruker vi eksponentiell regresjon på punktene \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x l2 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l2)

GeoGebra gir \( {L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator. De to grafene ligger nesten oppå hverandre.

Vi bruker modellen fra a) og modellene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et egg blir hardkokt når vannet koker ved minst \( 85\,^\circ\text{C}\text{.} \) Vi finner lufttrykket der kokepunktet er \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt.

1. Finn lufttrykket I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]

Kokepunktet skal være \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) så vi setter \( {K(x) = 85}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} = 85 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{7{,}562} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} &= \dfrac{85}{\textcolor{blue}{7{,}562}} \approx 11{,}2404 \\ x &\approx 11{,}2404^{1/\textcolor{red}{0{,}3804}} \approx \textcolor{green}{578{,}5} \end{aligned} \]Ved lavere lufttrykk koker vannet ved lavere temperatur, så lufttrykket må være minst omtrent \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa.

2. Finn høyden I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} A(x) &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ L(x) &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Med \( {x = 4} \) er lufttrykket omtrent 600 hPa i begge modellene. Vi regner videre med kalkulatoren for hver tiendedel km: \[ \begin{array}{r|r|r} x & A(x) & L(x) \\ \hline 4{,}0 & 599{,}7 & 604{,}1 \\ 4{,}1 & 592{,}1 & 596{,}5 \\ 4{,}2 & 584{,}6 & 589{,}0 \\ 4{,}3 & 577{,}1 & 581{,}7 \\ 4{,}4 & 569{,}8 & 574{,}4 \\ 4{,}5 & 562{,}6 & 567{,}2 \end{array} \]Ifølge Aris modell kommer lufttrykket ned til \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa mellom \( 4{,}2 \) og \( 4{,}3 \) km, nærmest \( 4{,}3\text{.} \) Ifølge Lisas modell skjer det mellom \( 4{,}3 \) og \( 4{,}4 \) km, også nærmest \( 4{,}3\text{.} \)

1. Finn lufttrykket Med \( K \) fra a) tegner vi linja \( {y = 85} \) og finner skjæringspunktet med grafen, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 85 P = Skjæring(K, g)

Lufttrykket er førstekoordinaten til \( P\text{,} \) omtrent \( 578{,}34 \) hPa.

2. Finn høyden Med \( A \) og \( L \) fra b) tegner vi linja \( {y = x(P)} \) og finner skjæringspunktene med de to grafene:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = x(P) S = Skjæring(A, h) T = Skjæring(L, h)

Ifølge Aris modell er høyden \( 4{,}28 \) km (punktet \( S \)), og ifølge Lisas \( 4{,}35 \) km (punktet \( T \)). Begge er omtrent \( 4{,}3 \) km.

Antallet fiskere går ned i hele perioden, men stadig langsommere. Det passer med en eksponentiell modell, som går ned med en fast prosent hvert år, og den finner vi med regresjon.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon på seks punkter. Øv heller på å lage en eksponentiell modell gjennom to av punktene med kalkulatoren, der vekstfaktoren er en rot.

1. Velg modell Fra 1952 til 1982 gikk antallet ned med omtrent \( 1360 \) personer per år, men fra 2012 til 2022 bare med omtrent \( 23 \) per år. En lineær modell går ned med like mye hvert år og passer dårlig. En eksponentiell modell går ned med en fast prosent hvert år og har formen: \[ F(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x \]der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor.

2. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på denne formen som går så nær punktene som mulig. Med \( x \) år etter 1950 er 1952 \( {x = 2} \) og 2022 \( {x = 72}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(2, 65956), (32, 25289), (42, 19780), (52, 13841), (62, 9825), (72, 9591)} F(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {F(x) \approx \textcolor{blue}{66\,359{,}66} \cdot \textcolor{red}{0{,}97143}^x}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Siden \( {1 - \textcolor{red}{0{,}97143} \approx 0{,}029}\text{,} \) går antallet ned med omtrent \( 2{,}9\,\% \) hvert år ifølge modellen.

Andre modeller kan også godtas når valget er begrunnet.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

2050 er 100 år etter 1950, så vi setter inn \( {x = 100} \) i modellen. Så ser vi om 2050 ligger innenfor årene modellen bygger på.

1. Regn ut antallet i 2050 I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^x \]

2050 er \( {2050 - 1950 = \textcolor{green}{100}} \) år etter 1950. Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor, og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{green}{100}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{green}{100}} \\ F(100) &\approx 3656 \end{aligned} \]Ifølge modellen vil omtrent \( 3\,660 \) personer ha fiske som hovedyrke i 2050.

2. Vurder gyldighetsområdet Modellen bygger på tallene fra 1952 til 2022, altså \( {2 \le x \le 72}\text{.} \) 2050 ligger 28 år etter det siste året i tabellen, så svaret er usikkert.

De siste ti årene gikk antallet nesten ikke ned, fra \( 9825 \) til \( 9591\text{.} \) Modellen går ned med omtrent \( 2{,}9\,\% \) hvert år og gir bare \( {F(72) \approx 8235} \) for 2022. Den gir derfor trolig for lave tall etter 2022.

1. Finn punktet på grafen Med \( F \) fra a) i GeoGebra skriver vi inn punktet på grafen der \( {x = 100}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: P = (100, F(100))

GeoGebra gir \( {P \approx (100,\ 3658{,}13)}\text{,} \) altså omtrent \( 3\,660 \) personer, som med kalkulator.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Linja går gjennom to punkter på grafen til \( F\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.

1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

I a) fant vi \( {F(x) \approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^x}\text{.} \) Punktene er \( (\textcolor{blue}{30}, \textcolor{red}{F(30)}) \) og \( (\textcolor{blue}{70}, \textcolor{red}{F(70)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{30}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{blue}{30}} \\ F(30) &\approx \textcolor{red}{27\,813} \\ F(\textcolor{blue}{70}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{blue}{70}} \\ F(70) &\approx \textcolor{red}{8724} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8724} - \textcolor{red}{27\,813}}{\textcolor{blue}{70} - \textcolor{blue}{30}} \\ a &\approx \dfrac{-19\,089}{40} \approx -477 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret \( {x = 30} \) er 1980, og \( {x = 70} \) er 2020. Stigningstallet er den gjennomsnittlige endringen per år, så fra 1980 til 2020 gikk antall fiskere i gjennomsnitt ned med omtrent \( 477 \) personer per år, ifølge modellen.