Forkurseksamen etter tema

Vi tegner høyden fra \( C \) ned på \( AB\text{.} \) Da får vi to rettvinklede trekanter med vinkler der sinus og tangens har eksakte verdier.

1. Finn den siste vinkelen Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som vises i videoen Oppgave 12A (Sinussetningen). Det gir oss: \[ \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \]

2. Finn høyden Vi kaller fotpunktet til høyden for \( F\text{:} \)

Tangens er gitt ved, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \tan v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}} \]

I de to rettvinklede trekantene gir det: \[ \begin{aligned} \tan 45^\circ &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\textcolor{red}{AF}} = 1 \\ \textcolor{red}{AF} &= \textcolor{blue}{h} \\ \tan 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\textcolor{green}{FB}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{FB} &= \sqrt{3}\,\textcolor{blue}{h} \end{aligned} \]

Sammen er de to delene lik \( AB\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AF} + \textcolor{green}{FB} &= 120 \\ \textcolor{blue}{h} + \sqrt{3}\,\textcolor{blue}{h} &= 120 \\ \textcolor{blue}{h} &= \dfrac{120}{\sqrt{3} + 1} \end{aligned} \]

Vi utvider med \( {\sqrt{3} - 1} \) for å få bort roten i nevneren: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{h} &= \dfrac{120(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \\ &= \dfrac{120(\sqrt{3} - 1)}{2} = 60(\sqrt{3} - 1) \end{aligned} \]

3. Finn sidene Sinus er gitt ved: \[ \sin v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}} \]

Hypotenusene er \( AC \) og \( BC\text{:} \) \[ \begin{aligned} AC &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2}\,\textcolor{blue}{h} \\ &= 60(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \approx 62{,}1 \\ BC &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\sin 30^\circ} = 2\textcolor{blue}{h} \\ &= 120(\sqrt{3} - 1) \approx 87{,}8 \end{aligned} \]

Alternativ metode: Sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{BC}{\sin 45^\circ} = \dfrac{AC}{\sin 30^\circ} = \dfrac{120}{\sin 105^\circ} \]

Det gir oss direkte: \[ \begin{aligned} BC &= \dfrac{120 \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 87{,}8 \\ AC &= \dfrac{120 \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 62{,}1 \end{aligned} \]

Dette går raskest med kalkulator, men eksakte verdier krever formelen for sinus til en sum.

Vi bruker siden \( AC \) fra a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, så vi bruker arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen Arealsetningen, som i videoen Arealsetningen, forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{AC} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]

Her er, med \( AC \) fra a): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AB} &= \textcolor{red}{120} \\ \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{60(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \\ \sin \textcolor{green}{A} &= \sin 45^\circ = \textcolor{green}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{120} \cdot \textcolor{blue}{60(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= 1800\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \\ &= 1800(\sqrt{12} - 2) \\ &= 3600(\sqrt{3} - 1) \approx 2635{,}4 \end{aligned} \]

Trekantene \( ADC \) og \( ABC \) har samme vinkel i \( A \) og samme side \( AC\text{.} \) Arealsetningen viser da at forholdet mellom arealene er forholdet mellom \( AD \) og \( AB\text{.} \)

1. Sett opp de to arealene Arealsetningen gir oss begge arealene: \[ \begin{aligned} T_{ADC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{AD} \cdot AC \cdot \sin 45^\circ \\ T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot AC \cdot \sin 45^\circ \end{aligned} \]

2. Bruk kravet til arealet Arealet av \( ADC \) skal være en tredjedel av hele arealet. Alt annet enn \( \textcolor{red}{AD} \) og \( \textcolor{blue}{AB} \) er likt og kan forkortes bort: \[ \begin{aligned} T_{ADC} &= \dfrac{1}{3}T_{ABC} \\ \textcolor{red}{AD} &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{AB} \\ &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{120} = 40 \end{aligned} \]