Universitetseksamen etter tema

Vi viser først at det finnes et nullpunkt, og at det bare er ett. Så viser vi at \( g \) trekker punktene nærmere hverandre med faktoren \( K\text{,} \) og det gir hvor mange iterasjoner vi trenger.

1. Vis at det er ett nullpunkt \( f \) er kontinuerlig, og fortegnet skifter mellom endepunktene: \[ \begin{aligned} f(1) &= 1 + 4 - 10 = -5 \\ f(2) &= 8 + 16 - 10 = 14 \end{aligned} \]Da sier skjærsetningen at det finnes et nullpunkt, som i videoen Skjærsetningen.

Den deriverte er positiv på \( [1, 2]\text{:} \) \[ f'(x) = 3x^2 + 8x > 0 \]\( f \) er voksende, så det er nøyaktig ett nullpunkt.

2. Skriv om likningen Vi setter \( x^2 \) utenfor på venstre side av \( {x^3 + 4x^2 = 10}\text{:} \) \[ x^2(x + 4) = 10 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \dfrac{10}{4 + x} \]På \( [1, 2] \) er \( {x > 0}\text{,} \) så vi kan ta kvadratroten: \[ x = \sqrt{\dfrac{10}{4 + x}} = g(x) \]

3. Vis at g ligger mellom grensene Når \( x \) vokser, blir nevneren større, så \( g \) er synkende. Da ligger verdiene mellom endepunktene: \[ \begin{aligned} g(2) &\le g(x) \le g(1) \\ \sqrt{\dfrac{5}{3}} &\le g(x) \le \sqrt{2} \end{aligned} \]Siden \( {\sqrt{\dfrac{5}{3}} \ge 1} \) og \( {\sqrt{2} \le 2}\text{,} \) er \( {1 \le g(x) \le 2}\text{.} \)

4. Finn K Vi skriver \( {g(x) = \sqrt{10}\,(4 + x)^{-\tfrac{1}{2}}} \) og deriverer med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ g'(x) = -\dfrac{\sqrt{10}}{2}(4 + x)^{-\tfrac{3}{2}} \]

\( |g'(x)| \) er størst når nevneren er minst, altså i \( {x = 1}\text{:} \) \[ |g'(x)| \le \dfrac{\sqrt{10}}{2 \cdot 5\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10} < \dfrac{1}{5} \]Vi kan altså bruke \( {\textcolor{red}{K} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}\text{.} \)

5. Finn antall iterasjoner Middelverdisetningen forteller oss at det finnes en \( c \) mellom \( a \) og \( b \) slik at: \[ g(a) - g(b) = g'(c)(a - b) \]

Siden \( {|g'(c)| \le \textcolor{red}{K}}\text{,} \) \( {x_{n+1} = g(x_n)} \) og \( {r = g(r)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |x_{n+1} - r| &= |g(x_n) - g(r)| \\ &\le \textcolor{red}{K}|x_n - r| \end{aligned} \]

Gjør vi dette \( n \) ganger, får vi \( {|x_n - r| \le K^n|x_0 - r|}\text{.} \) Både \( x_0 \) og \( r \) ligger i \( [1, 2]\text{,} \) så \( {|x_0 - r| \le 1}\text{:} \) \[ |x_n - r| \le \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^n \]

Vi må ha: \[ \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^n < 10^{-3} \quad \Rightarrow \quad 5^n > 1000 \]Her holder det med hoderegning: \( {5^4 = 625} \) og \( {5^5 = 3125}\text{.} \)

Grafene skjærer hverandre der \( {f(x) = g(x)}\text{.} \) Vi samler alt i én funksjon og bruker skjærsetningen. Vi skal altså ikke løse likningen, bare vise at det finnes en løsning.

1. Sett opp en ny funksjon Der grafene skjærer hverandre, er differansen \( 0\text{.} \) Vi kaller differansen \( h(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= \ln(x) - x^2 + 2 \end{aligned} \]

2. Bruk skjærsetningen Skjærsetningen forteller oss at hvis \( h \) er kontinuerlig på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}]\text{,} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &h(\textcolor{blue}{a}) \cdot h(\textcolor{red}{b}) < 0 \\ &\Rightarrow \ h(c) = 0 \text{ for en } c \in (\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på skjærsetningen, kan du se videoen Skjærsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \) Først sjekker vi at \( h \) er kontinuerlig: \[ \begin{aligned} \ln(x) &: \text{ kontinuerlig for } x > 0 \\ x^2 - 2 &: \text{ kontinuerlig for alle } x \\ h(x) &: \text{ kontinuerlig på } [1, 2] \end{aligned} \]

Så setter vi inn endepunktene: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{blue}{1}) &= \ln 1 - 1 + 2 = 1 > 0 \\ h(\textcolor{red}{2}) &= \ln 2 - 4 + 2 = \ln 2 - 2 \end{aligned} \]

Den siste er negativ, siden \( {2 < e}\text{:} \) \[ \ln 2 < \ln e = 1 \quad \Rightarrow \quad \ln 2 - 2 < 0 \]

Fortegnet skifter, så skjærsetningen gir en \( c \in (1, 2) \) der: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{blue}{1}) \cdot h(\textcolor{red}{2}) &< 0 \\ h(c) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(c) &= g(c) \end{aligned} \]

Skjærsetningen gir at det finnes en løsning. Så viser vi at venstresiden er negativ på \( [0, 1] \) og voksende etter det, så det kan ikke finnes flere.

1. Samle alt i én funksjon Vi kaller venstresiden \( g(x)\text{.} \) Løsningene av likningen er nullpunktene til \( g\text{,} \) og \( g \) er kontinuerlig, siden \( {|x - 3|} \) og \( x^4 \) er det: \[ g(x) = |x - 3| + x^4 - 7 \]

2. Vis at det finnes en løsning Skjærsetningen forteller oss at hvis \( g \) er kontinuerlig på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}]\text{,} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &g(\textcolor{blue}{a}) \cdot g(\textcolor{red}{b}) < 0 \\ &\Rightarrow \ g(c) = 0 \text{ for en } c \in (\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på skjærsetningen, kan du se videoen Skjærsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g(\textcolor{blue}{1}) &= 2 + 1 - 7 = -4 \\ g(\textcolor{red}{2}) &= 1 + 16 - 7 = 10 \end{aligned} \]

Fortegnet skifter, så det finnes en løsning: \[ g(c) = 0 \text{ for en } c \in (1, 2) \]

3. Vis at det bare er én For \( {0 \le x \le 1} \) er \( {|x - 3| \le 3} \) og \( {x^4 \le 1}\text{,} \) så \( g \) er negativ der: \[ g(x) \le 3 + 1 - 7 = -3 < 0 \]

For \( {x \ge 1} \) tar vi bort absoluttverdien, og deriverer hver del med potensregelen: \[ \begin{aligned} 1 \le x < 3: \quad g(x) &= x^4 - x - 4 \\ g'(x) &= 4x^3 - 1 \ge 3 \\ x > 3: \quad g(x) &= x^4 + x - 10 \\ g'(x) &= 4x^3 + 1 > 0 \end{aligned} \]Du finner potensregelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( g \) er kontinuerlig i \( {x = 3} \) også, så \( g \) er strengt voksende på \( [1, \infty)\text{,} \) og kan bare være \( 0 \) én gang der.

Slår vi dette sammen, får vi ingen nullpunkter på \( [0, 1] \) og nøyaktig ett nullpunkt for \( {x \ge 1}\text{.} \)

Vi flytter over og ser på nullpunktet til \( {g(x) = f(x) - 4}\text{.} \) Skjærsetningen gir et nullpunkt, den deriverte viser at det er ett, og den dobbeltderiverte avgjør hvilken side av \( r \) vi havner på.

1. Vis at det finnes en løsning Vi setter: \[ \begin{aligned} g(x) &= f(x) - 4 \\ &= 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) - 2 \end{aligned} \]

Skjærsetningen forteller oss at hvis \( g \) er kontinuerlig på \( [a, b] \) med \( {g(a) < 0 < g(b)}\text{,} \) finnes det en \( c \) der: \[ g(c) = 0, \quad c \in (a, b) \]Du ser setningen i videoen Skjærsetningen.

Her er \( g \) kontinuerlig på \( [1, 2]\text{,} \) siden den er satt sammen av kontinuerlige funksjoner, og: \[ \begin{aligned} g(1) &= 2e \cdot 0 - 2 = -2 \\ g(2) &= 2e^{\sqrt{2}}(\sqrt{2} - 1) - 2 \approx 1{,}41 \end{aligned} \]Det finnes altså en løsning \( r \in (1, 2)\text{.} \)

2. Vis at løsningen er den eneste Når vi deriverer et integral med \( x \) i øvre grense, får vi funksjonen under integraltegnet: \[ \left( \int_0^x h(t)\,dt \right)' = h(x) \]Hvorfor det er slik, ser du i videoen Løs integralligningen - Generell løsning - 6 - Del 1.

Her er \( {h(t) = e^{\sqrt{t}}}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{g'(x)} = \textcolor{blue}{e^{\sqrt{x}}} > 0 \]\( g \) er altså strengt voksende, og kan bare krysse \( 0 \) én gang.

3. Bruk Newtons metode Newtons metode forteller oss at: \[ \textcolor{red}{x_{n+1}} = x_n - \dfrac{\textcolor{green}{g(x_n)}}{\textcolor{blue}{g'(x_n)}} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Newtons metode.

Første iterasjon starter i \( {x_0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x_1} &= 1 - \dfrac{\textcolor{green}{-2}}{\textcolor{blue}{e}} \\ &= 1 + \dfrac{2}{e} \\ &\approx 1{,}7358 \end{aligned} \]

Andre iterasjon starter i \( x_1\text{,} \) der \( {\sqrt{x_1} \approx 1{,}3175}\text{.} \) Vi regner videre med alle desimalene på kalkulatoren og runder av til slutt: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(x_1)} &= \textcolor{blue}{e^{\sqrt{x_1}} \approx 3{,}7340} \\ \textcolor{green}{g(x_1)} &= \textcolor{green}{2e^{\sqrt{x_1}}(\sqrt{x_1} - 1) - 2} \\ &\approx \textcolor{green}{0{,}3710} \\ \textcolor{red}{x_2} &\approx 1{,}7358 - \dfrac{\textcolor{green}{0{,}3710}}{\textcolor{blue}{3{,}7340}} \\ &\approx 1{,}6364 \end{aligned} \]

Avrundet til fire desimaler er altså: \[ \underline{r^* = \textcolor{red}{x_2} \approx 1{,}6364} \]

4. Sammenlign med den eksakte løsningen Vi deriverer \( \textcolor{blue}{g'(x)} \) med regelen for \( e^u\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (e^u)' = e^u \cdot u' \]

Her er: \[ u = \sqrt{x}, \quad u' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

Det gir oss: \[ g''(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} > 0 \]Grafen til \( g \) krummer altså oppover, og da ligger den over tangentene sine.

For tangenten i \( x_1 \) betyr det, når \( {x \neq x_1}\text{:} \) \[ g(x) > \textcolor{green}{g(x_1)} + \textcolor{blue}{g'(x_1)}(x - x_1) \]

Newtons metode velger \( \textcolor{red}{x_2} \) der tangenten er \( 0\text{,} \) så høyre side er \( 0 \) for \( {x = \textcolor{red}{x_2}}\text{:} \) \[ g(r^*) > 0 = g(r) \]

Siden \( g \) er strengt voksende, må \( r^* \) ligge til høyre for \( r\text{:} \) \[ \underline{r^* > r} \]

Vi samler alt i én funksjon. Skjærsetningen gir at den har et nullpunkt, og den deriverte viser at det bare er ett. Så bytter vi \( {e^{-x^2}} \) med polynomet og løser likningen.

1. Vis at det finnes en løsning Vi kaller differansen \( h(x)\text{:} \) \[ h(x) = e^{-x^2} - x^2 \]

Skjærsetningen forteller oss at hvis \( h \) er kontinuerlig på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}]\text{,} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &h(\textcolor{blue}{a}) \cdot h(\textcolor{red}{b}) < 0 \\ &\Rightarrow \ h(c) = 0 \text{ for en } c \in (\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på skjærsetningen, kan du se videoen Skjærsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{.} \) \( h \) er kontinuerlig, siden \( {e^{-x^2}} \) og \( x^2 \) er det. Vi setter inn endepunktene: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{blue}{0}) &= e^0 - 0 = 1 > 0 \\ h(\textcolor{red}{1}) &= \dfrac{1}{e} - 1 < 0 \end{aligned} \]

Fortegnet skifter, så det finnes en løsning: \[ \begin{aligned} &h(\textcolor{blue}{0}) \cdot h(\textcolor{red}{1}) < 0 \\ &\Rightarrow \ h(r) = 0 \text{ for en } r \in (0, 1) \end{aligned} \]

2. Vis at det bare er én Vi deriverer med kjerneregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = \textcolor{green}{u'}e^{\textcolor{green}{u}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-2x}}\text{,} \) og med \( {-2x} \) satt utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} h'(x) &= -2xe^{-x^2} - 2x \\ &= -2x\left(e^{-x^2} + 1\right) \end{aligned} \]

Parentesen er positiv, så for \( x \in (0, 1] \) er: \[ h'(x) < 0 \]

\( h \) er altså strengt synkende på \( [0, 1] \) og kan bare krysse \( 0 \) én gang: \[ h(x) = 0 \text{ for nøyaktig én } x = r \]

3. Finn taylorpolynomet Maclaurinrekken til \( e^{\textcolor{green}{u}} \) er, siden alle de deriverte er \( 1 \) i \( {\textcolor{green}{u} = 0}\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{u}} = 1 + \textcolor{green}{u} + \dfrac{\textcolor{green}{u}^2}{2!} + \dfrac{\textcolor{green}{u}^3}{3!} + \ldots \]Formelen står i videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2, og innsettingen vises i Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke.

Vi setter inn \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x^2}} \) og tar med leddene opp til grad 4: \[ P_4(x) = 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2} \]

4. Løs likningen med polynomet Vi bytter \( {e^{-x^2}} \) med \( P_4 \) og kaller løsningen \( t\text{:} \) \[ 1 - t^2 + \dfrac{t^4}{2} = t^2 \]

Ganger vi med \( 2 \) og samler alt på én side, får vi: \[ t^4 - 4t^2 + 2 = 0 \]

Dette er en andregradslikning i \( {s = t^2}\text{:} \) \[ s^2 - 4s + 2 = 0 \]

abc-formelen, her med bokstavene \( p, q, r\text{,} \) forteller oss at: \[ s = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Du ser den i bruk i videoen Grenseverdier.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-4}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ s = \dfrac{\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{16} - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = 2 \pm \sqrt{2} \]

Vi leter etter \( t \in [0, 1]\text{,} \) så \( {s = t^2 \le 1}\text{.} \) Da faller \( {2 + \sqrt{2}} \) bort, og vi tar den positive roten av den andre: \[ t = \sqrt{2 - \sqrt{2}} \approx 0{,}765 \]