Universitetseksamen etter tema

Overflaten avhenger av både \( r \) og \( h\text{.} \) Vi bruker volumet til å skrive den med bare \( r\text{,} \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \)

1. Skriv overflaten med én variabel Grunnflaten er en sirkel, og siden er et rektangel med bredde lik omkretsen: \[ S = \pi r^2 + 2\pi r \textcolor{red}{h} \]

Volumet er \( 1000\text{,} \) og det gir oss \( \textcolor{red}{h}\text{:} \) \[ \pi r^2 \textcolor{red}{h} = 1000 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{1000}{\pi r^2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1000}{\pi r^2}} \\ &= \pi r^2 + \dfrac{2000}{r} \end{aligned} \]

2. Finn minimum Vi deriverer ledd for ledd, med reglene fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} S'(r) &= 2\pi r - \dfrac{2000}{r^2} \\ &= \dfrac{2\pi r^3 - 2000}{r^2} \end{aligned} \]

Vi setter \( {S'(r) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi r^3 &= 2000 \\ r^3 &= \dfrac{1000}{\pi} \\ r &= \dfrac{10}{\sqrt[3]{\pi}} \end{aligned} \]

For å se at dette er et minimum, deriverer vi en gang til: \[ S''(r) = 2\pi + \dfrac{4000}{r^3} > 0 \]Dette er positivt for alle \( {r > 0}\text{,} \) så grafen vender hul side opp, og punktet er et minimum.

3. Finn høyden Vi skriver \( {\pi r^3 = 1000} \) om til \( {\dfrac{1000}{\pi r^2} = r}\text{.} \) Dermed vet vi at: \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{1000}{\pi r^2}} = r = \dfrac{10}{\sqrt[3]{\pi}} \]

Boksen blir altså like høy som radien.

Arealet avhenger av både \( \theta \) og \( d\text{.} \) Vi bruker omkretsen til å skrive \( \theta \) med \( d\text{,} \) slik at arealet blir en funksjon av \( d \) alene. Så deriverer vi.

1. Bruk kravet til omkretsen Kanten på stykket består av to radier og en bue. Med vinkelen \( \textcolor{red}{\theta} \) i radianer er: \[ \begin{aligned} \text{radius} &= \dfrac{d}{2} \\ \text{bue} &= \textcolor{red}{\theta} \cdot \dfrac{d}{2} \end{aligned} \]

Omkretsen skal være \( 60\text{:} \) \[ 2 \cdot \dfrac{d}{2} + \textcolor{red}{\theta} \cdot \dfrac{d}{2} = 60 \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{\theta}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{red}{\theta = \dfrac{120 - 2d}{d}} \]

2. Skriv arealet med diameteren Vinket forteller oss at: \[ A = \dfrac{\textcolor{red}{\theta}}{2\pi}\pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{red}{\theta}\, d^2}{8} \]

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{\theta}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A(d) &= \textcolor{red}{\dfrac{120 - 2d}{d}} \cdot \dfrac{d^2}{8} \\ &= \dfrac{(120 - 2d)\,d}{8} \\ &= 15d - \dfrac{d^2}{4} \end{aligned} \]

3. Finn største verdi Potensregelen forteller oss at: \[ (d^n)' = n \cdot d^{n-1} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd og setter den deriverte lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} A'(d) = 15 - \dfrac{d}{2} &= 0 \\ d &= 30 \end{aligned} \]

Den dobbeltderiverte er negativ: \[ A''(d) = -\dfrac{1}{2} < 0 \]Grafen til \( A \) er altså en parabel som vender nedover, så \( {d = 30} \) gir den største verdien.

Vi må også sjekke at vinkelen går an: \[ \textcolor{red}{\theta} = \textcolor{red}{\dfrac{120 - 2 \cdot 30}{30}} = 2 \]Vinkelen \( 2 \) radianer ligger mellom \( 0 \) og \( 2\pi\text{,} \) så dette er et ekte pizzastykke.

Den vertikale avstanden er forskjellen mellom de to y-verdiene for samme \( x\text{.} \) Vi skriver den som en funksjon av \( x \) og finner bunnpunktet.

1. Sett opp avstanden På figuren ligger \( y_1 \) over \( y_2\text{,} \) så vi trekker \( y_2 \) fra \( y_1\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{d(x)} &= (x^2 + 1) - (x - x^2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2 - x + 1} \end{aligned} \]

2. Finn bunnpunktet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer \( \textcolor{red}{d(x)} \) ledd for ledd, og konstanten \( 1 \) blir \( 0\text{:} \) \[ d'(x) = 2 \cdot 2x - 1 + 0 = 4x - 1 \]

I et bunnpunkt er den deriverte null, som i videoen Hva er et kritisk punkt: \[ \begin{aligned} 4x - 1 &= 0 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

Den andrederiverte er positiv, så grafen til \( d \) åpner oppover og dette er bunnpunktet: \[ d''(x) = 4 > 0 \]

3. Regn ut avstanden Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{x = \dfrac{1}{4}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} d\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}}\right) &= 2 \cdot \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}}\right)^2 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} + 1 \\ &= \dfrac{1}{8} - \dfrac{2}{8} + \dfrac{8}{8} = \dfrac{7}{8} \end{aligned} \]

Minste verdi er positiv, så \( y_1 \) ligger over \( y_2 \) for alle \( x\text{,} \) ikke bare på figuren.

Vi kaller avstanden langs stranda for \( x \) og skriver tiden som en funksjon av \( x\text{.} \) Så deriverer vi og sammenligner bunnen med endepunktene.

1. Sett opp tiden Vi lar \( x \) være avstanden fra punktet nærmest holmen til stedet båten treffer stranda, med \( {0 \le x \le 3}\text{.} \)

Pytagoras gir oss strekningen \( \textcolor{red}{s} \) vi ror, og resten, \( \textcolor{blue}{g}\text{,} \) går vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s}^2 &= 2^2 + x^2 \\ \textcolor{red}{s} &= \textcolor{red}{\sqrt{4 + x^2}} \\ \textcolor{blue}{g} &= \textcolor{blue}{3 - x} \end{aligned} \]

Tiden er strekning delt på fart, så tiden i timer er: \[ T(x) = \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{4 + x^2}}}{3} + \dfrac{\textcolor{blue}{3 - x}}{5} \]

2. Deriver tiden Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sqrt{\textcolor{green}{u}})' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du kan se regelen i videoen Kjerneregelen.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4 + x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2x}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} T'(x) &= \dfrac{\textcolor{green}{2x}}{3 \cdot 2\sqrt{\textcolor{green}{4 + x^2}}} - \dfrac{1}{5} \\ &= \dfrac{x}{3\sqrt{4 + x^2}} - \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {T'(x) = 0} \) og ganger opp nevnerne: \[ 5x = 3\sqrt{4 + x^2} \]

Opphøyer vi begge sider i andre, får vi: \[ \begin{aligned} 25x^2 &= 9(4 + x^2) \\ 16x^2 &= 36 \\ x^2 &= \dfrac{9}{4} \end{aligned} \]

Siden \( {x \ge 0}\text{,} \) får vi \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) Den passer i likningen over, for begge sider blir \( \dfrac{15}{2}\text{.} \)

4. Sammenlign med endepunktene \( T \) er kontinuerlig på \( [0, 3]\text{,} \) så det globale minimumet ligger der \( {T' = 0} \) eller i et endepunkt. Du kan se forskjellen på globalt og lokalt i videoen Hva er et kritisk punkt.

Vi regner ut alle tre: \[ \begin{aligned} T(0) &= \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{19}{15} \\ T\left(\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{5/2}{3} + \dfrac{3/2}{5} = \dfrac{17}{15} \\ T(3) &= \dfrac{\sqrt{13}}{3} = \dfrac{5\sqrt{13}}{15} \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( T(3) \) med \( \dfrac{17}{15}\text{:} \) \[ 5\sqrt{13} = \sqrt{325} > \sqrt{289} = 17 \]Altså er \( {T\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{17}{15}} \) minst.

5. Finn avstanden fra hytta Avstanden fra hytta er \( {3 - x}\text{:} \) \[ 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} \]

Tiden i minutter er: \[ \dfrac{17}{15} \cdot 60 = 68 \]