Universitetseksamen etter tema

Trapesmetoden trekker en rett linje mellom punktene på grafen. Den treffer derfor eksakt bare når grafen selv er en rett linje.

1. Se på hva trapesene gjør Trapesmetoden deler arealet under grafen i trapeser, som i videoen Trapesmetoden. Toppen av hvert trapes er en rett linje mellom to punkter på grafen.

Er grafen krum, blir toppen av trapeset liggende litt over eller under grafen. Da blir arealet litt feil.

2. Finn den rette linja En graf er en rett linje nøyaktig når den dobbeltderiverte er \( 0\text{.} \) Vi deriverer hver funksjon to ganger: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{(2x + 3)''} &= \textcolor{blue}{0} \\ (e^x)'' &= e^x \\ (5x^2 + 7x + 9)'' &= 10 \\ (\sin x)'' &= -\sin x \\ (\ln x)'' &= -\dfrac{1}{x^2} \end{aligned} \]

Bare \( {\textcolor{blue}{f(x) = 2x + 3}} \) er en rett linje. Da faller toppen av hvert trapes sammen med grafen, uansett hvor mange delintervaller vi bruker. De fire andre er krumme, så der gir metoden i alminnelighet bare et estimat.

Integranden er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Så deriverer vi to ganger, finner en grense for \( |f''(x)| \) og setter den inn i feilformelen.

1. Regn ut integralet Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}\,dx = \Big[\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v}\Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{blue}{v}\textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I = {} & \Big[\textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}})\Big]_0^2 \\ & - \int_0^2 (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \cdot \textcolor{red}{1}\,dx \\ = {} & \Big[-xe^{-x} - e^{-x}\Big]_0^2 \\ = {} & (-2e^{-2} - e^{-2}) - (0 - 1) \\ = {} & 1 - 3e^{-2} \end{aligned} \]

2. Deriver to ganger Produktregelen gir oss, som i videoen Produktregelen: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) \\ &= (1 - x)e^{-x} \end{aligned} \]

Vi bruker den en gang til, med \( {(e^{-x})' = -e^{-x}} \) fra kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} f''(x) &= -e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) \\ &= (x - 2)e^{-x} \end{aligned} \]

3. Vis grensen for den andrederiverte For \( x \in [0, 2] \) er \( {x - 2 \le 0}\text{,} \) og vi kan skrive: \[ |f''(x)| = (2 - x)e^{-x} \]

Begge faktorene er størst i \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 \le 2 - x &\le 2 \\ 0 < e^{-x} &\le 1 \end{aligned} \]

Ganger vi dem sammen, får vi: \[ |f''(x)| \le 2 \cdot 1 = 2 \]

4. Finn antall delintervaller Midtpunktmetoden er midt-Riemannsummen, som i videoen Riemann sum. Vi setter \( {\textcolor{green}{K = 2}} \) inn i feilgrensen og krever at den er mindre enn \( {10^{-2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2^3 \cdot \textcolor{green}{2}}{24n^2} &< \dfrac{1}{100} \\ \dfrac{2}{3n^2} &< \dfrac{1}{100} \\ n^2 &> \dfrac{200}{3} \approx 66{,}7 \end{aligned} \]

Vi prøver hele tall: \[ 8^2 = 64 < 66{,}7 < 81 = 9^2 \]Så det minste antallet delintervaller vi kan garantere det med, er \( {n = 9}\text{.} \) Alle større \( n \) går også.

Feilen i trapesmetoden har en øvre grense som bruker den andrederiverte. Uttrykket i oppgaven er nettopp \( |f''(x)|\text{,} \) så vi setter inn og løser for \( n\text{.} \)

1. Skriv opp feilformelen Selve metoden ser du i videoen Trapesmetoden. Feilformelen forteller oss at hvis \( {|f''(x)| \le \textcolor{red}{K}} \) på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}]\text{,} \) så er: \[ |I - T_n| \le \dfrac{\textcolor{red}{K}(\textcolor{blue}{b} - \textcolor{blue}{a})^3}{12n^2} \]

Her er \( {f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}}\text{,} \) og deriverer vi to ganger, får vi: \[ f''(x) = \dfrac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3} \]Det er uttrykket i oppgaven, så: \[ \textcolor{red}{K} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ |I - T_n| \le \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{2} - \textcolor{blue}{0})^3}{12n^2} = \dfrac{4}{3n^2} \]

2. Løs for n Feilen er garantert mindre enn \( {10^{-6}} \) når grensen er det: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{3n^2} &< 10^{-6} \\ n^2 &> \dfrac{4}{3} \cdot 10^6 \\ n &> \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot 10^3 \approx 1154{,}7 \end{aligned} \]

\( n \) er et helt tall, så det minste som holder, er: \[ n = 1155 \]

Hver liten bit av grafen lager en ring med radius lik avstanden til \( {y = -1}\text{.} \) Det gir integralet. Så deler vi \( [0, 1] \) i tre og regner ut trapesene.

1. Sett opp arealet En liten bit av grafen har lengden \( {\textcolor{blue}{\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx}}\text{,} \) som i videoen Buelengde formel. Dreid rundt linjen blir den en ring med omkrets \( 2\pi\textcolor{red}{r}\text{.} \) Formelen for arealet er derfor: \[ I = 2\pi \int_a^b \textcolor{red}{r(x)}\,\textcolor{blue}{\sqrt{1 + f'(x)^2}}\,dx \]

Radiusen er avstanden fra grafen ned til \( {y = -1}\text{,} \) og \( {f'(x) = 2x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r(x)} &= x^2 - (-1) = \textcolor{red}{1 + x^2} \\ \textcolor{blue}{\sqrt{1 + f'^2}} &= \textcolor{blue}{\sqrt{1 + 4x^2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ I = 2\pi \int_0^1 (\textcolor{red}{1 + x^2})\textcolor{blue}{\sqrt{1 + 4x^2}}\,dx \]

2. Skriv opp trapesmetoden Trapesmetoden legger sammen trapesene. Hver indre funksjonsverdi er med i to trapeser, så med tre delintervaller er: \[ T_3 = \dfrac{\Delta x}{2}\left(g_0 + 2g_1 + 2g_2 + g_3\right) \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Trapesmetoden.

Her er: \[ \begin{aligned} g(x) &= (1 + x^2)\sqrt{1 + 4x^2} \\ \Delta x &= \dfrac{1 - 0}{3} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

3. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter inn \( {x = 0}\text{,} \) \( \dfrac{1}{3}\text{,} \) \( \dfrac{2}{3} \) og \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} g_0 &= 1 \cdot 1 = 1 \\ g_1 &= \dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{\sqrt{13}}{3} = \dfrac{10\sqrt{13}}{27} \approx 1{,}3354 \\ g_2 &= \dfrac{13}{9} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{65}{27} \approx 2{,}4074 \\ g_3 &= 2\sqrt{5} \approx 4{,}4721 \end{aligned} \]

4. Regn ut tilnærmingen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T_3 &\approx \dfrac{1}{6}(1 + 2{,}6708 + 4{,}8148 \\ &\quad + 4{,}4721) \\ &= \dfrac{12{,}9577}{6} \approx 2{,}1596 \end{aligned} \]

\( I \) er \( 2\pi \) ganger integralet, så vi ganger med \( 2\pi\text{:} \) \[ I \approx 2\pi \cdot 2{,}1596 \approx 13{,}57 \]

Først setter vi \( f(x) \) inn i formelen for buelengde. Integralet kan vi ikke løse for hånd, så vi fyller ut Simpsons regel med fire delintervaller.

1. Sett opp buelengden Formelen for buelengde forteller oss at: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (\textcolor{red}{f'(x)})^2}\,dx \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Buelengde formel.

Her er, med potensregelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} a &= 0 \\ b &= 1 \\ \textcolor{red}{f'(x)} &= \textcolor{red}{4x^3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} L &= \int_0^1 \sqrt{1 + (\textcolor{red}{4x^3})^2}\,dx \\ &= \int_0^1 \sqrt{1 + 16x^6}\,dx \end{aligned} \]

2. Finn verdiene til funksjonen Simpsons regel med fire delintervaller forteller oss at: \[ \begin{aligned} L \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\Delta x}}{3} \big( &g(x_0) + 4g(x_1) + 2g(x_2) \\ &+ 4g(x_3) + g(x_4) \big) \end{aligned} \]Du ser den i videoen Simpson's Regel.

Her er \( {g(x) = \sqrt{1 + 16x^6}} \) og: \[ \textcolor{blue}{\Delta x} = \dfrac{1 - 0}{4} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \]

Punktene er \( {x_i = i \cdot \textcolor{blue}{\Delta x}}\text{:} \) vi begynner på \( {x_0 = 0} \) og legger til \( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \) hver gang. Det gir: \[ \begin{aligned} g(0) &= 1 \\ g\left(\dfrac{1}{4}\right) &= \sqrt{1 + \dfrac{1}{256}} = \dfrac{\sqrt{257}}{16} \\ g\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \sqrt{1 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ g\left(\dfrac{3}{4}\right) &= \sqrt{1 + \dfrac{729}{256}} = \dfrac{\sqrt{985}}{16} \\ g(1) &= \sqrt{17} \end{aligned} \]

3. Fyll ut Simpsons regel Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} L \approx \dfrac{\textcolor{blue}{1/4}}{3} \Big( &1 + 4 \cdot \dfrac{\sqrt{257}}{16} + 2 \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ &+ 4 \cdot \dfrac{\sqrt{985}}{16} + \sqrt{17} \Big) \end{aligned} \]

Vi forkorter, og samler \( {\dfrac{\textcolor{blue}{1/4}}{3} = \dfrac{1}{12}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} L \approx \dfrac{1}{12} \Big( &1 + \dfrac{\sqrt{257}}{4} + \sqrt{5} \\ &+ \dfrac{\sqrt{985}}{4} + \sqrt{17} \Big) \end{aligned} \]

Vi taster dette inn på kalkulatoren og runder av til tre desimaler: \[ L \approx 1{,}601 \]

Vi deler \( [0, 2] \) i fire like brede delintervaller, leser av funksjonsverdiene i tabellen og legger sammen arealet av fire trapeser.

1. Finn bredden på delintervallene Bredden er lengden av intervallet delt på antall delintervaller: \[ \textcolor{green}{\Delta x} = \dfrac{2 - 0}{4} = \textcolor{green}{0{,}5} \]

Vi trenger altså bare hver andre kolonne i tabellen: \[ \begin{aligned} f(0) &= 1{,}00 \\ f(0{,}5) &= 0{,}78 \\ f(1) &= 0{,}37 \\ f(1{,}5) &= 0{,}11 \\ f(2) &= 0{,}02 \end{aligned} \]

2. Regn ut trapesene Arealet av et trapes forteller oss at: \[ A = \dfrac{(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \cdot \textcolor{green}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Trapesmetoden.

Her er \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) funksjonsverdiene i hver ende av delintervallet, og \( {\textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{\Delta x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A_1 &= \dfrac{(\textcolor{blue}{1{,}00} + \textcolor{red}{0{,}78}) \cdot \textcolor{green}{0{,}5}}{2} = 0{,}445 \\ A_2 &= \dfrac{(\textcolor{blue}{0{,}78} + \textcolor{red}{0{,}37}) \cdot \textcolor{green}{0{,}5}}{2} = 0{,}2875 \\ A_3 &= \dfrac{(\textcolor{blue}{0{,}37} + \textcolor{red}{0{,}11}) \cdot \textcolor{green}{0{,}5}}{2} = 0{,}12 \\ A_4 &= \dfrac{(\textcolor{blue}{0{,}11} + \textcolor{red}{0{,}02}) \cdot \textcolor{green}{0{,}5}}{2} = 0{,}0325 \end{aligned} \]

3. Legg sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T_4 &= A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \\ &= 0{,}445 + 0{,}2875 \\ &\quad + 0{,}12 + 0{,}0325 \\ &= 0{,}885 \end{aligned} \]