Universitetseksamen etter tema

Vi ser etter steder der grafen hopper eller får en knekk. Der kan den ikke ha én bestemt tangent, så der er ikke funksjonen deriverbar.

1. Se etter hopp I \( {x = 2} \) hopper grafen fra \( 3 \) ned til \( 1\text{.} \) Funksjonen er altså ikke kontinuerlig der, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

En funksjon som ikke er kontinuerlig i et punkt, er heller ikke deriverbar der. Så \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 2}\text{.} \)

2. Se etter knekker Den deriverte er grensen av stigningstallet, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

Grensen må bli den samme fra begge sider. Vi leser av stigningstallene fra venstre og fra høyre: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad \textcolor{red}{a_v} &= \textcolor{red}{1}, & \textcolor{blue}{a_h} &= \textcolor{blue}{-1} \\ x = 4: \quad \textcolor{red}{a_v} &> \textcolor{red}{1}, & \textcolor{blue}{a_h} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Rett før \( {x = 4} \) er kurven brattere enn linja etter. I begge punktene er stigningstallene ulike, så grensen finnes ikke, og grafen har en knekk.

Ellers er grafen glatt. I \( {x = 3} \) er kurven flat, men uten knekk, så der er den deriverbar.

Vi sjekker punktene der grafen endrer seg. I hvert av dem må grafen komme til samme verdi fra begge sider, og det må være funksjonsverdien.

1. Skriv opp kravet Funksjonen er kontinuerlig i \( {x = a} \) når verdiene møtes der, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \textcolor{red}{\lim_{x \to a^-} f(x)} = \textcolor{blue}{\lim_{x \to a^+} f(x)} = \textcolor{green}{f(a)} \]

2. Les av de tre punktene Vi leser av grafen fra venstre, fra høyre og selve funksjonsverdien.

\( {x = 1}\text{:} \) Grafen kommer til \( 3 \) fra venstre, men starter i \( 2 \) til høyre for punktet: \[ \textcolor{red}{\lim_{x \to 1^-} f(x)} = 3 \neq 2 = \textcolor{blue}{\lim_{x \to 1^+} f(x)} \]Grafen hopper, så \( f \) er ikke kontinuerlig i \( {x = 1}\text{.} \)

\( {x = 2}\text{:} \) Grafen har en knekk her, men ikke noe hopp: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 1 = \textcolor{green}{f(2)} \]Så \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 2}\text{.} \)

\( {x = 3}\text{:} \) Grafen kommer til \( 2 \) fra begge sider, men det fylte punktet ligger i \( 4\text{:} \) \[ \lim_{x \to 3} f(x) = 2 \neq 4 = \textcolor{green}{f(3)} \]Så \( f \) er ikke kontinuerlig i \( {x = 3}\text{.} \)

Ellers er grafen sammenhengende, også i endepunktene \( {x = 0} \) og \( {x = 5}\text{.} \)

Kontinuitet sier at vi kan få \( f(x) \) så nær \( f(x_0) \) vi vil, bare \( x \) er nær nok \( x_0\text{.} \) Vi oversetter dette til \( \varepsilon \) og \( \delta\text{.} \)

Merk – Feil i oppgavearket: Slutten av alternativ A og E mangler i NTNUs PDF. NTNU skriver på emnesiden sin at alternativ 3, som er C her, vises riktig og er det riktige svaret. Vi kan også utelukke A og E uten å se slutten.

1. Skriv opp definisjonen Først velger vi hvor nær \( f(x_0) \) vi vil komme. Det er \( \textcolor{red}{\varepsilon}\text{,} \) og det skal gå for alle \( {\textcolor{red}{\varepsilon > 0}}\text{.} \) Så må vi kunne finne et \( {\textcolor{blue}{\delta > 0}} \) som sier hvor nær \( x \) må være \( x_0\text{:} \) \[ |x - x_0| < \textcolor{blue}{\delta} \ \Rightarrow \ |f(x) - f(x_0)| < \textcolor{red}{\varepsilon} \]Dette er C. Ideen uten symboler ser du i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Se bort fra de andre A, D og E starter med «Det finnes \( {\textcolor{red}{\varepsilon > 0}} \)». Da spør de bare om ett tall, ikke om vi kan komme så nær vi vil. Ta denne funksjonen, som hopper i \( {x_0 = 0}\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \ge 0 \end{cases} \]

Den er ikke kontinuerlig i \( 0\text{,} \) men et stort tall stopper den ikke: \[ |f(x) - f(0)| \le 1 < 2 \quad \text{for alle } x \]

I B har \( \textcolor{red}{\varepsilon} \) og \( \textcolor{blue}{\delta} \) byttet plass. Med samme funksjon kan vi velge \( {\textcolor{blue}{\delta = 2}} \) for hver \( \textcolor{red}{\varepsilon}\text{,} \) så også her slipper hoppet gjennom: \[ |x| < \textcolor{red}{\varepsilon} \ \Rightarrow \ |f(x) - f(0)| < \textcolor{blue}{2} \]

Grenseverdien må være lik \( {f(0) = 2}\text{.} \) \( {\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)} \) har ingen grense i \( 0\text{,} \) men den er begrenset, så vi klemmer produktet mellom \( 0 \) og \( |\sin x|\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) hvis: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 2 \]At verdiene må stemme der funksjonen skifter uttrykk, ser du i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

For \( x \ne 0 \) er \( {f(x) = 2 + \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin(x)}\text{,} \) så vi må vise at: \[ \lim_{x \to 0} \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin(x) = 0 \]

2. Klem produktet Cosinus er aldri større enn \( 1 \) i absoluttverdi. Vi ganger med \( |\sin x| \) og får: \[ \begin{aligned} \left|\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\right| &\le 1 \\ 0 \le \textcolor{red}{\left|\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin x\right|} &\le \textcolor{blue}{|\sin x|} \end{aligned} \]

Skviseteoremet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &g(x) \le \textcolor{red}{h(x)} \le \textcolor{blue}{k(x)} \text{ og } g, \textcolor{blue}{k} \to L \\ &\Rightarrow \ \textcolor{red}{h} \to L \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} g(x) &= 0 \\ \textcolor{red}{h(x)} &= \textcolor{red}{\left|\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin x\right|} \\ \textcolor{blue}{k(x)} &= \textcolor{blue}{|\sin x|} \\ L &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( \textcolor{blue}{|\sin x|} \to 0 \) når \( x \to 0\text{,} \) gir det: \[ \lim_{x \to 0} \textcolor{red}{\left|\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin x\right|} = 0 \]

Derfor går også selve produktet mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to 0} \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin(x) = 0 \]

3. Sett sammen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 2 + 0 = 2 = f(0) \]

Vi skriver opp hva vi vet og hva vi skal vise. Vinket gir oss en ulikhet med \( |f(x)| \) på den ene siden og \( f(x) \) på den andre, så vi klemmer avstanden mot \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravene At \( f \) er kontinuerlig i \( {x = a}\text{,} \) betyr at grenseverdien er lik funksjonsverdien. Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \\ &\Leftrightarrow \ \lim_{x \to a} |f(x) - f(a)| = 0 \end{aligned} \]Du ser regelen om lik verdi i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

Vi skal vise det samme for \( |f(x)|\text{:} \) \[ \lim_{x \to a} \big||f(x)| - |f(a)|\big| = 0 \]

2. Bruk vinket Vi setter inn i ulikheten fra vinket, med: \[ \begin{aligned} z &= f(x) \\ y &= f(a) \end{aligned} \]

Det gir oss, siden en absoluttverdi aldri er negativ: \[ \begin{aligned} 0 &\le \textcolor{red}{\big||f(x)| - |f(a)|\big|} \\ &\le \textcolor{blue}{|f(x) - f(a)|} \end{aligned} \]

3. Klem avstanden mot null Skviseteoremet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &g(x) \le \textcolor{red}{h(x)} \le \textcolor{blue}{m(x)} \text{ og } g, \textcolor{blue}{m} \to L \\ &\Rightarrow \ \textcolor{red}{h} \to L \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} g(x) &= 0 \\ \textcolor{red}{h(x)} &= \textcolor{red}{\big||f(x)| - |f(a)|\big|} \\ \textcolor{blue}{m(x)} &= \textcolor{blue}{|f(x) - f(a)|} \\ L &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( f \) er kontinuerlig i \( {x = a}\text{,} \) går \( \textcolor{blue}{m(x)} \) mot \( 0\text{.} \) Det gir: \[ \lim_{x \to a} \textcolor{red}{\big||f(x)| - |f(a)|\big|} = 0 \]

Det betyr at: \[ \lim_{x \to a} |f(x)| = |f(a)| \]

Grenseverdien er lik funksjonsverdien, så \( |f(x)| \) er kontinuerlig i \( {x = a}\text{.} \)

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = 2}\text{.} \) Vi finner derfor grensen fra hver side for seg, med det uttrykket som gjelder på den siden.

1. Finn grensen fra hver side Fra høyre er \( {x > 2}\text{,} \) så der gjelder \( x^2\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 2}\text{,} \) og leser notasjonen som i videoen Grenseverdier: \[ \lim_{x \to 2+} f(x) = \lim_{x \to 2+} x^2 = \textcolor{red}{4} \]

Fra venstre er \( {x < 2}\text{,} \) så der gjelder \( x\text{:} \) \[ \lim_{x \to 2-} f(x) = \lim_{x \to 2-} x = \textcolor{blue}{2} \]

2. Avgjør den tosidige grensen Den tosidige grensen finnes bare når grensene fra høyre og venstre er like: \[ \lim_{x \to 2+} f(x) = \lim_{x \to 2-} f(x) \]

Her er de ulike: \[ \textcolor{red}{4} \neq \textcolor{blue}{2} \]Dermed eksisterer ikke \( \lim_{x \to 2} f(x)\text{.} \)

3. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig Der funksjonen skifter uttrykk, må de to uttrykkene ha samme verdi for at den skal være kontinuerlig, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Vi setter inn \( {x = 2} \) i begge: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{2} \\ x^2 &= 2^2 = \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]Grafen hopper altså i \( {x = 2}\text{,} \) så \( f \) er ikke kontinuerlig der. For alle andre \( x \) er den kontinuerlig, siden \( x \) og \( x^2 \) er det.

For at \( f \) skal være kontinuerlig i \( {x = 0}\text{,} \) må \( C \) være lik grensen når \( x \) går mot \( 0\text{.} \) Vi finner grensen med maclaurinrekken til \( \sin(x)\text{.} \)

1. Sett opp kravet Der funksjonen skifter uttrykk, må verdiene være like, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Det betyr at: \[ C = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x) - x + \dfrac{1}{6}x^3}{x^5} \]

Vi lar \( x \) gå mot \( 0 \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \sin(x) - x + \dfrac{1}{6}x^3 &\to 0 \\ x^5 &\to 0 \end{aligned} \]Dette er formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi må skrive om uttrykket.

2. Skriv opp rekken til sinus Maclaurinrekken forteller oss at: \[ \begin{aligned} g(x) &= g(0) + g'(0)x \\ &\quad + \dfrac{g''(0)x^2}{2!} + \dfrac{g'''(0)x^3}{3!} + \cdots \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2.

Her er \( {g(x) = \sin(x)}\text{.} \) De deriverte går i ring, og i \( {x = 0} \) gir de: \[ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ \dots \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \sin(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \textcolor{red}{\dfrac{x^5}{5!}} - \textcolor{blue}{\dfrac{x^7}{7!}} + \cdots \]

3. Regn ut grensen Siden \( {3! = 6}\text{,} \) forsvinner de to første leddene når vi setter inn i telleren: \[ \sin(x) - x + \dfrac{1}{6}x^3 = \textcolor{red}{\dfrac{x^5}{5!}} - \textcolor{blue}{\dfrac{x^7}{7!}} + \cdots \]

Vi deler på \( x^5 \) og lar \( x \) gå mot \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} C &= \lim_{x \to 0} \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5!}} - \textcolor{blue}{\dfrac{x^2}{7!}} + \cdots\right) \\ &= \dfrac{1}{5!} = \dfrac{1}{120} \end{aligned} \]

Vi vet ikke at \( g \) er deriverbar, så vi kan ikke bruke produktregelen. Vi går derfor tilbake til definisjonen av den deriverte.

1. Skriv opp definisjonen Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(0 + h)} - \textcolor{blue}{f(0)}}{h} \]\( f \) er deriverbar i \( {x = 0} \) hvis denne grensen finnes. Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0 + h)} &= \textcolor{red}{h\,g(h)} \\ \textcolor{blue}{f(0)} &= 0 \cdot g(0) = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Regn ut grensen Plugger vi dette inn, og stryker \( h \) mot \( h \) siden \( h \ne 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(0) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{h\,g(h)} - \textcolor{blue}{0}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} g(h) \end{aligned} \]

At \( g \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) betyr at grensen er lik funksjonsverdien, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \lim_{h \to 0} g(h) = g(0) = 2\pi \]

Grensen finnes, så \( f \) er deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)

Absoluttverdien gjør at \( f \) skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{.} \) Vi sjekker kontinuitet med grensene fra hver side, og deriverbarhet med definisjonen av den deriverte.

1. Vis kontinuiteten For \( {x > 0} \) er \( {|x| = x}\text{,} \) og for \( {x < 0} \) er \( {|x| = -x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x > 0{:}\ \dfrac{x}{\sqrt{x}} &= \sqrt{x} \\ x < 0{:}\ \dfrac{x}{\sqrt{-x}} &= \dfrac{-(-x)}{\sqrt{-x}} = -\sqrt{-x} \end{aligned} \]

Vi skriver altså \( f \) slik, på hver side av \( 0\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{\sqrt{x}} & \text{for } x > 0 \\ \textcolor{blue}{-\sqrt{-x}} & \text{for } x < 0 \end{cases} \]

For å være kontinuerlig i \( {x = 0} \) må funksjonen nærme seg funksjonsverdien fra begge sider, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \]

Grensene fra hver side er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \textcolor{red}{\sqrt{x}} &= 0 \\ \lim_{x \to 0^-} \left(\textcolor{blue}{-\sqrt{-x}}\right) &= 0 \end{aligned} \]

Begge er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) \]Altså er \( f \) kontinuerlig i \( {x = 0}\text{.} \)

2. Vis at funksjonen ikke er deriverbar Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]Den står i videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(0 + h) &= \dfrac{h}{\sqrt{|h|}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} &= \dfrac{h}{\sqrt{|h|}} \cdot \dfrac{1}{h} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} \end{aligned} \]

Når \( h \) går mot \( 0\text{,} \) går nevneren mot \( 0 \) gjennom positive tall, så brøken vokser uten grense: \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} = \infty \]Grensen finnes ikke som et tall, så \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)