Universitetseksamen etter tema

Vi ganger ut nevneren først. Da ser vi at telleren nesten er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon.

1. Gang ut nevneren Vi ganger ut parentesene ledd for ledd: \[ \begin{aligned} &(x - 1)(x^2 + x + 1) \\ &= x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 \\ &= x^3 - 1 \end{aligned} \]

2. Velg substitusjon Vi bytter ut \( x \) med \( u \) slik at integralet blir enklere. Vi setter nevneren lik \( u \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^3 - 1} \\ \textcolor{blue}{du} &= \textcolor{blue}{3x^2\,dx} \end{aligned} \]

Det betyr at: \[ \textcolor{blue}{x^2\,dx} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}\,du} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{\textcolor{blue}{x^2\,dx}}{\textcolor{red}{x^3 - 1}} \\ &= \int \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}\,du} \\ &= \dfrac{1}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}}\,du \end{aligned} \]

Integrasjonsregelen for \( \dfrac{1}{u}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}}\,du = \ln|\textcolor{red}{u}| + C \]

Vi setter inn og bytter tilbake til \( x\text{:} \) \[ \dfrac{1}{3}\ln|\textcolor{red}{u}| + C = \dfrac{1}{3}\ln|\textcolor{red}{x^3 - 1}| + C \]

Alternativ metode: Delbrøksoppspalting Nevneren står allerede faktorisert, så vi kan også spalte brøken, som i eksempel 2 i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \\ &= \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + x + 1} \end{aligned} \]

Vi ganger opp: \[ \begin{aligned} x^2 &= A(x^2 + x + 1) \\ &\quad + (Bx + C)(x - 1) \end{aligned} \]

Med \( {x = 1} \) får vi \( {A = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) og sammenligner vi ledd for ledd, får vi \( {C = \dfrac{1}{3}} \) og \( {B = \dfrac{2}{3}}\text{.} \) Her er den andre telleren nøyaktig den deriverte av sin nevner: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{3}\int \dfrac{dx}{x - 1} \\ &\quad + \dfrac{1}{3}\int \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx \\ &= \dfrac{1}{3}\ln|x - 1| \\ &\quad + \dfrac{1}{3}\ln(x^2 + x + 1) + D \end{aligned} \]

Med \( {\ln a + \ln b = \ln(ab)} \) er dette det samme svaret. Metoden lønner seg når telleren ikke er den deriverte av nevneren.

Nevneren er allerede faktorisert, og telleren har lavere grad enn nevneren. Vi bruker derfor delbrøksoppspalting.

1. Sett opp delbrøkene Nevneren har tre ulike lineære faktorer, så hver får sin delbrøk med en konstant i telleren, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2}{(x + 1)(x - 1)(x - 2)} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x - 1} + \dfrac{\textcolor{green}{D}}{x - 2} \end{aligned} \]

Ganger vi med hele nevneren, får vi: \[ \begin{aligned} x^2 = \;& \textcolor{red}{A}(x - 1)(x - 2) \\ &+ \textcolor{blue}{B}(x + 1)(x - 2) \\ &+ \textcolor{green}{D}(x + 1)(x - 1) \end{aligned} \]

2. Finn konstantene Likningen gjelder for alle \( x\text{.} \) Setter vi inn nullpunktene til nevneren, faller to av leddene bort.

\( {x = -1} \) gir: \[ \begin{aligned} 1 &= \textcolor{red}{A} \cdot (-2) \cdot (-3) = 6\textcolor{red}{A} \\ \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \end{aligned} \]

\( {x = 1} \) gir: \[ \begin{aligned} 1 &= \textcolor{blue}{B} \cdot 2 \cdot (-1) = -2\textcolor{blue}{B} \\ \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

\( {x = 2} \) gir: \[ \begin{aligned} 4 &= \textcolor{green}{D} \cdot 3 \cdot 1 = 3\textcolor{green}{D} \\ \textcolor{green}{D} &= \textcolor{green}{\dfrac{4}{3}} \end{aligned} \]

3. Integrer ledd for ledd Hvert ledd integrerer vi med regelen fra videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Absoluttverdien tar med at \( {x + n} \) kan være negativ: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]

Plugger vi inn konstantene, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\textcolor{red}{1/6}}{x + 1}\,dx &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}\ln|x + 1| \\ \int \dfrac{\textcolor{blue}{-1/2}}{x - 1}\,dx &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}\ln|x - 1| \\ \int \dfrac{\textcolor{green}{4/3}}{x - 2}\,dx &= \textcolor{green}{\dfrac{4}{3}}\ln|x - 2| \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, med én felles konstant \( C\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}\ln|x + 1| \textcolor{blue}{- \dfrac{1}{2}}\ln|x - 1| \\ &+ \textcolor{green}{\dfrac{4}{3}}\ln|x - 2| + C \end{aligned} \]

Likningen er separabel. Vi skiller \( S \) og \( t\text{,} \) integrerer med delbrøker, bestemmer konstantene og setter inn \( {S = 4000}\text{.} \)

1. Forklar likningen Endringsraten er \( \dfrac{dS}{dt}\text{.} \) Av 5000 innbyggere er \( \textcolor{red}{S} \) smittet, så \( {\textcolor{blue}{5000 - S}} \) er ikke smittet. Proporsjonal med produktet betyr at vi ganger produktet med konstanten \( a\text{:} \) \[ \dfrac{dS}{dt} = a \cdot \textcolor{red}{S} \cdot (\textcolor{blue}{5000 - S}) \]

2. Separer og del opp brøken Vi samler \( S \) på én side og \( t \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \dfrac{1}{S(5000 - S)}\,dS = a\,dt \]

Vi deler brøken opp, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{S(5000 - S)} &= \dfrac{A}{S} + \dfrac{B}{5000 - S} \\ 1 &= A(5000 - S) + BS \end{aligned} \]

\( {S = 0} \) og \( {S = 5000} \) gir: \[ A = B = \dfrac{1}{5000} \]

3. Integrer begge sider Plugger vi delbrøkene inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \int \left( \dfrac{1}{S} + \dfrac{1}{5000 - S} \right) dS \\ &= \int a\,dt \end{aligned} \]

Siden \( {0 < S < 5000} \) trenger vi ikke absoluttverdi. Kjernen \( {5000 - S} \) har derivert \( {-1}\text{,} \) så: \[ \int \dfrac{1}{5000 - S}\,dS = -\ln(5000 - S) \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \bigl( \ln S - \ln(5000 - S) \bigr) \\ &= at + C \end{aligned} \]

Logaritmeregelen fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) \]

Her er \( {p = S} \) og \( {q = 5000 - S}\text{.} \) Vi ganger med 5000, med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{5000a}} \) og \( {K = 5000C}\text{:} \) \[ \ln\left(\dfrac{S}{5000 - S}\right) = \textcolor{green}{k}t + K \]

4. Bestem konstantene \( {S(0) = 250} \) gir: \[ K = \ln\left(\dfrac{250}{4750}\right) = -\ln 19 \]

\( {S(7) = 1250} \) gir: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{1250}{3750}\right) &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ -\ln 3 &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ \textcolor{green}{k} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{7}\ln\dfrac{19}{3}} \end{aligned} \]

5. Finn tiden 80 % av 5000 er 4000. Plugger vi inn \( {S = 4000}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{4000}{1000}\right) &= \textcolor{green}{k}t - \ln 19 \\ \ln 4 + \ln 19 &= \textcolor{green}{k}t \\ t &= \dfrac{\ln 76}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{7\ln 76}{\ln\dfrac{19}{3}} \\ &\approx 16{,}4 \end{aligned} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting. Det uegentlige integralet skriver vi deretter som en grense.

1. Faktoriser nevneren Vi trenger to tall som har produkt \( {-6} \) og sum \( 1\text{.} \) Det er \( {-2} \) og \( 3\text{,} \) så: \[ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) \]

2. Del opp brøken Telleren har lavere grad enn nevneren, og faktorene er ulike. Vi skriver derfor brøken som en sum av to brøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{3x - 1}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x + 3} \]

Ganger vi med nevneren på begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 3x - 1 &= \textcolor{red}{A}(x + 3) + \textcolor{blue}{B}(x - 2) \\ 3x - 1 &= (\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B})x + 3\textcolor{red}{A} - 2\textcolor{blue}{B} \end{aligned} \]

Leddene med \( x \) og konstantene må være like på hver side. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= 3 \\ 3\textcolor{red}{A} - 2\textcolor{blue}{B} &= -1 \end{aligned} \]

Setter vi \( {\textcolor{red}{A} = 3 - \textcolor{blue}{B}} \) inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 3(3 - \textcolor{blue}{B}) - 2\textcolor{blue}{B} &= -1 \\ 9 - 5\textcolor{blue}{B} &= -1 \\ \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{A} &= 3 - 2 = \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

3. Regn ut det ubestemte integralet Regelen for en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren forteller oss at: \[ \int \dfrac{k}{x + n}\,dx = k\ln|x + n| + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{A} \) og \( \textcolor{blue}{B}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\int \left(\dfrac{\textcolor{red}{1}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{x + 3}\right) dx \\ &= \textcolor{red}{\ln|x - 2|} + \textcolor{blue}{2\ln|x + 3|} + C \end{aligned} \]

4. Avgjør det uegentlige integralet Nevneren er ikke \( 0 \) for \( {x \ge 4}\text{,} \) så det eneste problemet er den øvre grensen. Vi skriver integralet som en grense: \[ \begin{aligned} &\int_4^{\infty} \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \\ &= \lim_{b \to \infty} \int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \end{aligned} \]

For \( {x \ge 4} \) er begge parentesene positive. Setter vi inn grensene, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \\ &= \Big[\textcolor{red}{\ln(x - 2)} + \textcolor{blue}{2\ln(x + 3)}\Big]_4^b \\ &= \textcolor{red}{\ln(b - 2)} + \textcolor{blue}{2\ln(b + 3)} \\ &\quad - \ln 2 - 2\ln 7 \end{aligned} \]

Vi lar \( b \) vokse. Da vokser begge logaritmene uten grense, mens \( {-\ln 2 - 2\ln 7} \) er et fast tall: \[ \lim_{b \to \infty} \int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx = \infty \]

Grensen finnes ikke som et tall, så det uegentlige integralet divergerer. Hvis du er usikker på uegentlige integraler, kan du se videoen Uegentlig integral Oppgave 1.