Universitetseksamen etter tema

Vi ser etter steder der grafen hopper eller får en knekk. Der kan den ikke ha én bestemt tangent, så der er ikke funksjonen deriverbar.

1. Se etter hopp I \( {x = 2} \) hopper grafen fra \( 3 \) ned til \( 1\text{.} \) Funksjonen er altså ikke kontinuerlig der, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

En funksjon som ikke er kontinuerlig i et punkt, er heller ikke deriverbar der. Så \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 2}\text{.} \)

2. Se etter knekker Den deriverte er grensen av stigningstallet, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

Grensen må bli den samme fra begge sider. Vi leser av stigningstallene fra venstre og fra høyre: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad \textcolor{red}{a_v} &= \textcolor{red}{1}, & \textcolor{blue}{a_h} &= \textcolor{blue}{-1} \\ x = 4: \quad \textcolor{red}{a_v} &> \textcolor{red}{1}, & \textcolor{blue}{a_h} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Rett før \( {x = 4} \) er kurven brattere enn linja etter. I begge punktene er stigningstallene ulike, så grensen finnes ikke, og grafen har en knekk.

Ellers er grafen glatt. I \( {x = 3} \) er kurven flat, men uten knekk, så der er den deriverbar.

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{,} \) så derivasjonsreglene hjelper ikke der. Vi bruker derfor definisjonen til den deriverte.

1. Sett opp definisjonen Definisjonen til den deriverte forteller oss at: \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er \( {a = 0}\text{,} \) \( {f(0) = 0} \) og \( {f(h) = h\cos\left(\dfrac{1}{h}\right)}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(0) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{h\cos\left(\dfrac{1}{h}\right) - 0}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{1}{h}\right) \end{aligned} \]

2. Vis at grensen ikke finnes Når \( h \) går mot \( 0\text{,} \) vokser \( \dfrac{1}{h} \) uten grense, så cosinus fortsetter å svinge mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Det ser vi ved å la \( h \) gå mot \( 0 \) på to måter, med \( {k = 1, 2, 3, \dots} \)

Velger vi \( {\textcolor{red}{h = \dfrac{1}{2k\pi}}}\text{,} \) får vi: \[ \cos\left(\dfrac{1}{\textcolor{red}{h}}\right) = \cos(2k\pi) = \textcolor{red}{1} \]

Velger vi \( {\textcolor{blue}{h = \dfrac{1}{(2k + 1)\pi}}}\text{,} \) får vi: \[ \cos\left(\dfrac{1}{\textcolor{blue}{h}}\right) = \cos\big((2k + 1)\pi\big) = \textcolor{blue}{-1} \]

Begge valgene går mot \( 0 \) når \( k \) vokser, men de gir ulike verdier. Grensen finnes altså ikke, og \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)

Vi skriver funksjonen uten absoluttverdi. Så sammenligner vi verdiene der den deriverte er \( 0\text{,} \) der grafen knekker og i endepunktene.

1. Skriv funksjonen uten absoluttverdi Absoluttverdien forteller oss at: \[ |a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases} \]

\( {x^2 - 1} \) er negativ når \( {|x| < 1}\text{,} \) og da bytter den fortegn: \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{1 - x^2}, & |x| < 1 \\ \textcolor{blue}{x^2 - 1}, & 1 \le |x| \le \sqrt{2} \end{cases} \]

2. Finn kandidatene Potensregelen \( {(x^n)' = n x^{n-1}} \) gir den deriverte av hver del, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{-2x}, & |x| < 1 \\ \textcolor{blue}{2x}, & 1 < |x| < \sqrt{2} \end{cases} \]

\( {f'(x) = 0} \) bare i \( {x = 0}\text{.} \) I \( {x = \pm 1} \) skifter uttrykket, og i \( {x = \pm\sqrt{2}} \) slutter intervallet. Verdiene er: \[ \begin{aligned} f(\pm\sqrt{2}) &= |2 - 1| = 1 \\ f(\pm 1) &= |1 - 1| = 0 \\ f(0) &= |0 - 1| = 1 \end{aligned} \]

3. Klassifiser punktene Fortegnet til den deriverte viser hvor grafen stiger og synker: \[ \begin{aligned} -\sqrt{2} < x < -1: \quad & \textcolor{blue}{2x} < 0 \\ -1 < x < 0: \quad & \textcolor{red}{-2x} > 0 \\ 0 < x < 1: \quad & \textcolor{red}{-2x} < 0 \\ 1 < x < \sqrt{2}: \quad & \textcolor{blue}{2x} > 0 \end{aligned} \]Grafen synker altså ned til \( {x = -1}\text{,} \) stiger til \( {x = 0}\text{,} \) synker til \( {x = 1} \) og stiger igjen. Da er \( {x = \pm 1} \) lokale minimum, og \( {x = 0} \) og endepunktene \( {x = \pm\sqrt{2}} \) lokale maksimum. Hva lokale og globale ekstremalpunkter er, ser du i videoen Hva er et kritisk punkt.

\( f \) er kontinuerlig på et lukket intervall, så største og minste verdi ligger blant kandidatene. Vi sammenligner verdiene over: \[ \begin{aligned} f(x) &\ge 0 = f(\pm 1) \\ f(x) &\le 1 = f(0) = f(\pm\sqrt{2}) \end{aligned} \]Minimumene og maksimumene er altså også globale.

4. Skisser grafen Vi tegner buen \( {\textcolor{red}{1 - x^2}} \) mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{x^2 - 1}} \) utenfor:

5. Undersøk knekken Den deriverte i et punkt er grensen av stigningstallet, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} \]

Her er \( {f(1) = 0}\text{.} \) Vi regner ut grensen fra hver side: \[ \begin{aligned} \lim_{h \to 0^-} \dfrac{\textcolor{red}{1 - (1 + h)^2}}{h} &= \lim_{h \to 0^-} (-2 - h) \\ &= -2 \\ \lim_{h \to 0^+} \dfrac{\textcolor{blue}{(1 + h)^2 - 1}}{h} &= \lim_{h \to 0^+} (2 + h) \\ &= 2 \end{aligned} \]Grensene er ulike, så \( f'(1) \) finnes ikke. Siden \( {f(-x) = f(x)}\text{,} \) gjelder det samme i \( {x = -1}\text{.} \)

Oppgaven ber oss bruke definisjonen, så vi setter \( f(x) \) inn i den, samler brøkene i telleren og lar \( \Delta x \) gå mot \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp definisjonen Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(x + \Delta x)} - \textcolor{blue}{f(x)}}{\Delta x} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x + \Delta x)} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + \Delta x}} \\ \textcolor{blue}{f(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x + \Delta x}} - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}}}{\Delta x} \]

2. Samle brøkene i telleren Vi setter de to brøkene på felles nevner \( {x(x + \Delta x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + \Delta x}} - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} &= \dfrac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} \\ &= \dfrac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)} \end{aligned} \]

3. La steget gå mot null Vi deler på \( \Delta x\text{,} \) som ikke er \( 0 \) før vi tar grensen, slik at den forkortes bort: \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{-1}{x(x + \Delta x)} \]

Nevneren blir ikke lenger \( 0 \) når \( \Delta x \) går mot \( 0\text{,} \) så lenge \( x \ne 0\text{.} \) Da går \( {x + \Delta x} \) mot \( x\text{:} \) \[ f'(x) = \dfrac{-1}{x \cdot x} = -\dfrac{1}{x^2} \]

Vi tar likhetene én og én, fra venstre. Til slutt bruker vi at \( e^x \) er kontinuerlig, for å komme fra \( \ln \) av uttrykket til selve uttrykket.

1. Forklar den første likheten Logaritmeregelen for en potens forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{n}}) = \textcolor{blue}{n} \ln(\textcolor{red}{a}) \]Se videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{1 + \dfrac{1}{n}}}\text{.} \) Å gange med \( \textcolor{blue}{n} \) er det samme som å dele på \( \dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \ln\left(\left(\textcolor{red}{1 + \dfrac{1}{n}}\right)^{\textcolor{blue}{n}}\right) &= \textcolor{blue}{n} \ln\left(\textcolor{red}{1 + \dfrac{1}{n}}\right) \\ &= \dfrac{\ln\left(\textcolor{red}{1 + \dfrac{1}{n}}\right)}{\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}} \end{aligned} \]

2. Forklar den andre likheten Vi bytter variabel: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{n}} \\ n \to \infty \ &\Rightarrow \ \textcolor{green}{h} \to 0 \end{aligned} \]

Siden \( {\ln(1) = 0}\text{,} \) kan vi også trekke fra \( \ln(1) \) uten å endre noe: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \dfrac{\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}} \\ &= \lim_{\textcolor{green}{h} \to 0} \dfrac{\ln(1 + \textcolor{green}{h})}{\textcolor{green}{h}} \\ &= \lim_{\textcolor{green}{h} \to 0} \dfrac{\ln(1 + \textcolor{green}{h}) - \ln(1)}{\textcolor{green}{h}} \end{aligned} \]Her er \( {h > 0}\text{.} \) Det spiller ingen rolle, for grensen når \( h \to 0 \) finnes fra begge sider, som den tredje likheten viser.

3. Forklar den tredje likheten Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ g'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{g(a + h) - g(a)}{h} \]Se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er \( {g(t) = \ln(t)} \) og \( {a = 1}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(1 + h) - \ln(1)}{h} \\ &= \left(\dfrac{d}{dt} \ln(t)\right)\Bigg|_{t=1} \end{aligned} \]

4. Forklar den fjerde likheten Den deriverte av \( \ln(t) \) er \( \dfrac{1}{t}\text{,} \) se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi setter inn \( {t = 1}\text{:} \) \[ \left(\dfrac{d}{dt} \ln(t)\right)\Bigg|_{t=1} = \dfrac{1}{1} = 1 \]

5. Vis likning 1 Erna har altså vist at grensen av \( \ln \) av uttrykket er \( 1\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} \ln\left(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\right) = 1 \]

Vi opphøyer \( e \) i begge sidene. Siden \( e^x \) er kontinuerlig, kan grensen flyttes ut av eksponenten, og fra definisjonen av \( \ln \) vet vi at \( {e^{\ln(a)} = a}\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^1 &= e^{\lim\limits_{n \to \infty} \ln\left(\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^n\right)} \\ &= \lim_{n \to \infty} e^{\ln\left(\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^n\right)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \end{aligned} \]Det er likning (1).

Vi vet ikke at \( g \) er deriverbar, så vi kan ikke bruke produktregelen. Vi går derfor tilbake til definisjonen av den deriverte.

1. Skriv opp definisjonen Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(0 + h)} - \textcolor{blue}{f(0)}}{h} \]\( f \) er deriverbar i \( {x = 0} \) hvis denne grensen finnes. Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0 + h)} &= \textcolor{red}{h\,g(h)} \\ \textcolor{blue}{f(0)} &= 0 \cdot g(0) = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Regn ut grensen Plugger vi dette inn, og stryker \( h \) mot \( h \) siden \( h \ne 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(0) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{h\,g(h)} - \textcolor{blue}{0}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} g(h) \end{aligned} \]

At \( g \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) betyr at grensen er lik funksjonsverdien, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \lim_{h \to 0} g(h) = g(0) = 2\pi \]

Grensen finnes, så \( f \) er deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)

Absoluttverdien gjør at \( f \) skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{.} \) Vi sjekker kontinuitet med grensene fra hver side, og deriverbarhet med definisjonen av den deriverte.

1. Vis kontinuiteten For \( {x > 0} \) er \( {|x| = x}\text{,} \) og for \( {x < 0} \) er \( {|x| = -x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x > 0{:}\ \dfrac{x}{\sqrt{x}} &= \sqrt{x} \\ x < 0{:}\ \dfrac{x}{\sqrt{-x}} &= \dfrac{-(-x)}{\sqrt{-x}} = -\sqrt{-x} \end{aligned} \]

Vi skriver altså \( f \) slik, på hver side av \( 0\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{\sqrt{x}} & \text{for } x > 0 \\ \textcolor{blue}{-\sqrt{-x}} & \text{for } x < 0 \end{cases} \]

For å være kontinuerlig i \( {x = 0} \) må funksjonen nærme seg funksjonsverdien fra begge sider, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \]

Grensene fra hver side er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \textcolor{red}{\sqrt{x}} &= 0 \\ \lim_{x \to 0^-} \left(\textcolor{blue}{-\sqrt{-x}}\right) &= 0 \end{aligned} \]

Begge er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) \]Altså er \( f \) kontinuerlig i \( {x = 0}\text{.} \)

2. Vis at funksjonen ikke er deriverbar Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]Den står i videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(0 + h) &= \dfrac{h}{\sqrt{|h|}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} &= \dfrac{h}{\sqrt{|h|}} \cdot \dfrac{1}{h} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} \end{aligned} \]

Når \( h \) går mot \( 0\text{,} \) går nevneren mot \( 0 \) gjennom positive tall, så brøken vokser uten grense: \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} = \infty \]Grensen finnes ikke som et tall, så \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)