Eksamensoppgaver etter tema

Vi går fra \( A \) til \( B \) og fra \( P \) til \( R \) via \( O\text{,} \) der vi kjenner vektorene.

1. Finn vektoren fra A til B 1:05 Vi går fra \( A \) til \( O \) og videre fra \( O \) til \( B\text{.} \) Å gå fra \( A \) til \( O \) er det motsatte av \( {\overrightarrow{OA} = \textcolor{blue}{\vec{a}}}\text{,} \) altså \( {-\textcolor{blue}{\vec{a}}}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\textcolor{blue}{\vec{a}} + \textcolor{red}{\vec{b}} = \textcolor{red}{\vec{b}} - \textcolor{blue}{\vec{a}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer.

2. Finn vektoren fra P til R 2:53 \( P \) ligger \( \dfrac{2}{3} \) av veien fra \( O \) til \( A\text{,} \) og \( R \) ligger \( \dfrac{2}{3} \) av veien fra \( O \) til \( B\text{.} \) Når vi ganger en vektor med et positivt tall, beholder den retningen, og lengden blir ganget med tallet, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \overrightarrow{OP} = \dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{\vec{a}} \qquad \overrightarrow{OR} = \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{\vec{b}} \]

Vi går fra \( P \) til \( O \) og videre til \( R\text{,} \) på samme måte som for \( \overrightarrow{AB}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PR} &= \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OR} = -\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{\vec{a}} + \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{\vec{b}} \\ \overrightarrow{PR} &= \dfrac{2}{3}(\textcolor{red}{\vec{b}} - \textcolor{blue}{\vec{a}}) \end{aligned} \]

Vi bruker uttrykkene for \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{PR} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

I uttrykkene fra a) ser vi etter et tall \( k \) slik at \( {\overrightarrow{PR} = k \cdot \overrightarrow{AB}}\text{.} \)

1. Skriv opp når vektorer er parallelle 0:08 To vektorer \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) som ikke er nullvektorer, er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at: \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \]Et tall ganget med en vektor gir en vektor langs samme linje, som i videoen Hva er en Skalar?.

2. Bruk uttrykkene fra a) 1:00 I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \textcolor{green}{\vec{b} - \vec{a}} \\ \overrightarrow{PR} &= \dfrac{2}{3}(\textcolor{green}{\vec{b} - \vec{a}}) \end{aligned} \]

Parentesen er \( \textcolor{green}{\overrightarrow{AB}}\text{,} \) så: \[ \overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \textcolor{green}{\overrightarrow{AB}} \]Det er formen \( {\vec{u} = k \cdot \vec{v}} \) med \( {k = \dfrac{2}{3}}\text{,} \) så vektorene er parallelle.

Vi bruker at \( {\overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB}}\text{,} \) som vi viste i b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når en vektor ganges med \( \dfrac{2}{3}\text{,} \) blir lengden også ganget med \( \dfrac{2}{3}\text{.} \) Vi viser det med koordinater, og løser for lengden av \( \overrightarrow{AB}\text{.} \)

1. Skriv lengdene med koordinater 0:48 I b) viste vi at: \[ \overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB} \]

Vi kaller koordinatene til \( \overrightarrow{AB} \) for \( \textcolor{blue}{x} \) og \( \textcolor{red}{y}\text{.} \) Da blir begge koordinatene til \( \overrightarrow{PR} \) ganget med \( \dfrac{2}{3}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}] \qquad \overrightarrow{PR} = \left[\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{x}, \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{y}\right] \]

Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{x}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{3}\textcolor{red}{y}\right)^2} \end{aligned} \]

2. Forenkle kvadratroten 3:16 Vi kvadrerer parentesene, setter \( \dfrac{4}{9} \) utenfor og bruker at \( {\sqrt{m \cdot n} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{n}} \) for \( {m, n \ge 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\dfrac{4}{9}\textcolor{blue}{x}^2 + \dfrac{4}{9}\textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\dfrac{4}{9}} \cdot \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \dfrac{2}{3}|\overrightarrow{AB}| \end{aligned} \]

3. Sett inn lengden og løs 4:19 Vi setter inn \( {|\overrightarrow{PR}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{2}{3}|\overrightarrow{AB}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \]

Ganger vi begge sider med \( \dfrac{3}{2}\text{,} \) får vi: \[ |\overrightarrow{AB}| = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Linjestykket \( AB \) er like langt som vektoren \( \overrightarrow{AB}\text{.} \)

Alternativ metode: Lengden av et tall ganget med en vektor For et tall \( k \) og en vektor \( \vec{v} \) er \( {|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|}\text{.} \) Da gir \( {\overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB}} \) med en gang: \[ |\overrightarrow{AB}| = \dfrac{3}{2} \cdot |\overrightarrow{PR}| = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Regelen sparer utregningen med koordinater.

Vi leser hva linje 4 til 6 regner ut, og sammenligner brøken med definisjonen av den deriverte.

1. Les hva de to funksjonene gjør Linje 1 og 2 definerer funksjonen \( \textcolor{blue}{f}\text{,} \) og linje 4 til 6 definerer \( \textcolor{red}{g}\text{.} \) Linje 5 setter \( {h = 0{,}000001}\text{,} \) og linje 6 returnerer: \[ \textcolor{red}{g(x)} = \dfrac{\textcolor{blue}{f(x + h)} - \textcolor{blue}{f(x)}}{h} \]

2. Sammenlign med definisjonen av den deriverte Brøken er stigningstallet til linja gjennom punktene \( (x, f(x)) \) og \( {(x + h, f(x + h))} \) på grafen, en sekant. Den deriverte er grenseverdien av den samme brøken når \( h \) går mot \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{blue}{f(x + h)} - \textcolor{blue}{f(x)}}{h} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Koden tar ikke grenseverdien, men bruker en svært liten \( h\text{.} \) Da er sekanten nesten lik tangenten, og \( \textcolor{red}{g(x)} \) er nesten lik \( f'(x)\text{.} \)

Vi bruker at \( {g(x) \approx f'(x)}\text{,} \) som vi fant i a).

Programmet skriver bare ut der \( g(x)\text{,} \) og dermed \( f'(x)\text{,} \) er nesten \( 0\text{.} \) Fortegnet til den deriverte like før og like etter punktet avgjør hva slags punkt det er.

1. Finn ut når programmet skriver ut I a) fant vi at: \[ g(x) \approx f'(x) \]Løkka i linje 13 til 24 går gjennom \( x \) fra \( {-4} \) til \( 4 \) med steg \( {\texttt{dx} = 0{,}002}\text{.} \) Programmet kan bare skrive ut når testen i linje 15 er sann, altså når \( {|g(x)| < 0{,}000001}\text{.} \) Da er \( {f'(x) \approx 0}\text{,} \) og grafen har en vannrett tangent.

2. Tolk de tre testene Linje 17, 20 og 23 sammenligner den deriverte like før punktet, \( {\textcolor{green}{g(x - \texttt{dx})}}\text{,} \) med den like etter, \( {\textcolor{darkorange}{g(x + \texttt{dx})}}\text{.} \)

Linje 17 er sann når produktet \( {\textcolor{green}{g(x - \texttt{dx})} \cdot \textcolor{darkorange}{g(x + \texttt{dx})}} \) er positivt, altså når den deriverte har samme fortegn på begge sider. Da fortsetter grafen samme vei gjennom punktet, og det er et terrassepunkt.

Kommer programmet til linje 20, har den deriverte ulikt fortegn på de to sidene. Linje 20 er sann når den går fra minus til pluss: grafen går ned og så opp, og det er et bunnpunkt. Linje 23 er det motsatte, fra pluss til minus, og det er et toppunkt.

I tabellen står linja som skriver ut, fortegnet til \( f' \) før og etter punktet, og hva slags punkt det er: \[ \begin{array}{c|cc|l} 18 & + & + & \text{terrassepunkt} \\ 18 & - & - & \text{terrassepunkt} \\ 21 & - & + & \text{bunnpunkt} \\ 24 & + & - & \text{toppunkt} \end{array} \]

Vi bruker fra a) og b) at programmet skriver ut der \( {f'(x) \approx 0}\text{,} \) og hva linje 18, 21 og 24 betyr.

Vi deriverer \( f\text{,} \) finner hvor \( {f'(x) = 0}\text{,} \) og ser på fortegnet til \( f' \) på hver side. Fortegnet avgjør hvilken linje som skriver ut.

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 + \dfrac{5}{3} \cdot 2x + \dfrac{25}{9} \\ f'(x) &= x^2 + \dfrac{10}{3}x + \dfrac{25}{9} \end{aligned} \]

2. Faktoriser den deriverte Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Vi bruker den baklengs, som i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}}\text{,} \) fordi \( {\textcolor{red}{b}^2 = \dfrac{25}{9}} \) og \( {2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} = \dfrac{10}{3}x}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = \left(\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right)^2 \]

3. Avgjør fortegnet rundt nullpunktet Et kvadrat er aldri negativt, og \( {\left(x + \dfrac{5}{3}\right)^2} \) er \( 0 \) bare i \( {x = -\dfrac{5}{3}}\text{,} \) som ligger mellom \( {-4} \) og \( 4\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) > 0 \quad \text{for } x \neq -\dfrac{5}{3} \]Den deriverte er positiv på begge sider av punktet, så grafen stiger både før og etter det. Det er et terrassepunkt.

Siden \( {g(x) \approx f'(x)}\text{,} \) er begge faktorene i linje 17 positive, og produktet er positivt. Programmet skriver derfor ut setningen i linje 18.

Formen i oppgaven er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på b) til d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver tiden i kolonne A og farten i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = RegLogist(l1)

3. Skriv opp modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ V(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{C} \approx \textcolor{red}{223{,}48}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{27{,}33}} \) og \( {\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{green}{0{,}0478}}\text{.} \)

I b) til d) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Runder vi \( k \) av til \( 0{,}05\text{,} \) blir svaret i b) omtrent \( 61{,}9\,\text{s} \) i stedet for \( 64{,}8\,\text{s}\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi skal finne \( t \) når \( {V(t) = 100}\text{.} \) Med kalkulator får vi potensen \( {e^{-kt}} \) alene og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi regner med bokstavene \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k}\text{,} \) og setter inn tallene til slutt. Vi skal finne \( t \) når \( {V(t) = 100}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} = 100 \]

2. Få potensen alene Vi ganger begge sider med nevneren, trekker fra \( 100 \) og deler med \( {100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{C} &= 100 + 100 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \\ e^{-\textcolor{green}{k}t} &= \dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}} \end{aligned} \]

3. Ta ln på begge sider Brøken er positiv, fordi \( {\textcolor{red}{C} > 100}\text{,} \) så vi kan ta \( \ln \) på begge sider. Siden \( {\ln(e^u) = u \cdot \ln e = u}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -\textcolor{green}{k}t &= \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\right) \\ t &= -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\right) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å ta \( \ln \) på begge sider, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

4. Sett inn tallene Plugger vi inn tallene fra svaret i a), er brøken \[ \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{27{,}33}} = \dfrac{123{,}48}{2733} \]

Så regner vi ut \( t \) med kalkulatoren, uten å runde av brøken først: \[ t \approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{123{,}48}{2733}\right) \approx 64{,}79 \]Farten er \( 100\,\text{m/s} \) etter omtrent \( 64{,}8 \) sekunder.

1. Finn skjæringspunktet med linja I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi tegner linja \( {y = 100} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 100

Skjæringspunktet er \( {A \approx (64{,}7903,\ 100)}\text{.} \) Farten er \( 100\,\text{m/s} \) etter omtrent \( 64{,}8 \) sekunder.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Fartsøkningen er den deriverte \( V'(t)\text{.} \) Den er størst i toppunktet til \( V'\text{,} \) der den andrederiverte \( V''(t) \) er \( 0 \) og skifter fortegn fra pluss til minus.

1. Deriver modellen med kjerneregelen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi skriver modellen som \( {V(t) = \textcolor{red}{C} \cdot \textcolor{darkorange}{u}^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \textcolor{darkorange}{u'} = -\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} V'(t) &= \textcolor{red}{C} \cdot \left(-\textcolor{darkorange}{u}^{-2}\right) \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \\ V'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}{(1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t})^2} \end{aligned} \]

2. Innfør en hjelpevariabel Uttrykket blir enklere med en hjelpevariabel \( w\text{:} \) \[ \begin{aligned} w &= \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \\ V'(t) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]Her er \( {w > 0}\text{,} \) og siden \( {w' = -\textcolor{green}{k} \cdot w < 0}\text{,} \) avtar \( w \) fra \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{27{,}33}} \) mot \( 0 \) når \( t \) øker.

3. Deriver én gang til Vi kaller brøken \( {h(w) = \dfrac{w}{(1 + w)^2}}\text{,} \) så \( {V'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot h(w)}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{p}{q}\right)' = \dfrac{p' \cdot q - p \cdot q'}{q^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} p &= w & p' &= 1 \\ q &= (1 + w)^2 & q' &= 2(1 + w) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og forkorter med \( {1 + w}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} h'(w) &= \dfrac{(1 + w)^2 - w \cdot 2(1 + w)}{(1 + w)^4} \\ h'(w) &= \dfrac{(1 + w) - 2w}{(1 + w)^3} \\ h'(w) &= \dfrac{1 - w}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

Med kjerneregelen ganger vi med \( {w' = -\textcolor{green}{k} \cdot w}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V''(t) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot h'(w) \cdot (-\textcolor{green}{k} \cdot w) \\ V''(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}^2 \cdot w \cdot (w - 1)}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

4. Finn toppunktet til den deriverte Alt i \( V''(t) \) er positivt bortsett fra \( {w - 1}\text{,} \) og \( w \) avtar når \( t \) øker: \[ \begin{array}{r|ccc} w & > 1 & 1 & < 1 \\ \hline V''(t) & + & 0 & - \\ V'(t) & \nearrow & \text{maks} & \searrow \end{array} \]

Fartsøkningen er derfor størst når \( {w = 1}\text{,} \) altså når \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = 1}\text{.} \) Vi ganger med \( e^{\textcolor{green}{k}t} \) og tar \( \ln \) på begge sider: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{blue}{a} \\ t &= \dfrac{\ln \textcolor{blue}{a}}{\textcolor{green}{k}} \approx \dfrac{\ln \textcolor{blue}{27{,}33}}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \approx 69{,}20 \end{aligned} \]

Setter vi \( {w = 1} \) inn i \( V'(t)\text{,} \) får vi den største fartsøkningen: \[ \begin{aligned} V'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}}{4} \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48} \cdot \textcolor{green}{0{,}0478}}{4} \\ V'(t) &\approx 2{,}67 \end{aligned} \]Fartsøkningen er størst etter omtrent \( 69{,}2 \) sekunder, og da er den omtrent \( 2{,}67\,\text{m/s}^2\text{.} \)

1. Finn toppunktet til den deriverte I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi lar GeoGebra derivere modellen og tegne grafen til \( V'\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Toppunktet mellom \( {t = 0} \) og \( {t = 150} \) finner vi med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(V) Ekstremalpunkt(V', 0, 150)

Toppunktet er \( {B \approx (69{,}2022,\ 2{,}6706)}\text{.} \) Fartsøkningen er størst etter omtrent \( 69{,}2 \) sekunder, og da er den omtrent \( 2{,}67\,\text{m/s}^2\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a) og uttrykket for \( V'(t) \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) når \( {V'(t) > 2}\text{.} \) Vi finner de to tidspunktene der \( {V'(t) = 2}\text{,} \) og tiden mellom dem.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

I c) fant vi, med \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) at: \[ V'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \]Den vokser til omtrent \( 2{,}67 \) og avtar igjen, så farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) mellom de to tidspunktene der \( {V'(t) = 2}\text{.} \)

Vi setter \( {V'(t) = 2}\text{,} \) ganger med \( {(1 + w)^2} \) og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot w &= 2(1 + w)^2 \\ 0 &= 2w^2 + (4 - \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}) \cdot w + 2 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen Med tallene fra svaret i a) er \[ \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{red}{223{,}48} \cdot \textcolor{green}{0{,}0478} = 10{,}682344 \]Vi setter inn og deler med \( 2\text{:} \) \[ w^2 - 3{,}341172 \cdot w + 1 = 0 \]

Bokstaven \( a \) er brukt i modellen, så vi skriver likningen som \( {p \cdot w^2 + q \cdot w + r = 0}\text{.} \) Løsningene finner vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ w = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 1}\text{,} \) \( {q = -3{,}341172} \) og \( {r = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} w &= \dfrac{3{,}341172 \pm \sqrt{3{,}341172^2 - 4}}{2} \\ w_1 &\approx 3{,}0088 \\ w_2 &\approx 0{,}3324 \end{aligned} \]Begge ligger mellom \( 0 \) og \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) så begge gir en tid etter start.

3. Finn de to tidspunktene Vi løser \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = w} \) for \( t \) som i b): vi deler med \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u}\text{:} \) \[ t = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}}\right) \]

Plugger vi inn \( w_1 \) og \( w_2 \) med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} t_1 &\approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{3{,}0088}{\textcolor{blue}{27{,}33}}\right) \approx 46{,}16 \\ t_2 &\approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{0{,}3324}{\textcolor{blue}{27{,}33}}\right) \approx 92{,}25 \end{aligned} \]

Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) fra \( t_1 \) til \( t_2\text{.} \) Med alle desimalene er \[ t_2 - t_1 \approx 46{,}09 \]Det er omtrent \( 46{,}1 \) sekunder.

1. Finn skjæringspunktene med linja I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi tegner grafen til \( V' \) og linja \( {y = 2}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter ved hvert skjæringspunkt, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Til slutt regner vi ut avstanden mellom førstekoordinatene:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(V) h: y = 2 d = x(Q) - x(P)

Skjæringspunktene er \( {P \approx (46{,}1577,\ 2)} \) og \( {Q \approx (92{,}2467,\ 2)}\text{,} \) og \( {d \approx 46{,}0891}\text{.} \) Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) i omtrent \( 46{,}1 \) sekunder.

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren. Posisjonen finner vi ved å sette inn tiden.

1. Finn fartsvektoren Posisjonsvektoren har førstekoordinaten \( {\textcolor{blue}{6t + 120}} \) og andrekoordinaten \( {\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}t + 50}}\text{:} \) \[ \vec{r}(t) = \left[\textcolor{blue}{6t + 120},\ \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}t + 50}\right] \]Fartsvektoren er den deriverte av den, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon.

Vi deriverer hver koordinat for seg. Konstantene \( 120 \) og \( 50 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \vec{v}(t) = \left[\textcolor{blue}{6},\ \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right] \]Fartsvektoren er den samme hele tiden, så skøyteløperen beveger seg langs en rett linje med konstant fart.

2. Regn ut banefarten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right)^2} \\ |\vec{v}| &= \sqrt{36 + \dfrac{25}{9}} = \sqrt{\dfrac{349}{9}} = \dfrac{\sqrt{349}}{3} \\ |\vec{v}| &\approx 6{,}23 \end{aligned} \]

3. Finn posisjonen etter et halvt minutt Et halvt minutt er \( 30 \) sekunder. Vi setter inn \( {t = 30} \) i begge koordinatene: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{6 \cdot 30 + 120} = 300 \\ y &= \textcolor{red}{\dfrac{5}{3} \cdot 30 + 50} = 100 \end{aligned} \]

Skøyteløperen treffer hunden bare hvis de er på samme sted til samme tid. Da må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \)

1. Sett førstekoordinatene like Skal de treffe hverandre, må førstekoordinaten til skøyteløperen, \( {\textcolor{blue}{6t + 120}}\text{,} \) og til hunden, \( {\textcolor{red}{\dfrac{13}{2}t + 250}}\text{,} \) være like for den samme \( t \in [0, 200]\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{6t + 120} &= \textcolor{red}{\dfrac{13}{2}t + 250} \\ 6t - \dfrac{13}{2}t &= 250 - 120 \\ -\dfrac{1}{2}t &= 130 \\ t &= -260 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se kapittelet Parametrisering.

Førstekoordinatene er like bare for \( {t = -260}\text{,} \) og den er ikke med i tidsintervallet: \[ t = -260 \notin [0, 200] \]Da kan skøyteløperen og hunden aldri være på samme sted til samme tid, uansett hva andrekoordinatene er.

Ingen av dem endrer retning, så de kan bare møtes der banene krysser hverandre. Vi finner når hunden er der, og deler strekningen skøyteløperen har igjen på tiden som er igjen.

1. Finn hvor banene krysser hverandre I krysningspunktet er de på samme sted, men ikke nødvendigvis til samme tid. Vi kaller tiden til skøyteløperen \( \textcolor{blue}{u} \) og tiden til hunden \( \textcolor{red}{w}\text{,} \) og setter koordinatene like: \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{u} + 120 &= \dfrac{13}{2}\textcolor{red}{w} + 250 \\ \dfrac{5}{3}\textcolor{blue}{u} + 50 &= -\dfrac{9}{5}\textcolor{red}{w} + 520 \end{aligned} \]

Vi løser den første likningen for \( \textcolor{blue}{u}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{u} = \dfrac{13}{12}\textcolor{red}{w} + \dfrac{65}{3} \]

Setter vi det inn i den andre og ganger begge sider med \( 180\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{65}{36}\textcolor{red}{w} + \dfrac{325}{9} + 50 &= -\dfrac{9}{5}\textcolor{red}{w} + 520 \\ 325\textcolor{red}{w} + 15500 &= -324\textcolor{red}{w} + 93600 \\ 649\textcolor{red}{w} &= 78100 \\ \textcolor{red}{w} &= \dfrac{7100}{59} \end{aligned} \]Hunden er i krysningspunktet \( K \) etter omtrent \( 120{,}34 \) sekunder, innenfor \( [0, 200]\text{.} \)

2. Finn krysningspunktet og hvor skøyteløperen er Vi setter \( {\textcolor{red}{w} = \dfrac{7100}{59}} \) inn i koordinatene til hunden: \[ \begin{aligned} x_K &= \dfrac{13}{2} \cdot \dfrac{7100}{59} + 250 = \dfrac{60900}{59} \\ y_K &= -\dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{7100}{59} + 520 = \dfrac{17900}{59} \end{aligned} \]

Skøyteløperen oppdager hunden etter \( 1 \) minutt, når \( {t = 60}\text{,} \) i punktet \( P\text{:} \) \[ \begin{aligned} x_P &= 6 \cdot 60 + 120 = 480 \\ y_P &= \dfrac{5}{3} \cdot 60 + 50 = 150 \end{aligned} \]

3. Regn ut strekningen som er igjen Vektoren fra \( P \) til \( K \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( P \) fra koordinatene til \( K\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PK} &= \left[\dfrac{32580}{59},\ \dfrac{9050}{59}\right] \\ \overrightarrow{PK} &= \dfrac{1810}{59} \cdot [18, 5] \end{aligned} \]Siden \( {[18, 5] = 3 \cdot \left[6, \dfrac{5}{3}\right]}\text{,} \) peker den samme vei som fartsvektoren, så \( K \) ligger rett fram.

Lengden finner vi med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{.} \) Den positive faktoren kan stå utenfor roten: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{PK}| &= \dfrac{1810}{59} \cdot \sqrt{18^2 + 5^2} \\ |\overrightarrow{PK}| &= \dfrac{1810}{59} \cdot \sqrt{349} \approx 573{,}11 \end{aligned} \]Skøyteløperen har omtrent \( 573{,}11\,\text{m} \) igjen.

4. Regn ut den nye banefarten Den nye banefarten er strekningen delt på tiden fra \( {t = 60} \) til hunden er i \( K\text{.} \) Vi regner med de eksakte verdiene og runder av til slutt: \[ \begin{aligned} v &= \dfrac{|\overrightarrow{PK}|}{\textcolor{red}{w} - 60} \\ v &= \dfrac{1810 \cdot \sqrt{349}}{59} : \left(\dfrac{7100}{59} - 60\right) \\ v &= \dfrac{1810 \cdot \sqrt{349}}{59} : \dfrac{3560}{59} \\ v &= \dfrac{181 \cdot \sqrt{349}}{356} \approx 9{,}50 \end{aligned} \]Skøyteløperen må holde en banefart på omtrent \( 9{,}50\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Løs likningene i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser likningssystemet for krysningspunktet med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den nye banefarten er avstanden fra \( P\text{,} \) der skøyteløperen er etter \( 60 \) sekunder, til krysningspunktet \( K\text{,} \) delt på tiden som er igjen, der \( w \) er tiden da hunden er i \( K\text{:} \) \[ v = \dfrac{|\overrightarrow{PK}|}{w - 60} \]Den siste raden regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (6t + 120, 5/3*t + 50) s(t) := (13/2*t + 250, -9/5*t + 520) Løs({6u + 120 = 13/2*w + 250, 5/3*u + 50 = -9/5*w + 520}, {u, w}) Avstand(r(60), s(7100/59)) / (7100/59 - 60)

CAS gir \( {u = \dfrac{8970}{59}} \) og \( {w = \dfrac{7100}{59}}\text{,} \) og den nye banefarten er omtrent \( 9{,}4982\,\text{m/s}\text{,} \) altså omtrent \( 9{,}50\,\text{m/s}\text{.} \)

\( AB \) er vannrett, så lengden er forskjellen mellom førstekoordinatene. \( AD \) er loddrett, så lengden er forskjellen mellom andrekoordinatene.

1. Finn lengdene \( A \) har førstekoordinat \( a\text{,} \) og \( B \) har førstekoordinat \( 5\text{.} \) Siden \( {a < 5}\text{,} \) er: \[ AB = \textcolor{red}{5 - a} \]

\( A \) har andrekoordinat \( {f(a) = 100 \cdot 0{,}8^a}\text{,} \) og \( D \) har andrekoordinat \( 200\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a \le 1} \) når \( {a \ge 0}\text{,} \) er \( {f(a) \le 100}\text{,} \) så \( D \) ligger over \( A\text{:} \) \[ AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a} \]

Vi bruker lengdene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er \( {AB \cdot AD}\text{,} \) en funksjon av \( a\text{.} \) Vi finner der den deriverte er \( 0\text{,} \) viser at det er et toppunkt, og sammenligner med endepunktet \( {a = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen der den deriverte er \( 0\text{,} \) kan ikke løses for hånd. Øv heller på å sette opp arealet og den deriverte for hånd, med produktregelen og \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{,} \) og på å avgjøre fortegnet til den deriverte.

1. Sett opp arealet som en funksjon I a) fant vi \( {AB = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ T(a) = (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \]der \( a \in [0, 5\rangle\text{.} \)

2. Deriver og løs med CAS Oppgaven krever derivasjon, fordi en annen metode, som å lese av en graf, bare gir noe uttelling. Arealet er et produkt, og produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a = e^{a \cdot \ln 0{,}8}}\text{,} \) gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, at \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \textcolor{red}{-1} \cdot (\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \\ &{}+ (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \ln 0{,}8}) \end{aligned} \]

Vi lar CAS kontrollere den deriverte og løse \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Likningen kan ikke løses eksakt, så vi bruker NLøs med startverdien \( {a = 0{,}2}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 100*0.8^x T(a) := (5 - a)*(200 - f(a)) T'(a) NLøs(T'(a) = 0, a = 0.2)

CAS gir \( {T'(a) = 0} \) når \( {a \approx 0{,}1707}\text{.} \)

3. Vis at det er et toppunkt Faktoriserer vi ut \( {100 \cdot 0{,}8^a} \) fra leddene som har den, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= 100 \cdot 0{,}8^a \cdot g(a) - 200 \\ g(a) &= 1 - (5 - a) \cdot \ln 0{,}8 \end{aligned} \]Siden \( {\ln 0{,}8 < 0}\text{,} \) er \( g(a) \) positiv og blir mindre når \( a \) øker, og \( 0{,}8^a \) blir også mindre. Derfor avtar \( T'(a)\text{,} \) og den er \( 0 \) bare én gang.

Vi sjekker fortegnet på hver side og regner ut arealet i CAS, radene 5 til 7 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: T'(0) T'(1) T(0.1707) T(0)

CAS gir i rad 5 og 6: \[ \begin{aligned} T'(0) &\approx 11{,}57 > 0 \\ T'(1) &\approx -48{,}59 < 0 \end{aligned} \]Arealet vokser før \( {a \approx 0{,}1707} \) og avtar etter, så der har \( T \) et toppunkt.

Vi sammenligner med endepunktet \( {a = 0} \) i rad 7 og 8: \[ \begin{aligned} T(0{,}1707) &\approx 500{,}98 \\ T(0) &= 500 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 5\text{,} \) går arealet mot \( 0\text{.} \) Det største arealet er derfor omtrent \( 501\text{.} \)

Vi ser på hva husholdningen betaler når spotprisen er under og over \( 75 \) øre/kWh, og hva som skjer når spotprisen er akkurat \( 75\text{.} \)

1. Forklar hvorfor forskriften er delt Når spotprisen er \( 75 \) øre/kWh eller lavere, gir ordningen ingen støtte, og husholdningen betaler hele spotprisen: \[ \textcolor{blue}{f(x) = x} \]

Når spotprisen er over \( 75 \) øre/kWh, dekker støtten \( 90 \) prosent av det som er over \( 75\text{,} \) altså \( {0{,}9 \cdot (x - 75)}\text{.} \) Da følger prisen en annen regel: \[ \textcolor{red}{f(x) = x - 0{,}9 \cdot (x - 75)} \]En funksjon som følger ulike regler på ulike deler av definisjonsmengden, har delt forskrift, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Begrunn at funksjonen er kontinuerlig Hver del er en rett linje, så grafen kan bare gjøre et sprang i skjøten \( {x = 75}\text{.} \) Der er \( f \) kontinuerlig når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 75^-} f(x) = \lim_{x \to 75^+} f(x) = f(75) \]

Støtten er \( 0 \) når \( {x = 75}\text{,} \) så begge delene gir \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 75^-} f(x) &= \textcolor{blue}{75} = f(75) \\ \lim_{x \to 75^+} f(x) &= \textcolor{red}{75 - 0{,}9 \cdot (75 - 75)} \\ \lim_{x \to 75^+} f(x) &= 75 \end{aligned} \]Delene møtes, så \( f \) er kontinuerlig.

Det er ordningen som gjør at den må være det: støtten dekker bare det som er over \( 75\text{,} \) så den starter på \( 0\text{.} \) Hadde støtten dekket \( 90 \) prosent av hele prisen, ville prisen falt fra \( 75 \) til \( 7{,}6 \) øre/kWh når spotprisen gikk fra \( 75 \) til \( 76\text{.} \)

Opp til \( 75 \) øre/kWh betaler husholdningen hele spotprisen. Over \( 75 \) trekker vi fra støtten, som er \( 90 \) prosent av det som er over \( 75\text{.} \)

1. Finn prisen på begge sider Når \( {x \le 75}\text{,} \) får husholdningen ingen støtte og betaler hele spotprisen: \[ \textcolor{blue}{f(x) = x} \]

Når \( {x > 75}\text{,} \) er det som er over \( 75 \) lik \( {x - 75}\text{,} \) og støtten er \( {0{,}9 \cdot (x - 75)}\text{.} \) Husholdningen betaler spotprisen minus støtten: \[ \begin{aligned} f(x) &= x - 0{,}9 \cdot (x - 75) \\ f(x) &= x - 0{,}9x + 67{,}5 \\ f(x) &= \textcolor{red}{0{,}1x + 67{,}5} \end{aligned} \]

2. Skriv opp funksjonsuttrykket Vi setter de to delene sammen til en delt forskrift med klamme, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Begge gir \( 75 \) når \( {x = 75}\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{x}, & x \le 75 \\ \textcolor{red}{0{,}1x + 67{,}5}, & x > 75 \end{cases} \]

Merk – Tolkning: Oppgaven sier ikke hvilke spotpriser som er mulige, så vi skriver bare \( {x \le 75} \) i den første delen. Å skrive \( {0 \le x \le 75} \) er også en rimelig tolkning, og \( {x = 75} \) kan stå i hvilken som helst av delene, fordi begge gir \( 75\text{.} \) Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.