Eksamensoppgaver etter tema

\( AB \) er vannrett, så lengden er forskjellen mellom førstekoordinatene. \( AD \) er loddrett, så lengden er forskjellen mellom andrekoordinatene.

1. Finn lengdene \( A \) har førstekoordinat \( a\text{,} \) og \( B \) har førstekoordinat \( 5\text{.} \) Siden \( {a < 5}\text{,} \) er: \[ AB = \textcolor{red}{5 - a} \]

\( A \) har andrekoordinat \( {f(a) = 100 \cdot 0{,}8^a}\text{,} \) og \( D \) har andrekoordinat \( 200\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a \le 1} \) når \( {a \ge 0}\text{,} \) er \( {f(a) \le 100}\text{,} \) så \( D \) ligger over \( A\text{:} \) \[ AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a} \]

Vi bruker lengdene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er \( {AB \cdot AD}\text{,} \) en funksjon av \( a\text{.} \) Vi finner der den deriverte er \( 0\text{,} \) viser at det er et toppunkt, og sammenligner med endepunktet \( {a = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen der den deriverte er \( 0\text{,} \) kan ikke løses for hånd. Øv heller på å sette opp arealet og den deriverte for hånd, med produktregelen og \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{,} \) og på å avgjøre fortegnet til den deriverte.

1. Sett opp arealet som en funksjon I a) fant vi \( {AB = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ T(a) = (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \]der \( a \in [0, 5\rangle\text{.} \)

2. Deriver og løs med CAS Oppgaven krever derivasjon, fordi en annen metode, som å lese av en graf, bare gir noe uttelling. Arealet er et produkt, og produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a = e^{a \cdot \ln 0{,}8}}\text{,} \) gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, at \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \textcolor{red}{-1} \cdot (\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \\ &{}+ (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \ln 0{,}8}) \end{aligned} \]

Vi lar CAS kontrollere den deriverte og løse \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Likningen kan ikke løses eksakt, så vi bruker NLøs med startverdien \( {a = 0{,}2}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 100*0.8^x T(a) := (5 - a)*(200 - f(a)) T'(a) NLøs(T'(a) = 0, a = 0.2)

CAS gir \( {T'(a) = 0} \) når \( {a \approx 0{,}1707}\text{.} \)

3. Vis at det er et toppunkt Faktoriserer vi ut \( {100 \cdot 0{,}8^a} \) fra leddene som har den, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= 100 \cdot 0{,}8^a \cdot g(a) - 200 \\ g(a) &= 1 - (5 - a) \cdot \ln 0{,}8 \end{aligned} \]Siden \( {\ln 0{,}8 < 0}\text{,} \) er \( g(a) \) positiv og blir mindre når \( a \) øker, og \( 0{,}8^a \) blir også mindre. Derfor avtar \( T'(a)\text{,} \) og den er \( 0 \) bare én gang.

Vi sjekker fortegnet på hver side og regner ut arealet i CAS, radene 5 til 7 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: T'(0) T'(1) T(0.1707) T(0)

CAS gir i rad 5 og 6: \[ \begin{aligned} T'(0) &\approx 11{,}57 > 0 \\ T'(1) &\approx -48{,}59 < 0 \end{aligned} \]Arealet vokser før \( {a \approx 0{,}1707} \) og avtar etter, så der har \( T \) et toppunkt.

Vi sammenligner med endepunktet \( {a = 0} \) i rad 7 og 8: \[ \begin{aligned} T(0{,}1707) &\approx 500{,}98 \\ T(0) &= 500 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 5\text{,} \) går arealet mot \( 0\text{.} \) Det største arealet er derfor omtrent \( 501\text{.} \)

Vi ser på hva husholdningen betaler når spotprisen er under og over \( 75 \) øre/kWh, og hva som skjer når spotprisen er akkurat \( 75\text{.} \)

1. Forklar hvorfor forskriften er delt Når spotprisen er \( 75 \) øre/kWh eller lavere, gir ordningen ingen støtte, og husholdningen betaler hele spotprisen: \[ \textcolor{blue}{f(x) = x} \]

Når spotprisen er over \( 75 \) øre/kWh, dekker støtten \( 90 \) prosent av det som er over \( 75\text{,} \) altså \( {0{,}9 \cdot (x - 75)}\text{.} \) Da følger prisen en annen regel: \[ \textcolor{red}{f(x) = x - 0{,}9 \cdot (x - 75)} \]En funksjon som følger ulike regler på ulike deler av definisjonsmengden, har delt forskrift, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Begrunn at funksjonen er kontinuerlig Hver del er en rett linje, så grafen kan bare gjøre et sprang i skjøten \( {x = 75}\text{.} \) Der er \( f \) kontinuerlig når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 75^-} f(x) = \lim_{x \to 75^+} f(x) = f(75) \]

Støtten er \( 0 \) når \( {x = 75}\text{,} \) så begge delene gir \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 75^-} f(x) &= \textcolor{blue}{75} = f(75) \\ \lim_{x \to 75^+} f(x) &= \textcolor{red}{75 - 0{,}9 \cdot (75 - 75)} \\ \lim_{x \to 75^+} f(x) &= 75 \end{aligned} \]Delene møtes, så \( f \) er kontinuerlig.

Det er ordningen som gjør at den må være det: støtten dekker bare det som er over \( 75\text{,} \) så den starter på \( 0\text{.} \) Hadde støtten dekket \( 90 \) prosent av hele prisen, ville prisen falt fra \( 75 \) til \( 7{,}6 \) øre/kWh når spotprisen gikk fra \( 75 \) til \( 76\text{.} \)

Opp til \( 75 \) øre/kWh betaler husholdningen hele spotprisen. Over \( 75 \) trekker vi fra støtten, som er \( 90 \) prosent av det som er over \( 75\text{.} \)

1. Finn prisen på begge sider Når \( {x \le 75}\text{,} \) får husholdningen ingen støtte og betaler hele spotprisen: \[ \textcolor{blue}{f(x) = x} \]

Når \( {x > 75}\text{,} \) er det som er over \( 75 \) lik \( {x - 75}\text{,} \) og støtten er \( {0{,}9 \cdot (x - 75)}\text{.} \) Husholdningen betaler spotprisen minus støtten: \[ \begin{aligned} f(x) &= x - 0{,}9 \cdot (x - 75) \\ f(x) &= x - 0{,}9x + 67{,}5 \\ f(x) &= \textcolor{red}{0{,}1x + 67{,}5} \end{aligned} \]

2. Skriv opp funksjonsuttrykket Vi setter de to delene sammen til en delt forskrift med klamme, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Begge gir \( 75 \) når \( {x = 75}\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{x}, & x \le 75 \\ \textcolor{red}{0{,}1x + 67{,}5}, & x > 75 \end{cases} \]

Erik får poenget når terningen hans viser mer enn den høyeste av Kris sine to. Vi teller de like sannsynlige utfallene der det skjer.

1. Tell utfallene der Erik vinner Vi deler opp etter den høyeste terningen til Kris, \( m\text{.} \) Av de 16 parene Kris kan få, har \( {\textcolor{blue}{2m - 1}} \) høyeste verdi \( m\text{,} \) for eksempel har (1, 2), (2, 1) og (2, 2) høyeste verdi 2. Erik vinner når han får mer enn \( m\text{,} \) altså på \( {\textcolor{red}{6 - m}} \) av sidene: \[ \begin{array}{l|cccc} m & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{par til Kris} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{blue}{7} \\ \text{Erik over } m & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{2} \\ \hline \text{gunstige} & 5 & 12 & 15 & 14 \end{array} \]Til sammen er det \( {5 + 12 + 15 + 14 = 46} \) gunstige utfall.

2. Regn ut sannsynligheten Eriks terning har 6 sider og hver av Kris sine 4, så det er \( {6 \cdot 4 \cdot 4 = 96} \) like sannsynlige utfall. Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{46}{96} = \dfrac{23}{48} \approx 0{,}479 \]

Vi lager et program som spiller hele spillet mange ganger, og teller hvor ofte Erik når 100 poeng først. Andelen er omtrent sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive en runde og et spill som funksjoner, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Skriv programmet Programmet har tre deler: én runde, ett spill og mange spill. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar en runde og et spill Funksjonen \( \texttt{runde()} \) i linje 3 til 11 kaster Eriks terning med \( \texttt{randint(1, 7)} \) og Kris sine med \( \texttt{randint(1, 5)}\text{.} \) Den øvre grensen er ikke med, så vi får 1 til 6 og 1 til 4, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 8 sammenligner Eriks terning med den høyeste av Kris sine.

Funksjonen \( \texttt{spill()} \) i linje 13 til 23 spiller runder så lenge begge har under 100 poeng, og gir poenget til den som vinner runden. Den returnerer Eriks poeng, som er 100 når han kom først.

3. Tell spillene Erik vinner Løkka i linje 28 til 30 spiller \( \textcolor{red}{100\,000} \) spill og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_erik\_vinner}} \) hvor mange Erik vinner, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 32 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{spill Erik vinner}}}{\textcolor{red}{\text{alle spill}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at Erik nådde 100 poeng først i omtrent \( 27{,}7\,\% \) av spillene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 28\,\%\text{.} \)

Kontroll: Erik når 100 poeng først nøyaktig når han vinner minst 100 av de 199 første rundene. Med \( {p = \dfrac{23}{48}} \) fra a) gir sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, med binomisk fordeling og \( {n = 199}\text{,} \) den eksakte verdien \( {P(X \ge 100) \approx 0{,}2780}\text{.} \)

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:21 Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) = 0 \]Da må \( \textcolor{red}{e^x} \) eller \( {\textcolor{blue}{6 - e^x}} \) være \( 0\text{.} \)

\( \textcolor{red}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 1:12 Setter vi \( {\textcolor{blue}{6 - e^x} = 0}\text{,} \) får vi: \[ e^x = 6 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) = \ln 6 \]

Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 6 \\ x &= \ln 6 \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Deriver med produktregelen 0:28 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x} \) og konstanten \( 6 \) har derivert \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{6 - e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^x}) \]

2. Faktoriser 2:05 Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) og trekker sammen det som står i parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - e^x - e^x) \\ f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - 2e^x) \end{aligned} \]

Vi kan faktorisere ut \( 2 \) også, siden \( {6 = 2 \cdot 3}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = 2\textcolor{darkorange}{e^x}(3 - e^x) \]Det er uttrykket i oppgaven.

Vi bruker nullpunktet fra a), og uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Om det er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av funksjonsverdiene på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:16 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{3 - e^x}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Derfor må \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 2:07 Vi flytter \( e^x \) over til høyre side: \[ e^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser og \( {\ln e = 1} \) gir \( {\ln\left(e^x\right) = x \cdot \ln e = x}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^x\right) &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

3. Finn y-koordinaten 2:52 For å finne koordinatene plugger vi \( {x = \ln 3} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Siden \( {\textcolor{green}{e^{\ln 3}} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f(\ln 3) &= \textcolor{green}{e^{\ln 3}}(6 - \textcolor{green}{e^{\ln 3}}) \\ f(\ln 3) &= \textcolor{green}{3} \cdot (6 - \textcolor{green}{3}) = 9 \end{aligned} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 4:15 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \ln 3}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = 0} \) og nullpunktet \( {x = \ln 6} \) fra a): \[ f(0) = e^0(6 - e^0) = 1 \cdot 5 = 5 \]

Siden \( \ln \) er voksende, er \( {0 = \ln 1 < \ln 3 < \ln 6}\text{,} \) og \( {f(\ln 6) = 0}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \ln 3 & \ln 6 \\ \hline f(x) & 5 & 9 & 0 \end{array} \]

Grafen går opp fra \( 5 \) til \( 9 \) og ned igjen til \( 0\text{.} \) Punktet \( (\ln 3,\ 9) \) er derfor et toppunkt, og siden grafen bare snur der, har den ingen bunnpunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Siden \( {\textcolor{darkorange}{2e^x} > 0}\text{,} \) har \( f'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x}}\text{:} \) positiv når \( {x < \ln 3} \) og negativ når \( {x > \ln 3}\text{.} \) :::fortegnsskjema {"points": [1.0986122886681098], "labels": ["\\ln 3"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{3 - e^x}", "expr": "3 - e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(3 - e^x)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \ln 3} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så \( (\ln 3,\ 9) \) er et toppunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Vi tar for oss uttrykkene hver for seg, og finner verdien, eller to tall den ligger mellom. Så sorterer vi dem.

1. Regn ut de to første uttrykkene 0:25 Fra definisjonen av logaritmer vet vi at \( \log_a b \) er tallet vi må opphøye grunntallet \( a \) i for å få \( b\text{:} \) \[ \log_a b = c \quad \text{betyr at} \quad a^c = b \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

\( \textcolor{blue}{\log_2 8}\text{:} \) Her holder det med hoderegning, siden \( {2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\underline{\log_2 8 = 3}} \]

\( \textcolor{red}{e^{3\ln 1}}\text{:} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) siden \( {e^0 = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} = e^{3 \cdot 0} = e^0 = \textcolor{red}{\underline{1}} \]

2. Avgrens de to siste uttrykkene 1:49 \( \textcolor{green}{\lg 7}\text{:} \) Når det ikke står noe grunntall, er grunntallet \( 10\text{.} \) Her bruker vi litt logikk: logaritmen er voksende, og \( {1 < 7 < 10}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{\underline{0 = \lg 1 < \lg 7 < \lg 10 = 1}} \]

\( \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}}\text{:} \) Vi regner ut potensen under roten, \( {3^3 = 27}\text{.} \) Fjerderoten av \( 27 \) er tallet \( c \) der \( {c \cdot c \cdot c \cdot c = 27}\text{.} \) Siden \( {2^4 = 16} \) og \( {3^4 = 81}\text{,} \) og \( {16 < 27 < 81}\text{,} \) er: \[ \textcolor{darkorange}{\underline{2 = \sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{3^3} < \sqrt[4]{81} = 3}} \]

3. Sorter verdiene 4:27 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\lg 7} &< 1 = \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} \\ \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} &< 2 < \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}} \\ \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}} &< 3 = \textcolor{blue}{\log_2 8} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd så enkelt som mulig med logaritmereglene, og trekker sammen.

1. Skriv opp logaritmereglene 0:14 Uttrykket i oppgaven er bare definert når \( {a > 0} \) og \( {b > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a \cdot b) &= \lg a + \lg b \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \\ \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Skriv om ledd for ledd 0:49 \( \textcolor{blue}{\lg(ab)} \) kan vi skrive om som \( {\textcolor{blue}{\underline{\lg a + \lg b}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \) kan vi skrive om som \( {\textcolor{red}{\underline{\lg a - \lg b}}}\text{.} \)

\( \textcolor{green}{\lg(100b^3)} \) kan vi skrive om som \( {\lg 100 + \lg(b^3)}\text{.} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\lg 100 = 2}\text{,} \) siden \( {10^2 = 100}\text{,} \) og med den siste regelen er \( {\lg(b^3) = 3\lg b}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\lg(100b^3)} = \textcolor{green}{\underline{2 + 3\lg b}} \]

3. Trekk sammen 3:00 Vi trekker sammen de to første leddene. Minus foran \( \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \) gjelder begge leddene den blir til: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\lg(ab)} - \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \\ &= \textcolor{blue}{\lg a + \lg b} - (\textcolor{red}{\lg a - \lg b}) \\ &= \lg a + \lg b - \lg a + \lg b \\ &= 2\lg b \end{aligned} \]

Legger vi til det siste leddet, får vi: \[ 2\lg b + \textcolor{green}{2 + 3\lg b} = 2 + 5\lg b \]

Vi kan stoppe her, eller samle alt i én logaritme. Går vi baklengs med reglene, er \( {2 = \lg 100} \) og \( {5\lg b = \lg(b^5)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 + 5\lg b &= \lg 100 + \lg(b^5) \\ 2 + 5\lg b &= \lg(100b^5) \end{aligned} \]

Påstanden gjelder alle funksjoner på denne formen, så vi undersøker om telleren kan være \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) der nevneren er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet for vertikal asymptote 0:23 Før vi setter i gang, må vi vite når en brøk har en vertikal asymptote. Det har den i \( {x = d} \) når: \[ \text{nevneren} = 0 \quad \text{og} \quad \text{telleren} \neq 0 \]Nevneren \( {x - d} \) er \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) men ingenting hindrer at telleren også er det.

2. Let etter et moteksempel 0:47 Påstanden sier «alle». Finner vi én funksjon på denne formen som ikke har en vertikal asymptote i \( {x = d}\text{,} \) er påstanden usann. Det kalles et moteksempel.

Vi velger en teller med \( {\textcolor{darkorange}{x - d}} \) som faktor ved å gange nevneren med seg selv, som i andre kvadratsetning: \[ (\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d) = x^2 - 2dx + d^2 \]Hvis du er usikker på kvadratsetningene, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Det står \( 1 \) foran \( x^2\text{,} \) \( {-2d} \) foran \( x\text{,} \) og konstantleddet er \( d^2\text{.} \) Det er formen \( {ax^2 + bx + c} \) med: \[ a = 1, \quad b = -2d, \quad c = d^2 \]

3. Forkort brøken 3:07 Med disse tallene kan vi skrive om funksjonsuttrykket og forkorte \( {\textcolor{darkorange}{x - d}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{x^2 - 2dx + d^2}{x - d} \\ f(x) &= \dfrac{(\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d)}{\textcolor{darkorange}{x - d}} \\ f(x) &= x - d, \quad x \neq d \end{aligned} \]

Dette gir en rett linje med et hull i \( {x = d}\text{,} \) som i eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Når \( x \) nærmer seg \( d\text{,} \) går \( f(x) \) mot \( 0\text{,} \) ikke mot uendelig, så \( {x = d} \) er ingen vertikal asymptote. Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {a = b = c = 0}\text{.} \)

For å finne ut om påstanden stemmer, finner vi den omvendte funksjonen selv og sammenligner. Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er verdimengden til \( g\text{.} \)

1. Løs likningen for x 1:05 For å finne den omvendte funksjonen skriver vi \( {y = e^{x - 3}} \) og løser for \( x\text{.} \) Vi starter med å ta \( \ln \) på begge sider: \[ \ln y = \ln\left(e^{\textcolor{green}{x - 3}}\right) \]

Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( {\textcolor{green}{x - 3}} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln y &= (\textcolor{green}{x - 3}) \cdot \ln e \\ \ln y &= x - 3 \\ x &= \ln y + 3 \end{aligned} \]

2. Finn definisjonsmengden 2:35 Vi kan ikke ta \( \ln \) av \( 0 \) eller av et negativt tall, så \( {y > 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på hvorfor, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det passer med at \( {e^{x - 3}} \) er positiv for alle \( x \) og tar alle positive verdier. Verdimengden til \( g \) blir definisjonsmengden til den omvendte funksjonen: \[ D_{g^{-1}} = V_g = \langle 0, \rightarrow \rangle \]

3. Sammenlign med påstanden 3:00 Vi bytter navn på variabelen og skriver den omvendte funksjonen med \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} g^{-1}(x) &= \ln(x) + 3 \\ D_{g^{-1}} &= \langle 0, \rightarrow \rangle \end{aligned} \]Både uttrykket og definisjonsmengden er det påstanden sier. Påstanden er derfor sann.

Vinkel \( BAC \) er vinkelen mellom vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet av dem.

1. Bruk at skalarproduktet er null 0:55 To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{.} \) Vinkelen i \( A \) er derfor \( 90^\circ \) når: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra A 1:34 En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?. Begge vektorene starter i \( {A(1, -3)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [4 - 1,\ 1 - (-3)] = [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{4}] \\ \overrightarrow{AC} &= [-2 - 1,\ a - (-3)] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{-3}, \textcolor{red}{a + 3}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null 3:19 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{blue}{-3}) + \textcolor{red}{4} \cdot (\textcolor{red}{a + 3}) &= 0 \\ -9 + 4a + 12 &= 0 \\ 4a &= -3 \\ a &= -\dfrac{3}{4} \end{aligned} \]

Vi regner ut lengden av begge vektorene og setter dem like. Det gir en andregradslikning for \( a\text{.} \)

1. Regn ut begge lengdene 0:12 Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Vektorene fra \( A \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( A \) fra koordinatene til sluttpunktet: \( {\overrightarrow{AB} = [3, 4]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [-3, a + 3]}\text{.} \) Siden \( {(a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{(-3)^2 + (a + 3)^2} \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{a^2 + 6a + 18} \end{aligned} \]

2. Sett lengdene like 2:55 Med \( {|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|} \) får vi: \[ \sqrt{a^2 + 6a + 18} = 5 \]

Begge sider er positive, så vi kan kvadrere begge sider: \[ \begin{aligned} a^2 + 6a + 18 &= 25 \\ a^2 + 6a - 7 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs med abc-formelen 4:00 Bokstaven \( a \) er den ukjente her, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}a^2 + \textcolor{red}{q}a + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ a = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{6}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-7}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-\textcolor{red}{6} \pm \sqrt{\textcolor{red}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-7})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ a &= \dfrac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{-6 \pm 8}{2} \end{aligned} \]

Det gir to løsninger: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-6 + 8}{2} = 1 \\ a &= \dfrac{-6 - 8}{2} = -7 \end{aligned} \]