Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser at funksjonen består av tre ledd. Vi deriverer dem derfor ledd for ledd, og brøken med kvotientregelen.

1. Deriver de to første leddene 0:15 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( \textcolor{green}{3x^2} \) derivert blir derfor \( {3 \cdot 2x = \textcolor{green}{\underline{6x}}}\text{.} \)

\( {-5} \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.

2. Deriver brøken med kvotientregelen 0:45 For å derivere \( {\dfrac{3}{x - 2}} \) bruker vi kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Telleren \( 3 \) er en konstant, så den har derivert \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{3}{x - 2}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x - 2}) - \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x - 2})^2} \\ \left(\dfrac{3}{x - 2}\right)' &= \textcolor{darkorange}{\underline{-\dfrac{3}{(x - 2)^2}}} \end{aligned} \]

3. Slå sammen leddene 2:18 Slår vi dette sammen, får vi: \[ g'(x) = \textcolor{green}{6x} + 0 \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{3}{(x - 2)^2}} \]

Vi ser at funksjonen består av to ledd. Vi deriverer dem ledd for ledd, og begge med kjerneregelen.

1. Deriver potensen med kjerneregelen 0:17 Å gange ut \( {(3x + 2)^3} \) blir tungvint, så vi bruker kjerneregelen. Den forteller oss at vi deriverer den ytre funksjonen og ganger med den deriverte av kjernen \( \textcolor{green}{u}\text{:} \) \[ \left(\textcolor{green}{u}^3\right)' = 3\textcolor{green}{u}^2 \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x + 2} \qquad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \left((3x + 2)^3\right)' &= 3(\textcolor{green}{3x + 2})^2 \cdot \textcolor{green}{3} \\ \left((3x + 2)^3\right)' &= \textcolor{blue}{\underline{9(3x + 2)^2}} \end{aligned} \]

2. Deriver ln-leddet 2:51 For \( \ln \) av en kjerne gir kjerneregelen: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \left(\ln(3x)\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3x}} \cdot \textcolor{green}{3} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{x}}} \]

3. Slå sammen leddene 3:43 \( \ln(3x) \) er bare definert når \( {3x > 0}\text{,} \) altså for \( {x > 0}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ h'(x) = \textcolor{blue}{9(3x + 2)^2} \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{x}} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:21 Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) = 0 \]Da må \( \textcolor{red}{e^x} \) eller \( {\textcolor{blue}{6 - e^x}} \) være \( 0\text{.} \)

\( \textcolor{red}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 1:12 Setter vi \( {\textcolor{blue}{6 - e^x} = 0}\text{,} \) får vi: \[ e^x = 6 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) = \ln 6 \]

Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 6 \\ x &= \ln 6 \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Deriver med produktregelen 0:28 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x} \) og konstanten \( 6 \) har derivert \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{6 - e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^x}) \]

2. Faktoriser 2:05 Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) og trekker sammen det som står i parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - e^x - e^x) \\ f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - 2e^x) \end{aligned} \]

Vi kan faktorisere ut \( 2 \) også, siden \( {6 = 2 \cdot 3}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = 2\textcolor{darkorange}{e^x}(3 - e^x) \]Det er uttrykket i oppgaven.

Vi bruker nullpunktet fra a), og uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Om det er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av funksjonsverdiene på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:16 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{3 - e^x}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Derfor må \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 2:07 Vi flytter \( e^x \) over til høyre side: \[ e^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser og \( {\ln e = 1} \) gir \( {\ln\left(e^x\right) = x \cdot \ln e = x}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^x\right) &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

3. Finn y-koordinaten 2:52 For å finne koordinatene plugger vi \( {x = \ln 3} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Siden \( {\textcolor{green}{e^{\ln 3}} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f(\ln 3) &= \textcolor{green}{e^{\ln 3}}(6 - \textcolor{green}{e^{\ln 3}}) \\ f(\ln 3) &= \textcolor{green}{3} \cdot (6 - \textcolor{green}{3}) = 9 \end{aligned} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 4:15 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \ln 3}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = 0} \) og nullpunktet \( {x = \ln 6} \) fra a): \[ f(0) = e^0(6 - e^0) = 1 \cdot 5 = 5 \]

Siden \( \ln \) er voksende, er \( {0 = \ln 1 < \ln 3 < \ln 6}\text{,} \) og \( {f(\ln 6) = 0}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \ln 3 & \ln 6 \\ \hline f(x) & 5 & 9 & 0 \end{array} \]

Grafen går opp fra \( 5 \) til \( 9 \) og ned igjen til \( 0\text{.} \) Punktet \( (\ln 3,\ 9) \) er derfor et toppunkt, og siden grafen bare snur der, har den ingen bunnpunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Siden \( {\textcolor{darkorange}{2e^x} > 0}\text{,} \) har \( f'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x}}\text{:} \) positiv når \( {x < \ln 3} \) og negativ når \( {x > \ln 3}\text{.} \) :::fortegnsskjema {"points": [1.0986122886681098], "labels": ["\\ln 3"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{3 - e^x}", "expr": "3 - e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(3 - e^x)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \ln 3} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så \( (\ln 3,\ 9) \) er et toppunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Vi tar for oss uttrykkene hver for seg, og finner verdien, eller to tall den ligger mellom. Så sorterer vi dem.

1. Regn ut de to første uttrykkene 0:25 Fra definisjonen av logaritmer vet vi at \( \log_a b \) er tallet vi må opphøye grunntallet \( a \) i for å få \( b\text{:} \) \[ \log_a b = c \quad \text{betyr at} \quad a^c = b \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

\( \textcolor{blue}{\log_2 8}\text{:} \) Her holder det med hoderegning, siden \( {2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\underline{\log_2 8 = 3}} \]

\( \textcolor{red}{e^{3\ln 1}}\text{:} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) siden \( {e^0 = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} = e^{3 \cdot 0} = e^0 = \textcolor{red}{\underline{1}} \]

2. Avgrens de to siste uttrykkene 1:49 \( \textcolor{green}{\lg 7}\text{:} \) Når det ikke står noe grunntall, er grunntallet \( 10\text{.} \) Her bruker vi litt logikk: logaritmen er voksende, og \( {1 < 7 < 10}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{\underline{0 = \lg 1 < \lg 7 < \lg 10 = 1}} \]

\( \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}}\text{:} \) Vi regner ut potensen under roten, \( {3^3 = 27}\text{.} \) Fjerderoten av \( 27 \) er tallet \( c \) der \( {c \cdot c \cdot c \cdot c = 27}\text{.} \) Siden \( {2^4 = 16} \) og \( {3^4 = 81}\text{,} \) og \( {16 < 27 < 81}\text{,} \) er: \[ \textcolor{darkorange}{\underline{2 = \sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{3^3} < \sqrt[4]{81} = 3}} \]

3. Sorter verdiene 4:27 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\lg 7} &< 1 = \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} \\ \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} &< 2 < \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}} \\ \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}} &< 3 = \textcolor{blue}{\log_2 8} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd så enkelt som mulig med logaritmereglene, og trekker sammen.

1. Skriv opp logaritmereglene 0:14 Uttrykket i oppgaven er bare definert når \( {a > 0} \) og \( {b > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a \cdot b) &= \lg a + \lg b \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \\ \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Skriv om ledd for ledd 0:49 \( \textcolor{blue}{\lg(ab)} \) kan vi skrive om som \( {\textcolor{blue}{\underline{\lg a + \lg b}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \) kan vi skrive om som \( {\textcolor{red}{\underline{\lg a - \lg b}}}\text{.} \)

\( \textcolor{green}{\lg(100b^3)} \) kan vi skrive om som \( {\lg 100 + \lg(b^3)}\text{.} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\lg 100 = 2}\text{,} \) siden \( {10^2 = 100}\text{,} \) og med den siste regelen er \( {\lg(b^3) = 3\lg b}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\lg(100b^3)} = \textcolor{green}{\underline{2 + 3\lg b}} \]

3. Trekk sammen 3:00 Vi trekker sammen de to første leddene. Minus foran \( \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \) gjelder begge leddene den blir til: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\lg(ab)} - \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \\ &= \textcolor{blue}{\lg a + \lg b} - (\textcolor{red}{\lg a - \lg b}) \\ &= \lg a + \lg b - \lg a + \lg b \\ &= 2\lg b \end{aligned} \]

Legger vi til det siste leddet, får vi: \[ 2\lg b + \textcolor{green}{2 + 3\lg b} = 2 + 5\lg b \]

Vi kan stoppe her, eller samle alt i én logaritme. Går vi baklengs med reglene, er \( {2 = \lg 100} \) og \( {5\lg b = \lg(b^5)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 + 5\lg b &= \lg 100 + \lg(b^5) \\ 2 + 5\lg b &= \lg(100b^5) \end{aligned} \]

Påstanden gjelder alle funksjoner på denne formen, så vi undersøker om telleren kan være \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) der nevneren er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet for vertikal asymptote 0:23 Før vi setter i gang, må vi vite når en brøk har en vertikal asymptote. Det har den i \( {x = d} \) når: \[ \text{nevneren} = 0 \quad \text{og} \quad \text{telleren} \neq 0 \]Nevneren \( {x - d} \) er \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) men ingenting hindrer at telleren også er det.

2. Let etter et moteksempel 0:47 Påstanden sier «alle». Finner vi én funksjon på denne formen som ikke har en vertikal asymptote i \( {x = d}\text{,} \) er påstanden usann. Det kalles et moteksempel.

Vi velger en teller med \( {\textcolor{darkorange}{x - d}} \) som faktor ved å gange nevneren med seg selv, som i andre kvadratsetning: \[ (\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d) = x^2 - 2dx + d^2 \]Hvis du er usikker på kvadratsetningene, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Det står \( 1 \) foran \( x^2\text{,} \) \( {-2d} \) foran \( x\text{,} \) og konstantleddet er \( d^2\text{.} \) Det er formen \( {ax^2 + bx + c} \) med: \[ a = 1, \quad b = -2d, \quad c = d^2 \]

3. Forkort brøken 3:07 Med disse tallene kan vi skrive om funksjonsuttrykket og forkorte \( {\textcolor{darkorange}{x - d}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{x^2 - 2dx + d^2}{x - d} \\ f(x) &= \dfrac{(\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d)}{\textcolor{darkorange}{x - d}} \\ f(x) &= x - d, \quad x \neq d \end{aligned} \]

Dette gir en rett linje med et hull i \( {x = d}\text{,} \) som i eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Når \( x \) nærmer seg \( d\text{,} \) går \( f(x) \) mot \( 0\text{,} \) ikke mot uendelig, så \( {x = d} \) er ingen vertikal asymptote. Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {a = b = c = 0}\text{.} \)

En arbeidsgruppe er bare hvem som er med, uten rekkefølge. Vi teller hvor mange grupper det kan bli med 4 og med 3 medlemmer, og sammenligner.

1. Skriv opp hvordan vi teller grupper Velger vi medlemmene én om gangen, er det \( 7 \) muligheter for den første, \( 6 \) for den andre og så videre. Da teller vi hver gruppe én gang for hver rekkefølge medlemmene kan velges i, så vi deler på antall rekkefølger. Det er binomialkoeffisienten: \[ \binom{n}{k} = \dfrac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k(k - 1) \cdots 1} \]

2. Tell gruppene av begge størrelser Her er \( {n = 7} \) medlemmer å velge blant, og vi velger \( {\textcolor{blue}{k = 4}} \) eller \( {\textcolor{red}{k = 3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\binom{7}{4}} &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{840}{24} = 35 \\ \textcolor{red}{\binom{7}{3}} &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{210}{6} = 35 \end{aligned} \]

Det er altså like mange grupper med 4 som med 3 medlemmer. Det er ikke tilfeldig: å velge de 4 som skal være med, er det samme som å velge de 3 som ikke skal være med. Påstanden er derfor usann.

Den gjennomsnittlige vekstfarten er stigningstallet til linja gjennom grafen i \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Vi leser av funksjonsverdiene i figuren.

1. Les av funksjonsverdiene Grafen går gjennom rutepunktene \( (0, 4) \) og \( {(3,\ -0{,}5)}\text{:} \) \[ f(0) = 4 \qquad f(3) = -0{,}5 \]

2. Regn ut stigningstallet Den gjennomsnittlige vekstfarten fra \( {x = a} \) til \( {x = b} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) altså stigningstallet til den blå linja, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x}} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Med \( {a = 0} \) og \( {b = 3} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} &= \dfrac{-0{,}5 - 4}{3} \\ \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} &= \dfrac{-4{,}5}{3} = \textcolor{blue}{-1{,}5} \end{aligned} \]I gjennomsnitt synker \( f \) med \( 1{,}5 \) for hver enhet \( x \) øker.

Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten i punktet. Vi tegner tangentene i \( {x = 0} \) og \( {x = 3} \) og leser av stigningstallene.

1. Tegn tangentene Tangenten er linja som berører grafen i punktet. Tar vi en linje gjennom punktet og et annet punkt på grafen, og lar det andre punktet gli mot punktet, blir linja til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Stigningstallet til tangenten er den deriverte, og det er den momentane vekstfarten.

2. Les av stigningstallene I \( {x = 0} \) har grafen et toppunkt i \( (0, 4)\text{.} \) Der er tangenten vannrett, den røde linja, så: \[ \textcolor{red}{f'(0) = 0} \]

I \( {x = 3} \) går den blå tangenten gjennom \( {(3,\ -0{,}5)} \) og \( (5,\ 2{,}5)\text{.} \) Den går 2 bortover og 3 opp: \[ \textcolor{blue}{f'(3)} \approx \dfrac{2{,}5 - (-0{,}5)}{5 - 3} = \dfrac{3}{2} = \textcolor{blue}{1{,}5} \]En tangent tegnet for hånd blir aldri helt nøyaktig, så svar nær \( 1{,}5 \) er også riktige.

Hver oppgave blir riktig med sannsynlighet \( \dfrac{1}{3} \) og feil med \( \dfrac{2}{3}\text{,} \) uavhengig av de andre. Vi regner ut én rekkefølge med ett riktig svar, og ganger med antall rekkefølger.

1. Regn ut én rekkefølge Ole velger ett av tre alternativer, og ett av dem er riktig: \[ P(\text{riktig}) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \qquad P(\text{feil}) = \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \]

Valgene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene for hver oppgave, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B) \]

Riktig på den første oppgaven og feil på de to andre gir: \[ P(\text{RFF}) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{4}{27} \]

2. Tell rekkefølgene Det ene riktige svaret kan være på oppgave 1, 2 eller 3, altså RFF, FRF eller FFR. Alle tre har sannsynligheten \( \dfrac{4}{27}\text{,} \) så vi legger sammen: \[ 3 \cdot \dfrac{4}{27} = \dfrac{12}{27} = \dfrac{4}{9} \]Det er binomisk sannsynlighet med \( {n = 3} \) forsøk og \( {p = \dfrac{1}{3}}\text{.} \)

Vi finner hvor mange elever som har valgt minst ett av fagene. Resten har valgt verken tysk eller S1.

1. Tell elevene med minst ett fag Legger vi sammen de \( \textcolor{blue}{8} \) som har tysk og de \( \textcolor{red}{10} \) som har S1, teller vi de \( \textcolor{darkorange}{3} \) som har begge fagene, to ganger. Vi trekker dem derfor fra én gang: \[ \textcolor{blue}{8} + \textcolor{red}{10} - \textcolor{darkorange}{3} = 15 \]Altså har 15 elever valgt tysk, S1 eller begge.

2. Regn ut sannsynligheten Da har \( {20 - 15 = 5} \) elever valgt verken tysk eller S1. Hver elev har samme sannsynlighet for å bli valgt, så: \[ P = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} \]

Her er 5 elever gunstige og 20 mulige: \[ P(\text{verken tysk eller S1}) = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} \]

Når vi vet hvilke to som sover på tomannsrommet, sover de tre andre på tremannsrommet. Vi teller derfor hvor mange måter vi kan velge 2 av de 5 jentene på.

1. Tell parene til tomannsrommet Den første plassen på tomannsrommet kan gå til \( 5 \) jenter, og den andre til de \( 4 \) som er igjen. Antall måter å fylle plassene på er: \[ 5 \cdot 4 = 20 \]

Men vi bryr oss ikke om hvem som tar hvilken plass, så hvert par er telt \( \textcolor{blue}{2} \) ganger. Vi deler derfor på \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \) Det er binomialkoeffisienten \( \binom{5}{2}\text{,} \) «5 over 2»: \[ \binom{5}{2} = \dfrac{5 \cdot 4}{\textcolor{blue}{2} \cdot 1} = 10 \]

Anastasia velger det rommet der det er minst sannsynlig at Elena havner. Vi regner ut sannsynligheten for begge valgene og tar den minste.

1. Regn ut sannsynligheten for hvert rom Når Anastasia har valgt, trekker de fire andre om de fire ledige plassene, så Elena kan få hver av dem med samme sannsynlighet. Sannsynligheten for at Elena havner på samme rom som Anastasia, er derfor: \[ P = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} \]

Velger Anastasia \( \textcolor{blue}{\text{tomannsrommet}}\text{,} \) er \( 1 \) av de \( 4 \) ledige plassene der: \[ \textcolor{blue}{P(\text{samme rom}) = \dfrac{1}{4}} \]

Velger hun \( \textcolor{red}{\text{tremannsrommet}}\text{,} \) er \( 2 \) av de \( 4 \) ledige plassene der: \[ \textcolor{red}{P(\text{samme rom}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}} \]

2. Velg det minste Siden \( {\textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} < \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) velger Anastasia tomannsrommet. Da er sannsynligheten \( \dfrac{1}{4} \) for at hun må sove på samme rom som Elena.

Vi bryr oss bare om hvem som sover sammen. Vi finner derfor gruppestørrelsene som får plass i rommene, teller hver av dem for seg og legger sammen.

1. Finn gruppestørrelsene Det er 7 plasser til 5 jenter, så noen plasser blir tomme. Ingen gruppe kan ha mer enn 3 jenter, og det er bare tre rom, så de fem jentene kan deles i grupper på: \[ \textcolor{blue}{3 + 2} \qquad \textcolor{red}{3 + 1 + 1} \qquad \textcolor{green}{2 + 2 + 1} \]

2. Tell hver oppdeling for seg \( {\textcolor{blue}{3 + 2}}\text{:} \) Vi velger de 3 som sover sammen, og de 2 andre sover sammen. Det er antall måter å velge 3 av 5 på: \[ \binom{5}{3} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \textcolor{blue}{\underline{10}} \]

\( {\textcolor{red}{3 + 1 + 1}}\text{:} \) Vi velger de 3 som sover sammen, og de 2 andre sover alene. Det er igjen antall måter å velge 3 av 5 på: \[ \binom{5}{3} = \textcolor{red}{\underline{10}} \]

\( {\textcolor{green}{2 + 2 + 1}}\text{:} \) Vi velger hvem som sover alene, på 5 måter. Av de 4 andre kan den første sove sammen med 3 ulike, og da er det andre paret gitt: \[ 5 \cdot 3 = \textcolor{green}{\underline{15}} \]

3. Legg sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{blue}{10} + \textcolor{red}{10} + \textcolor{green}{15} = 35 \]

Formen i oppgaven er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre potensregresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver radiusen i kolonne A og volumet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør potensregresjon Potensregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = RegPot(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ V(x) = \textcolor{red}{a} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{31{,}9554}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{2{,}0968}}\text{.} \)

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Runder vi \( b \) av til \( 2{,}1\text{,} \) blir svaret i b) omtrent \( 308 \) i stedet for \( 307\text{,} \) og økningen i c) omtrent \( 329\,\% \) i stedet for \( 328\,\%\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( V'(4) \) er hvor fort volumet vokser når radien er \( 4 \) cm. Vi deriverer modellen med potensregelen og setter inn \( {x = 4}\text{.} \)

1. Deriver modellen I a) fant vi modellen: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt.

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^{\textcolor{blue}{n}})' = \textcolor{blue}{n} \cdot x^{\textcolor{blue}{n} - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{b}}\text{.} \) Konstanten \( \textcolor{red}{a} \) står ganget med potensen, så den blir stående: \[ V'(x) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot x^{\textcolor{blue}{b} - 1} \]

2. Sett inn tallene Plugger vi inn tallene fra svaret i a), får vi: \[ \begin{aligned} V'(4) &\approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot \textcolor{blue}{2{,}097} \cdot 4^{\textcolor{blue}{2{,}097} - 1} \\ V'(4) &\approx 306{,}7 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Radien \( x \) er i cm og volumet i mL, så \( V'(4) \) er i mL per cm. Når radien er \( 4 \) cm, øker volumet med omtrent \( 307 \) mL for hver centimeter radien øker.

1. Regn ut den deriverte I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}9554} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}0968}} \]Vi skriver den deriverte i \( {x = 4} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d = V'(4)

GeoGebra gir \( {V'(4) \approx 306{,}5292}\text{,} \) altså omtrent \( 307 \) mL per cm.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter inn \( 2x \) i stedet for \( x \) i modellen og sammenligner med \( V(x)\text{.} \) Svaret blir det samme for alle radier.

1. Sett inn den doble radien I a) fant vi modellen: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt. Med radien \( 2x \) blir volumet \( {V(2x) = \textcolor{red}{a} \cdot (2x)^{\textcolor{blue}{b}}}\text{.} \)

En potens av et produkt er produktet av potensene: \[ (2 \cdot x)^{\textcolor{blue}{b}} = 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} V(2x) &= 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \\ V(2x) &= 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot V(x) \end{aligned} \]

2. Regn ut faktoren Med \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{2{,}097}} \) fra svaret i a) gir kalkulatoren: \[ 2^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \approx 4{,}28 \]Volumet blir altså omtrent \( 4{,}28 \) ganger så stort. Det øker med \( {4{,}28 - 1 = 3{,}28} \) ganger det første volumet, altså med omtrent \( 328\,\%\text{.} \)

1. Forenkle forholdet i CAS I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}9554} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}0968}} \]

Vi lar CAS forenkle \( \dfrac{V(2x)}{V(x)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Forenkle(V(2x)/V(x))

CAS gir \( 4{,}2777\text{,} \) uten noen \( x\text{.} \) Volumet blir omtrent \( 4{,}28 \) ganger så stort, uansett radius, og øker med omtrent \( 328\,\%\text{.} \)

Søkerne trekkes uten tilbakelegging fra 80 søkere, der 66 er 16 år eller eldre. Antallet av dem blant de 10 som trekkes, er derfor hypergeometrisk fordelt.

1. Sett opp modellen Av de 80 søkerne er \( {80 - 14 = \textcolor{blue}{66}} \) søkere 16 år eller eldre. Vi kaller antallet av dem blant de 10 som trekkes, for \( X\text{.} \)

I videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 er sannsynligheten den samme hver gang, og da er fordelingen binomisk. Her kan den samme søkeren ikke trekkes to ganger, så sannsynligheten endrer seg litt for hver søker, og \( X \) er hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{10 - k}}{\binom{80}{10}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de \( \textcolor{blue}{66} \) og \( {10 - k} \) av de \( \textcolor{red}{14} \) under 16 år på. Nevneren er antall måter å velge 10 av alle 80 på.

2. Legg sammen 8, 9 og 10 «Minst 8» betyr 8, 9 eller 10. Med knappen nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} P(X = 8) &= \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{8} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{2}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}3174 \\ P(X = 9) &= \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{9} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{1}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}3147 \\ P(X = 10) &= \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{10} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{0}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}1281 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 8) \approx 0{,}7603 \]

1. Regn ut i CAS Vi bruker at \[ P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7) \]FordelingHypergeometrisk med populasjonen 80, antall treff 66, utvalget 10 og true til slutt gir \( {P(X \le 7)}\text{.} \) Vi regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(80, 66, 10, 7, true)

CAS gir \( {P(X \ge 8) \approx 0{,}7603}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, med hypergeometrisk fordeling, gir det samme.

Nå er antallet som intervjues, \( n\text{,} \) ukjent. Vi tester verdier av \( n \) til sannsynligheten for minst 10 søkere som er 16 år eller eldre, blir minst \( 0{,}90\text{.} \)

1. Sett opp kravet Med \( n \) søkere er \( X \) hypergeometrisk fordelt som i a), med \( n \) i stedet for 10: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{n - k}}{\binom{80}{n}} \]

Vi skal finne den minste \( n \) der: \[ P(X \ge 10) \ge 0{,}90 \]Jo flere som intervjues, jo større blir sannsynligheten, så vi tester oss fram ved å endre \( n\text{,} \) som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

2. Test 13 og 14 søkere I snitt er \( 82{,}5\,\% \) av søkerne 16 år eller eldre (66 av 80), så med 12 søkere venter vi bare \( {12 \cdot 0{,}825 = 9{,}9} \) av dem. Vi starter derfor med \( {n = 13}\text{,} \) der «10 eller flere» betyr 10, 11, 12 eller 13. Vi regner ut de fire leddene med nCr og legger sammen med alle desimalene: \[ \begin{aligned} P(X \ge 10) &\approx 0{,}2437 + 0{,}3102 \\ &\quad + 0{,}2187 + 0{,}0649 \\ &\approx 0{,}837 \end{aligned} \]

Med \( {n = 14} \) betyr det 10, 11, 12, 13 eller 14: \[ \begin{aligned} P(X \ge 10) &\approx 0{,}1400 + 0{,}2592 \\ &\quad + 0{,}2970 + 0{,}1898 \\ &\quad + 0{,}0513 \\ &\approx 0{,}937 \end{aligned} \]Med 13 søkere er sannsynligheten under \( 0{,}90\text{,} \) og med 14 er den over.

1. Test n i CAS Vi bruker at \[ P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \]og regner ut for \( {n = 13} \) og \( {n = 14} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(80, 66, 13, 9, true) 1 - FordelingHypergeometrisk(80, 66, 14, 9, true)

CAS gir \( 0{,}8374 \) for \( {n = 13} \) og \( 0{,}9375 \) for \( {n = 14}\text{.} \) Ledelsen må altså intervjue minst 14 søkere.