Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

301 oppgaver · viser 211–220

Oppgavene

1P vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

For å regne ut bremselengder på sommerføre kan vi bruke formelen
B=x22 B = \dfrac{x^2}{2}
Her er B B bremselengde (meter), og x x er fart (km/h) delt på 10.
På nettsidene til Viking Redningstjeneste står det at en bil som kjører i 70 km/h, 70\,\text{km/h}\text{,} har en bremselengde på 24,5 24{,}5 meter.

Oppgave 4a)

Vis hvordan Viking Redningstjeneste kan ha regnet ut denne bremselengden.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Farten delt på 10 er x=7, {x = 7}\text{,} og formelen gir:
B=722=24,5 meter‾‾ \underline{\underline{B = \dfrac{7^2}{2} = 24{,}5 \text{ meter}}}
Vi gjør om farten til \( x \) ved å dele på 10, og setter inn i formelen.
1. Finn x Farten er \( 70\,\text{km/h}\text{,} \) og \( x \) er farten delt på 10: \[ x = \dfrac{70}{10} = \textcolor{blue}{7} \]
2. Sett inn i formelen Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{7}} \) i \( {B = \dfrac{x^2}{2}}\text{:} \) \[ B = \dfrac{\textcolor{blue}{7}^2}{2} = \dfrac{49}{2} = 24{,}5 \]Det er de \( 24{,}5 \) meterne Viking Redningstjeneste oppgir.

Oppgave 4b)

Hvor fort kjører en bil som har en bremselengde på 40,5 40{,}5 meter?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Bilen kjører i 90 km/h‾‾ \underline{\underline{\text{Bilen kjører i } 90\,\text{km/h}}}
Nå kjenner vi bremselengden og skal finne farten. Vi setter \( {B = 40{,}5}\text{,} \) løser likningen for \( x \) og ganger med 10.
1. Sett opp likningen Vi setter \( {B = 40{,}5} \) inn i formelen: \[ \dfrac{x^2}{2} = 40{,}5 \]
Vi ganger med \( 2 \) på begge sider: \[ x^2 = 81 \]
2. Ta kvadratroten Vi tar kvadratroten på begge sider, som i det første eksempelet i videoen Pytagoras setning. Farten er positiv, så vi bruker den positive roten: \[ x = \sqrt{81} = \textcolor{blue}{9} \]
Farten i km/h er \( x \) ganget med 10: \[ \textcolor{blue}{9} \cdot 10 = 90 \]
Kontroll: \( {\dfrac{9^2}{2} = \dfrac{81}{2} = 40{,}5}\text{,} \) som i oppgaven.

1P vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.
Solgte bagetterOverskudd(kroner)1001450130230016030501753365190372022041402354175 \begin{array}{r|r} \text{Solgte bagetter} & \text{Overskudd} \\ & \text{(kroner)} \\ \hline 100 & 1450 \\ 130 & 2300 \\ 160 & 3050 \\ 175 & 3365 \\ 190 & 3720 \\ 220 & 4140 \\ 235 & 4175 \end{array}

Oppgave 1a)

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen O O gitt ved
O(x)=−0,09x2+51,04x−2776,98 \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned}
er en god modell for hvor stort overskuddet en uke blir når kantinen produserer og selger x x bagetter i løpet av uken.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Modellen avviker med mindre enn 2 % fra overskuddet i tabellen, og andregradsregresjon gir O(x) O(x) når vi runder av til to desimaler:
O er en god modell‾‾ \underline{\underline{O \text{ er en god modell}}}
Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( O(x) \) for antallene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi andregradsregresjon på punktene.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut modellverdiene For \( 100 \) bagetter er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]
Slik regner vi ut \( \textcolor{blue}{O(x)} \) for alle sju antallene, avrundet til hele kroner, og setter dem ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{blue}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{blue}{1427} \\ 130 & 2300 & \textcolor{blue}{2337} \\ 160 & 3050 & \textcolor{blue}{3085} \\ 175 & 3365 & \textcolor{blue}{3399} \\ 190 & 3720 & \textcolor{blue}{3672} \\ 220 & 4140 & \textcolor{blue}{4096} \\ 235 & 4175 & \textcolor{blue}{4247} \end{array} \]
2. Vurder modellen Modellverdiene bommer med høyst \( 72 \) kroner, ved \( 235 \) bagetter, og det er under \( 2\,\% \) av overskuddet. Modellen følger tabellen godt for alle de sju ukene, så \( O \) er en god modell.
Metode: Med GeoGebra
1. Bruk andregradsregresjon Andregradsregresjon finner den andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig. Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 2\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)
GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}0903}x^2 + \textcolor{red}{51{,}0367}x \\ &\quad \textcolor{green}{{}- 2776{,}9766} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler blir \( {\textcolor{blue}{-0{,}0903}} \) til \( {\textcolor{blue}{-0{,}09}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}0367} \) til \( \textcolor{red}{51{,}04} \) og \( {\textcolor{green}{-2776{,}9766}} \) til \( {\textcolor{green}{-2776{,}98}}\text{.} \) Det er akkurat \( O(x)\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( O \) en god modell.

Oppgave 1b)

Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke, ifølge modellen O, O\text{,} for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir dette overskuddet?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til hele bagetter og hele kroner:
284 bagetter‾‾Overskudd omtrent 4459 kr‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{284 \text{ bagetter}}} \\ &\underline{\underline{\text{Overskudd omtrent } 4459 \text{ kr}}} \end{aligned}
Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).
Vi leter etter antallet bagetter der \( O(x) \) er størst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi toppunktet på grafen.
Metode: Med kalkulator
1. Lag en grov verditabell Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]
Tabellen i oppgaven viser at overskuddet fortsatt øker ved \( 235 \) bagetter. Vi regner derfor ut \( O(x) \) med kalkulatoren for hver tiende bagett fra \( 250\text{.} \) For eksempel er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{280}^2 = -7056} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{280} = 14\,291{,}2}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{280}) &= -7056 + 14\,291{,}2 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= 4458{,}22 \end{aligned} \]
Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 250 & 4358{,}02 \\ 260 & 4409{,}42 \\ 270 & 4442{,}82 \\ \textcolor{red}{280} & \textcolor{red}{4458{,}22} \\ 290 & 4455{,}62 \\ 300 & 4435{,}02 \\ 310 & 4396{,}42 \end{array} \]Overskuddet øker fram til \( \textcolor{red}{280} \) bagetter og synker etterpå. \( O(290) \) er nesten like stor som \( O(280)\text{,} \) mens \( O(270) \) er tydelig mindre, så toppen ligger mellom \( 280 \) og \( 290\text{.} \)
2. Lag en finere tabell Vi regner ut \( O(x) \) for hver bagett mellom \( 280 \) og \( 290\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 281 & 4458{,}77 \\ 282 & 4459{,}14 \\ 283 & 4459{,}33 \\ \textcolor{red}{284} & \textcolor{red}{4459{,}34} \\ 285 & 4459{,}17 \\ 286 & 4458{,}82 \\ 287 & 4458{,}29 \\ 288 & 4457{,}58 \\ 289 & 4456{,}69 \end{array} \]Det største overskuddet er ved \( \textcolor{red}{284} \) bagetter, og da er det omtrent \( \textcolor{red}{4459} \) kroner.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet på grafen Vi skriver inn \( O \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Maks(O, 0, 500)
Toppunktet er \( {T \approx (283{,}56,\ 4459{,}36)}\text{.} \) Kantinen selger hele bagetter, og nærmest \( 283{,}56 \) er \( 284 \) bagetter. Overskuddet er da omtrent \( 4459 \) kroner.

Oppgave 1c)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (100,O(100)) (100, O(100)) og (200,O(200)). (200, O(200))\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Fra 100 til 200 bagetter i uka øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett:
Stigningstallet er 24,04‾‾ \underline{\underline{\text{Stigningstallet er } 24{,}04}}
Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).
Stigningstallet er endringen i \( O \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200)\text{,} \) og deler forskjellen på de 100 bagettene mellom dem.
Metode: For hånd
1. Regn ut de to verdiene Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]
For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]
For \( {x = 200} \) er \( {-0{,}09 \cdot 200^2 = -3600} \) og \( {51{,}04 \cdot 200 = 10\,208}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{O(200)} &= -3600 + 10\,208 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]
2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{O(200)} - \textcolor{blue}{O(100)}}{200 - 100} \]
Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{200 - 100} \\ &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]
3. Tolk svaret \( O(x) \) er overskuddet i kroner og \( x \) antall bagetter, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med \( 24{,}04 \) kroner for hver ekstra bagett.

1P vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

4 poeng

Oppgave a) og oppgave b) nedenfor skal du løse på to ulike måter.
Du skal løse hver av deloppgavene 1) ved å gjøre beregninger 2) grafisk
For fem år siden satte Gaute inn sparepengene sine på en konto med en fast rente på 3,25 % 3{,}25\,\% per år. I dag står det litt over 105 607 105\,607 kroner på kontoen.

Oppgave 2a)

Hvor mye vil det være på kontoen om fem år?
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Begge måtene gir at det om fem år står, avrundet til hele kroner:
Omtrent 123 920 kroner‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 123\,920 \text{ kroner}}}
Oppgaven ber om to måter. Vi regner ut beløpet om fem år med vekstfaktoren, og vi leser det av grafen til beløpet.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut beløpet Den første måten er å regne. Renten er \( 3{,}25\,\% \) per år. For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er \( {V = 1 + 0{,}0325 = \textcolor{red}{1{,}0325}}\text{.} \) Om fem år er beløpet i dag ganget med vekstfaktoren fem ganger, som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^5 \approx 123\,920{,}46 \]
2. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Vi lar \( x \) være antall år fra i dag, så beløpet er \( {K(x) = \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^x}\text{.} \) Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele kroner: \[ \begin{array}{r|r} x & K(x) \\ \hline 0 & 105\,607 \\ 1 & 109\,039 \\ 2 & 112\,583 \\ 3 & 116\,242 \\ 4 & 120\,020 \\ 5 & 123\,920 \end{array} \]
Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:
Ved \( {x = 5} \) leser vi av omtrent \( 124\,000 \) kroner, det samme som utregningen.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut og les av grafen Vi lar \( x \) være antall år fra i dag og skriver inn \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(5)\text{,} \) og finner punktet på grafen der \( {x = 5} \) med Skjæring mellom grafen og linja \( {x = 5}\text{,} \) som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 105607*1.0325^x s = K(5) g: x = 5 A = Skjæring(K, g)
Regningen gir \( {s \approx 123\,920{,}46}\text{,} \) og grafen og linja møtes i \( {A \approx (5,\ 123\,920{,}46)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Oppgave 2b)

Hvor mye satte Gaute inn på kontoen for fem år siden?
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Begge måtene gir at Gaute satte inn:
90 000 kroner‾‾ \underline{\underline{90\,000 \text{ kroner}}}
Nå går vi fem år tilbake. Vi deler beløpet i dag på vekstfaktoren fem ganger, og vi leser det av grafen til beløpet fem år før i dag.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut innskuddet Den første måten er å regne. Renten på \( 3{,}25\,\% \) gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}0325 = \textcolor{red}{1{,}0325}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Vi kaller beløpet Gaute satte inn, for \( S\text{.} \) Etter fem år har det blitt beløpet i dag, som i videoen Vekstfaktor: \[ S \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^5 = \textcolor{blue}{105\,607} \]
Vi deler med \( \textcolor{red}{1{,}0325}^5 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{105\,607}}{\textcolor{red}{1{,}0325}^5} \\ S &\approx 89\,999{,}98 \end{aligned} \]Det står litt over \( 105\,607 \) kroner på kontoen i dag, så Gaute satte inn \( 90\,000 \) kroner.
Kontroll: \( {90\,000 \cdot 1{,}0325^5} \) er omtrent \( 105\,607{,}03\text{,} \) altså litt over \( 105\,607 \) kroner.
2. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Vi lar \( x \) være antall år fra i dag, så beløpet er \( {K(x) = \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^x}\text{,} \) og fem år siden er \( {x = -5}\text{.} \) Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele kroner: \[ \begin{array}{r|r} x & K(x) \\ \hline -5 & 90\,000 \\ -4 & 92\,925 \\ -3 & 95\,945 \\ -2 & 99\,063 \\ -1 & 102\,283 \\ 0 & 105\,607 \end{array} \]
Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:
Ved \( {x = -5} \) leser vi av omtrent \( 90\,000 \) kroner, det samme som utregningen.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut og les av grafen Vi lar \( x \) være antall år fra i dag og skriver inn \( K\text{.} \) Fem år siden er \( {x = -5}\text{.} \) Vi regner ut \( {K(-5)}\text{,} \) og finner punktet på grafen der \( {x = -5} \) med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 105607*1.0325^x t = K(-5) h: x = -5 B = Skjæring(K, h)
Regningen gir \( {t \approx 89\,999{,}98}\text{,} \) og grafen og linja møtes i \( {B \approx (-5,\ 89\,999{,}98)}\text{.} \) Med litt over \( 105\,607 \) kroner i dag var innskuddet \( 90\,000 \) kroner.

1P vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

Fat er en enhet for volummåling av olje.
1 fat≈158,987 liter 1\,\text{fat} \approx 158{,}987\,\text{liter}
I 2023 ble det i gjennomsnitt produsert 1,794 1{,}794 millioner fat olje på norsk sokkel hvert døgn.

Oppgave 3a)

Omtrent hvor mange liter olje ble det produsert på norsk sokkel i 2023? Skriv svaret på standardform.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Avrundet til tre gjeldende sifre ble det produsert:
Omtrent 1,04⋅1011 liter‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 1{,}04 \cdot 10^{11} \text{ liter}}}
Produksjonen er oppgitt i fat per døgn. Vi finner antall fat i hele 2023, gjør om til liter og skriver svaret på standardform.
Metode: For hånd
1. Finn antall fat i 2023 \( 1{,}794 \) millioner er \( \textcolor{blue}{1\,794\,000}\text{,} \) og 2023 hadde \( \textcolor{red}{365} \) døgn: \[ \textcolor{blue}{1\,794\,000} \cdot \textcolor{red}{365} = 654\,810\,000 \text{ fat} \]
2. Gjør om til liter Hvert fat er omtrent \( \textcolor{green}{158{,}987} \) liter, så med kalkulatoren får vi antall liter: \[ \begin{aligned} &654\,810\,000 \cdot \textcolor{green}{158{,}987} \\ &= 104\,106\,277\,470 \end{aligned} \]
3. Skriv svaret på standardform Et tall på standardform er et tall mellom \( 1 \) og \( 10 \) ganget med en tierpotens, som i videoen Hva er Standardform?. Vi flytter kommaet \( 11 \) plasser til venstre: \[ 104\,106\,277\,470 \approx 1{,}04 \cdot 10^{11} \]
I 2022 ble det i gjennomsnitt produsert 1,685 1{,}685 millioner fat hvert døgn.

Oppgave 3b)

Hvor mange prosent steg produksjonsmengden med fra 2022 til 2023?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Avrundet til én desimal steg produksjonen med:
Omtrent 6,5 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 6{,}5\,\%}}
Vi finner hvor mye produksjonen økte, og deler økningen på produksjonen i 2022.
Metode: For hånd
1. Del endringen på den gamle verdien Hvor mange prosent noe endres med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Her er endringen \( {1{,}794 - 1{,}685 = \textcolor{red}{0{,}109}} \) millioner fat per døgn, og den gamle verdien er \( \textcolor{blue}{1{,}685}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0{,}109}}{\textcolor{blue}{1{,}685}} \cdot 100\,\% \approx 6{,}47\,\% \]Begge årene har 365 døgn, så økningen er den samme for hele året.

1P vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

Tabellen nedenfor viser noen av de personlige rekordene til friidrettsutøveren Jakob Ingebrigtsen.
Personlige rekorder utendørs
DatoØvelseTid01.09.2017400 m51,0330.06.2020800 m1:46,4416.07.20231500 m3:27,1416.09.20231 engelsk mil3:43,7308.09.20232000 m4:43,1317.09.20233000 m7:23,63 \begin{array}{r|r|r} \text{Dato} & \text{Øvelse} & \text{Tid} \\ \hline \text{01.09.2017} & \text{400 m} & 51{,}03 \\ \text{30.06.2020} & \text{800 m} & \text{1:46,44} \\ \text{16.07.2023} & \text{1500 m} & \text{3:27,14} \\ \text{16.09.2023} & \text{1 engelsk mil} & \text{3:43,73} \\ \text{08.09.2023} & \text{2000 m} & \text{4:43,13} \\ \text{17.09.2023} & \text{3000 m} & \text{7:23,63} \end{array}
Tidene er gitt i minutter (før kolon) og sekunder (etter kolon). For eksempel betyr 7:23,63 en tid på 7 minutter og 23,63 sekunder.
Alle løpene i tabellen er gjennomført på en bane der en runde er 400 meter lang.

Oppgave 4a)

Bestem den gjennomsnittlige rundetiden til Jakob Ingebrigtsen da han satte personlig rekord på 1500 meter.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Avrundet til hundredels sekunder var den gjennomsnittlige rundetiden:
Omtrent 55,24 sekunder‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 55{,}24 \text{ sekunder}}}
Vi gjør om tiden til sekunder og finner hvor mange runder 1500 meter er. Rundetiden er tiden delt på antall runder.
Metode: For hånd
1. Gjør om tiden til sekunder Rekorden på 1500 meter er 3:27,14, altså 3 minutter og 27,14 sekunder. Ett minutt er 60 sekunder: \[ 3 \cdot 60\,\text{s} + 27{,}14\,\text{s} = \textcolor{blue}{207{,}14\,\text{s}} \]
2. Del på antall runder En runde er 400 meter, så 1500 meter er: \[ \dfrac{1500\,\text{m}}{400\,\text{m}} = \textcolor{red}{3{,}75} \text{ runder} \]
Rundetiden er tiden delt på antall runder: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{207{,}14\,\text{s}}}{\textcolor{red}{3{,}75}} \approx 55{,}24\,\text{s} \]
Da Jakob Ingebrigtsen satte personlig rekord på 1 engelsk mil, holdt han en gjennomsnittsfart på omtrent 25,89 km/h. 25{,}89\,\text{km/h}\text{.}

Oppgave 4b)

Vis hvordan vi kan bruke opplysningene om Jakob sitt rekordløp til å avgjøre omtrent hvor mange meter det er i 1 engelsk mil.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Med farten og tiden fra rekordløpet er 1 engelsk mil:
Omtrent 1609 meter‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 1609 \text{ meter}}}
Strekningen er fart ganger tid. Vi gjør om farten til meter per sekund, og ganger med tiden han brukte på rekordløpet.
Metode: For hånd
1. Gjør om farten Kilo betyr 1000, så \( {1\,\text{km} = 1000\,\text{m}}\text{,} \) som på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter. En time er \( 3600 \) sekunder: \[ \begin{aligned} 25{,}89\,\text{km/h} &= \dfrac{25\,890\,\text{m}}{3600\,\text{s}} \\ &\approx \textcolor{blue}{7{,}1917\,\text{m/s}} \end{aligned} \]
2. Gang med tiden Fra tabellen er tiden på 1 engelsk mil 3:43,73, altså \( {3 \cdot 60 + 43{,}73 = \textcolor{red}{223{,}73}} \) sekunder. Strekningen er fart ganger tid, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ s = v \cdot t \]
Det gir oss: \[ s \approx \textcolor{blue}{7{,}1917\,\text{m/s}} \cdot \textcolor{red}{223{,}73\,\text{s}} \approx 1609\,\text{m} \]Sekundene forkortes mot hverandre, så svaret blir i meter.

1P vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

Knut og Sabrina jobber med tallfølgen
2, 5, 11, 23, 47, … 2,\ 5,\ 11,\ 23,\ 47,\ \ldots
«Jeg tror jeg har oppdaget et mønster, og jeg er nokså sikker på at alle leddene bortsett fra det første er oddetall.»
«Har du funnet en formel som kan gi deg et hvilket som helst ledd i tallfølgen?»
«Nei, det klarte jeg ikke, men jeg er nokså sikker på at jeg har funnet et mønster som gjør at jeg alltid kan finne det neste leddet i tallfølgen. Jeg er helt sikker på at det bare blir oddetall videre.»
Ta utgangspunkt i det Knut og Sabrina sier og • beskriv et mønster for tallfølgen • argumenter for at alle leddene i tallfølgen bortsett fra det første er oddetall
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Det dobbelte av et helt tall er et partall, og pluss 1 gir et oddetall, så alle leddene etter det første er oddetall:
Neste ledd=2⋅forrige ledd+1‾‾ \underline{\underline{\text{Neste ledd} = 2 \cdot \text{forrige ledd} + 1}}
Mønsteret skal gi det neste leddet fra det forrige. Vi ser hvordan hvert ledd kommer fra leddet før, og bruker det til å se om leddene blir partall eller oddetall.
Metode: For hånd
1. Beskriv mønsteret Vi ganger hvert ledd med \( 2 \) og legger til \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 \cdot \textcolor{blue}{2} + 1 &= \textcolor{red}{5} \\ 2 \cdot \textcolor{blue}{5} + 1 &= \textcolor{red}{11} \\ 2 \cdot \textcolor{blue}{11} + 1 &= \textcolor{red}{23} \\ 2 \cdot \textcolor{blue}{23} + 1 &= \textcolor{red}{47} \end{aligned} \]Det neste leddet er altså det \( \textcolor{blue}{\text{forrige leddet}} \) ganget med \( 2\text{,} \) pluss \( 1\text{.} \) Leddet etter \( 47 \) blir \( {2 \cdot 47 + 1 = 95}\text{.} \)
2. Argumenter for oddetall Et helt tall ganget med \( 2 \) er alltid et partall, og et partall pluss \( 1 \) er et oddetall: \[ \underbrace{2 \cdot \textcolor{blue}{\text{forrige ledd}}}_{\text{partall}} + 1 = \textcolor{red}{\text{oddetall}} \]Hvert ledd etter det første lages på denne måten, så alle leddene bortsett fra det første er oddetall. Det første leddet, \( 2\text{,} \) lages ikke av noe ledd før seg, og det er et partall.

1P vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

8 poeng

Lufttrykk måles ofte i hektopascal (hPa). Jo høyere over havet vi befinner oss, jo lavere er lufttrykket. Lufttrykket ved havets overflate er ca. 1000 hPa. 1000\,\text{hPa}\text{.}
Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, 1000\,\text{hPa}\text{,} vil kokepunktet for vann være lavere enn 100 ∘C. 100\,^\circ\text{C}\text{.} Se tabellen nedenfor.
LufttrykkKokepunkt for vann(hPa)(°C)100010050081,420060,18041,54029 \begin{array}{r|r} \text{Lufttrykk} & \text{Kokepunkt for vann} \\ \text{(hPa)} & \text{(°C)} \\ \hline 1000 & 100 \\ 500 & 81{,}4 \\ 200 & 60{,}1 \\ 80 & 41{,}5 \\ 40 & 29 \end{array}

Oppgave 6a)

Bestem en modell K K på formen
K(x)=a⋅xb K(x) = a \cdot x^b
som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket x hPa x\,\text{hPa} og kokepunktet K(x) ∘C. K(x)\,^\circ\text{C}\text{.}
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Med a a avrundet til tre desimaler og b b til fire:
K(x)≈7,562⋅x0,3804‾‾ \underline{\underline{K(x) \approx 7{,}562 \cdot x^{0{,}3804}}}
Modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{,} \) som er en potensfunksjon. Vi bruker potensregresjon på punktene i tabellen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på c) med modellen i svaret, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)
Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, og med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.
Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {7{,}56 \cdot x^{0{,}38}}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir høyden i c) omtrent \( 4{,}2 \) km med Aris modell i stedet for \( 4{,}3 \) km. Vis derfor fire desimaler i GeoGebra.
Ari: Betyr dette at det ikke går an å få egg hardkokte oppe på et høyt fjell? Et egg blir ikke hardkokt dersom temperaturen i vannet er lavere enn 85 ∘C. 85\,^\circ\text{C}\text{.}
Lisa: Det kommer vel an på hvor høyt fjellet er?
Ari: Jeg vil lage en modell som viser hvor høyt lufttrykket er x x kilometer over havets overflate. Jeg har lært at lufttrykket minker med ca. 12 % 12\,\% per km.
Lisa: Jeg har lært at lufttrykket halveres for hver 5,5 km. 5{,}5\,\text{km}\text{.} Jeg vil ta utgangspunkt i dette og lage en modell på samme form som den du lager, Ari.

Oppgave 6b)

Lag modellene for Ari og Lisa.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Med x x km over havet, lufttrykket i hPa og Lisas vekstfaktor avrundet til fire desimaler:
Ari: A(x)=1000⋅0,88x‾‾Lisa: L(x)≈1000⋅0,8816x‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Ari: } A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x}} \\ &\underline{\underline{\text{Lisa: } L(x) \approx 1000 \cdot 0{,}8816^x}} \end{aligned}
Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet og minker med en fast prosent per km. Vi finner vekstfaktoren for Ari og for Lisa.
Metode: Med kalkulator
1. Lag Aris modell Lufttrykket minker med \( 12\,\% \) per km. Når noe minker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er \( {V = 1 - 0{,}12 = \textcolor{red}{0{,}88}}\text{.} \) Ved havet er lufttrykket \( \textcolor{blue}{1000} \) hPa, og for hver km ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}88}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ A(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}88}^x \]
2. Lag Lisas modell Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^x}\text{.} \) Etter \( 5{,}5 \) km er lufttrykket halvert, altså \( 500 \) hPa. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^{5{,}5} = 500 \]
Vi deler med \( \textcolor{blue}{1000} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{c}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{green}{c} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{green}{0{,}8816} \end{aligned} \]
Det gir: \[ L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x \]
Metode: Med GeoGebra
1. Lag modellene Aris modell skriver vi rett inn. For Lisas modell bruker vi eksponentiell regresjon på punktene \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{b}^x}\text{,} \) der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{green}{b} \) vekstfaktoren:
Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x l2 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l2)
GeoGebra gir \( {L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator. De to grafene ligger nesten oppå hverandre.

Oppgave 6c)

Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Lufttrykket må være minst omtrent 578 hPa, og med begge modellene er det mulig å få egg hardkokte opp til omtrent:
4,3 km over havet‾‾ \underline{\underline{4{,}3 \text{ km over havet}}}
Vi bruker modellen fra a) og modellene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Et egg blir hardkokt når vannet koker ved minst \( 85\,^\circ\text{C}\text{.} \) Vi finner lufttrykket der kokepunktet er \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt.
Metode: Med kalkulator
1. Finn lufttrykket I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]
Kokepunktet skal være \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) så vi setter \( {K(x) = 85}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} = 85 \]
Vi deler med \( \textcolor{blue}{7{,}562} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} &= \dfrac{85}{\textcolor{blue}{7{,}562}} \approx 11{,}2404 \\ x &\approx 11{,}2404^{1/\textcolor{red}{0{,}3804}} \approx \textcolor{green}{578{,}5} \end{aligned} \]Ved lavere lufttrykk koker vannet ved lavere temperatur, så lufttrykket må være minst omtrent \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa.
2. Finn høyden I b) fant vi modellene, der \( x \) nå er antall km over havet: \[ \begin{aligned} A(x) &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ L(x) &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]
Med \( {x = 4} \) er lufttrykket omtrent 600 hPa i begge modellene. Vi regner videre med kalkulatoren for hver tiendedel km: \[ \begin{array}{r|r|r} x & A(x) & L(x) \\ \hline 4{,}0 & 599{,}7 & 604{,}1 \\ 4{,}1 & 592{,}1 & 596{,}5 \\ 4{,}2 & 584{,}6 & 589{,}0 \\ 4{,}3 & 577{,}1 & 581{,}7 \\ 4{,}4 & 569{,}8 & 574{,}4 \\ 4{,}5 & 562{,}6 & 567{,}2 \end{array} \]Ifølge Aris modell kommer lufttrykket ned til \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa mellom \( 4{,}2 \) og \( 4{,}3 \) km, nærmest \( 4{,}3\text{.} \) Ifølge Lisas modell skjer det mellom \( 4{,}3 \) og \( 4{,}4 \) km, også nærmest \( 4{,}3\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Finn lufttrykket Med \( K \) fra a) tegner vi linja \( {y = 85} \) og finner skjæringspunktet med grafen, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: g: y = 85 P = Skjæring(K, g)
Lufttrykket er førstekoordinaten til \( P\text{,} \) omtrent \( 578{,}34 \) hPa.
2. Finn høyden Med \( A \) og \( L \) fra b) tegner vi linja \( {y = x(P)} \) og finner skjæringspunktene med de to grafene:
Skriv inn i GeoGebra: h: y = x(P) S = Skjæring(A, h) T = Skjæring(L, h)
Avrundet til hundredeler er høyden \( 4{,}28 \) km ifølge Aris modell (punktet \( S \)) og \( 4{,}35 \) km ifølge Lisas (punktet \( T \)). Begge er omtrent \( 4{,}3 \) km.

1P vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 7

4 poeng

TA 3 PAR SKO, BETAL FOR 2 PAR Vi spanderer det rimeligste paret
Du har bestemt deg for å benytte et «Ta 3, betal for 2»-tilbud i en skobutikk. Du trenger bare to par sko selv, men du tar med deg en venn som også trenger et par sko.
Du velger et par sko som koster 800 kroner, og et par sko som koster 1550 kroner. Vennen din velger et par sko som koster 1350 kroner.
Vis hvordan du kan bruke prosentregning til å bestemme hvor mye hver av dere bør betale. Begrunn framgangsmåten din, og forklar hvordan du har tenkt.
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Rabatten er omtrent 21,6 % 21{,}6\,\% av hele prisen, og begge betaler 78,4 % 78{,}4\,\% av prisen på sine sko:
Du betaler omtrent 1842 kr‾‾Vennen betaler omtrent 1058 kr‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Du betaler omtrent } 1842 \text{ kr}}} \\ &\underline{\underline{\text{Vennen betaler omtrent } 1058 \text{ kr}}} \end{aligned}
Rabatten er det billigste paret, og den gjelder alle tre parene til sammen. Vi finner hvor mange prosent rabatten er av hele prisen, og lar begge få den samme prosenten i rabatt på sine sko.
Metode: For hånd
1. Finn rabatten i prosent De tre parene koster til sammen: \[ 800 + 1550 + 1350 = \textcolor{blue}{3700} \text{ kr} \]Det billigste paret, \( \textcolor{red}{800} \) kr, er gratis, så dere betaler \( {3700 - 800 = 2900} \) kr.
Hvor mange prosent rabatten er av hele prisen, finner vi med formelen for del av hel: \[ \dfrac{\textcolor{red}{\text{del}}}{\textcolor{blue}{\text{hel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Her er delen rabatten, \( \textcolor{red}{800} \) kr, og det hele er hele prisen, \( \textcolor{blue}{3700} \) kr: \[ \dfrac{\textcolor{red}{800}}{\textcolor{blue}{3700}} \cdot 100\,\% \approx 21{,}6\,\% \]
2. Fordel prisen Det er rettferdig at begge får like mange prosent rabatt. Da betaler hver av dere \( {100\,\% - 21{,}6\,\% = 78{,}4\,\%} \) av prisen på sine egne sko, altså prisen ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{green}{0{,}784}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.
Dine to par koster \( {800 + 1550 = 2350} \) kr, og vennens par koster \( 1350 \) kr: \[ \begin{aligned} \text{Du: } & 2350 \cdot \textcolor{green}{0{,}784} \approx 1842 \text{ kr} \\ \text{Vennen: } & 1350 \cdot \textcolor{green}{0{,}784} \approx 1058 \text{ kr} \end{aligned} \]
Kontroll: \( {1842 + 1058 = 2900}\text{,} \) som er det dere betaler til sammen.

1T vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Tom har arbeidet med trekanten ovenfor og påstår at tan⁡u⋅tan⁡v=1 {\tan u \cdot \tan v = 1}

Oppgave 1a)

Vis at Tom har rett.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med tan⁡u=68 {\tan u = \dfrac{6}{8}} og tan⁡v=86 {\tan v = \dfrac{8}{6}} er
tan⁡u⋅tan⁡v=68⋅86=1‾‾ \underline{\underline{\tan u \cdot \tan v = \dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{8}{6} = 1}}
Vi finner \( \tan u \) og \( \tan v \) som forhold mellom katetene i trekanten, og ganger dem sammen.
1. Finn tangens til begge vinklene Definisjonen av tangens forteller oss at: \[ \tan \theta = \dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.
Kateten \( \textcolor{red}{6} \) står mot vinkelen \( u\text{,} \) og kateten \( \textcolor{blue}{8} \) ligger inntil den. For vinkelen \( v \) er det omvendt: \[ \begin{aligned} \tan u &= \dfrac{\textcolor{red}{6}}{\textcolor{blue}{8}} \\ \tan v &= \dfrac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{6}} \end{aligned} \]
2. Gang dem sammen Vi ganger brøkene, teller med teller og nevner med nevner: \[ \tan u \cdot \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{6}}{\textcolor{blue}{8}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{6}} = \dfrac{48}{48} = 1 \]Tom har altså rett.

Oppgave 1b)

Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler u u og v. v\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
I enhver rettvinklet trekant er tan⁡v \tan v den omvendte brøken av tan⁡u, \tan u\text{,} så produktet er alltid 1:
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Vi gjør det samme som i a), men med bokstaver for katetene. Da gjelder svaret for alle rettvinklede trekanter.
1. Skriv katetene med bokstaver Definisjonen av tangens forteller oss at: \[ \tan \theta = \dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} \]
Vi kaller kateten mot vinkelen \( u \) for \( \textcolor{red}{a}\text{,} \) og kateten mot vinkelen \( v \) for \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) Kateten som står mot den ene vinkelen, ligger inntil den andre, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \tan u &= \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \\ \tan v &= \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{a}} \end{aligned} \]
2. Gang dem sammen Vi ganger brøkene: \[ \tan u \cdot \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{a}} = \dfrac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1 \]Det gjelder uansett hvor lange katetene er. Påstanden stemmer derfor for alle rettvinklede trekanter.

1T vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår at begge divisjonene viser at faktoriseringen nedenfor er riktig.
2x3+3x2−11x−6=(2x2+7x+3)⋅(x−2) \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\ &= (2x^2 + 7x + 3) \cdot (x - 2) \end{aligned}
Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført? Utfør de to polynomdivisjonene, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen er riktig.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Guri kan ha delt på hver av de to faktorene. Begge divisjonene går opp, og svaret er den andre faktoren:
Delt pa˚ x−2: 2x2+7x+3‾‾Delt pa˚ 2x2+7x+3: x−2‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Delt på } x - 2\text{: } 2x^2 + 7x + 3}} \\ &\underline{\underline{\text{Delt på } 2x^2 + 7x + 3\text{: } x - 2}} \end{aligned}
Går en polynomdivisjon opp, er telleren lik nevneren ganget med svaret. Guri kan derfor ha delt på hver av de to faktorene, og da skal den andre faktoren komme ut.
1. Del på faktoren av første grad Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 11x - 6} \) på \( {(x - 2)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 2) &= 2x^3 - 4x^2 \\ -(2x^3 - 4x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 4x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & 7x^2 & {}- 11x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 4x^2 = 7x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-11x} \) og \( {-6}\text{.} \)
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{7x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{7x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{7x} \\ \textcolor{magenta}{7x} \cdot (x - 2) &= 7x^2 - 14x \\ -(7x^2 - 14x) &= \textcolor{magenta}{-7x^2 + 14x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 11x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & 3x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( 7x^2 \) strykes mot \( {-7x^2}\text{,} \) \( {-11x + 14x = 3x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-6}\text{.} \) Linja \( {3x - 6} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot (x - 2) &= 3x - 6 \\ -(3x - 6) &= \textcolor{blue}{-3x + 6} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \textcolor{blue}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 11x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x}} & {}- 6 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-3x}} & \textcolor{blue}{{}+ 6} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 3x \) strykes mot \( {-3x}\text{,} \) og \( {-6 + 6 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.
Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\ &= (x - 2)(2x^2 + 7x + 3) \end{aligned} \]Det er faktoriseringen til Guri.
2. Del på faktoren av andre grad Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 11x - 6} \) på \( {(2x^2 + 7x + 3)} \) på samme måte. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (2). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 11x - 6) \\ &: (\textcolor{green}{2x^2} + 7x + 3) \end{aligned} \]
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{2x^2}} = \textcolor{red}{x} \\ &\textcolor{red}{x} \cdot (2x^2 + 7x + 3) \\ &\quad = 2x^3 + 7x^2 + 3x \\ &-(2x^3 + 7x^2 + 3x) \\ &\quad = \textcolor{red}{-2x^3 - 7x^2 - 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) \\ &: (\textcolor{green}{2x^2} + 7x + 3) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 7x^2} & \textcolor{red}{{}- 3x} & \\ \hline & -4x^2 & {}- 14x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 - 7x^2 = -4x^2}\text{,} \) \( {-11x - 3x = -14x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-6}\text{.} \) Linja \( {-4x^2 - 14x - 6} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x^2}}{\textcolor{green}{2x^2}} = \textcolor{magenta}{-2} \\ &\textcolor{magenta}{-2} \cdot (2x^2 + 7x + 3) \\ &\quad = -4x^2 - 14x - 6 \\ &-(-4x^2 - 14x - 6) \\ &\quad = \textcolor{magenta}{4x^2 + 14x + 6} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) \\ &: (\textcolor{green}{2x^2} + 7x + 3) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 7x^2} & \textcolor{red}{{}- 3x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 14x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \textcolor{magenta}{{}+ 6} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x^2} \) strykes mot \( 4x^2\text{,} \) \( {-14x + 14x = 0}\text{,} \) og \( {-6 + 6 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.
Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\ &= (2x^2 + 7x + 3)(x - 2) \end{aligned} \]Også denne divisjonen viser at faktoriseringen er riktig.