Eksamensoppgaver etter tema

Grafen er en parabel med nullpunktene \( {-3} \) og \( 4\text{.} \) Vi skriver \( f(x) \) med nullpunktene som faktorer, og finner tallet foran fra punktet \( (0, 24)\text{.} \)

1. Skriv opp funksjonen med nullpunktene En andregradsfunksjon med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives som: \[ f(x) = \textcolor{green}{a}(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]Hvis du er usikker på denne formen, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Fra figuren er \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{-3}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{4}}\text{.} \) Plugger vi dem inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{green}{a}(x + \textcolor{darkorange}{3})(x - \textcolor{magenta}{4}) \]

2. Finn tallet foran Grafen går gjennom \( (0, 24)\text{,} \) så \( {f(0) = 24}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a}(0 + 3)(0 - 4) &= 24 \\ -12\textcolor{green}{a} &= 24 \\ \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{-2} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} f(x) &= \textcolor{green}{-2}(x + 3)(x - 4) \\ f(x) &= -2(x^2 - x - 12) \\ f(x) &= -2x^2 + 2x + 24 \end{aligned} \]

Kontroll: Toppunktet ligger midt mellom nullpunktene, i \( {x = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og \( {f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{49}{2}}\text{.} \) Det passer med figuren, der toppen er litt over 24.

Vi bruker \( {f(x) = -2x^2 + 2x + 24} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi samler alt på én side og deler på \( {-2}\text{.} \) Så faktoriserer vi med abc-formelen og ser i et fortegnsskjema hvor uttrykket er negativt.

1. Samle alt på én side I a) fant vi: \[ f(x) = -2x^2 + 2x + 24 \]

Ulikheten blir da: \[ \begin{aligned} -2x^2 + 2x + 24 &> 12 \\ -2x^2 + 2x + 12 &> 0 \end{aligned} \]

Vi deler på \( {-2}\text{.} \) Når vi deler en ulikhet på et negativt tall, snur ulikhetstegnet: \[ x^2 - x - 6 < 0 \]

2. Faktoriser med abc-formelen Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Minus ganger minus gir pluss, så \( {-\textcolor{red}{b} = -(\textcolor{red}{-1}) = 1}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{1 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \textcolor{darkorange}{3}} \) og \( {x = \textcolor{magenta}{-2}}\text{.} \)

Med nullpunktene kan vi faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{3}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{-2}}\text{,} \) så: \[ x^2 - x - 6 = (\textcolor{darkorange}{x - 3})(\textcolor{magenta}{x + 2}) \]

3. Sett opp et fortegnsskjema Faktoren \( {\textcolor{magenta}{x + 2}} \) skifter fortegn i \( {x = -2}\text{,} \) og \( {\textcolor{darkorange}{x - 3}} \) i \( {x = 3}\text{.} \) Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "x^2 - x - 6", "expr": "x^2 - x - 6"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

Produktet er negativt mellom nullpunktene. Ulikheten har \( {<}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ -2 < x < 3 \]

Vi regner ut hva modellen gir for antallene i tabellen, og sammenligner med overskuddet kantinen fikk. I GeoGebra lager vi en andregradsregresjon av punktene og ser at den gir \( O\text{.} \)

1. Sammenlign modellen med tabellen Vi setter antallene i tabellen inn i modellen med kalkulator. For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

Vi setter alle verdiene ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{blue}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{blue}{1427{,}02} \\ 130 & 2300 & \textcolor{blue}{2337{,}22} \\ 160 & 3050 & \textcolor{blue}{3085{,}42} \\ 175 & 3365 & \textcolor{blue}{3398{,}77} \\ 190 & 3720 & \textcolor{blue}{3671{,}62} \\ 220 & 4140 & \textcolor{blue}{4095{,}82} \\ 235 & 4175 & \textcolor{blue}{4247{,}17} \end{array} \]

Avviket er størst for 235 bagetter, \( {4247{,}17 - 4175 = 72{,}17} \) kroner, og det er under 2 % av overskuddet. Modellen viser også, som tabellen, at overskuddet øker stadig langsommere. \( O \) er derfor en god modell.

1. Lag en andregradsregresjon Vi lager en liste med punktene, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker regresjon med et andregradspolynom, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Regresjonen finner andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx -0{,}0903x^2 + 51{,}0367x \\ &\quad - 2776{,}9766 \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler er det \( O(x)\text{,} \) og grafen går tett forbi alle punktene. \( O \) er altså en god modell.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Overskuddet er størst i toppunktet til \( O\text{,} \) der \( {O'(x) = 0}\text{.} \) Antall bagetter er et helt tall, så vi sammenligner de to hele tallene på hver side av toppunktet.

1. Deriver og sett lik null Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \( {-0{,}09x^2} \) blir \( {-0{,}18x}\text{,} \) \( 51{,}04x \) blir \( 51{,}04\text{,} \) og konstanten blir 0: \[ O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04 \]

I toppunktet er \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}18x + 51{,}04 &= 0 \\ x &= \dfrac{51{,}04}{0{,}18} \approx 283{,}56 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt.

2. Sjekk hele bagetter Kantinen kan ikke selge \( 283{,}56 \) bagetter, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{283}) &= \textcolor{blue}{4459{,}33} \\ O(\textcolor{red}{284}) &= \textcolor{red}{4459{,}34} \end{aligned} \]\( \textcolor{red}{284} \) bagetter gir størst overskudd, \( \textcolor{red}{4459{,}34} \) kroner. Forskjellen er bare 1 øre.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og regner ut \( O(283) \) og \( O(284)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Ekstremalpunkt(O) o_1 = O(283) o_2 = O(284)

Toppunktet er \( {T \approx (283{,}5556,\ 4459{,}3578)}\text{,} \) og \( {O(284) = 4459{,}34} \) er større enn \( {O(283) = 4459{,}33}\text{.} \) 284 bagetter gir størst overskudd.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Stigningstallet til linja gjennom to punkter er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200) \) først.

1. Regn ut funksjonsverdiene Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Vi setter \( {x = \textcolor{blue}{100}} \) og \( {x = \textcolor{red}{200}} \) inn i modellen med kalkulator: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{100}) &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \\ O(\textcolor{red}{200}) &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{O(200)} - \textcolor{blue}{O(100)}}{\textcolor{red}{200} - \textcolor{blue}{100}} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{100} \\ a &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( x \) er antall bagetter og \( O(x) \) overskuddet i kroner, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( O \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 (O(200) - O(100)) / (200 - 100)

CAS gir \( 24{,}04\text{.} \) Fra 100 til 200 bagetter øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Den momentane vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer \( O \) og setter inn \( {x = 235}\text{.} \)

1. Deriver modellen Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten, altså den deriverte, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{-0{,}09x^2} + \textcolor{red}{51{,}04x} \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Vi deriverer ledd for ledd. \( {\textcolor{blue}{-0{,}09x^2}} \) derivert blir \( {-0{,}09 \cdot 2x = \textcolor{blue}{\underline{-0{,}18x}}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}04x} \) derivert blir \( \textcolor{red}{\underline{51{,}04}}\text{,} \) og konstanten blir \( \underline{0}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(x) = \textcolor{blue}{-0{,}18x} + \textcolor{red}{51{,}04} \]

2. Sett inn antallet Vi setter inn \( {x = 235}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O'(235) &= -0{,}18 \cdot 235 + 51{,}04 \\ O'(235) &= -42{,}3 + 51{,}04 = 8{,}74 \end{aligned} \]

Når kantinen selger 235 bagetter i uka, øker overskuddet med omtrent 8,74 kroner for hver ekstra bagett. Overskuddet øker fortsatt, men langsomt, fordi vi nærmer oss toppunktet.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( O \) i CAS og deriverer med \( O'(x)\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 O'(x) O'(235)

CAS gir \( {O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04} \) og \( {O'(235) = 8{,}74}\text{.} \) Ved 235 bagetter øker overskuddet med omtrent 8,74 kroner per ekstra bagett.

Vi setter \( {v = 39^\circ} \) inn i sammenhengen og regner ut \( \sin u\text{.} \) Så finner vi vinkelen ved å gå baklengs med \( {\sin^{-1}}\text{.} \)

1. Regn ut sinusverdien Sammenhengen fra oppgaven er: \[ \sin \textcolor{blue}{u} = 1{,}33 \cdot \sin \textcolor{red}{v} \]

Med \( {\textcolor{red}{v} = \textcolor{red}{39^\circ}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{blue}{u} &= 1{,}33 \cdot \sin \textcolor{red}{39^\circ} \\ \sin \textcolor{blue}{u} &\approx 1{,}33 \cdot 0{,}6293 \approx 0{,}8370 \end{aligned} \]

2. Finn vinkelen Vi går baklengs med \( {\sin^{-1}} \) på kalkulatoren, som i videoen Introduksjon til Trigonometri. Kalkulatoren må stå på grader: \[ \textcolor{blue}{u} = \sin^{-1}(0{,}8370) \approx 56{,}8^\circ \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen inn i CAS med gradtegn og løser den med NLøs, med 50 som startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(sin(u°) = 1.33*sin(39°), u = 50)

CAS gir \( {u \approx 56{,}8243}\text{,} \) altså \( {u \approx 56{,}8^\circ}\text{.} \)

Vi skriver sammenhengen med \( \sin v \) alene. Når \( u \) nærmer seg \( 90^\circ\text{,} \) nærmer \( \sin u \) seg 1, og det avgjør hva \( v \) nærmer seg.

1. La vinkelen nærme seg 90 grader Vi deler begge sider av \( {\sin \textcolor{blue}{u} = 1{,}33 \cdot \sin \textcolor{red}{v}} \) på \( 1{,}33\text{:} \) \[ \sin \textcolor{red}{v} = \dfrac{\sin \textcolor{blue}{u}}{1{,}33} \]

Når \( \textcolor{blue}{u} \) nærmer seg \( 90^\circ\text{,} \) nærmer \( \sin \textcolor{blue}{u} \) seg \( {\sin 90^\circ = 1}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{red}{v} \to \dfrac{1}{1{,}33} \approx 0{,}7519 \]

Vi går baklengs med \( {\sin^{-1}}\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \textcolor{red}{v} \to \sin^{-1}(0{,}7519) \approx 48{,}8^\circ \]

Når \( u \) blir større, blir \( \sin u \) og dermed \( v \) større. Men \( \sin u \) kan aldri bli større enn 1, så \( v \) nærmer seg omtrent \( 48{,}8^\circ \) og blir aldri større.

1. Løs likningen i CAS Vi setter \( {u = 90^\circ} \) inn i sammenhengen og løser for \( v \) med NLøs:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(sin(90°) = 1.33*sin(v°), v = 45)

CAS gir \( {v \approx 48{,}7535}\text{.} \) Når \( u \) nærmer seg \( 90^\circ\text{,} \) nærmer \( v \) seg altså omtrent \( 48{,}8^\circ\text{.} \)

Vi setter \( u \) og \( v \) like i sammenhengen og ser hvilke vinkler som passer.

1. Sett vinklene like Hvis \( {\textcolor{red}{v} = \textcolor{blue}{u}}\text{,} \) blir sammenhengen fra oppgaven: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{blue}{u} &= 1{,}33 \cdot \sin \textcolor{blue}{u} \\ 0 &= 0{,}33 \cdot \sin \textcolor{blue}{u} \\ \sin \textcolor{blue}{u} &= 0 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret Vinklene ligger mellom \( 0^\circ \) og \( 90^\circ\text{,} \) og der er \( {\sin u = 0} \) bare når \( {u = 0^\circ}\text{,} \) som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Da går lysstrålen rett ned langs \( m\text{,} \) og \( {v = 0^\circ} \) også.

For alle andre vinkler er \[ \sin \textcolor{red}{v} = \dfrac{\sin \textcolor{blue}{u}}{1{,}33} < \sin \textcolor{blue}{u} \]så \( {\textcolor{red}{v} < \textcolor{blue}{u}}\text{,} \) og strålen knekker inn mot \( m\text{.} \)

Hver sum er den forrige summen pluss neste oddetall. Vi lar en løkke gå gjennom \( {n = 1} \) til 20, legger til oddetall nummer \( n \) og skriver ut summen hver gang.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første summene selv.

1. Finn en formel for oddetallene Oddetallene \( 1, 3, 5, 7, \ldots \) øker med 2 hver gang, så oddetall nummer \( n \) er: \[ \textcolor{blue}{2n - 1} \]For eksempel er oddetall nummer 6 lik \( {2 \cdot 6 - 1 = 11}\text{,} \) som er det siste leddet i \( S_6\text{.} \)

2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 starter med summen 0. Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 1} \) til 20, fordi \( \texttt{range(1, 21)} \) stopper før 21, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 4 legger oddetall nummer \( n\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{2n - 1}}\text{,} \) til \( \textcolor{red}{\texttt{summen}}\text{,} \) og linje 5 skriver ut \( \textcolor{red}{S_n}\text{.} \) Programmet regner altså ut: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{S_1} &= 0 + \textcolor{blue}{1} = 1 \\ \textcolor{red}{S_2} &= 1 + \textcolor{blue}{3} = 4 \\ \textcolor{red}{S_3} &= 4 + \textcolor{blue}{5} = 9 \end{aligned} \]og så videre til \( {S_{20} = 400}\text{.} \)

Vi bruker summene programmet i a) skriver ut. Selv om du ikke fikk til a), kan du regne ut de første summene selv.

Vi ser etter et mønster i summene som skrives ut. Så bruker vi lagene i figuren til å vise at mønsteret må gjelde for alle summene.

1. Beskriv sammenhengen Programmet i a) skriver ut: \[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots,\ 400 \]Det er kvadrattallene \( 1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 20^2\text{.} \) Summen av de \( n \) første oddetallene er altså \( n^2\text{:} \) \[ S_n = 1 + 3 + \ldots + (2n - 1) = n^2 \]

2. Argumenter med figuren Figuren er bygd opp av vinkler rundt kula nede til venstre. Hvert kvadrat er det forrige med et nytt lag utenpå, slik som skallene i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Lagene har 1, 3, 5, 7 og 9 kuler: \[ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2 \]

Lag nummer \( n \) legger en ny rad med \( n \) kuler oppå kvadratet med \( {n - 1} \) kuler på hver side, og en ny kolonne med \( {n - 1} \) kuler til høyre for det. Det er \[ n + (n - 1) = \textcolor{blue}{2n - 1} \]kuler, som er oddetall nummer \( n\text{.} \) Etter \( n \) lag har vi lagt sammen de \( n \) første oddetallene, og fått et kvadrat med \( {n \cdot n = n^2} \) kuler. Derfor må \( {S_n = n^2}\text{.} \)

Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra med punktene fra tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Kjør potensregresjon Vi lager en liste med punktene fra tabellen, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker potensregresjon med RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

2. Les av modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ K(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{.} \) Grafen til \( K \) går nær alle de fem punktene.

I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {7{,}56 \cdot x^{0{,}38}}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir høyden i c) omtrent \( 4{,}2 \) km med Aris modell i stedet for \( 4{,}3 \) km. Vis derfor fire desimaler i GeoGebra.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet, og lufttrykket ganges med en fast vekstfaktor for hver kilometer. Vi finner vekstfaktoren til Ari fra prosenten, og den til Lisa fra halveringen.

1. Finn modellen til Ari Når lufttrykket minker med 12 % per km, er vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{red}{v} = 1 - 0{,}12 = \textcolor{red}{0{,}88} \]

Lufttrykket ved havet, \( \textcolor{blue}{1000} \) hPa, ganges med vekstfaktoren én gang per kilometer. Med \( x \) km over havet er lufttrykket i hPa: \[ A(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}88}^x \]

2. Finn modellen til Lisa Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{w}^x}\text{.} \) Etter 5,5 km er lufttrykket halvert, fra 1000 til 500 hPa: \[ \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{w}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler på 1000 og opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{,} \) slik at \( \textcolor{green}{w} \) står alene, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{green}{w} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{green}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir modellen: \[ L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x \]Den er det samme som \( {1000 \cdot 0{,}5^{x/5{,}5}}\text{,} \) der \( \dfrac{x}{5{,}5} \) er antall halveringer.

1. Lag modellene med regresjon Modellen til Ari går gjennom \( (0, 1000) \) og \( (1, 880)\text{,} \) fordi 12 % av 1000 er 120. Modellen til Lisa går gjennom \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{.} \) Vi bruker RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x} \) gjennom punktene:

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 1000), (1, 880)} A(x) = RegEksp(l2) l3 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l3)

GeoGebra gir \( {A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x} \) og \( {L(x) \approx 1000 \cdot 0{,}8816^x}\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a) og modellene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Egg blir hardkokte så lenge vannet koker ved minst 85 °C. Vi finner lufttrykket der kokepunktet er 85 °C med modellen \( K\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt, med modellene til Ari og Lisa.

1. Finn lufttrykket ved 85 grader I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]

Vi setter \( {K(x) = 85} \) og deler på \( \textcolor{blue}{7{,}562}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} &= 85 \\ x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} &= \dfrac{85}{\textcolor{blue}{7{,}562}} \end{aligned} \]

Vi opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) slik at \( x \) står alene, som i videoen Potenser og røtter: \[ x = \left(\dfrac{85}{\textcolor{blue}{7{,}562}}\right)^{1/\textcolor{red}{0{,}3804}} \approx \textcolor{green}{578{,}5} \]Ved omtrent \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa koker vannet ved 85 °C. Er lufttrykket lavere, koker vannet ved under 85 °C.

2. Finn høyden med modellene I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} A(x) &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ L(x) &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Nå er \( x \) antall kilometer over havet. Vi prøver oss fram med kalkulatoren og ser når lufttrykket blir \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa: \[ \begin{array}{r|r|r} x & A(x) & L(x) \\ \hline 4{,}2 & 584{,}6 & 589{,}0 \\ 4{,}3 & 577{,}1 & 581{,}7 \\ 4{,}4 & 569{,}8 & 574{,}4 \end{array} \]

Med modellen til Ari er lufttrykket 578,5 hPa mellom 4,2 og 4,3 km over havet, nærmest 4,3. Med modellen til Lisa er det mellom 4,3 og 4,4 km, nærmest 4,3. Begge modellene gir altså omtrent 4,3 km.

1. Løs likningene i CAS I a) lagret vi modellen som \( K\text{.} \) Vi skriver modellene til Ari og Lisa inn i Algebrafeltet og løser likningene med NLøs i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x L(x) = 1000*0.5^(x/5.5) NLøs(K(x) = 85, x = 500) NLøs(A(x) = 578.3375, x = 4) NLøs(L(x) = 578.3375, x = 4)

CAS gir lufttrykket 578,3375 hPa, og høyden 4,2837 km med modellen til Ari og 4,3451 km med modellen til Lisa. Begge er omtrent 4,3 km.