Eksamensoppgaver etter tema

Vi deriverer med kjerneregelen, setter inn \( {t = 8} \) og løser likningen ved å ta \( \ln \) på begge sider. \( f'(t) \) er veksten i millioner bakterier per dag.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}1t + 0{,}4}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= 2{,}2 \cdot e^{\textcolor{green}{0{,}1t + 0{,}4}} \cdot \textcolor{green}{0{,}1} \\ &= 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} \end{aligned} \]

2. Regn ut veksten etter 8 dager \[ \begin{aligned} f'(8) &= 0{,}22 \cdot e^{0{,}8 + 0{,}4} \\ &= 0{,}22 \cdot e^{1{,}2} \approx 0{,}730 \end{aligned} \]

3. Løs likningen med ln Vi deler på \( 0{,}22 \) og tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} &= 8 \\ e^{0{,}1t + 0{,}4} &= \dfrac{8}{0{,}22} \\ 0{,}1t + 0{,}4 &= \ln\left(\dfrac{8}{0{,}22}\right) \\ 0{,}1t + 0{,}4 &\approx 3{,}5936 \\ t &\approx 31{,}9 \end{aligned} \]

4. Tolk svarene \( f \) er i millioner bakterier og \( t \) i dager, så \( f'(t) \) er i millioner bakterier per dag. Etter 8 dager øker antallet bakterier med omtrent \( 0{,}73 \) millioner per dag, og etter omtrent 32 dager med 8 millioner per dag.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( f \) i CAS, regner ut \( f'(8) \) med \( {\approx} \) og løser \( {f'(t) = 8} \) med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 2.2*ℯ^(0.1t + 0.4) f'(8) NLøs(f'(t) = 8, t = 30)

Rad 2 gir \( {f'(8) \approx 0{,}730} \) millioner bakterier per dag, og rad 3 gir \( {t \approx 31{,}9} \) dager.

Vi bruker \( f'(t) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Veksten er den deriverte. Vi løser \( {f'(t) = g'(t)} \) ved å samle potensene av \( e \) på én side og ta \( \ln\text{,} \) og setter \( t \) inn i \( f'\text{.} \)

1. Deriver g Med kjerneregelen \( {\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}'} \) er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}2t - 0{,}2}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{0{,}2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(t) &= 1{,}2 \cdot e^{\textcolor{green}{0{,}2t - 0{,}2}} \cdot \textcolor{green}{0{,}2} \\ &= 0{,}24 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2} \end{aligned} \]

2. Sett de deriverte like I a) fant vi: \[ f'(t) = 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} \]Vi deler begge sider på \( {0{,}24 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4}}\text{.} \) Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi fra eksponentene, \( {\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a - b}}\text{,} \) som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ \begin{aligned} 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} &= 0{,}24 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2} \\ \dfrac{0{,}22}{0{,}24} &= \dfrac{e^{0{,}2t - 0{,}2}}{e^{0{,}1t + 0{,}4}} \\ \dfrac{11}{12} &= e^{0{,}1t - 0{,}6} \\ \ln\left(\dfrac{11}{12}\right) &= 0{,}1t - 0{,}6 \\ t &= 10\ln\left(\dfrac{11}{12}\right) + 6 \\ t &\approx 5{,}13 \end{aligned} \]

3. Regn ut veksten Vi setter \( {t \approx 5{,}13} \) inn i \( f'\text{:} \) \[ f'(5{,}13) = 0{,}22 \cdot e^{0{,}513 + 0{,}4} \approx 0{,}548 \]Begge kulturene vokser da med omtrent \( 0{,}55 \) millioner bakterier per dag.

Kontroll: Setter vi inn i \( g'\text{,} \) får vi det samme: \[ g'(5{,}13) = 0{,}24 \cdot e^{1{,}026 - 0{,}2} \approx 0{,}548 \]

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) definerer vi \( g\text{,} \) løser \( {f'(t) = g'(t)} \) med NLøs og setter løsningen inn i \( f'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(t) := 1.2*ℯ^(0.2t - 0.2) NLøs(f'(t) = g'(t), t = 5) f'(5.1299)

Rad 5 gir \( {t \approx 5{,}13}\text{,} \) og rad 6 gir veksten \( 0{,}548 \) millioner bakterier per dag.

Formen er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. Uke 17 er \( {t = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å gjøre om ukene til \( t\text{,} \) og på å lese av en logistisk modell: \( B \) er verdien grafen flater ut på, og \( {I(0) = \dfrac{B}{1 + a}}\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi gjør om ukene til \( {t = \text{uke} - 17}\text{,} \) så uke 17 til 24 blir \( {t = 0} \) til \( 7\text{.} \) Formen er logistisk, så vi lager en liste med punktene og bruker RegLogist, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 2900), (1, 4400), (2, 12200), (3, 23400), (4, 28800), (5, 34600), (6, 41000), (7, 40800)} I(x) = RegLogist(l1)

Med \( \textcolor{red}{B} \) til hele kroner, \( \textcolor{blue}{a} \) med to desimaler og \( \textcolor{green}{k} \) med fire desimaler er modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{41\,999}}{1 + \textcolor{blue}{14{,}76} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}9035}t}} \]I b) og c) regner vi videre med modellen slik GeoGebra har den, uten avrunding.

2. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra \( {t = 0} \) til \( {t = 7}\text{,} \) og der ligger punktene nær grafen.

Modellen sier at inntekten flater ut på omtrent \( \textcolor{red}{42\,000} \) kr per uke og holder seg der. Salget av planter er størst om våren og sommeren, så utover høsten vil inntekten trolig falle igjen.

Før uke 17 var det ikke noe salg, men modellen gir positive verdier også for \( {t < 0}\text{.} \) Modellen gjelder derfor bare for de ukene i sesongen der salget holder seg, fra \( {t = 0} \) og noen uker etter \( {t = 7}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Merk – Åpen vurdering: Hvor langt fram modellen gjelder, kan ikke tabellen avgjøre. Andre grenser kan også være riktige når de er begrunnet.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Hvor fort inntekten øker, er den deriverte \( I'(t)\text{.} \) Vi finner toppunktet til grafen til \( I'\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du bruke at en logistisk funksjon vokser raskest der den er halvveis opp, \( {I(t) = \dfrac{B}{2}}\text{.} \) Det gir \( {a \cdot e^{-kt} = 1}\text{,} \) altså \( {t = \dfrac{\ln a}{k} \approx 2{,}98}\text{,} \) og veksten der er \( {\dfrac{B \cdot k}{4}}\text{,} \) omtrent 9487 med tallene i svaret i a).

1. Finn toppunktet til den deriverte I a) fant vi modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{41\,999}{1 + 14{,}76 \cdot e^{-0{,}9035t}} \]Veksten i inntekten er \( \textcolor{red}{I'(t)}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi skriver inn den deriverte og finner toppunktet med Maks:

Skriv inn i GeoGebra: D(x) = I'(x) M = Maks(D, 0, 10)

Toppunktet er \( {M \approx (2{,}98;\ 9486)}\text{.} \)

2. Tolk svaret \( {t \approx 2{,}98} \) er omtrent 3 uker etter uke 17, altså i uke 20. Da økte inntekten med omtrent \( \textcolor{red}{9486} \) kr per uke for hver uke som gikk.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( I(t) \) er inntekten i kroner per uke, så integralet fra \( 0 \) til \( x \) er den samlede inntekten de \( x \) første ukene. Vi finner en antiderivert med substitusjon og løser likningen med \( \ln\text{.} \)

1. Finn en antiderivert Modellen er \( {I(t) = \dfrac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}}}\text{.} \) Vi ganger teller og nevner med \( e^{kt}\text{:} \) \[ I(t) = \dfrac{B \cdot e^{kt}}{\textcolor{green}{e^{kt} + a}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{kt} + a}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = k \cdot e^{kt}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{B}{k} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \int I(t)\,dt = \dfrac{B}{k}\ln\left(\textcolor{green}{e^{kt} + a}\right) + c \]

2. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1 + a}\text{.} \) Setter vi inn grensene og ganger med \( \dfrac{k}{B}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\textcolor{green}{e^{k\textcolor{blue}{x}} + a}\right) &- \ln(\textcolor{green}{1 + a}) \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{65\,000} \cdot k}{B} \end{aligned} \]

Med tallene i svaret i a), \( {B = 41\,999}\text{,} \) \( {a = 14{,}76} \) og \( {k = 0{,}9035}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\textcolor{green}{e^{k\textcolor{blue}{x}} + a}\right) &= \ln 15{,}76 \\ &\quad + \dfrac{\textcolor{red}{65\,000} \cdot 0{,}9035}{41\,999} \\ &\approx 4{,}1558 \end{aligned} \]

Vi opphøyer \( e \) i begge sider og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^{0{,}9035\textcolor{blue}{x}} + 14{,}76 &\approx e^{4{,}1558} \approx 63{,}80 \\ e^{0{,}9035\textcolor{blue}{x}} &\approx 49{,}04 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 49{,}04}{0{,}9035} \approx \textcolor{blue}{4{,}31} \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Arealet under grafen til \( I \) er den samlede inntekten, på samme måte som arealet under en fartsgraf er strekningen, som i videoen Hva er integrasjon. Ifølge modellen har hagesenteret tjent \( \textcolor{red}{65\,000} \) kr til sammen på plantene omtrent \( \textcolor{blue}{4{,}3} \) uker etter at salget startet, altså i løpet av uke 21.

1. Løs likningen i CAS I a) fant vi modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{41\,999}{1 + 14{,}76 \cdot e^{-0{,}9035t}} \]Den står i Algebrafeltet fra a), og CAS kan bruke den. Vi løser likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med startverdien \( {x = 4}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Integral(I(t), t, 0, x) = 65000, x = 4)

Rad 1 gir \( {\textcolor{blue}{x \approx 4{,}31}}\text{,} \) det samme som med kalkulatoren. Hagesenteret har altså tjent \( \textcolor{red}{65\,000} \) kr på plantene i løpet av uke 21.

Halvparten av 2 millioner er 1 million. Vi setter \( {B(t) = 1\,000\,000}\text{,} \) får potensen av \( e \) alene på én side og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen Halvparten av husstandene er \( 1\,000\,000\text{:} \) \[ \dfrac{1\,700\,000}{1 + 500e^{-0{,}07t}} = 1\,000\,000 \]

2. Løs likningen med ln Vi ganger med nevneren, deler på \( 1\,000\,000 \) og får potensen \( {\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}}} \) alene. Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 1 + 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 1{,}7 \\ 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}7 \\ \textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}0014 \\ \textcolor{green}{-0{,}07t} &= \ln 0{,}0014 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}0014}{-0{,}07} \approx 93{,}9 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( B \) i CAS og løser \( {B(t) = 1\,000\,000} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B(t) := 1700000/(1 + 500*ℯ^(-0.07t)) Løs(B(t) = 1000000, t)

Rad 2 gir \( {t \approx 93{,}9} \) uker.

\( B \) er en brøk med en konstant i telleren. Vi deriverer med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. \( B'(t) \) er hvor mange nye husstander som får systemet per uke.

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}'}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Med kjerneregelen er \( {\left(e^{-0{,}07t}\right)' = e^{-0{,}07t} \cdot (-0{,}07)}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1\,700\,000} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ B'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Det første leddet i telleren er 0. Setter vi inn \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} B'(t) &= \dfrac{-\textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot (\textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}})}{(\textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}})^2} \\ &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-0{,}07t}}{(1 + 500e^{-0{,}07t})^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn 52 uker Med \( {t = 52} \) er eksponenten \( {-0{,}07 \cdot 52 = -3{,}64}\text{:} \) \[ \begin{aligned} B'(52) &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-3{,}64}}{(1 + 500e^{-3{,}64})^2} \\ &\approx 7828 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( B \) er antall husstander og \( t \) er uker, så \( B'(t) \) er husstander per uke, som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Ett år etter lanseringen får omtrent 7800 nye husstander systemet per uke.

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut \( B'(52) \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B'(52)

Rad 3 gir \( {B'(52) \approx 7828} \) husstander per uke.

En logistisk modell har formen \( {F(t) = \dfrac{C}{1 + ae^{-kt}}}\text{.} \) Hver antakelse gir oss én av konstantene \( C\text{,} \) \( a \) og \( k\text{.} \)

1. Finn grensen og startverdien En logistisk modell har formen: \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{1 + \textcolor{red}{a}e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Når \( t \) blir stor, går \( {e^{-\textcolor{green}{k}t}} \) mot 0, og \( F(t) \) går mot \( \textcolor{blue}{C}\text{.} \) De selger totalt til en million husstander, så \( {\textcolor{blue}{C} = \textcolor{blue}{1\,000\,000}}\text{.} \)

Ved lanseringen er \( {t = 0} \) og \( {e^0 = 1}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} F(0) = \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{a}} &= 4000 \\ 1 + \textcolor{red}{a} &= 250 \\ \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{249} \end{aligned} \]

2. Bruk uken med flest nye kjøpere Antall nye husstander per uke er \( F'(t)\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I en logistisk modell er veksten størst når \( F \) har nådd halvparten av \( \textcolor{blue}{C}\text{:} \) \[ F'(t) \text{ er størst når } F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{2} \]

Flest kjøper i uke 65, så \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}}} &= 500\,000 \\ 1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}} &= 2 \\ e^{-65\textcolor{green}{k}} &= \dfrac{1}{249} \\ -65\textcolor{green}{k} &= \ln \dfrac{1}{249} \\ \textcolor{green}{k} &= \dfrac{\ln 249}{65} \approx \textcolor{green}{0{,}0849} \end{aligned} \]

Med \( k \) avrundet til fire desimaler blir modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-\textcolor{green}{0{,}0849}t}} \]

1. Finn konstantene i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) skriver vi modellen med \( {C = 1\,000\,000}\text{,} \) finner \( a \) fra \( {F(0) = 4000} \) og \( k \) fra \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(t) := 1000000/(1 + a*ℯ^(-k*t)) Løs(F(0) = 4000, a) Løs(1000000/(1 + 249*ℯ^(-65k)) = 500000, k)

Rad 5 gir \( {a = 249}\text{,} \) og rad 6 gir \( {k \approx 0{,}0849}\text{.} \)