Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.

1. Finn en antiderivert ledd for ledd Når eksponenten er \( kx\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}x}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}x} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{e^{2x}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}}\text{,} \) fordi \( {\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)' = x}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}\right]_0^2 \\ &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{4}} + \textcolor{red}{2}\right) - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= \dfrac{e^4 + 3}{2} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Vi ser at \( \dfrac{1}{x} \) er den deriverte av \( \ln x\text{,} \) som står inni parentesen. Vi bruker derfor variabelskifte med \( {u = \ln x}\text{.} \)

1. Bytt variabel Vi setter det som står inni parentesen, lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = \dfrac{1}{x} \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = x\,d\textcolor{green}{u}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{(\textcolor{green}{\ln x})^2}{x}\,dx &= \int \dfrac{\textcolor{green}{u}^2}{x} \cdot x\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \int \textcolor{green}{u}^2\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{1}{3}\textcolor{green}{u}^3 + C \end{aligned} \]\( x \) forkortes bort, og \( \dfrac{1}{3}u^3 \) er en antiderivert til \( u^2\text{,} \) fordi \( {\left(\dfrac{1}{3}u^3\right)' = u^2}\text{.} \)

3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \dfrac{1}{3}(\textcolor{green}{\ln x})^3 + C \]

Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3(\ln x)^2 \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{(\ln x)^2}{x}}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.

1. Finn en antiderivert ledd for ledd \( e^x \) er sin egen deriverte, så integrasjonsreglene gir: \[ \int e^x\,dx = e^x + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler. \( \textcolor{blue}{2e^x} \) integrert blir derfor \( \underline{\textcolor{blue}{2e^x}}\text{.} \)

For potenser forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Regelen står også i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{red}{2x^2} \) har \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^1 \left(2e^x + 2x^2\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{2e^x} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}\right]_0^1 \\ &= \left(\textcolor{blue}{2e} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}\right) - \left(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= 2e - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Vi ser at telleren \( {2x - 1} \) er den deriverte av nevneren \( {x^2 - x - 6}\text{.} \) Vi bruker derfor variabelskifte med \( u \) lik nevneren.

1. Bytt variabel Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = 2x - 1 \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{x^2 - x - 6}}\,dx \\ &= \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1} \\ &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \ln|\textcolor{green}{u}| + C \end{aligned} \]\( {2x - 1} \) forkortes bort, og \( \ln|u| \) er en antiderivert til \( \dfrac{1}{u}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6}} \) tilbake: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\,dx \\ &= \ln|\textcolor{green}{x^2 - x - 6}| + C \end{aligned} \]

Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\dfrac{1}{x^2 - x - 6} \cdot (2x - 1)}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Økningen i salget er den deriverte \( f'(t)\text{.} \) Vi deriverer med kjerneregelen og finner når \( f'(t) \) er størst.

1. Deriver med kjerneregelen Vi skriver \( {f(t) = 700(1 + \textcolor{green}{u})^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{20e^{-0{,}12t}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ f'(t) = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er den ytre funksjonen \( g \) og kjernen, der \( {\left(e^{-0{,}12t}\right)' = -0{,}12e^{-0{,}12t}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(\textcolor{green}{u}) &= 700(1 + \textcolor{green}{u})^{-1} \\ g'(\textcolor{green}{u}) &= -700(1 + \textcolor{green}{u})^{-2} \\ \textcolor{green}{u}' &= -0{,}12 \cdot \textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= -700 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-2} \cdot (-0{,}12\textcolor{green}{u}) \\ &= \dfrac{84\textcolor{green}{u}}{\left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^2} \end{aligned} \]

2. Finn den største økningen Brøken \( {\dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2}} \) er aldri større enn \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) og er lik \( \dfrac{1}{4} \) bare når \( {\textcolor{green}{u} = 1}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2} \le \dfrac{1}{4} \iff (1 - \textcolor{green}{u})^2 \ge 0 \]Den største økningen er derfor: \[ f'(t) = \dfrac{84 \cdot 1}{2^2} = 21 \]

3. Finn når økningen er størst Vi setter \( {\textcolor{green}{20e^{-0{,}12t}} = 1} \) og tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{-0{,}12t} &= \dfrac{1}{20} \\ -0{,}12t &= -\ln 20 \\ t &= \dfrac{\ln 20}{0{,}12} \approx 24{,}96 \end{aligned} \]Etter omtrent 25 uker økte salget med 21 enheter per uke for hver uke.

1. Finn vendepunktet i CAS Salget øker raskest i vendepunktet, der \( {f''(t) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi løser med NLøs og setter løsningen inn i \( f'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 700/(1 + 20*ℯ^(-0.12t)) NLøs(f''(t) = 0, t = 25) f'(24.9644)

Rad 2 gir \( {t \approx 24{,}96} \) uker, og rad 3 gir økningen \( 21 \) enheter per uke per uke.

\( f \) er enheter per uke, så integralet av \( f \) er det samlede salget. Vi finner en antiderivert med substitusjon og løser likningen der integralet er 2000.

1. Sett opp likningen Det samlede salget er integralet av salget per uke, som når strekningen er integralet av farten i videoen Eksamen 2018 August oppgave 2a. Etter \( \textcolor{blue}{x} \) uker er det samlede salget 2000 når: \[ \int_0^{\textcolor{blue}{x}} f(t)\,dt = 2000 \]

2. Finn en antiderivert Vi ganger teller og nevner med \( e^{0{,}12t}\text{:} \) \[ f(t) = \dfrac{700e^{0{,}12t}}{\textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = 0{,}12e^{0{,}12t}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{700}{0{,}12} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \int f(t)\,dt &= \dfrac{700}{0{,}12} \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\ln \textcolor{green}{u} + c \end{aligned} \]

3. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1 + 20 = 21}\text{.} \) Setter vi inn grensene, får vi: \[ \dfrac{700}{0{,}12}\left(\ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} - \ln 21\right) = 2000 \]

Vi ganger med \( \dfrac{0{,}12}{700} \) og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} &= \ln 21 + \dfrac{240}{700} \\ &\approx 3{,}3874 \\ e^{0{,}12\textcolor{blue}{x}} + 20 &\approx e^{3{,}3874} \approx 29{,}589 \\ e^{0{,}12\textcolor{blue}{x}} &\approx 9{,}589 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 9{,}589}{0{,}12} \approx \textcolor{blue}{18{,}84} \end{aligned} \]Det samlede salget passerte 2000 enheter etter omtrent 18,8 uker, altså i uke 19.

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen \( {\int_0^{x} f(t)\,dt = 2000} \) i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, her med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Integral(f(t), t, 0, x) = 2000, x = 19)

Rad 4 gir \( {\textcolor{blue}{x} \approx \textcolor{blue}{18{,}84}} \) uker.

Vi bruker den antideriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner det første året som 52 uker. Integralet av \( f \) fra 0 til 52 er antallet enheter solgt det året, og prisen er inntekten delt på antallet.

1. Regn ut salget det første året I b) fant vi en antiderivert med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}}\text{:} \) \[ \int f(t)\,dt = \dfrac{700}{0{,}12}\ln \textcolor{green}{u} + c \]

I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 21}\text{,} \) og i \( {t = 52} \) er \( {\textcolor{green}{u} = e^{6{,}24} + 20 \approx 532{,}86}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} & \int_0^{52} f(t)\,dt \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\left(\ln 532{,}86 - \ln 21\right) \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\ln\left(\dfrac{532{,}86}{21}\right) \\ &\approx \textcolor{blue}{18\,863} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)}\text{.} \)

2. Regn ut prisen Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Prisen er da: \[ p = \dfrac{1\,000\,000}{\textcolor{blue}{18\,863}} \approx 53{,}01 \]Butikken har solgt produktet for omtrent 53 kr per enhet.

Kontroll: Med et år på \( {\dfrac{365}{7} \approx 52{,}14} \) uker blir salget omtrent \( 18\,960 \) og prisen omtrent \( 52{,}74 \) kr, også 53 kr avrundet til hele kroner.

1. Regn ut integralet i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut salget det første året med \( {\approx} \) og deler inntekten på det:

Skriv inn i GeoGebra: Integral(f(t), t, 0, 52) 1000000/18863.4454

Rad 5 gir \( \textcolor{blue}{18\,863} \) enheter det første året, og rad 6 gir prisen \( 53{,}01 \) kr.