Eksamensoppgaver etter tema

Hver busstur har to utfall, kontroll eller ikke, med samme sannsynlighet hver gang, og vi antar at turene er uavhengige. \( X \) er derfor binomisk fordelt.

1. Kjenn igjen den binomiske fordelingen Når \( X \) er binomisk fordelt med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk, er: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ Var(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{20}} \) bussturer og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}05}}\text{.} \)

2. Regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{0{,}05} = 1 \\ Var(X) &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{0{,}05} \cdot 0{,}95 \\ &= 0{,}95 \end{aligned} \]Silas kan altså vente én kontroll på de 20 turene.

Vi bruker \( {E(X) = 1} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi sammenligner hva billettene koster med hvor mye Silas kan vente å betale i bøter hvis han ikke kjøper billett.

1. Regn ut hva billettene koster 20 turer til 65 kr koster: \[ 20 \cdot 65\,\text{kr} = \textcolor{blue}{1300\,\text{kr}} \]

2. Regn ut de forventede bøtene Uten billett betaler Silas 1470 kr for hver kontroll. Fra a) venter han \( {E(X) = 1} \) kontroll, som vi fant med formelen fra videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet). De forventede bøtene er da: \[ \begin{aligned} E(1470X) &= 1470 \cdot E(X) \\ &= 1470 \cdot 1 = \textcolor{red}{1470\,\text{kr}} \end{aligned} \]

3. Sammenlign \( \textcolor{red}{1470\,\text{kr}} \) er mer enn \( \textcolor{blue}{1300\,\text{kr}}\text{.} \) I gjennomsnitt taper Silas 170 kr på å kjøre uten billett, så det lønner seg sannsynligvis å kjøpe billetter. Vi skriver «sannsynligvis» fordi \( X \) er tilfeldig. Blir han ikke kontrollert i det hele tatt, slipper han billigere, men allerede én kontroll koster mer enn alle billettene.

Vannmengden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X \le 1{,}48) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{1{,}48 - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\textcolor{red}{0{,}01}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{-0{,}02}{0{,}01}\right) \\ &= P(Z \le -2) \end{aligned} \]1,48 L ligger altså to standardavvik under forventningen.

2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le -2{,}00) = 0{,}0228}\text{.} \)

Vi bruker sannsynligheten fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut hvor mange flasker med \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre Henrik kan vente å finne blant 24, hvis produsenten har rett.

1. Regn ut forventet antall Fra a) har hver flaske sannsynligheten \( \textcolor{red}{0{,}0228} \) for å ha \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre. Antallet slike flasker blant \( \textcolor{blue}{24} \) er binomisk fordelt, så vi kan vente \( {n \cdot p}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ \textcolor{blue}{24} \cdot \textcolor{red}{0{,}0228} \approx 0{,}55 \]flasker med så lite vann, selv om produsenten har rett.

2. Forklar Det er altså ikke uvanlig å finne én slik flaske i en kasse. En enkelt flaske sier dessuten lite om gjennomsnittet. Henrik har valgt ut den flasken med minst vann, og den vil nesten alltid ligge under \( 1{,}50\,\text{L}\text{,} \) også når produsenten har rett. Han må se på alle de 24 flaskene, som i d).

Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Henrik påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra det produsenten oppgir.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( \mu \) være forventet vannmengde i en flaske. \( \textcolor{red}{\text{Henrik}} \) påstår at \( {\textcolor{red}{\mu < 1{,}50\,\text{L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{produsenten}} \) oppgir \( {\textcolor{blue}{\mu = 1{,}50\,\text{L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi Henrik bare påstår at det er for lite vann.

Vi bruker hypotesene fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Gjennomsnittet av 24 flasker varierer mye mindre enn én flaske. Vi regner ut hvor sannsynlig det er å få et så lavt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og forkaster \( H_0 \) hvis det er svært usannsynlig.

1. Velg nivå og regn ut snittet I c) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } \mu = 1{,}50 \qquad H_1\text{: } \mu < 1{,}50 \]

Før målingene velger Henrik et signifikansnivå, for eksempel \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Så regner han ut gjennomsnittet av de 24 målingene: \[ \bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{24}}{24} \]

2. Finn fordelingen til gjennomsnittet Hvis \( H_0 \) er sann, er gjennomsnittet \( \bar{X} \) normalfordelt med forventning \( \textcolor{blue}{1{,}50} \) og standardavvik \( \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.

Siden standardavviket er kjent, bruker han en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{24}}\text{:} \) \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\dfrac{\textcolor{red}{0{,}01}}{\sqrt{\textcolor{green}{24}}}} \]

3. Konkluder Han finner P-verdien \( {P(Z \le z)} \) i tabellen. Er P-verdien mindre enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) forkaster han \( H_0\text{,} \) og da har han grunnlag for å si at flaskene inneholder mindre enn \( 1{,}50\,\text{L}\text{.} \) Ellers kan han ikke forkaste \( H_0\text{.} \) Med \( {\alpha = 0{,}05} \) er det det samme som å forkaste når \( {z < -1{,}645}\text{.} \)

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Det trekker to tilfeldige tall mange ganger og teller hvem som har størst, men bare når minst ett av dem er over grensen.

1. Les løkka Løkka i linje 10 går \( {\texttt{SIMULERINGER} = 100} \) ganger, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker linje 11 en tilfeldig verdi \( \textcolor{blue}{\texttt{A}} \) fra en normalfordeling med forventning 80 og standardavvik 20, og linje 12 en \( \textcolor{green}{\texttt{B}} \) med forventning 70 og standardavvik 30.

Linje 13 sjekker om minst én av dem er større enn \( {\texttt{GRENSE} = 110}\text{.} \) Bare da teller runden: er \( {\textcolor{blue}{\texttt{A}} > \textcolor{green}{\texttt{B}}}\text{,} \) får A et poeng, ellers får B et poeng.

2. Les utskriften Linje 20 til 25 står utenfor løkka. De sammenligner poengene og skriver ut «A vinner», «B vinner» eller «Uavgjort».

I hver runde som teller, er det litt mer sannsynlig at B vinner. Jo flere runder, desto nærmere kommer andelen B-seirer denne sannsynligheten, og desto sikrere får B flest poeng.

1. Forklar effekten av flere runder Siden programmet oftest skriver ut «B vinner», vinner \( \textcolor{green}{B} \) en runde som teller, med en sannsynlighet \( \textcolor{green}{q} \) som er større enn \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Med bare 100 runder kan tilfeldighetene likevel gi \( \textcolor{blue}{A} \) flest poeng.

Når antallet runder øker, kommer andelen runder \( \textcolor{green}{B} \) vinner, nærmere og nærmere \( \textcolor{green}{q}\text{.} \) Det er de store talls lov, og det er derfor vi simulerer mange ganger, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Da blir det mindre og mindre sannsynlig at A får flest poeng ved en tilfeldighet.

Runden teller bare når minst én verdi er over grensen. Figuren viser hvilken fordeling som oftest gir de største verdiene.

1. Les av figuren Til høyre for omtrent \( {x = 115} \) ligger den grønne kurven, til \( \textcolor{green}{B}\text{,} \) over den mørke, til \( \textcolor{blue}{A}\text{.} \) B har større standardavvik, så svært store verdier kommer oftere fra \( \textcolor{green}{B} \) enn fra \( \textcolor{blue}{A}\text{.} \)

2. Forklar virkningen av høyere grense Jo høyere grensen er, desto oftere er det \( \textcolor{green}{B} \) som er over den når en runde teller. Da er det også oftere \( \textcolor{green}{B} \) som er størst, så B vinner en større andel av rundene.

Grensen må likevel ikke bli for høy. Da teller nesten ingen runder, og med bare 100 runder kan resultatet bli tilfeldig eller uavgjort.

Vi trekker 2 fra poengene for hver farge. Terningen har fire sider, så hver side kommer opp med sannsynligheten \( \dfrac{1}{4}\text{.} \)

1. Finn endringen for hver farge Endringen er \( \textcolor{blue}{\text{poengene fra kastet}} \) minus de \( \textcolor{red}{2} \) poengene kastet koster: \[ \begin{aligned} \text{Gul:} \quad & \textcolor{blue}{0} - \textcolor{red}{2} = -2 \\ \text{Grønn:} \quad & \textcolor{blue}{1} - \textcolor{red}{2} = -1 \\ \text{Blå:} \quad & \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{2} = 0 \\ \text{Rød:} \quad & \textcolor{blue}{3} - \textcolor{red}{2} = 1 \end{aligned} \]

2. Finn sannsynlighetene Hver av de fire sidene kommer opp like ofte, så hver verdi har sannsynligheten \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) som tabellen allerede viser for \( {-1}\text{.} \) Summen er \( {4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1}\text{,} \) og summen av sannsynlighetene skal alltid være 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Vi bruker tabellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Forventningsverdien er hver verdi ganget med sannsynligheten sin, summert. Den sier hvor mye poengsummen endrer seg i gjennomsnitt per kast i det lange løp.

1. Regn ut forventningsverdien Forventningsverdien er: \[ E(X) = \sum \textcolor{blue}{x_i} \cdot \textcolor{red}{P(X = x_i)} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

I a) fant vi at verdiene er \( {\textcolor{blue}{-2}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{-1}}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{blue}{1}\text{,} \) hver med sannsynligheten \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}\text{.} \) Siden alle har samme sannsynlighet, setter vi \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \) utenfor en parentes: \[ \begin{aligned} E(X) &= \left(\textcolor{blue}{-2 - 1 + 0 + 1}\right) \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \\ &= -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Tolk svaret Forventningsverdien er negativ. Spiller du mange ganger, taper du i gjennomsnitt et halvt poeng per kast.

Vi bruker tabellen fra a) og \( {E(X) = -\dfrac{1}{2}} \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi bruker at variansen er forventningen til \( X^2 \) minus forventningen i andre.

1. Skriv opp formelen Variansen er: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{E(X^2)} - \textcolor{blue}{E(X)}^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

2. Regn ut forventningen til kvadratet Forventningen til \( X^2 \) regner vi ut som \( E(X)\text{,} \) men med hver verdi kvadrert: \[ \textcolor{green}{E(X^2)} = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) \]

Alle sannsynlighetene er \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) så vi kvadrerer hver verdi og deler summen på \( 4\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{E(X^2)} &= \dfrac{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2}{4} \\ &= \dfrac{6}{4} = \textcolor{green}{\dfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen I b) fant vi \( {\textcolor{blue}{E(X) = -\dfrac{1}{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{Var}(X) &= \textcolor{green}{\dfrac{3}{2}} - \left(\textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}\right)^2 \\ &= \dfrac{6}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

Kurvene har samme form, så det er tallene på \( x \)-aksen som skiller dem. I en normalfordeling ligger nesten alle verdiene innenfor tre standardavvik fra forventningsverdien.

1. Finn hvor nesten alle høydene ligger Høyden \( X \) til én elev er normalfordelt med forventningsverdi \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{170}} \) og standardavvik \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{5}}\text{.} \) I en normalfordeling ligger nesten alle verdiene innenfor tre standardavvik fra forventningsverdien: \[ \textcolor{blue}{\mu} - 3\textcolor{red}{\sigma} < X < \textcolor{blue}{\mu} + 3\textcolor{red}{\sigma} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{170} - 3 \cdot \textcolor{red}{5} &= 155 \\ \textcolor{blue}{170} + 3 \cdot \textcolor{red}{5} &= 185 \end{aligned} \]

2. Velg figuren I figur C går kurven fra omtrent 155 til 185, med toppen i 170. De andre kurvene er for smale (A og B) eller for brede (D).

Gjennomsnittet av mange elever varierer mindre enn høyden til én elev. Vi finner standardavviket til gjennomsnittet og ser hvilken figur som passer.

1. Finn standardavviket til gjennomsnittet Gjennomsnittet \( \bar{X} \) av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige høyder har forventningsverdi \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.

Her er \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{5}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\sqrt{\textcolor{green}{25}}} = \dfrac{5}{5} = 1 \]

2. Velg figuren Gjennomsnittet har forventningsverdi \( \textcolor{blue}{170} \) og standardavvik \( 1\text{,} \) så nesten alle verdiene ligger mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{170} - 3 \cdot 1 &= 167 \\ \textcolor{blue}{170} + 3 \cdot 1 &= 173 \end{aligned} \]Det passer med figur B.

Vi setter opp hypotesene og regner ut hvor sannsynlig det er å få minst én feil blant 20 hvis MASK har rett. Er det ikke svært usannsynlig, er klagen ikke velbegrunnet.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. La \( p \) være andelen feilproduserte komponenter: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}01} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p > 0{,}01} \]Vi velger signifikansnivået \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \)

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet feil \( X \) blant 20 komponenter binomisk fordelt med \( {n = 20} \) og \( {p = 0{,}01}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet). P-verdien er sannsynligheten for minst én feil: \[ \begin{aligned} P(X \ge 1) &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - 0{,}99^{20} \\ &\approx 0{,}182 \end{aligned} \]

3. Konkluder P-verdien \( 0{,}182 \) er større enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Minst én feil blant 20 skjer i omtrent \( 18\,\% \) av tilfellene selv når andelen feil er \( 1\,\%\text{.} \) Bedriften har derfor ikke grunnlag for klagen.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut \( {1 - 0{,}99^{20}} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - 0.99^20

P-verdien er omtrent \( 0{,}182\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi ser påstanden som en hypotesetest med \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Høyst én feil blant \( n \) komponenter må da skje i mindre enn \( 5\,\% \) av tilfellene når andelen feil er \( 1\,\%\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for \( n \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp \( {P(X \le 1)} \) og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {n = 472} \) gir omtrent \( 0{,}0502 \) og \( {n = 473} \) omtrent \( 0{,}0498\text{.} \)

1. Sett opp hypotesene og P-verdien Kontrolløren vil vise at andelen er under \( 1\,\%\text{,} \) så det blir \( H_1\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}01} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p < 0{,}01} \]Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet feil \( X \) blant \( \textcolor{green}{n} \) komponenter binomisk fordelt, som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ P(X = x) = \binom{\textcolor{green}{n}}{x} \cdot p^x \cdot (1 - p)^{\textcolor{green}{n} - x} \]Med \( {p = 0{,}01} \) er \( {\binom{n}{0} = 1} \) og \( {\binom{n}{1} = n}\text{,} \) så P-verdien, sannsynligheten for høyst én feil, er: \[ \begin{aligned} P(X \le 1) &= 0{,}99^{\textcolor{green}{n}} \\ &\quad + \textcolor{green}{n} \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99^{\textcolor{green}{n} - 1} \end{aligned} \]

2. Løs likningen i CAS Vi finner \( n \) der P-verdien er \( 0{,}05 \) med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og sjekker de hele tallene på hver side:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(0.99^n + n*0.01*0.99^(n - 1) = 0.05, n = 470) 0.99^472 + 472*0.01*0.99^471 0.99^473 + 473*0.01*0.99^472

Med \( {n = 472} \) er P-verdien \( 0{,}0502\text{,} \) litt over \( 0{,}05\text{,} \) og med \( {n = 473} \) er den \( 0{,}0498\text{,} \) under. Kontrolløren må altså ha testet minst 473 komponenter for å forkaste \( H_0\text{.} \)

Hvert kast Ane gjør, teller én i antallet. Det forventede antallet kast er derfor summen av sannsynlighetene for at hvert kast blir gjort, og fra kast 3 er det en uendelig geometrisk rekke.

1. Forklar sannsynlighetene i tabellen Kast 1 og 2 må Ane alltid gjøre. Fra kast 3 er et kast nødvendig bare hvis ingen to kast på rad har vært like før det. Hvert kast er ulikt det forrige med sannsynlighet \( \dfrac{5}{6}\text{,} \) og kastene er uavhengige, så kast 3 er nødvendig med sannsynlighet \( \dfrac{5}{6}\text{,} \) kast 4 med \( {\left(\dfrac{5}{6}\right)^2}\text{,} \) og så videre.

2. Forklar summen La \( \textcolor{blue}{X_m} \) være 1 hvis kast nummer \( m \) blir gjort, og 0 ellers, og la \( \textcolor{red}{p_m} \) være sannsynligheten for at kast nummer \( m \) blir gjort. Antallet kast er da \( {N = \textcolor{blue}{X_1} + \textcolor{blue}{X_2} + \textcolor{blue}{X_3} + \dots}\text{,} \) og forventningsverdien til \( \textcolor{blue}{X_m} \) er: \[ \begin{aligned} E(\textcolor{blue}{X_m}) &= 1 \cdot \textcolor{red}{p_m} + 0 \cdot (1 - \textcolor{red}{p_m}) \\ &= \textcolor{red}{p_m} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på forventningsverdi, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans). Forventningen til en sum er summen av forventningene, så: \[ \begin{aligned} E(N) &= E(\textcolor{blue}{X_1}) + E(\textcolor{blue}{X_2}) + \dots \\ &= \textcolor{red}{p_1} + \textcolor{red}{p_2} + \textcolor{red}{p_3} + \dots \\ &= 1 + 1 + \dfrac{5}{6} \\ &\quad + \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 + \dots \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Fra det tredje leddet er rekken uendelig geometrisk med \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{p_3} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}}} \) og \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{\dfrac{5}{6}}}\text{.} \) Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{green}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(N) &= 1 + 1 + \dfrac{\textcolor{red}{\tfrac{5}{6}}}{1 - \textcolor{green}{\tfrac{5}{6}}} \\ &= 2 + \dfrac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{6}} = 2 + 5 = 7 \end{aligned} \]

Vi lar datamaskinen kaste terningen til to kast på rad er like, mange ganger, og regner ut gjennomsnittet av summene.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 3 sier hvor mange ganger vi gjentar forsøket, og linje 4 starter summen av alle forsøkene på 0. Løkka i linje 5 gjentar forsøket, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

I hvert forsøk kaster linje 6 og 7 terningen to ganger, og linje 8 legger sammen øynene. While-løkka i linje 9 kaster videre så lenge \( \textcolor{red}{\texttt{kast}} \) er ulik \( \textcolor{blue}{\texttt{forrige}}\text{,} \) og legger hvert nytt kast til summen. Når to kast på rad er like, legger linje 13 summen til \( \texttt{total}\text{.} \)

2. Kjør programmet Linje 14 skriver ut gjennomsnittet av de \( 100\,000 \) summene. Én kjøring ga \( 24{,}56\text{,} \) og en ny kjøring gir et litt annet tall, fordi kastene er tilfeldige. Forventningsverdien til summen er altså omtrent \( 24{,}5 \) øyne.

Kontroll: Hvert kast gir i gjennomsnitt \( 3{,}5 \) øyne, og om et kast blir gjort, avhenger bare av kastene før det. Med 7 kast i gjennomsnitt fra a) ventes summen \( {7 \cdot 3{,}5 = 24{,}5}\text{,} \) som stemmer med simuleringen.

Alle de seks sidene er like sannsynlige, så sannsynligheten for et antall øyne er antall sider med det tallet delt på 6. Så regner vi ut forventningsverdien.

1. Fyll ut tabellen Ener, toer og treer står på én side hver, og sekser står på tre sider: \[ P(X = 6) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \]

Tabellen blir: \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \textcolor{blue}{k} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{6} \\ \hline P(X = k) & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{array} \]Sannsynlighetene summerer seg til \( {\dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{2} = 1}\text{,} \) som de skal.

2. Regn ut forventningsverdien Forventningsverdien er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten for den: \[ E(X) = \sum \textcolor{blue}{k} \cdot \textcolor{red}{P(X = k)} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Plugger vi inn tallene fra tabellen, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \\ &\quad + \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{6}{6} + 3 \\ &= 4 \end{aligned} \]

Vi bruker tabellen fra a) og \( {E(X) = 4}\text{,} \) som står i oppgaveteksten. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Variansen finner vi som forventningen til \( X^2 \) minus forventningen til \( X \) i andre. Vi regner derfor først ut \( E(X^2)\text{.} \)

1. Finn forventningen til kvadratet Fra a) har vi tabellen: \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \textcolor{blue}{k} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{6} \\ \hline P(X = k) & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{array} \]

\( E(X^2) \) regner vi ut som \( E(X)\text{,} \) men med hver verdi i andre: \[ \begin{aligned} E(X^2) &= \textcolor{blue}{1}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{2}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{3}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \\ &\quad + \textcolor{blue}{6}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{1 + 4 + 9}{6} + 18 \\ &= \dfrac{7}{3} + 18 = \dfrac{61}{3} \end{aligned} \]

2. Regn ut variansen Variansen er: \[ Var(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Med \( {E(X) = 4} \) fra a) får vi: \[ \begin{aligned} Var(X) &= \dfrac{61}{3} - 4^2 \\ &= \dfrac{61}{3} - \dfrac{48}{3} = \dfrac{13}{3} \end{aligned} \]

Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Benz A/S påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra den gamle bensinen.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at det ikke skjer noen forandring, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( \mu \) være gjennomsnittlig kjørelengde per liter med den nye bensinen. \( \textcolor{red}{\text{Benz A/S}} \) mener at \( {\textcolor{red}{\mu > 20\,\text{km/L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{ingen forandring}} \) betyr \( {\textcolor{blue}{\mu = 20\,\text{km/L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi de bare påstår at kjørelengden øker.

Vi bruker hypotesene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Standardavviket er kjent, så vi bruker en z-test for gjennomsnittet. Vi finner sannsynligheten for et så høyt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og sammenligner med \( 5\,\%\text{.} \)

1. Regn ut testobservatoren I a) satte vi opp: \[ H_0\text{: } \mu = 20 \qquad H_1\text{: } \mu > 20 \]

Standardavviket er oppgitt, så vi bruker en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Gjennomsnittet av \( n \) biler har standardavviket \( \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]

Her er \( {\bar{x} = 21}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{20}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{2{,}5}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} z &= \dfrac{21 - \textcolor{blue}{20}}{\dfrac{\textcolor{red}{2{,}5}}{\sqrt{\textcolor{green}{25}}}} \\ &= \dfrac{1}{0{,}5} = 2 \end{aligned} \]

2. Finn P-verdien \( H_1 \) sier \( {\mu > 20}\text{,} \) så P-verdien er sannsynligheten for \( {z = 2} \) eller mer. Tabellen over standard normalfordeling i vedlegget gir \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772}\text{,} \) som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ \begin{aligned} P(Z \ge 2) &= 1 - 0{,}9772 \\ &= 0{,}0228 \end{aligned} \]

3. Konkluder \( {0{,}0228 < 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{.} \) Da er det grunnlag for å si at \( H_1 \) stemmer, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro: den nye bensinen øker kjørelengden.

Lengden er normalfordelt for hver hopper. Vi gjør 90 meter om til en \( z \)-verdi for hver av dem og slår opp i tabellen over standard normalfordeling.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ \begin{aligned} & P(X > 90) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{90 - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Vi regner ut \( z \)-verdien for hver hopper: \[ \begin{aligned} \text{Birger: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{70}}{\textcolor{red}{20}} = 1 \\ \text{Maren: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{80}}{\textcolor{red}{5}} = 2 \\ \text{Espen: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{75}}{\textcolor{red}{10}} = 1{,}5 \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}00) = 0{,}8413}\text{,} \) \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772} \) og \( {P(Z \le 1{,}50) = 0{,}9332}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{Birger: } & 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587 \\ \text{Maren: } & 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \\ \text{Espen: } & 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668 \end{aligned} \]Birger har størst sjanse for et hopp over 90 meter. Han har lavest forventning, men størst standardavvik.

1. Regn ut i CAS FordelingNormal\( (\mu, \sigma, x) \) gir \( {P(X \le x)}\text{.} \) Vi trekker den fra 1 og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingNormal(70, 20, 90) 1 - FordelingNormal(80, 5, 90) 1 - FordelingNormal(75, 10, 90)

Rad 1 til 3 gir \( 0{,}1587\text{,} \) \( 0{,}0228 \) og \( 0{,}0668 \) for Birger, Maren og Espen.

Maren hoppet lengst hvis både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter. Hoppene er uavhengige, så vi ganger de to sannsynlighetene.

1. Finn sannsynlighetene for de andre For Birger og Espen standardiserer vi 83 meter, som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \text{Birger: } z &= \dfrac{83 - 70}{20} = 0{,}65 \\ \text{Espen: } z &= \dfrac{83 - 75}{10} = 0{,}80 \end{aligned} \]

Tabellen over standard normalfordeling gir: \[ \begin{aligned} P(\text{Birger} < 83) &= \textcolor{blue}{0{,}7422} \\ P(\text{Espen} < 83) &= \textcolor{red}{0{,}7881} \end{aligned} \]

2. Gang sannsynlighetene Hoppene er uavhengige, så sannsynligheten for at begge hopper kortere, er produktet, som når vi kaster flere terninger i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Maren hoppet lengst når både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter: \[ \begin{aligned} P(\text{Maren lengst}) &= \textcolor{blue}{0{,}7422} \cdot \textcolor{red}{0{,}7881} \\ &\approx 0{,}585 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) ganger vi \( {P(\text{Birger} < 83)} \) med \( {P(\text{Espen} < 83)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingNormal(70, 20, 83)*FordelingNormal(75, 10, 83)

Rad 4 gir \( {P(\text{Maren lengst}) \approx 0{,}585}\text{.} \)

Nå er også Marens hopp tilfeldig. Vi lar et program trekke tre tilfeldige hopp mange ganger og teller hvor ofte Maren hopper lengst. Andelen er et anslag for sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å lese og skrive slike programmer på papir, og på å forklare hvorfor flere simuleringer gir et sikrere anslag.

1. Skriv programmet Vi trekker lengdene med \( \texttt{normal}\text{,} \) der det første tallet er forventningen og det andre standardavviket, og gjentar forsøket i en løkke, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

2. Les programmet og kjør det Løkka i linje 6 går \( {N = 100\,000} \) ganger. Linje 7 til 9 trekker ett hopp for hver hopper. Linje 10 sjekker om \( \textcolor{blue}{\texttt{maren}} \) er lenger enn både \( \texttt{birger} \) og \( \texttt{espen}\text{,} \) og da teller linje 11 én til. Linje 13 skriver ut andelen av forsøkene der Maren hopper lengst:

Simuleringen gir litt ulike tall hver gang, men med så mange forsøk endrer svaret seg bare i tredje desimal.