Eksamensoppgaver etter tema

Sidelengdene minker med \( 0{,}1\,\text{m} \) for hver plate, så summen av dem er en aritmetisk rekke. Det største antallet plater finner vi ved at sidelengden må være positiv.

1. Sett opp rekken I en aritmetisk rekke er ledd nummer \( n\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot (\textcolor{red}{-0{,}1}) \\ &= 5{,}1 - 0{,}1n \end{aligned} \]

Summen av sidelengdene i meter er rekken: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + (5{,}1 - 0{,}1n) \]

2. Finn det største antallet plater Hver treplate må ha en sidelengde større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5{,}1 - 0{,}1n &> 0 \\ n &< 51 \end{aligned} \]

Det største antallet er altså \( {n = 50}\text{.} \) Da er den øverste platen \( {a_{50} = 5{,}1 - 5 = 0{,}1\,\text{m}}\text{,} \) og rekken er: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + 0{,}2 + 0{,}1 \]

Arealet blir ganget med det samme tallet for hver ny plate, så arealene danner en geometrisk rekke. Det samlede arealet kan ikke bli større enn summen av den uendelige rekken.

1. Finn kvotienten Når sidelengden blir \( 10\,\% \) kortere, blir den ganget med \( 0{,}9\text{.} \) Arealet er sidelengden i andre, så arealet blir ganget med: \[ \textcolor{red}{k} = 0{,}9^2 = \textcolor{red}{0{,}81} \]

Arealene i kvadratmeter danner derfor en geometrisk rekke: \[ \textcolor{blue}{19} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81}^2 + \dots \]

2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{19}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}81}}\text{.} \) Siden \( {-1 < 0{,}81 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{19}}{1 - \textcolor{red}{0{,}81}} = \dfrac{19}{0{,}19} = 100 \]Med uendelig mange plater blir arealet \( 100\,\text{m}^2\text{.} \) Et tårn har endelig mange plater, så arealet blir litt mindre, men kan komme så nær \( 100\,\text{m}^2 \) vi vil.

Hvert innskudd vokser med vekstfaktoren \( 1{,}054 \) for hvert år det står på kontoen. Saldoen 31.12.2025 er summen av de fem innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.

1. Skriv saldoen som en rekke Innskuddet fra 1. januar 2025 har fått renter i 1 år, og innskuddet fra 2021 i 5 år. Saldoen 31.12.2025 er summen av de fem innskuddene med renter: \[ \begin{aligned} S_5 = \ &27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054} \\ &+ 27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054}^2 \\ &+ \ldots + 27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054}^5 \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1{,}054}}\text{,} \) så rekken er geometrisk med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{5}} \) ledd og første ledd: \[ \textcolor{red}{a_1} = 27\,500 \cdot 1{,}054 = \textcolor{red}{28\,985} \]

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_5 &= \dfrac{\textcolor{red}{28\,985}\left(1 - \textcolor{blue}{1{,}054}^{\textcolor{green}{5}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{1{,}054}} \\ &\approx 161\,445 \end{aligned} \]

1. Regn ut summen i CAS Vi lar Sum legge sammen de fem leddene \( {27\,500 \cdot 1{,}054^k} \) for \( {k = 1} \) til \( 5\text{,} \) og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Sum(27500*1.054^k, k, 1, 5)

Summen er omtrent \( 161\,445 \) kr.

Lånebeløpet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi finner terminbeløpet på huslånet, trekker det fra 200 000 og løser likningen for forbrukslånet med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp likningen og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}15} \) gir en nåverdi på omtrent \( 154\,900 \) kr og \( {r = 0{,}16} \) omtrent \( 149\,200 \) kr, så renten ligger mellom \( 15\,\% \) og \( 16\,\%\text{.} \)

1. Sett opp nåverdien som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) renten \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{green}{n} \) år er lånebeløpet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} + \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{\textcolor{green}{n}}} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = \dfrac{T}{1 + r}} \) og \( {k = \dfrac{1}{1 + r}}\text{.} \) Summeformelen \( {S_n = \dfrac{a_1(1 - k^n)}{1 - k}} \) fra a) gir, når vi forkorter: \[ \text{lån} = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]

2. Finn terminbeløpet på huslånet Huslånet er \( 2\,600\,000 \) kr med \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{0{,}05}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{30}}\text{.} \) Vi løser for \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{\text{hus}} &= \dfrac{2\,600\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}05}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^{-\textcolor{green}{30}}} \\ &\approx 169\,133{,}73 \end{aligned} \]Da blir terminbeløpet på forbrukslånet: \[ \begin{aligned} T &= 200\,000 - 169\,133{,}73 \\ &= 30\,866{,}27 \end{aligned} \]

3. Løs likningen i CAS Forbrukslånet er \( 150\,000 \) kr med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{10}}\text{,} \) så renten \( \textcolor{blue}{r} \) må oppfylle: \[ 150\,000 = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{10}}}{\textcolor{blue}{r}} \]På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: 2600000*0.05/(1 - 1.05^(-30)) T := 200000 - 169133.73 NLøs(150000 = T*(1 - (1 + r)^(-10))/r, r = 0.1)

Rad 4 gir \( {r \approx 0{,}1585}\text{,} \) altså omtrent \( 15{,}85\,\%\text{.} \)

Vi starter med \( {a_1 = 5} \) og bruker den rekursive sammenhengen fem ganger i en løkke, slik at vi får ledd nummer 2 til 6.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut de første leddene for hånd, og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( \texttt{a} \) lik det første leddet, \( {a_1 = 5}\text{,} \) og linje 2 skriver det ut.

Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 2, 3, 4, 5, 6}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(2, 7)} \) stopper før 7, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 bruker den rekursive sammenhengen: \[ \textcolor{blue}{a_n} = (\textcolor{red}{a_{n-1}} - 1)^2 \]\( \textcolor{red}{\texttt{a}} \) på høyre side er det forrige leddet, og \( \textcolor{blue}{\texttt{a}} \) på venstre side blir det nye. Linje 5 skriver ut hvert nytt ledd.

2. Kjør programmet Programmet skriver ut de seks leddene: \( 5\text{,} \) \( 16\text{,} \) \( 225\text{,} \) \( 50\,176\text{,} \) \( 2\,517\,530\,625 \) og \( 6\,337\,960\,442\,777\,829\,376\text{.} \) De første kan vi sjekke for hånd: \( {(5 - 1)^2 = 16}\text{,} \) \( {(16 - 1)^2 = 225} \) og \( {(225 - 1)^2 = 50\,176}\text{.} \)

En uendelig rekke kan bare konvergere hvis leddene går mot \( 0\text{.} \) Vi undersøker derfor om leddene kan gå mot \( 0 \) når \( a_1 \) er et heltall.

1. Sjekk om leddene går mot null For at summen \( {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} \) skal konvergere, må leddene gå mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]Går de ikke mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro.

Når \( a_1 \) er et heltall, blir alle leddene heltall, fordi vi bare trekker fra \( 1 \) og kvadrerer. Heltall som går mot \( 0\text{,} \) må fra et ledd av være \( 0 \) hele tiden: \[ a_n = 0 \quad \text{for alle } n \ge N \]

2. Se hva som kommer etter null Hvis et ledd er \( \textcolor{blue}{0}\text{,} \) blir de to neste: \[ (\textcolor{blue}{0} - 1)^2 = \textcolor{red}{1} \qquad (\textcolor{red}{1} - 1)^2 = \textcolor{blue}{0} \]Leddene veksler da mellom \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og blir aldri \( 0 \) hele tiden. Med \( {a_1 = 1} \) blir rekken for eksempel \( {\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \dots}\text{,} \) som vokser uten grense.

Leddene kan altså aldri gå mot \( 0\text{,} \) uansett hvilket heltall \( a_1 \) er. Da divergerer rekken for alle heltall \( a_1\text{.} \)

Vi ser at rekken øker med \( 3 \) for hvert ledd. Vi finner derfor antall ledd med formelen for det \( n \)-te leddet, og bruker summeformelen for aritmetiske rekker.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) og det siste leddet er \( 69\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{3} &= 69 \\ (n - 1) \cdot 3 &= 72 \\ n &= 25 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = n \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{a_1} + a_n}{2} \]Hvis du er usikker på summeformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 25}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {a_{25} = 69}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_{25} &= 25 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{-3} + 69}{2} \\ &= 25 \cdot 33 = 825 \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten for \( x\text{.} \)

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med det samme tallet, så kvotienten er: \[ \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} \]

2. Løs ulikheten En uendelig geometrisk rekke konvergerer når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} &< 1 \\ -\dfrac{3}{2} < -x &< \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} < x &< \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]Vi trakk fra \( \dfrac{1}{2} \) og ganget med \( {-1}\text{.} \) Da snur ulikhetstegnene.

Etter det første fallet går ballen like langt opp som ned hver gang. Høydene den spretter, er en uendelig geometrisk rekke med \( {k = 0{,}75}\text{.} \)

1. Sett opp strekningene Ballen faller først \( 2\,\text{m}\text{.} \) Så spretter den \( {2 \cdot 0{,}75 = 1{,}5\,\text{m}} \) opp og faller like langt ned, så \( {1{,}5 \cdot 0{,}75\,\text{m}} \) opp og ned, og så videre: \[ \begin{aligned} s = 2 + 2 \cdot (&\textcolor{blue}{1{,}5} + 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \\ &+ 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^2 + \dots) \end{aligned} \]

2. Summer rekken Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på summen av en uendelig geometrisk rekke, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}5}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s &= 2 + 2 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}5}}{1 - \textcolor{red}{0{,}75}} \\ &= 2 + 2 \cdot 6 = 14 \end{aligned} \]

Lånet er like mye verdt som alle terminbeløpene, når hvert av dem regnes tilbake til i dag. Disse nåverdiene danner en geometrisk rekke, og summeformelen gir terminbeløpet.

1. Sett opp rekken Et terminbeløp \( \textcolor{red}{T} \) som betales om \( n \) år, er i dag verdt \( \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^n}\text{.} \) Summen av nåverdiene av de åtte terminbeløpene skal være prisen på bilen: \[ \begin{aligned} 357\,000 = \ &\dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^8} \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}}\text{,} \) så rekken er geometrisk med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{8}} \) ledd og første ledd \( {a_1 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} 357\,000 &= \dfrac{\dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04}\left(1 - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}\right)^{\textcolor{green}{8}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}} \\ &= \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - 1{,}04^{-8}}{0{,}04} \end{aligned} \]

I den siste linja har vi ganget teller og nevner med \( 1{,}04\text{,} \) så nevneren blir \( {1{,}04 - 1 = 0{,}04}\text{.} \)

3. Løs for terminbeløpet \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{357\,000 \cdot 0{,}04}{1 - 1{,}04^{-8}} \\ &\approx 53\,024{,}44 \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi skriver rekken med Sum og løser for \( T \) med NLøs:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(357000 = Sum(T/1.04^k, k, 1, 8), T = 50000)

Terminbeløpet er omtrent \( 53\,024{,}44 \) kr.

Som i a) er prisen lik summen av nåverdiene av terminbeløpene, nå med ukjent rente. Likningen for renten løser vi med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp likningen og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}027} \) gir en nåverdi på omtrent \( 450\,440 \) kr og \( {r = 0{,}028} \) omtrent \( 448\,133 \) kr, så renten ligger mellom \( 2{,}7\,\% \) og \( 2{,}8\,\%\text{.} \)

1. Sett opp likningen Med renten \( \textcolor{blue}{r} \) er et terminbeløp om \( n \) år i dag verdt \( {\dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^n}}\text{.} \) Summen av nåverdiene av de ti terminbeløpene skal være prisen: \[ \begin{aligned} 450\,000 = \ &\dfrac{52\,000}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{10}} \end{aligned} \]

2. Løs likningen i CAS Vi løser likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med startverdien \( {r = 0{,}03}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(450000 = Sum(52000/(1 + r)^k, k, 1, 10), r = 0.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{r} \approx 0{,}0272}\text{,} \) altså omtrent \( 2{,}72\,\%\text{.} \)

Vi bruker terminbeløpet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Alt Mathias betaler utover prisen på bilen, er renter. Vi regner ut alle terminbeløpene til sammen minus lånet for hvert tilbud.

1. Regn ut rentene for hvert tilbud Hvert terminbeløp er renter pluss avdrag, og avdragene til sammen er lånet, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. De totale rentene er derfor: \[ \begin{aligned} \text{renter} &= \text{alle terminbeløpene} \\ &\quad - \text{lånet} \end{aligned} \]

I a) fant vi terminbeløpet \( {T \approx 53\,024{,}44} \) kr for tilbud 1. Det er beløpet Mathias betaler hvert år, i kroner og øre, så vi regner med det. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\text{Tilbud 1:}} \\ &8 \cdot 53\,024{,}44 - 357\,000 = \textcolor{blue}{67\,195{,}52} \\ &\textcolor{red}{\text{Tilbud 2:}} \\ &10 \cdot 52\,000 - 450\,000 = \textcolor{red}{70\,000} \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med terminbeløpet rundet til hele kroner, 53 024 kr, blir rentene for tilbud 1 \( 67\,192 \) kr. Tilbud 2 gir mest renter uansett.

2. Sammenlign \( \textcolor{red}{70\,000} \) kr er mer enn \( \textcolor{blue}{67\,195{,}52} \) kr, så tilbud 2 gir mest renter totalt.

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) regner vi ut rentene for begge tilbudene, med terminbeløpet slik det betales, 53 024,44 kr fra a):

Skriv inn i GeoGebra: 8*53024.44 - 357000 10*52000 - 450000

Tilbud 1 gir \( 67\,195{,}52 \) kr i renter og tilbud 2 \( 70\,000 \) kr, så tilbud 2 gir mest.

Hvert kast Ane gjør, teller én i antallet. Det forventede antallet kast er derfor summen av sannsynlighetene for at hvert kast blir gjort, og fra kast 3 er det en uendelig geometrisk rekke.

1. Forklar sannsynlighetene i tabellen Kast 1 og 2 må Ane alltid gjøre. Fra kast 3 er et kast nødvendig bare hvis ingen to kast på rad har vært like før det. Hvert kast er ulikt det forrige med sannsynlighet \( \dfrac{5}{6}\text{,} \) og kastene er uavhengige, så kast 3 er nødvendig med sannsynlighet \( \dfrac{5}{6}\text{,} \) kast 4 med \( {\left(\dfrac{5}{6}\right)^2}\text{,} \) og så videre.

2. Forklar summen La \( \textcolor{blue}{X_m} \) være 1 hvis kast nummer \( m \) blir gjort, og 0 ellers, og la \( \textcolor{red}{p_m} \) være sannsynligheten for at kast nummer \( m \) blir gjort. Antallet kast er da \( {N = \textcolor{blue}{X_1} + \textcolor{blue}{X_2} + \textcolor{blue}{X_3} + \dots}\text{,} \) og forventningsverdien til \( \textcolor{blue}{X_m} \) er: \[ \begin{aligned} E(\textcolor{blue}{X_m}) &= 1 \cdot \textcolor{red}{p_m} + 0 \cdot (1 - \textcolor{red}{p_m}) \\ &= \textcolor{red}{p_m} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på forventningsverdi, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans). Forventningen til en sum er summen av forventningene, så: \[ \begin{aligned} E(N) &= E(\textcolor{blue}{X_1}) + E(\textcolor{blue}{X_2}) + \dots \\ &= \textcolor{red}{p_1} + \textcolor{red}{p_2} + \textcolor{red}{p_3} + \dots \\ &= 1 + 1 + \dfrac{5}{6} \\ &\quad + \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 + \dots \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Fra det tredje leddet er rekken uendelig geometrisk med \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{p_3} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}}} \) og \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{\dfrac{5}{6}}}\text{.} \) Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{green}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(N) &= 1 + 1 + \dfrac{\textcolor{red}{\tfrac{5}{6}}}{1 - \textcolor{green}{\tfrac{5}{6}}} \\ &= 2 + \dfrac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{6}} = 2 + 5 = 7 \end{aligned} \]

Vi lar datamaskinen kaste terningen til to kast på rad er like, mange ganger, og regner ut gjennomsnittet av summene.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 3 sier hvor mange ganger vi gjentar forsøket, og linje 4 starter summen av alle forsøkene på 0. Løkka i linje 5 gjentar forsøket, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

I hvert forsøk kaster linje 6 og 7 terningen to ganger, og linje 8 legger sammen øynene. While-løkka i linje 9 kaster videre så lenge \( \textcolor{red}{\texttt{kast}} \) er ulik \( \textcolor{blue}{\texttt{forrige}}\text{,} \) og legger hvert nytt kast til summen. Når to kast på rad er like, legger linje 13 summen til \( \texttt{total}\text{.} \)

2. Kjør programmet Linje 14 skriver ut gjennomsnittet av de \( 100\,000 \) summene. Én kjøring ga \( 24{,}56\text{,} \) og en ny kjøring gir et litt annet tall, fordi kastene er tilfeldige. Forventningsverdien til summen er altså omtrent \( 24{,}5 \) øyne.

Kontroll: Hvert kast gir i gjennomsnitt \( 3{,}5 \) øyne, og om et kast blir gjort, avhenger bare av kastene før det. Med 7 kast i gjennomsnitt fra a) ventes summen \( {7 \cdot 3{,}5 = 24{,}5}\text{,} \) som stemmer med simuleringen.

Vi går gjennom løkka én runde om gangen og skriver opp hva \( \texttt{a} \) er i hver runde.

1. Les koden linje for linje Linje 1 setter \( {\texttt{a} = 2}\text{,} \) og linje 2 setter \( {\texttt{n} = 5}\text{.} \) Løkka i linje 3 går gjennom \( {\texttt{i} = 1, 2, 3, 4, 5}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(1, 6)} \) stopper før 6, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I hver runde skriver linje 4 ut \( \texttt{a}\text{,} \) og linje 5 legger til \( {\textcolor{red}{\texttt{i} + 2}}\text{.} \)

2. Kjør løkka for hånd De fire første rundene gir: \[ \begin{aligned} \texttt{i} = 1&\text{:} \quad 2 + \textcolor{red}{3} = 5 \\ \texttt{i} = 2&\text{:} \quad 5 + \textcolor{red}{4} = 9 \\ \texttt{i} = 3&\text{:} \quad 9 + \textcolor{red}{5} = 14 \\ \texttt{i} = 4&\text{:} \quad 14 + \textcolor{red}{6} = 20 \end{aligned} \]Programmet skriver ut \( \texttt{a} \) før det legger til, så det skriver ut \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{.} \)

Tallfølgen starter altså på \( 2\text{,} \) og hvert nytt tall er det forrige pluss \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) \( \textcolor{red}{4}\text{,} \) \( \textcolor{red}{5}\text{,} \) \( \textcolor{red}{6}\text{,} \) … Det vi legger til, øker med \( 1 \) hver gang.

Vi bruker leddene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser at programmet legger hvert ledd til \( \texttt{S} \) før det lager det neste. \( \texttt{S} \) blir derfor summen av leddene.

1. Les koden Linje 3 setter \( {\texttt{S} = 0}\text{.} \) I hver runde legger linje 5 det leddet vi har nå, til \( \texttt{S}\text{,} \) og linje 6 lager det neste leddet, som i a). Slik oppdaterer vi en sum i en løkke, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 7 står utenfor løkka, så den skriver ut \( \textcolor{blue}{\texttt{S}} \) én gang, etter den siste runden. Løkka går fem runder, så eleven vil finne summen av de fem første leddene.

2. Regn ut summen Leddene fra a) er \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\texttt{S}} = 2 + 5 + 9 + 14 + 20 = \textcolor{blue}{50} \]

Vi ser at differansen er \( 4\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekken har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{4}}\text{.} \) Det siste leddet er \( 399\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{4} &= 399 \\ n - 1 &= 99 \\ n &= 100 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

Vi setter inn i formelen for summen av en uendelig geometrisk rekke og løser for \( k\text{.} \)

1. Sett opp sumformelen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på når rekken konvergerer, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

2. Løs for k Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{12}} \) og \( {S = 18}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 18 \\ 12 &= 18 - 18\textcolor{red}{k} \\ \textcolor{red}{k} &= \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]\( {k = \dfrac{1}{3}} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer.

Sifrene \( 75 \) gjentar seg, og hver gang står de to plasser lenger til høyre. Vi deler tallet opp i ledd der hvert ledd er \( 0{,}01 \) ganger det forrige.

1. Skriv tallet som en rekke Vi deler tallet opp etter hver gruppe på \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}7575\dots &= \textcolor{blue}{0{,}75} + 0{,}0075 \\ &\quad + 0{,}000075 + \dots \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{0{,}01}\text{,} \) så dette er en uendelig geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{0{,}75}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \)

2. Regn ut summen \( \textcolor{red}{k} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer, som i videoen Geometrisk rekke test. Summen er da: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{a_1} \) og \( \textcolor{red}{k}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}75}}{1 - \textcolor{red}{0{,}01}} = \dfrac{0{,}75}{0{,}99} \\ &= \dfrac{75}{99} = \dfrac{25}{33} \end{aligned} \]

3. Legg til 1 \( 1{,}7575\dots \) er \( 1 \) pluss tallet over: \[ \begin{aligned} 1{,}7575\dots &= 1 + \dfrac{25}{33} \\ &= \dfrac{33}{33} + \dfrac{25}{33} = \dfrac{58}{33} \end{aligned} \]