Eksamensoppgaver etter tema

Formen er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. Uke 17 er \( {t = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å gjøre om ukene til \( t\text{,} \) og på å lese av en logistisk modell: \( B \) er verdien grafen flater ut på, og \( {I(0) = \dfrac{B}{1 + a}}\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi gjør om ukene til \( {t = \text{uke} - 17}\text{,} \) så uke 17 til 24 blir \( {t = 0} \) til \( 7\text{.} \) Formen er logistisk, så vi lager en liste med punktene og bruker RegLogist, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 2900), (1, 4400), (2, 12200), (3, 23400), (4, 28800), (5, 34600), (6, 41000), (7, 40800)} I(x) = RegLogist(l1)

Med \( \textcolor{red}{B} \) til hele kroner, \( \textcolor{blue}{a} \) med to desimaler og \( \textcolor{green}{k} \) med fire desimaler er modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{41\,999}}{1 + \textcolor{blue}{14{,}76} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}9035}t}} \]I b) og c) regner vi videre med modellen slik GeoGebra har den, uten avrunding.

2. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra \( {t = 0} \) til \( {t = 7}\text{,} \) og der ligger punktene nær grafen.

Modellen sier at inntekten flater ut på omtrent \( \textcolor{red}{42\,000} \) kr per uke og holder seg der. Salget av planter er størst om våren og sommeren, så utover høsten vil inntekten trolig falle igjen.

Før uke 17 var det ikke noe salg, men modellen gir positive verdier også for \( {t < 0}\text{.} \) Modellen gjelder derfor bare for de ukene i sesongen der salget holder seg, fra \( {t = 0} \) og noen uker etter \( {t = 7}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Merk – Åpen vurdering: Hvor langt fram modellen gjelder, kan ikke tabellen avgjøre. Andre grenser kan også være riktige når de er begrunnet.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Hvor fort inntekten øker, er den deriverte \( I'(t)\text{.} \) Vi finner toppunktet til grafen til \( I'\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du bruke at en logistisk funksjon vokser raskest der den er halvveis opp, \( {I(t) = \dfrac{B}{2}}\text{.} \) Det gir \( {a \cdot e^{-kt} = 1}\text{,} \) altså \( {t = \dfrac{\ln a}{k} \approx 2{,}98}\text{,} \) og veksten der er \( {\dfrac{B \cdot k}{4}}\text{,} \) omtrent 9487 med tallene i svaret i a).

1. Finn toppunktet til den deriverte I a) fant vi modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{41\,999}{1 + 14{,}76 \cdot e^{-0{,}9035t}} \]Veksten i inntekten er \( \textcolor{red}{I'(t)}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi skriver inn den deriverte og finner toppunktet med Maks:

Skriv inn i GeoGebra: D(x) = I'(x) M = Maks(D, 0, 10)

Toppunktet er \( {M \approx (2{,}98;\ 9486)}\text{.} \)

2. Tolk svaret \( {t \approx 2{,}98} \) er omtrent 3 uker etter uke 17, altså i uke 20. Da økte inntekten med omtrent \( \textcolor{red}{9486} \) kr per uke for hver uke som gikk.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( I(t) \) er inntekten i kroner per uke, så integralet fra \( 0 \) til \( x \) er den samlede inntekten de \( x \) første ukene. Vi finner en antiderivert med substitusjon og løser likningen med \( \ln\text{.} \)

1. Finn en antiderivert Modellen er \( {I(t) = \dfrac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}}}\text{.} \) Vi ganger teller og nevner med \( e^{kt}\text{:} \) \[ I(t) = \dfrac{B \cdot e^{kt}}{\textcolor{green}{e^{kt} + a}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{kt} + a}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = k \cdot e^{kt}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{B}{k} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \int I(t)\,dt = \dfrac{B}{k}\ln\left(\textcolor{green}{e^{kt} + a}\right) + c \]

2. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1 + a}\text{.} \) Setter vi inn grensene og ganger med \( \dfrac{k}{B}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\textcolor{green}{e^{k\textcolor{blue}{x}} + a}\right) &- \ln(\textcolor{green}{1 + a}) \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{65\,000} \cdot k}{B} \end{aligned} \]

Med tallene i svaret i a), \( {B = 41\,999}\text{,} \) \( {a = 14{,}76} \) og \( {k = 0{,}9035}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\textcolor{green}{e^{k\textcolor{blue}{x}} + a}\right) &= \ln 15{,}76 \\ &\quad + \dfrac{\textcolor{red}{65\,000} \cdot 0{,}9035}{41\,999} \\ &\approx 4{,}1558 \end{aligned} \]

Vi opphøyer \( e \) i begge sider og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^{0{,}9035\textcolor{blue}{x}} + 14{,}76 &\approx e^{4{,}1558} \approx 63{,}80 \\ e^{0{,}9035\textcolor{blue}{x}} &\approx 49{,}04 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 49{,}04}{0{,}9035} \approx \textcolor{blue}{4{,}31} \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Arealet under grafen til \( I \) er den samlede inntekten, på samme måte som arealet under en fartsgraf er strekningen, som i videoen Hva er integrasjon. Ifølge modellen har hagesenteret tjent \( \textcolor{red}{65\,000} \) kr til sammen på plantene omtrent \( \textcolor{blue}{4{,}3} \) uker etter at salget startet, altså i løpet av uke 21.

1. Løs likningen i CAS I a) fant vi modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{41\,999}{1 + 14{,}76 \cdot e^{-0{,}9035t}} \]Den står i Algebrafeltet fra a), og CAS kan bruke den. Vi løser likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med startverdien \( {x = 4}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Integral(I(t), t, 0, x) = 65000, x = 4)

Rad 1 gir \( {\textcolor{blue}{x \approx 4{,}31}}\text{,} \) det samme som med kalkulatoren. Hagesenteret har altså tjent \( \textcolor{red}{65\,000} \) kr på plantene i løpet av uke 21.

Halvparten av 2 millioner er 1 million. Vi setter \( {B(t) = 1\,000\,000}\text{,} \) får potensen av \( e \) alene på én side og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen Halvparten av husstandene er \( 1\,000\,000\text{:} \) \[ \dfrac{1\,700\,000}{1 + 500e^{-0{,}07t}} = 1\,000\,000 \]

2. Løs likningen med ln Vi ganger med nevneren, deler på \( 1\,000\,000 \) og får potensen \( {\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}}} \) alene. Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 1 + 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 1{,}7 \\ 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}7 \\ \textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}0014 \\ \textcolor{green}{-0{,}07t} &= \ln 0{,}0014 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}0014}{-0{,}07} \approx 93{,}9 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( B \) i CAS og løser \( {B(t) = 1\,000\,000} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B(t) := 1700000/(1 + 500*ℯ^(-0.07t)) Løs(B(t) = 1000000, t)

Rad 2 gir \( {t \approx 93{,}9} \) uker.

\( B \) er en brøk med en konstant i telleren. Vi deriverer med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. \( B'(t) \) er hvor mange nye husstander som får systemet per uke.

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}'}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Med kjerneregelen er \( {\left(e^{-0{,}07t}\right)' = e^{-0{,}07t} \cdot (-0{,}07)}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1\,700\,000} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ B'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Det første leddet i telleren er 0. Setter vi inn \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} B'(t) &= \dfrac{-\textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot (\textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}})}{(\textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}})^2} \\ &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-0{,}07t}}{(1 + 500e^{-0{,}07t})^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn 52 uker Med \( {t = 52} \) er eksponenten \( {-0{,}07 \cdot 52 = -3{,}64}\text{:} \) \[ \begin{aligned} B'(52) &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-3{,}64}}{(1 + 500e^{-3{,}64})^2} \\ &\approx 7828 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( B \) er antall husstander og \( t \) er uker, så \( B'(t) \) er husstander per uke, som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Ett år etter lanseringen får omtrent 7800 nye husstander systemet per uke.

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut \( B'(52) \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B'(52)

Rad 3 gir \( {B'(52) \approx 7828} \) husstander per uke.

En logistisk modell har formen \( {F(t) = \dfrac{C}{1 + ae^{-kt}}}\text{.} \) Hver antakelse gir oss én av konstantene \( C\text{,} \) \( a \) og \( k\text{.} \)

1. Finn grensen og startverdien En logistisk modell har formen: \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{1 + \textcolor{red}{a}e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Når \( t \) blir stor, går \( {e^{-\textcolor{green}{k}t}} \) mot 0, og \( F(t) \) går mot \( \textcolor{blue}{C}\text{.} \) De selger totalt til en million husstander, så \( {\textcolor{blue}{C} = \textcolor{blue}{1\,000\,000}}\text{.} \)

Ved lanseringen er \( {t = 0} \) og \( {e^0 = 1}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} F(0) = \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{a}} &= 4000 \\ 1 + \textcolor{red}{a} &= 250 \\ \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{249} \end{aligned} \]

2. Bruk uken med flest nye kjøpere Antall nye husstander per uke er \( F'(t)\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I en logistisk modell er veksten størst når \( F \) har nådd halvparten av \( \textcolor{blue}{C}\text{:} \) \[ F'(t) \text{ er størst når } F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{2} \]

Flest kjøper i uke 65, så \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}}} &= 500\,000 \\ 1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}} &= 2 \\ e^{-65\textcolor{green}{k}} &= \dfrac{1}{249} \\ -65\textcolor{green}{k} &= \ln \dfrac{1}{249} \\ \textcolor{green}{k} &= \dfrac{\ln 249}{65} \approx \textcolor{green}{0{,}0849} \end{aligned} \]

Med \( k \) avrundet til fire desimaler blir modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-\textcolor{green}{0{,}0849}t}} \]

1. Finn konstantene i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) skriver vi modellen med \( {C = 1\,000\,000}\text{,} \) finner \( a \) fra \( {F(0) = 4000} \) og \( k \) fra \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(t) := 1000000/(1 + a*ℯ^(-k*t)) Løs(F(0) = 4000, a) Løs(1000000/(1 + 249*ℯ^(-65k)) = 500000, k)

Rad 5 gir \( {a = 249}\text{,} \) og rad 6 gir \( {k \approx 0{,}0849}\text{.} \)

Vi regner ut hva modellen gir for ukene i tabellen og sammenligner med målingene. Modellen er logistisk, så den vokser og flater ut mot et tak.

1. Regn ut modellverdiene Vi setter ukene fra tabellen inn i \( L(t)\text{,} \) og runder av til én desimal: \[ \begin{aligned} L(1) &\approx 14{,}7 & L(5) &\approx 33{,}4 \\ L(10) &\approx 74{,}2 & L(15) &\approx 117{,}2 \\ L(20) &\approx 142{,}0 \end{aligned} \]Målingene er 14, 32, 80, 115 og 145 km. Modellen bommer med under 6 km hver uke, og den følger både den raske økningen og at den avtar mot slutten.

2. Forklar modelltypen Modellen har formen \[ L(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + a \cdot e^{-kt}} \]med \( {\textcolor{red}{C} = \textcolor{red}{156{,}31}}\text{.} \) Den vokser sakte først, så raskt, og flater så ut mot \( \textcolor{red}{C}\text{.} \)

Det passer for løpetrening. Marco starter forsiktig og øker mer og mer når kroppen tåler det. Men han har bare så mye tid og så mye kroppen tåler, så antall kilometer per uke kan ikke vokse uten grense. \( \textcolor{red}{C} \) er taket, omtrent 156 km per uke.

1. Lag logistisk regresjon Vi legger punktene i en liste og lager logistisk regresjon, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den finner tallene i modellen som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi tegner også \( L \) fra oppgaven:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 14), (5, 32), (10, 80), (15, 115), (20, 145)} f(x) = RegLogist(l1) L(x) = 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24x))

Regresjonen gir: \[ f(x) \approx \dfrac{156{,}31}{1 + 12{,}21e^{-0{,}24x}} \]med tallene avrundet til to desimaler. Det er modellen \( L\text{,} \) og grafen går nær alle punktene.

Økningen er den deriverte \( L'(t)\text{.} \) En logistisk funksjon vokser raskest i vendepunktet, der den er kommet halvveis til taket \( 156{,}31\text{.} \)

1. Finn når modellen er halvveis Vi setter \( {L(t) = \dfrac{156{,}31}{2}}\text{.} \) Det skjer når nevneren er 2, altså når \( {\textcolor{green}{12{,}21e^{-0{,}24t}} = 1}\text{.} \) Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{-0{,}24t} &= \dfrac{1}{12{,}21} \\ -0{,}24t &= -\ln 12{,}21 \\ t &= \dfrac{\ln 12{,}21}{0{,}24} \approx 10{,}43 \end{aligned} \]

2. Deriver med kjerneregelen Vi skriver \( {L(t) = 156{,}31 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{12{,}21e^{-0{,}24t}}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = -0{,}24 \cdot \textcolor{green}{u}}\text{.} \) Den ytre funksjonen er \( {g(\textcolor{green}{u}) = 156{,}31(1 + \textcolor{green}{u})^{-1}}\text{:} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \big(g(\textcolor{green}{u})\big)' = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen. Det gir: \[ \begin{aligned} L'(t) &= -156{,}31 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-2} \\ &\quad \cdot (-0{,}24\textcolor{green}{u}) \\ &= \dfrac{156{,}31 \cdot 0{,}24 \cdot \textcolor{green}{u}}{\left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^2} \end{aligned} \]

3. Regn ut økningen I \( {t \approx 10{,}43} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1}\text{:} \) \[ L'(10{,}43) = \dfrac{156{,}31 \cdot 0{,}24 \cdot 1}{2^2} \approx 9{,}38 \]

Det er den største økningen, for brøken \( {\dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2}} \) er aldri større enn \( \dfrac{1}{4}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2} \le \dfrac{1}{4} \iff (1 - \textcolor{green}{u})^2 \ge 0 \]Da økte antallet kilometer per uke med omtrent 9,4 km for hver uke.

1. Finn vendepunktet i CAS Vendepunktet er der \( {L''(t) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi løser med NLøs og setter løsningen inn i \( L'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: L(t) := 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24t)) NLøs(L''(t) = 0, t = 10) L'(10.4261)

Rad 2 gir \( {t \approx 10{,}43} \) uker, og rad 3 gir økningen \( 9{,}38 \) km per uke per uke.

\( L \) er kilometer per uke, så integralet av \( L \) er hvor langt Marco har løpt. Vi løser likningen der integralet er 500, og deler 500 km på antall uker.

1. Sett opp likningen Modellen fra a) er: \[ L(t) = \dfrac{156{,}31}{1 + 12{,}21e^{-0{,}24t}} \]

Strekningen er integralet av farten, som i videoen Eksamen 2018 August oppgave 2a. Etter \( \textcolor{blue}{x} \) uker har Marco løpt 500 km når: \[ \int_0^{\textcolor{blue}{x}} L(t)\,dt = 500 \]

2. Finn en antiderivert Vi ganger teller og nevner med \( e^{0{,}24t}\text{:} \) \[ L(t) = \dfrac{156{,}31 \cdot e^{0{,}24t}}{\textcolor{green}{e^{0{,}24t} + 12{,}21}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}24t} + 12{,}21}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = 0{,}24e^{0{,}24t}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{156{,}31}{0{,}24} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \int L(t)\,dt &= \dfrac{156{,}31}{0{,}24} \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt \\ &= \dfrac{156{,}31}{0{,}24}\ln \textcolor{green}{u} + c \end{aligned} \]

3. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 13{,}21}\text{.} \) Setter vi inn grensene, får vi: \[ \dfrac{156{,}31}{0{,}24}\left(\ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} - \ln \textcolor{green}{u(0)}\right) = 500 \]

Vi ganger med \( \dfrac{0{,}24}{156{,}31} \) og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} &= \ln 13{,}21 + \dfrac{120}{156{,}31} \\ &\approx 3{,}3487 \\ e^{0{,}24\textcolor{blue}{x}} + 12{,}21 &\approx e^{3{,}3487} \approx 28{,}47 \\ e^{0{,}24\textcolor{blue}{x}} &\approx 16{,}26 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 16{,}26}{0{,}24} \approx \textcolor{blue}{11{,}62} \end{aligned} \]

4. Regn ut gjennomsnittet Han løp 500 km på \( \textcolor{blue}{11{,}62} \) uker, altså i uke 12. I gjennomsnitt er det: \[ \dfrac{500}{\textcolor{blue}{11{,}62}} \approx 43{,}0 \]km per uke.

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen \( {\int_0^{x} L(t)\,dt = 500} \) med NLøs. Rad 1 er modellen fra a), og rad 3 deler 500 km på antall uker:

Skriv inn i GeoGebra: L(t) := 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24t)) NLøs(Integral(L(t), t, 0, x) = 500, x = 12) 500/11.6184

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{x} \approx \textcolor{blue}{11{,}62}} \) uker. Før skokjøpet løp han altså 500 km på 11,62 uker, og rad 3 gir gjennomsnittet: \[ \dfrac{500}{\textcolor{blue}{11{,}62}} \approx 43{,}0 \]

Økningen i salget er den deriverte \( f'(t)\text{.} \) Vi deriverer med kjerneregelen og finner når \( f'(t) \) er størst.

1. Deriver med kjerneregelen Vi skriver \( {f(t) = 700(1 + \textcolor{green}{u})^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{20e^{-0{,}12t}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ f'(t) = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er den ytre funksjonen \( g \) og kjernen, der \( {\left(e^{-0{,}12t}\right)' = -0{,}12e^{-0{,}12t}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(\textcolor{green}{u}) &= 700(1 + \textcolor{green}{u})^{-1} \\ g'(\textcolor{green}{u}) &= -700(1 + \textcolor{green}{u})^{-2} \\ \textcolor{green}{u}' &= -0{,}12 \cdot \textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= -700 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-2} \cdot (-0{,}12\textcolor{green}{u}) \\ &= \dfrac{84\textcolor{green}{u}}{\left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^2} \end{aligned} \]

2. Finn den største økningen Brøken \( {\dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2}} \) er aldri større enn \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) og er lik \( \dfrac{1}{4} \) bare når \( {\textcolor{green}{u} = 1}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2} \le \dfrac{1}{4} \iff (1 - \textcolor{green}{u})^2 \ge 0 \]Den største økningen er derfor: \[ f'(t) = \dfrac{84 \cdot 1}{2^2} = 21 \]

3. Finn når økningen er størst Vi setter \( {\textcolor{green}{20e^{-0{,}12t}} = 1} \) og tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{-0{,}12t} &= \dfrac{1}{20} \\ -0{,}12t &= -\ln 20 \\ t &= \dfrac{\ln 20}{0{,}12} \approx 24{,}96 \end{aligned} \]Etter omtrent 25 uker økte salget med 21 enheter per uke for hver uke.

1. Finn vendepunktet i CAS Salget øker raskest i vendepunktet, der \( {f''(t) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi løser med NLøs og setter løsningen inn i \( f'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 700/(1 + 20*ℯ^(-0.12t)) NLøs(f''(t) = 0, t = 25) f'(24.9644)

Rad 2 gir \( {t \approx 24{,}96} \) uker, og rad 3 gir økningen \( 21 \) enheter per uke per uke.

\( f \) er enheter per uke, så integralet av \( f \) er det samlede salget. Vi finner en antiderivert med substitusjon og løser likningen der integralet er 2000.

1. Sett opp likningen Det samlede salget er integralet av salget per uke, som når strekningen er integralet av farten i videoen Eksamen 2018 August oppgave 2a. Etter \( \textcolor{blue}{x} \) uker er det samlede salget 2000 når: \[ \int_0^{\textcolor{blue}{x}} f(t)\,dt = 2000 \]

2. Finn en antiderivert Vi ganger teller og nevner med \( e^{0{,}12t}\text{:} \) \[ f(t) = \dfrac{700e^{0{,}12t}}{\textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = 0{,}12e^{0{,}12t}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{700}{0{,}12} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \int f(t)\,dt &= \dfrac{700}{0{,}12} \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\ln \textcolor{green}{u} + c \end{aligned} \]

3. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1 + 20 = 21}\text{.} \) Setter vi inn grensene, får vi: \[ \dfrac{700}{0{,}12}\left(\ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} - \ln 21\right) = 2000 \]

Vi ganger med \( \dfrac{0{,}12}{700} \) og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} &= \ln 21 + \dfrac{240}{700} \\ &\approx 3{,}3874 \\ e^{0{,}12\textcolor{blue}{x}} + 20 &\approx e^{3{,}3874} \approx 29{,}589 \\ e^{0{,}12\textcolor{blue}{x}} &\approx 9{,}589 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 9{,}589}{0{,}12} \approx \textcolor{blue}{18{,}84} \end{aligned} \]Det samlede salget passerte 2000 enheter etter omtrent 18,8 uker, altså i uke 19.

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen \( {\int_0^{x} f(t)\,dt = 2000} \) i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, her med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Integral(f(t), t, 0, x) = 2000, x = 19)

Rad 4 gir \( {\textcolor{blue}{x} \approx \textcolor{blue}{18{,}84}} \) uker.

Vi bruker den antideriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner det første året som 52 uker. Integralet av \( f \) fra 0 til 52 er antallet enheter solgt det året, og prisen er inntekten delt på antallet.

1. Regn ut salget det første året I b) fant vi en antiderivert med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}}\text{:} \) \[ \int f(t)\,dt = \dfrac{700}{0{,}12}\ln \textcolor{green}{u} + c \]

I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 21}\text{,} \) og i \( {t = 52} \) er \( {\textcolor{green}{u} = e^{6{,}24} + 20 \approx 532{,}86}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} & \int_0^{52} f(t)\,dt \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\left(\ln 532{,}86 - \ln 21\right) \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\ln\left(\dfrac{532{,}86}{21}\right) \\ &\approx \textcolor{blue}{18\,863} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)}\text{.} \)

2. Regn ut prisen Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Prisen er da: \[ p = \dfrac{1\,000\,000}{\textcolor{blue}{18\,863}} \approx 53{,}01 \]Butikken har solgt produktet for omtrent 53 kr per enhet.

Kontroll: Med et år på \( {\dfrac{365}{7} \approx 52{,}14} \) uker blir salget omtrent \( 18\,960 \) og prisen omtrent \( 52{,}74 \) kr, også 53 kr avrundet til hele kroner.

1. Regn ut integralet i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut salget det første året med \( {\approx} \) og deler inntekten på det:

Skriv inn i GeoGebra: Integral(f(t), t, 0, 52) 1000000/18863.4454

Rad 5 gir \( \textcolor{blue}{18\,863} \) enheter det første året, og rad 6 gir prisen \( 53{,}01 \) kr.